Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua khai thác các bài toán tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THƠNG QUA
KHAI THÁC CÁC BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP,
HÀM ẨN VÀ HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

NGHỆ AN NĂM 2023


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài.
Sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế xã hội trong giai đoạn hiện nay đòi
hỏi con người phải năng động sáng tạo, khơng ngừng đổi mới để thích nghi. Nhằm
đáp ứng nhu cầu đó của xã hội, nền giáo dục Việt Nam không ngừng đổi mới để
phát triển năng lực cho HS.
Thực tế cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp sẽ kích
thích được hứng thú học tập của HS, giúp HS phát triển tư duy lĩnh hội được tri
thức và đạt được mục đích học tập.
Năm học 2022 - 2023 chúng tôi được phân công giảng dạy toán 12 và bồi
dưỡng HSG tỉnh 12 chúng tơi thấy: Các bài tốn về cực trị của hàm số chiếm một
vị trí hết sức quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng và nó được ứng dụng
rất rộng rãi trong thực tế và thường xuất hiện trong đề thi THPTQG và các đề thi
HSG. Khi gặp phải phần này gây khơng ít khó khăn cho HS. Trong q trình giảng
dạy chúng tơi nhận thấy HS gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề
hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt các bài toán ở mức
độ vận dụng. Từ khi Bộ GD&ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn

Tốn, địi hỏi học sinh khơng những kiến thức sâu rộng mà cịn phải có các cách
tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất. Phần cực
trị của hàm số đã được yêu cầu rộng hơn, mức độ khó hơn trước, đặc biệt là các bài
tốn về tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyêt đối, nó địi
hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức về cực trị thật vững và tư duy linh hoạt
mới giải quyết được lớp các bài toán dạng này bởi lẽ có những câu vận dụng cao
tìm cực trị hàm số mà không cho hàm cụ thể nên việc sử dụng máy tính Casio để
có thể tìm đáp án là hạn chế.
Vì những lí do trên, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có những cách tiếp
cận nhanh nhất, có hệ thống kiến thức vững chắc về cực trị đặc biệt là cực trị của
hàm hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng tôi xây dựng một chuyên
đề bồi dưỡng cho học sinh và quan trọng hơn là bồi dưỡng chun mơn cho chính
bản thân mình nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới
giáo dục, chúng tôi xin mạnh dạn đưa ra đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần
phát triển tư duy học sinh thơng qua khai thác các bài tốn tìm cực trị của hàm
hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
Với đề tài này chúng tôi hi vọng và mong muốn sẽ giúp cho học sinh phát
triền tư duy, dễ dàng nắm bắt và thành thạo trong việc giải các bài toán về cực trị
nói chung và giải được các bài tốn về cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa
dấu giá trị tuyệt đối nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Làm cho học sinh biết vận dụng linh hoạt phương pháp tìm cực trị của hàm
hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải quyết được phần được coi là khó
1


của đề thi, địi hỏi phải có tư duy cao. Phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn
đề, biết quy lạ về quen, rèn luyện tư duy sáng tạo, phát huy tính tích cực khơi dậy
hứng thú học tập của HS, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPTQG và
HSG tỉnh.

- Giải quyết các vấn đề mà HS còn lúng túng, mắc nhiều sai lầm và thậm chí
là khơng có định hướng về lời giải trong việc tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và
hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Làm cho HS thấy được vấn đề cốt lõi của chương học, tiếp nhận và giải
các dạng toán tiếp theo.
- Nâng cao chất lượng bộ mơn tốn theo từng chun đề khác nhau góp phần
nâng cao chất lượng dạy học.
3. Đối tượng và thời gian nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12 trường THPT Đô Lương 2 - Đô Lương - Nghệ an.
3.2. Thời gian nghiên cứu
- Năm học 2022 - 2023
4. Phạm vi nghiên cứu
- Đề tài tập trung nghiên cứu và xây dựng hệ thống bài tập tìm cực trị hàm
hợp, hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm góp phần phát triển tư duy cho
HS lớp 12 Trường THPT Đô lương 2
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn của HS khi làm các dạng bài tập liên quan đến
cực trị của hàm hợp hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tự tìm tịi, trao đổi với đồng nghiệp khám phá, đưa vào thực nghiệm và
đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệ
thống theo từng mức độ từ dễ đến khó.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin: Tham khảo ý
kiến của GV và thăm dị ý kiến HS.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Thống kê và xử lí số liệu kết quả học
tập của HS trước và sau khi áp dụng sáng kiến.
- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.
- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4, 12C2, 12C4 trường THPT Đô
lương 2 - Nghệ an
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nhiệm đề tài trong dạy

học để rút ra hiệu quả.
- Phương pháp thống kê toán học.
2


- Phương pháp đối chứng.
6. Những đóng góp mới của đề tài.
Trong nhiều đề thi những năm gần đây những bài toán liên quan đến cực trị
hàm hợp, hàm ẩn đặc biệt là hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều.
Vấn đề này đã gây khơng ít khó khăn cho GV và HS trong q trình giảng dạy và
học tập. Sáng kiến kinh nghiệm “Góp phần phát triển tư duy học sinh thông qua
khai thác các bài tốn tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị
tuyệt đối” bắt kịp xu thế dạy học hiện nay, tạo thêm nguồn tài liệu cho GV và HS
tham khảo. Đề tài của chúng tôi đã cung cấp được hệ thống kiến thức lý thuyết và
phương pháp cụ thể cho các dạng toán được nêu ra. Đồng thời cập nhật được các
bài toán tương tự các bài trong đề thi THPTQG hàng năm. Qua đó HS thấy được
sự cần thiết phải học tập chuyên đề này.
Phân loại các dạng toán để làm mềm các lớp bài tốn, từ đó giúp học sinh có
năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết các bài toán phân loại sâu ở mức khó
trong đề thi.
Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân chúng tôi đã áp dụng đề tài của mình
vào giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đã rất
chủ động và hứng thú khi tiếp cận với những bài tốn liên quan. Từ đó phát huy
tính tích cực, tư duy logic, hệ thống và khái quát hoá tính sáng tạo của mình trong
học tập.
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo trong bồi dưỡng HSG, ôn thi THPTQG
cho học sinh khá giỏi.

3

PHẦN II: NỘI DUNG.
Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài.
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Tư duy
- Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người ta chưa biết. Nhiệm vụ
của cuộc sống và hoạt động thực tiễn ln địi hỏi con người phải hiểu biết cái
chưa biết đó ngày một sâu sắc phải vạch ra những cái bản chất và quy luật tác động
của chúng. Q trình nhận thức đó được gọi là tư duy.
Tư duy có đặc điểm cơ bản sau:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một q trình phản ánh tích
cực đến thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện
qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được
phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người
nhằm phản ánh đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo .
- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ
thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.
1.1.2. Các kiến thức cơ bản liên quan
1.1.2.1. Định nghĩa:
Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  a; b  và điểm
x0   a; b  .
+ Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và
x  x0 thì hàm số f  x  đạt cực đại tại điểm x0 .
+ Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và
x  x0 thì hàm số f  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Lưu ý:
+ Nếu hàm số f  x  đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm

cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f  x0  được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực
tiểu) của hàm số, còn điểm M  x0 ; f  x0   được gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của
đồ thị hàm số.
+ Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng  a; b  và đạt cực đại hoặc
cực tiểu tại điểm x0 thì f '  x0   0.
+ f   x  có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại
điểm x0 .
+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo
hàm.
+ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
1.1.2.2. Tính chất

4


Định lí 1: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K   x0  h; x0  h 
và có đạo hàm trên K hoặc K \  x0  , với h  0.
+ Nếu f '  x   0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '  x   0 trên khoảng
( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  .
+ Nếu f '  x   0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '  x   0 trên khoảng
( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .
Định lí 2:
Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( x0  h; x0  h) ,
với h  0 . Khi đó:
+ Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
- Thông qua quá trình dạy học tơi đã tìm tịi góp nhặt, nghiên cứu các dạng
bài tốn liên quan.
- Trong thực tiễn tơi đã vận dụng khá tốt các nội dung của chuyên đề. Từ đó

hình thành cơ sở nghiên cứu chun đề này.
1.2. Cơ sở thực tiễn:
Trong những năm gần đây các đề minh họa của bộ GD&ĐT, đề thi THPTQG và
đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc, học sinh thường gặp một số câu về tìm
cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối và các bài tốn có liên
quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao.
Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, chúng tôi đã khảo sát chất lượng học
tập của học sinh trường THPT Đô lương 2 năm học 2022 - 2023 (thông qua các lớp
trực tiếp giảng dạy) về các bài tốn tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu
giá trị tuyệt đối, chúng tôi đã thu được kết quả như sau:
Bảng 1: Khảo sát chất lượng học tập trước khi sử dụng giải pháp
Lớp

Sĩ số

12C4
12A4
12C2
12A1
12B1
12B4

42
41
39
41
40
38

Giỏi

SL
1
0
1
0
0
0

%
2,4%
0%
2,6%
0%
0%
0%

SL
4
4
6
3
2
2

Khá
%
9,5%
9,8%
15,4%
7,3%

5%
5.3%

SL
24
22
22
21
20
23

TB
%
57,1%
53,6%
56,4%
51,2%
50%
60.5%

SL
9
11
8
12
13
10

Bảng 2: Kết quả khảo sát độ hứng thú
Lớp

12A1(41)
12A4(41)
Số
Tỷ lệ
Số
Tỷ lệ
Độ hứng thú
lượng
%
lượng
%
Rất thích
2
4.9%
3
7.3%
Thích
7
17.1%
9
22%
Bình thường
23
56.1%
20
48.8%
Khơng thích
9
21.9%
9

21.9%

Yếu
%
21,5%
26,8%
20%
32,2%
32.5%
26.3%

Kém
SL
%
4
9,5%
4
9,8%
2
5%
3
9,3%
5
12.5%
3
7.9%

12C2(39)
Số
Tỷ lệ

lượng
%
5
12.8%
8
20.5%
19
48.7%
7
18%

5


Bảng 3: Kết quả khảo sát độ hứng thú
Lớp
12B1(40)
12B1(38)
12C4(41)
Số
Tỷ lệ
Số
Tỷ lệ
Số
Tỷ lệ
Độ hứng thú
lượng
%
lượng
%

lượng
%
Rất thích
0
0%
0
0%
3
7.3%
Thích
0
0%
0
0%
8
19.5%
Bình thường
15
37.5%
10
26.3%
23
56.1%
Khơng thích
25
62.5%
28
73.3%
7
17.1%

Thực tế cho thấy số lượng hầu như học sinh chưa nắm được dạng tốn này, có
rất nhiều em chưa định hướng được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ
năng cần thiết.
Thực hiện đề tài này chúng tôi đã hệ thống lại các phương pháp tìm cực trị của
hàm số đã được học để áp dụng cho hàm ẩn, hàm hợp và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
thông qua các phương pháp giải cụ thể và ví dụ tương ứng cho mỗi phương pháp đó.
Cuối cùng là bài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng các phương pháp đã được
học vào giải quyết. Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tơi chỉ đưa ra các phương pháp tìm
cực trị đó là: Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng y  f  u  với u  u  x  và
phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá tri tuyệt đối quen thuộc là y  f  x  ,
y  f  x  và y  f ( x ) .

6


Chương 2: Các giải pháp tổ chức thực hiện
2.1. Giải pháp nhằm góp phần phát triển tư duy học sinh thơng qua khai
thác các bài tốn tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn và hàm chứa dấu giá trị
tuyệt đối.
Để thực hiện đề tài này chúng tôi chia nội dung thành hai phần :
Phần 1. Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng y  f  u  với
u  u  x .
Phần 2. Phương pháp tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phần
này chúng tôi chia thành 3 dạng:
Dạng 1: y  f  x 
Dạng 2: y  f  x 
Dạng 3: y  f  x 
Mỗi phần được thực hiện theo các bước:
- Đưa ra phương pháp giải.
- Nêu các ví dụ áp dụng.

- Đưa ra các bài tập tương tự để học sinh tự luyện.
2.2. Nội dung cụ thể.
2.2.1. Phương pháp tìm cực trị của hàm số hợp dạng y  f  u  với
u  u ( x).
2.2.1.1. Phương pháp giải:
Bài toán: Cho hàm số y  f  x  (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng biến
thiên của f  x  , f '  x  ). Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  u  trong đó u là
một hàm số đối với x
Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số y  f  x 
Bước 1. Tính đạo hàm y '  u '. f '  u 
u '  0
Bước 2. Giải phương trình y '  0  
 f ' u   0
Bước 3. Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà y ' khơng xác định.
Kết luận
2.2.1.2. Ví dụ áp dụng:
Câu 1. Cho hàm số y  f  x  , bảng biến thiên của hàm số f '  x  như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  là
A. 9.
B. 3.
C. 7.
D. 5.
Học sinh thường gặp khó khăn khi giải bài tốn này là:
- Tìm y  .
- Xét số nghiệm phương trình y   0 và lí luận các nghiệm đôi một khác nhau.
7


Lời giải

Chọn C
Ta có y   2  x  1. f   x 2  2 x  .
x 1
y  0  
2
 f   x  2 x   0
x 1
x 1
 2
 2
x

2
x

a


;

1



 x  2 x  a  0, a   ;  1 (1)


  x 2  2 x  b   1;0    x 2  2 x  b  0, b   1;0  (2) .
 x 2  2 x  c   0;1
 x 2  2 x  c  0, c   0;1

(3)


 x 2  2 x  d  1;   
 x 2  2 x  d  0, d  1;    (4)


Phương trình (1) vơ nghiệm, các phương trình (2),(3),(4) đều có hai nghiệm phân
biệt khác 1 và do b, c, d đôi một khác nhau nên các nghiệm của phương trình
(2),(3),(4) cũng đơi một khác nhau. Do đó f   x 2  2 x   0 có 6 nghiệm phân biệt.
Vậy y   0 có 7 nghiệm phân biệt, do đó số điểm cực trị của hàm số
y  f  x 2  2 x  là 7.
Câu 2. Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f   x  như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  là

A. 5.

B. 9.

C. 7.

D. 3.

Lời giải
Chọn C

Có f  4 x 2  4 x    8 x  4  f   4 x 2  4 x  ,



 f 4x



2

 4x 





1

x

2
0
.
2
 f   4 x  4 x   0

8


4 x2
 2
4 x
Từ bảng biến thiên trên ta có f   4 x 2  4 x   0   2
4 x

4 x2


 4 x  a1   ; 1
 4 x  a2   1;0 
 4 x  a3   0;1

. (1)

 4 x  a4  1;  

Xét g  x   4 x 2  4 x , g   x   8 x  4 , g   x   0  x  

1
ta có bảng biến thiên
2

Kết hợp bảng biến thiên của g  x  và hệ (1) ta thấy:
Phương trình 4 x 2  4 x  a1   ; 1 vơ nghiệm.
1
Phương trình 4 x 2  4 x  a2   1;0  tìm được hai nghiệm phân biệt khác  .
2
2
Phương trình 4 x  4 x  a2   0;1 tìm được thêm hai nghiệm mới phân biệt khác
1
 .
2
Phương trình 4 x 2  4 x  a2  1;   tìm được thêm hai nghiệm phân biệt khác
1
 .

2
Vậy hàm số y  f  4 x 2  4 x  có tất cả 7 điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên R . Đồ thị hàm số y  f   x 

như hình vẽ bên. Hàm số y  f  x 2  4 x   x 2  4 x có bao nhiêu điểm cực trị
thuộc khoảng  5;1 ?

A. 5 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 3 .
9


Học sinh gặp khó khăn khi giải bài tốn này là :
- Tìm nghiệm y   0
- Cách chọn nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ.
Lời giải
Chọn A
Đặt g  x   f  x 2  4 x   x 2  4 x

 g   x    2 x  4  f   x 2  4 x    2 x  4    2 x  4   f   x 2  4 x   1 .
2x  4  0
 2
x  4 x  4
(1)

Ta có g   x   0   2
.
x  4x  0
(2)
 2
 x  4 x  a  1;5  (3)

Xét phương trình x 2  4 x  a  1;5  , ta có BBT của hàm số y  x 2  4 x trên

 5;1

như sau:

Suy ra (1) có nghiệm kép x  2 , (2) có 2 nghiệm phân biệt x  4; x  0 , (3) có 2
nghiệm phân biệt x  x1 ; x  x2 khác 2; 0;  4 . Do đó phương trình g   x   0 có 5
nghiệm trong đó có x  2 là nghiệm bội ba, các nghiệm
x  4; x  0 ; x  x1 ; x  x2 là các nghiệm đơn.
Vậy g  x  có 5 điểm cực trị.
Câu 4. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R , có đồ thị f   x  như hình vẽ.
y
y= f'(x)

O

2

x

Số điểm cực tiểu của hàm số g  x   f   x 2  x  là
A. 1 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .
10


Lời giải
Chọn A

Ta có g  x   f   x 2  x   g   x    2 x  1 f    x 2  x  .
 g   x   0   2 x  1 f    x 2  x   0
1

x


2
 2 x  1  0
 2

  x  x  0
2

f

x


x

0


 x2  x  2




1

x


2

 x  1 .
x  0



 2 x  1  0

  x2  x   0
f



Do đó g   x   0   2 x  1 f    x 2  x   0  

 2 x  1  0
 f   x2  x  0

  

1

1
x

 x  2

2

 
2

  x  x  2
 x  1
x  0
 2


     x  x  0    x  0   1
.

  x 1


2

1
1
  x 
 x 
2
2


 0   x 2  x  2
 0  x  1


Bảng biến thiên



x
g  x

1
2

0




0

0



1



0



g  x

Vậy hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 5. Cho hàm số y  f  x  có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm
liên tục trên R. Khi đó hàm số y  f  x 2  2 x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .

B. 8 .

C. 10 .

D. 7 .

Lời giải

11


Vì hàm số y  f  x  có đúng ba điểm cực trị là 2; 1;0 và có đạo hàm liên tục

trên R nên f   x   0 có ba nghiệm là 2; 1;0 (ba nghiệm bội lẻ).
Xét hàm số y  f  x 2  2 x  có y    2 x  2  . f   x 2  2 x  ;

x 1
x 1
 2
x  2 x  2
y  0   2 x  2. f  x 2  2 x  0  
 x  0 .

 x 2  2 x  1
 x  2
 2
x

2
x

0






Do y   0 có một nghiệm bội lẻ ( x  1 ) và hai nghiệm đơn ( x  0 ; x  2 ) nên hàm
số y  f  x 2  2 x  chỉ có ba điểm cực trị.
Câu 6: Cho hàm số đa thức bậc bốn y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số g  x    x3  x   f  x  1  là

2

A. 11.

B. 8.

C. 13.

D. 10.

Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta thấy rằng f ( x)  0 có 4 nghiệm phân biệt, gọi 4 nghiệm đó
lần lượt là x1 , x2 , x3 , x4 với x1  1  x2  0  x3  1  x4 . Khi đó:
g ( x)   x3  x   a  x  1  x1  x  1  x2   x  1  x3   x  1  x4   (với a  0 ).
2

Ta có g ( x)  0  x  0; 1; x1  1; x2  1; x3  1; x4  1 , trong đó

x1  1, x2  1, x3  1, x4  1 là các nghiệm kép. Ta có bảng biến thiên của g  x  như

sau:

Vậy g ( x) có 10 điểm cực trị.
12


Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y  f  x  là 2 ; 0 ; 2 ; a ; 6 với 4  a  6 .

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x 6  3 x 2  là
A. 8.

B. 11.

C. 9.

D. 7.

Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; a ; 6 là tất cả các nghiệm của f   x  .

Ta có: y   f  x 6  3 x 2    6 x5  6 x  f   x 6  3x 2 





 x  0, x  1
 x  0, x  1
 x  1
 6
2
x

3
x



2


5
6
2
 x  0, x   4 3

 6x  6x  0
x  3x  0
y'  0  
 6

6
2
x   2
 x  3x2  2
 f   x  3x   0

 6
2
x

3
x

a
 x   m, m  2

 x   n, n  m

 x6  3x2  6


Ta có bảng biến thiên của hàm số g  x   x 6  3 x 2

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g  x   x 6  3 x 2 , ta suy ra 1 là nghiệm kép
của phương trình x 6  3x 2  2 và 0 là nghiệm kép của phương trình x 6  3x 2  0
Do đó 1 và 0 là nghiệm kép của f   x 6  3 x 2  . Do vậy 1 và 0 là nghiệm bội ba
của y  .
13


Các nghiệm khác 1 và 0 của y  đều là nghiệm đơn.
Vậy hàm số đã cho có 11 cực trị.
Câu 8: Cho hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  e2 f ( x )1  5 f ( x ) .
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là :
Thiếu tỉnh táo trong việc lí luận xét dấu y’
(Dấu của ý chính là dấu của f   x  vì 2e 2 f ( x )1  5 f ( x ) ln 5  0, x )

D. 3 .

Lời giải
Chọn D
Ta có y  e2 f ( x )1  5 f ( x )
y   2 f   x  .e 2 f ( x )1  f   x  .5 f ( x ) ln 5  f   x   2e 2 f ( x )1  5 f ( x ) ln 5  .

Nhận xét: 2e 2 f ( x )1  5 f ( x ) ln 5  0, x làm cho f  x  xác định nên dấu của y  phụ
thuộc hoàn toàn vào f   x  .
Vì vậy, do f   x  đổi dấu 3 lần nên số điểm cực trị của hàm số y  e2 f ( x )1  5 f ( x )
là 3 .
Câu 9. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  trên khoảng  ;   . Đồ thị
của hàm số y  f  x  như hình vẽ

14


Đồ thị của hàm số y   f  x   có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?
2

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải:

Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên

 f  x  0
2
y   f  x    y  2 f  x . f   x   0  
.
 f   x   0
 x  x1

x  0
Quan sát đồ thị ta có f  x   0   x  1 và f   x   0   x  1 với x1   0;1 và

 x  x2
 x  3
x2  1;3 .

Suy ra
  f  x   0

 x   3;  
 f   x   0
y  0  

 x   0; x1   1; x2    3;  
x

0;
x

1;
x





f
x


0



1
2


 f  x  0
   

Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số y   f  x  

2

Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
15


Câu 10. Cho hàm số bậc bốn f  x  có bảng xét dấu như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g  x   x 4  f  x  1 là
2

A. 11 .
B. 9 .
C. 7 .
Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán này là :
- Xác định f '( x) .

D. 5 .

- Xác định nghiệm g '( x)  0
Lời giải
Chọn B
Ta chọn hàm f  x   5 x 4  10 x 2  3 .
Đạo hàm
g   x   4 x3  f  x  1   2 x 4 f  x  1 f   x  1
2

 2 x3 f  x  1  2 f  x  1  xf   x  1  .
x  0
 2 x 3 f  x  1  0

Ta có g   x   0  
  f  x  1  0
.
 2 f  x  1  xf   x  1  0
 2 f x  1  xf  x  1  0

 
 
 x  1  1,278
 x  1  0,606
4
+) f  x  1  0 *  5  x  1  10  x  1  3  0  
 x  1  0,606

 x  1  1, 278
 Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 .

t  x 1

+) 2 f  x  1  xf   x  1  0  2  5t 4  10t 2  3   t  1  20t 3  20t   0
t  1,199
t  0,731
4
3
2
 30t  20t  40t  20t  6  0  
t  0,218

t  1,045
16