Phần mềm plaxis ứng dụng vào tính toán các công trình thủy công

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÁY DỰNG

VIỆN CÀNG - KỸ THUẬT HÀNG HẢI
CK.0000068311
PGS. TS. Đỗ Văn Đệ (chủ biên)
KS. Nguyễn Ngọc Hưng, KS. Đỗ Tiến Dũng, KS. Vũ Minh Tuấn
KS. Nguyễn Sỹ Han, KS. Nguyễn Thành Thắng, KS. Nguyễn Hải Nam

Phấn mẽm

P lầxis
Ứ N G
C Á C

D Ụ ÍM G

C Ĩ N G

V À O

T ÍIM H T O Á N

T R ÌIM H T H Ủ Y

NGUYÊN
LIỆU

IỌ C

NHÀ XUÂT BAN XÂY DỰNG

C Ô N G



TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

VIỆN CẢNG - KỸ THUẬT HÀNG HẢI
PGS. TS. Đỗ Văn Đệ (chù biên)
KS. Nguyễn Ngọc Hưng, KS. Đỗ Tiến Dũng, KS. Vũ Minh Tuấn
KS. Nguyễn Sỹ Han, KS. Nguyễn Thành Thắng, KS. Nguyễn Hải Nam

Phần mềm

P làxis
ỨNG DỤNG VÀO TÍIMH TỐN

CÁC CƠIMG TRÌIMH THỦY CƠNG
(Tái bản)

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG
HÀ NỘI -2 0 1 3



LỜI NÓI ĐÀU

Phần mềm PLAXIS là một trong những phần mềm mạnh, được nhiều nước Ư
trên tlie giới sir dụng đê giãi quyết các bài tốn sau:
- Phân tích q trình thi cơng hổ đào•
- Phản tích q trình đào khi có neo•

- Phân tích biến dạng, chun vị cùa kết cấu đê ị
- Phản tích ơn định khối đắt dap có dao động mực mrớc•
- Phản tích lún cùa móng trịn trên nên cái')
- Phùn tích anh hưởng cùa lún đen cơng trình xây dựng trên mật đất khi đàu
dường hầm bên dirới hoặc cạnh cơng trình.
Ngoải ra phần mem PLAXIS cịn tị rõ thế mạnh trong tỉnh tốn biến dạng,
chuyên vị, nội lực, ứng suất, ôn định tricợt sâu tương tác giữa cơng trình với nền
đũi gia cường (bac thẩm, vài địa kỳ thuật, cọc, neo...) hoặc không gia cường (đát
tự nhiên).
Viện Cang - Kỳ thuật Hàng hài có bàn quyển phần mềm PLAX1S và được tập
thê cúc cán bộ khoa học cùa Viện dịch thuật, khai thác, chạy thử nghiệm cho các
cịng trình thực té với nhiều loại bài tốn phục vụ cho nhiều lĩnh vực: cơng trình
xây dựng, cơng trình giao thơng, cơng trình thủy, cơng trình biên, cơng trình them
lục địa...
Gan dây tập thẻ các cán bộ khoa học cùa Viện đã đầu tư đi sâu nghiên cứu,
khai thác các công, nủng mạnh cùa phần mềm PLAXIS đẽ tính tốn cho các cơng
trình thuỳ cơng, như: cơng trình bén càng (cầu tầu, tường cừ, tường chắn, thùng
chìm, khối xếp... ), Cơng trình xirớng đóng tầu (triển, đà, ụ tầu...), cơng trình đê,
kè... Chủng tơi đã tập trung đi sâu khai thác phần mem PLAX1S đế tính tốn cho
các cơng írình đê vây phục vụ cho xây dựng các cơng trình thuỳ cơng (ụ, triên, đà
lầu, đẽ chan sóng, trụ cầu, hổ móng, hồ chứa nước...), đặc biệt-là loại kết cầu
lường cừ đơn, cừ kép (có neo hoặc không neo), vật liệu thép hoặc bê tỏng cốt thép.
Cuốn sách lùiy chi tập trung trình bầy nlìững nét clìinlì về CƯ sờ lý thuyết.
Iiirớng (lân sử dụng vù dặc hiệt lí) chúng lói đà xây dựng các vi lỉụ mau diên hình
tren Iiẻn cua phàn mềm PLAXÍS đẽ áp (lụng tinh toán biến dạng, chuyên vị. nội lực.
ỉhiiỊ SIICÌỈ cho một sơ dụng cơn lí trình thuy công thông (lụng.
3


Cuốn sách này là tài liệu tham kháo tốt cho sinh viên, kỹ sư, học viên cao học.

nghiên cứu sinh các ngành cơng trình: Càng-Đường thúy, cơng trình thùy, cõng
trinh thềm lục địa, cõng trình xây dựng, cơng trình giao thông...
Nhằm hướng ứng cho ngày Ihànli lập Viện Cùng - Kỹ thuật Hùng hai. cuốn
sách này hoàn thành và ra mắt bạn đọc trong thời gian quá ngan, vì vậy khóng
tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tơi xin chăn thành cám ơn độc già đóng góp
ý kiến. Mọi thơng tin xin gứi tới PGS., TS Đo Văn Đệ - Viện truờng Viện Cáng Kỹ thuật Hàng Hai theo số ĐT: (04)8.691.459; DĐ: 0913.365.777.
E-mail: Website:

PGS. TS. Đỗ Văn Đệ

4


Chương 1

C ơ SỎ LÝ THUYÉT TRONG PHẦN MÈM PT AXIS

Trên cơ sớ các tài liệu của phần inẻm. chúng tôi đã tiên hành dịch thuật và biên soạn
lại những vân đê chinh. Trong chương này, chúng tôi m uôn giới thiệu tóm tãt cơ sở lý
thuyét cua cơ học đất và m ột số phương pháp sẽ được ứng dụng trong phần mềm Plaxis.
Nội dung chương này bao gồm m ột số các vấn đề sau: Lý thuyết biến dạng, lý thuyết
dòng cháy ngầm và lý thuyết cố kết. bơn cạnh đó là lý thuyết phần tử hữu hạn và các
quy tắc lấy tích phân cho cac loại phần tứ khác nhau. T rong phần phụ lục sẽ đưa ra sơ
đồ tinh toán chung cho bài toán biến dạng.
Bên cạnh các phương pháp chung mà ta có thề tìm thấy trong các tài liệu khác, phần
này sẽ giới thiệu thêm một số các phương pháp khác trong phân tích đất nền Đề tìm
hiêu các thơng tin chi tiết về ứng suất, biến dạng, sơ đồ kết cấu va các m ơ hình về nền
đất được su dụng trong chuơng trình Plaxis, người đọc có thể tra cúm trong tài liệu S o
lay các m â u vật liệu.
1.1. LÝ T H U Y Ế T BIÉN DẠNG

Trong phẩn này sẽ giới thiệu các phương trình cân bàng biến dạng cùa đất nền trên
cơ sa lý thuyết co học liên tục. Với giá thiết các biến dạng được xét tới là nhó. Lý
thuyềt cơ học liên tục được trình bày dưới dạng phương phảp phần tù hữu hạn.
1.1.1.

C ác p h ư ơ n g trìn h biến d ạ n g cơ b ả n của m ôi tru ò n g liên tục

Phương trình cơ bàn cùa phân tích biến dạng liên tục ở trạng thái tĩnb:
LTơ + p = 0

(1-1)

Các phương trình quan hệ của 6 thành phần ứng suất trong không gian gắn với
v ectơ ơ; 3 thành phần lực khối, gán với vectơ p. LT là m a trận chuyển vị cùa toán từ vi
phân, được định nghĩa như sau:
Õ
õx
0
0

0
õ
dy
0

0
0
õ
ỡi

õ
õy
õ
ÕK
0

0
õ

ô
õz
0

Õz
õ

õ

õy

ỡx
5


Ớ trạng thái cân bằng, mối liên hệ động học dược xác định theo phương trình:
g = Lu

(1-3)

Với 6 thành phần biến dạng, gẳn với vectơ e, là cơ sờ cùa 3 thành phân chuyến vị,

gan với vecto ỊỊ, được sử dụng đề định nghĩa toán tứ vi phân L. Mối quan hệ giữa đăng
thức (1-1) và (1-3) đươc tạo thành từ mối quan hệ cân bằng, thể hiện sự làm việc cùa vật
liệu. Có thế biếu thị m ột cách tổng quát thông qua hệ thức sau:
ớ -M é

(1-4)

K Ìt hợp 3 phương trinh (1-1), (1-3) và (1-4) ta sẽ đưa ra một phương trình sau:
JSuT Ị l t ơ + p ]dV = 0

(1-5)

Áp dụng định lý Green cho tích phân riêng phần trong phương trinh (1-5) đưa ra
được phương trình liên tục ở trạng thái cân bàng động:
J õ ẹ Tc d V = J õ u 1 p d v + | S u Ttd S

( 1-6 )

Với. t là vectơ phản lực tại các biên.
Sự phát triển của trạng thái ứng suất ơ được xấc định:
i ___i-l . _
ơ = g + Aơ
A ợ = Jcrd t

(

7)

VÓI. g ‘ - itạiig thái ứng suất thực chưa biết.
ơ 1' - trạng thái ứng suất ban đầu đã biết.

Aơ - số gia ứng suất (biến thiên ứng suất trong một đơn vị thời gian).
Phương trình (1-7) xác định ơ ' ờ bước tính tốn thứ i, thì ơ ''1 được xác địhli theo
phương trình:
Ị ỗ e 1AơdV = JS uTp'dV + J õ u r t'dS —|S ẹ Tơ " 'd V

(1-8)

Nên chú ỷ đến số lượng cùa tất cà các đại lượng xuất hiện trong phương trình từ
(1 -1) đến (1-8) được đặc trưng bởi các vị trí trong khơng gian 3 chiều.
1.1.2. Rịi rạc hố theo lưói p h ần tử hữu hạn
Theo phương pháp phần tử hữu hạn, một vật thể liên tục có thê được rời rạc thành
các phần tứ nhỏ hơn. Mỗi phần từ bao gồm m ột số nút. mỗi nút có số bậc tự do xác
định, thơng qua so bậc tự do cùa nút, xác định được điều kiện biên và có thế giài bài
'OUIÌ. Tlico lý thuyết về biến dạng, số bậc tự do tương ứng với các thành phần chuyển vị.

0


Trường chuyên vị cua một phần tứ u nhận được từ các giá trị riêng biệt trong vectơ V sứ
dụng hàm nội suy thê hiện trong ma trận N. khi đó:
u = Nv

(1-9)

Hàm nội suy trong n u trận N giống như một hàm hình úạng. Sự thav thê cùa phương
trình (1-9) trong mối quan hệ động học đưa ra:
Ẹ = LNv = Bv

(1-10)

Vứi B là ma trận nội suv cua biến dạng, bao gồm các (hành phần không gian cua hàm
nội suy. Pliưcmg trinh (1-9) và (1-10) có vai trỏ giống nhau. Phương trình (1-8) được
biến đồi thành phương trinh sau:
l(B ô v )' A gdV = j(N S y) p 'd v + IỊN S v ) t'dS —J(Bôvj ơ MdV

(1-11)

Chuyến vị riêng rẽ cùa các nút khi xét đến đầy đủ các yếu tố:
ổ v ' |B TAgdV = SvT |N TpiđV + SvT jN Tt id S - S v T j B T3 l''d V

(I 12)

Rút gọn cả hai vế cho 6v' được phương trinh (1-13):
| B rAơdV = |N Tp 'dV + | N r t 'd S - j B Tơ MdV

(1-13)

Phương trình trên chi tiết hoá điều kiện cân bằng trong các mẫu rời rạc. Sự chênh
lệch tíiữa vectơ ngoại lực và vectơ phàn lực được cân bằng bới số gia Aơ.
Mối quan hệ giữa ứng suất - biến dạng thường là mối quan hệ phi tuyến. Biến dạng
thường khơng tính tốn trực tiếp được, tuy nhiên phương pháp lặp có thế giài quyết
được bài tốn trên dựa vào phương trình cân bằng (1-13) cho n n i chất điểm. Phương
pháp lặp được trình bày chi tiết trong phần 1.1.4.
1.1.3. V ật liệu đàn hồi
Số aia ứng suất Aq thu được từ phương trinh (1-7) được viết lại như sau:
Aơ = D '-'(A ẹ-A ẹp]

(1-14)

Với Dc là ma trận đàn hồi cúa vật liệu, s ố gia biến dạng Agthu được từ số gia

chuyên vị Av sử dụng ma trận nội suy biến dạng B, giơng như phương trình (1-10).
Đồi với vật liệu đàn hồi, so gia biến dạng dẻo Aep bảng 0. Đối với vật liệu dẻo
Ác1’dược tinh như sau:
7


(1-15)

Agp = ầX

Với: AA. - số gia cùa hệ số déc;
co - tham số chi ra loại tích phân thời gian ((0 = 0 - tích phân hàm hiện;
0) = 1

tích phân hàm ẩn).

Vơi: Cú = 1. phưcmg trình (1-15) có thể rút gọn thành:

'M U

(1-16)

Thay biểu thức (1-16) vào phương trình (1-14) được:
q' =

- AXD' [ —

ì vói ơ 1, = g ‘_ l+ D eAg

(1-17)

Với: ơ" - véctơ ứng suất phụ, giống như ứng suất đàn hồi hoặc ứng suất thứ, là trạng
thái ứng suất mới khi coi vậl liệu hoàn toàn là vật liệu đàn hồi tuyến tính.
AẰ. - số gia cùa hệ số dẻo, có thể giải đuợc từ điều kiện m à trạng thái ứng suất
mới thoả mãn điều kiện chảy dẻo:
f ( ơ ') = 0

(1-18)

Đối với các mẫu có tính déo lý tường và tuyến tính, số gia cùa hệ so déo có thê viết
lại như sau:

&X--

tự )
d+h

Với:

(1-19)

(1-20)

Với: h - hệ số cứng, bằng 0 đối với các mẫu déo lý tưởng, không đổi khi mẫu déo có
tính độ cứng tuyến tinh. Trong các trường hợp sau trạng thái ứng suất mới có thể được
tính như sau:
( f ( 5 tr)>
1 ‘ ,| ^
ơ i = ơ , ----------LL
-D

d + h — ^ daJ
Dấu < > dược gợi là dấu vuông Mc Caulay, đuợc quy ươc như sau:
X

0 \ oi X < 0 và < x> = X với X > 0

(1-21)


1.1.4. Phưưng p h áp tín h lập
Mối quan hệ giữa sự gia tàng ứng suất và sự gia tăng biến dạng trong phương trình
(1-13), A ơ = MAẹ được biến đối lại như sau:

K V = fé > -fín ~ '

(1-22)

Với: K - ma trận độ cứng;
Av - số gia véctơ chuyển vị;
fj.x - véctơ ngoại lực;
f j~'- véctơ phàn lực;
i - thứ tự bước lặp.
Tuy nhiên quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ phi tuyến, ma trận độ cứng
khơng thề tìm ra một cách chính xác. Do đó, chu trinh lặp tồng qt phải thoà mặn cả
điều kiện cân bằng và quan hệ về cấu tạo. Chu trình lặp tồng quát được viết như sau:
K V

= & -£ £ '

(1-23)

Với: j - số vòng lặp
Chuyến vị cùa bước thứ i:
n
j
A v '= £ 5 v
j=i

(1-24)

ôv - sồ gia cùa chuyến vị
Ma trận độ cứng K được sử dụng trong phương trình (1-23) thể hiện một cách gần
đúng tính chất cùa vật liệu. Đe chính xác hơn m a trận độ cứng, một vài bước lặp đòi hòi
đạt được trạng thái cân bàng trong phạm vi dung sai cho phép.
Dạng đơn giản nhất cùa K trong trường hợp đáp ứng điều kiện của vật liệu đàn hồi
tuyến tinh. Trong trường hợp đó, ma trận độ cứng có thể được tính như sau:
K = jB TD 'B

dv

(1-25)

với: De - ma trận của vật liệu đàn hồi tuân theo Định luật Hooke.
B - ma trận nôi suy của biến dạng.
Sứ dụng ma trận độ cứng cùa vật liệu đàn hồi nham vòng lặp đù dài trong khi độ
cứng cùa vật liệu khơng tăng, thậm chí khi sử dụng cà các mô hinh không liên kết dèo.
9


Đối với các vật liệu đàn hồi tuyến tính, như mô hinh M ohr-Coulom b, việc sử dụng ma

trận độ cứng đặc biệt thuận tiện, tuy nhiên cần phải được phân tích trước bưcc tính tốn
đầu tiên. Các bước tính toán được tồng kết trong phụ lục A.
1.2. LÝ T H U Y Ế T DÒNG CH Ả Y NGẦM
Trong chương này chúng ta sẽ xem xét lý thuyết về dịng chày ngâm được sử dụng
trorm Plaxis. Trong mơ tá chung về dịng chày ngầm, đề giái bài tốn này chúng la cùng
sư dụng phương pháp phần từ hữu hạn.
1 .2 .1 .1’hương trìn h cơ bán của dịng cháy ổn định
Dịng chảy trong một lỗ nhỏ trung bình có Ihể được diẻn tả bời Định luật Darcy. Xét
dòng cháy trong mật phăng thẳng đứng x-O-y theo phương trình đươc áp dụng dưới đây:

q"

-_L , Ể*
dx

5

0 - 26)

q> = - k' g
Với: q - lưu lượng dòng chảy;
k - hệ số thấm;
<ị>- gradient cột nước.
4> được định nghĩa như sau: Các phương trình biểu thị rằng lưu lượng đặc irưng
thuộc

vào tính thấm k

q, phụ

và độ dốc của áp lựcnước ngâm . T rong đó, (Ị)được xác đinh

như sau:
<t>= y - ^ Yw

(1-27)

Với: y - toạ độ trên trục tung.
p - áp lực chất lóng (chủ động hoặc bị động).
- trọng lượng riêng cùa chất lỏng.
Đối với dịng chảy trong mơi trường liên tục ta có:
*
ổx

^

õy

=0

(1-28)

Phưcmg trình trên biếu thị khịng có m ạng lưới dịng chảy vào hay dịng chảy ra
Irong một diện tích cơ bản. như m inh hoạ trong hình 1.1.
10


Hình 1.1: Minh hoạ diêu kiện liên tục
1.2.2. 1’hưo'ng p h áp phần tử hữu hạn giải bài tốn dịng chày ngầm
Cột nước ngầm tại bất cứ vị trí nào trong phạm vi phần tứ cũng có thế được quy về

nút cùa phần từ:


(1-29)

trong đó: N - véctơ với hàm nội suy;
ị và T| - toạ độ địa phương phẩn tử.
Theo phương trình (1-26) thì lưu lượng dịng được tính dựa trên gradient của cột
nước ngầm, nó có thế được xác định thơng qua ma trận B . Dịng chày trong đất bão hồ
(dưới mực nước ngầm) cũng như dịng chày trong đất chưa bão hồ (trên mực nước
ngầm) phái nhàn với một hệ số suy giảm Kr tuân theo Định luật Darcy:
qx = - K rk x ^

2

(1-30)

q y = - K rk y £

dy

K' có giá trị bằng 1 phía dưới mực nước ngầm và có giá tri thấp hom ở phía trên mực
1 JỚC ngâm (áp lực lỗ rỗng k é o ) . Trong vùng chuyển tiếp phía trên mực nước ngẩm, giá

crị trên

Sỉiam

xuống tối thiểu bằng 10'4 .

K r = 1 0 -4h/hk

Hav:

10 ]og(Kr) = - —
hk

1CT4 < K ' < 1

(1-31)
(1-32)

Với: h - chiếu cao cột nước tĩnh;
lu, - chiều cao cột nước tĩnh tại điểm có hệ số suy giám đạt giá trị min bằng 1 0 4


Trong Plaxis, h|( có giá trị mặc định bằng 0,7m (độc lập với cách chọn độ dài đơn vị).
Trong phương trình số, lưu lượng dịng chảy q được viết như sau:
q = - K r RB(ị>c

(1-33)
■
kx 0

V

R =
o

.V

1

0,8

0,6

0,4

i
>>

•

1,2

0,2

0

Wh„
Hình 1.2: Diều chinh cùa hệ so thấm giữa vùng bão hoà (a) và khơng bão hồ (h)
Từ lưu lượng đặc trưng trong các điểm lấy tích phân q , lưu lượng nút Qe có thể dược
tính như sau:
Q ' = - | B TqdV
trong đó: B r - chuyên vị cùa ma trận B.

12

(1-35)

-

Trên bề m ặt rời rạc hoá thành các phần tử, lưu lượng được xác định theo công

Ihức sau:
Q e = K Ỵ với K e = |K r BTRBdV

(1-36)

- Trên một mặt phắng cầu, lưu lượng dược xác định theo cơng thức sau:
Q = K ị_

(1-37)

trong đó: K là m a trận toàn bộ lưu lượngj
Q bao gồm lưu lượng quy định được đưa ra bời các điều kiện biên.
Trong trường hợp mà mực nước ngẩm không biết, một sự chu trình Picard được sử
dụng đế giái hệ thống các phương trình lặp. Tập hợp tuyến tính được giải và chu trình
lặp có thê được phương trình hố như sau:
K H 5(ị>J
;
ị j = ộ j- '+ S ộ j

(1-38)

Với: j- chi số lặp;
r - véctơ không cân bàng.
M ỗi lần lặp cùa cột nước ngầm được tính tốn dựa trên sự m ất cân bằng của dòng

chảy tại nút và các thành phần thêm vào cột nước hoạt động.
T ừ sự phân bố mới cùa cột nước ngầm, lưu lượng mới của dịng chảy được tính tốn
phù hợp với phưcmg trình 1-35. Chu trình được tính tốn cho tới khi đạt được các chỉ
tiêu của điều kiện m ất cân bằng, ví dụ như độ sai số dịng chảy tại nút nhò hơn sai số
dòng chày cho phép.
1.2.3. Dòng chảy tro n g bé m ặt các p h ần tử
Bể m ặt các phẩn tử được xem xét đặc biệt trong tính tốn mực nước ngầm. Các phần
tử có thê xuất hiện hoặc khơng xuất hiện. Khi các phần từ được tắt, đó là tập hợp đầy đù
các cấp áp lực lỗ rỗng của sự tự do. Khi bề m ặt các phần tử được bật lên, khi đó khơng
có dịng chảy từ phía này cùa bề mặt phẩn tử đến m ột phía khác.
1.3. LÝ T H U Y É T C Ỏ K É T
Trong phần này chúng ta sẽ xem xét lại lý thuyết cố kết được sử dụng trong Plaxis.
Lý thuyết cố kết được đề cập đến là lý thuyết cố kết cùa Biot, và tiêu điểm vẫn là áp
dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn (của vật liệu đàn dẻo).

13


1.3.1. C ác phucrng trìn h cơ băn của lý th u y ết cố kết
Các phương trình về cố kết được sử dụng trong Plaxis dựa trên lý thuyết của Biot
(Biot, 1956). Định luật Darcy cho dòng chày lòng và vật liệu đàn hồi được giả thiết cho
đất nền. Các phương trình được thiết lập trên giả thiết biến dạng nhỏ. Theo nguyên lý
cùa Terzaghi, ứng suất được chia thành ứng suất hữu hiệu và áp lực nước lỗ rỗng:
ợ = ơ '+ m ( p steady+ p cxccss)
Với:

5 = (ơ xxơ yyơ Z2ơ )lyơ y2ơ zx)T và

m = (1 1 1 0 0 0)1

(1-39)
(1-40)

trong đó:
ơ - véctơ ứng suất tồng;
ơ ' - ứng suất hữu hiệu;
Pexcess - áp lực dư lỗ rỗng;
m - véctơ đơn vị cùa thành phần ứng suất pháp;
số hạng 0 là thành phần ứng suất cắt.
Lời giải cho điều kiện ổn định khi kết thúc quá trình cố kết là Pstcady- T rong Plaxis,
Psteady được định nghĩa như sau:
Psteady —s ^vveight —Pinput

0 "4 1 )

Với: p mpul - áp lực nước lỗ rỗng tổng trong đầu vào của chương trình dựa trên mực
nước ngầm hoặc tính tốn dịng chày ngầm.
Chú ý: trong phạm vi của Plaxis, ứng suất nén được xem là bị động, được áp dụng
cho ứng suất hữu hiệu cũng như đối với áp lực nước lỗ rỗng.
Các phương trình cơ bàn được viết dưới dạng gia tăng. K.ý hiệu ứng suất hữu hiệu
gia tăng là ớ[ và biến dạng gia tăng là

Với:

, phương trinh cân bằng là:

ớ ' = MẾ

(1-42)

Ế = (éxxÉyyszzỶzyỲyzỶzJ 1

(>-43)

trong đó: M - m a trận độ cứng của vật liệu.
1.3.2. Phirong p h á p p h ần tử h ữ u hạn giải bài toán cố kết
C ũng áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng ta sử dụng các ký hiệu
chung sau:
14


u = Nv

P = ỊÌP n

Ẹ = Bv

(1-44)

trong đó:
V - véctơ chuyển vị nút.
-

véctơ áp lực nước lỗ rỗng hữu hiệu,

u - véctơ chuyền vị cùa môi trường Hên tục trong phạm vi phần từ.
p - áp lực nước lỗ rỗng (hữu hiệu).
N - ma trận hàm nội suy.
B - ma trận nội suy biến dạng.
Một cách tông quát, hàm nội suy chuyển vị có thế khác so với hàm nội suy áp lực

nước lỗ rỗng. Tuy nhiên trong Plaxis, 2 hàm trên được sừ dụng giống nhau.
Xuất phát từ phương trình cân bằng và áp dụng cho phần từ hữu hạn tương ứng ở
trên, chúng ta được:

Với:

|B TdợdV = |N Td fd V + j N TdtdS + r0

(1-45)

r0 = jN Tf 0dV + |N Tt0dS- JgTơ0dV

(1-46)

Irong đó:
f - lực khối tương ứng với trọng luợng bàn thân;
t - lực căng bề mặt.
Nhìn chung, véctơ lực dư r0 bằng 0, tuy nhiên đối với trường hợp tài đầu tiên có thể
khơng như vậy. B ằng cách thêm những véctơ lực dư, q trinh tính tốn sẽ tự điều
chình. Ký hiệu dV chi ra tích phân lấy trên thể tích cùa vật thể và dS chỉ ra tích
phân mặt.
Chia ứng suất tổng thành áp lực nước lỗ rỗng và ứng suất hữu hiệu và đưa vào quan
hệ cơ bản, ta được phương trình cân bàng tại nút:
Kdv + Ldp = d f„

(1-47)

trong đó:
K - ma trận độ cứng;
L - ma trận liên kết;

dfn - vi phân véctơ tài trọng.
15


K = J b ' MBdV
(1-48)

L = Ị b T m NdV
d f„ = | N Td fd V + | N TdtdS
Bài tốn dịng chảy, chấp nhận phương trình liên tục dưới dạng:
V TRV (ywy - p slead - p )
1 de
n Àp .
— —-------------------------------------------------------— -------m = 0

(1-49)

Với: R - m a trận độ thấm:

„

R=

kx 0
x
0 ky

(1-50)

trong đó:

n - độ rỗng;
K w - m ôđun biến dạng khối của chất lỏng trong lỗ rỗng;
y w - trọng lượng riêng của chất lỏng.
Phương trình liên tục trên bao gồm dấu hiệu cân bằng m à Psteađy yà p được xét đến là
lực kéo duơng.
Trạng thái ồn định được định nghĩa bằng phương trình sau:
^ ^ (Y ^ y -P s tc a d ỵ )

_0

(1-51)

Yw
Phương trình liên tục đưa ra có dạng:

Á p dụng phương pháp phần từ hữu hạn sử dụng chu trình G alerkin và thêm vào điều
kiện biên chúng ta được:
(1-53)

-H p + L t

Với:

H=

Í(V N )t RVN
dv
Yw

S=

N TNdV

trong đó: q - tương ứng với dịng chảy xác định ra ngoài biên.
16

(1-54)


Trong thực tế. mơđun biến dạng thể tích cùa nước rất cao và khả năng nén được cùa
nước có thể bó qua trong khi so sánh với đất nền.
Trong Plaxis, môđun biến dạng cùa chất lỏng trong lỗ rỗng được đưa ra m ột cách tự
động theo phương trinh sau:

3(vu- v )
n

( l - 2 v j ( l + v)

y

(1-55)

skdc,°"

Với: vu nhận giá trị mặc định bằng 0,495.
Giá trị cỏ thể được sứa trong dữ liệu đầu vào cùa chương trinh dựa trên hệ số
Skempton B. Đối với các vật liệu khô và các vật liệu vừa được chuyển, m ơđun biến
dạng cùa chất lịng trong lỗ rỗng có thề bị qua.
Phương trình cân bằng và phương trinh liên tục có thể được rút gọn trong phương

trinh ma trận:

K

L

dv
dĩ

ơ

-s

dp

—11

. dt .

'0 0 ' V \ èĩ-"]
+ dt
0 H _Bn J
.s , .

(1-56)

Từng bước đơn giàn cùa chu trình lặp được sừ dụng để giải phương trinh. Sứ dụng
ký hiệu A ký hiệu cho số gia hữu hạn và được viết dưới dạng m a trận:

-s*

o

Với:

Av '

o

lt

l

1
c
0.1
<

'K

'v 0

0 AtH .En».

S* = cxAtH + S

+

‘ A fn '
(1-57)

At9n_
(1-58)

% = q„o + « Aq„

trong đó:
V, và p - các giả tri ban đầu.
u
—no
a - hệ số thời gian của tích phân.
Tơng qt: a nhận giá trị 0 và 1, trong Plaxis sử dụng a = 1.
1.3.3. S ự cố kết của v ậ t liệu đ à n dẻo
Một cách tống quát, đoi với các vật liệu khơng tuyến tính được sử dụng, phép lặp cần
phái đạt tới kết quá chính xác. Phương trinh cân bằng (1-47) được viết lại như sau:
K5v + L5pn = r „

(1-59)

Với' r„ - véctơ lực dư chung.
17


Tông gia tăng chuyến vị Av bàng tống cùa các số gia ÔV tù tất cà các lần lặp trong
chuồi các bước lặp:
ĩn = j N T£dV+ |
Với:

n

' td S - |

b

' ơdV

f = f 0 + A f và t = t0 + A t

(1-60)
(1-61)

Trong lần lặp đầu tiên, chú ý rằng ơ = ơ , ( ơ 0ứng suất ban đầu cùa bước lặp). Các
bước lặp kế tiếp sứ dụng chuỗi các ứng suất được tính tốn từ các mơ hình cân bang
tương ứng.
1.4. LẬ P CƠ N G T H Ứ C C H O C Á C PHÂN T Ử
Trong phần này m ô tả các hàm nội suy cùa phần từ hữu hạn sứ dụng trong Plaxis.
Mỗi phần tử bao gồm m ột số các nút. Mỗi nút có m ột bậc tụ do xác định tương ứng
với c á t giá trị biên chưa biết cùa bài toan. Trong lý thuyét chuyên vị. so bậc tự do
lương ưng với các thànli phần chuyến vị, trong trường hợp d ón g cháy ngâm , số bậc tự

do chinh là cột nirớc ngầm Trong bài toán co kết. bậc tự do là cá các thành phần
chuyên vị và áp lực nước lỗ rồng (dư). Sau đây sẽ trinh bày m ột số hàm nội suy sú
dụng trong Plaxis.
1.4.1.

H àm nội suy của p h ần tứ tuyến tính

Trong phạm vi cúa một phần tứ, trirờng chuyển vị U = (u x Uy)1 thu được từ việc rời

lạc hoá nút Irong véctơ

V

=

(V |

v ? ...v n) r được sử dụng trong hàm nội suy tương ứng với

ma trận N:
U= Nv

(1-62)

Do dỏ, hàm nội suy N được sứ dụng cho các giá trị nội suy bên trong phần tứ cơ bán
dà biết ơ các nút. Hàm nội suy cũng thể hiện hàm hinh dạng.
Đầu tiên hãy xét tới các phần tứ tuyến tính. Phần tứ luyến tính là dạng chuấn cùa
phần tử cơ bán và có tải trọng phân bố. Tại hệ toạ độ địa phương ị cúa 1 điếm (thường
là ứng suất điếm hoặc tích phân điểm ) đà biết, có thể viết ra được các thành phn
chuyn v u:
ô*(Đ) = N i(4 )v
i=l

trorm ú:
V,

tr s tại nút

Nj( ị ) - giá trị hàm hình dáng của nút i tại vị trí 4 .
u(¿) - giá tr kt qu ti v tri ầ .

18

ã 1T5

(1-63)


n - số nút cua mỗi phần tử.
Trong hình sau đưa ra ví dụ cùa một phần tử tuyến tính với 3 nút, tương ứng với
phần tứ tam giác 6 nút trong Plaxis, mỗi mặt có 3 nút. Hàm hinh dáng Nj có đặc tính là
bàng I tại nút i và bàng 0 tại các nút khac. Đối với các phần từ tuyến tinh 3 nút. núl 1.2
và 3 lần lượt có các toạ độ địa phương tương ứng là § = -1 ,0 và 1, hàm hình dáng được
dưa ra là:
N,
N j = ( 1 - s x i + S)

(1-64)

N 3 = ^ (1 + 4)4

ị
Hìnli 1.4: Hàm hình dáng cùa phần tứ luyến tinh 5 nút ■

19


Khi sir dụng 15 nút tam giác, có 5 nút ở mồi mặt. Đối vói phần từ tuyến tính 5 nút,
toạ độ nút từ 1 dến 5 tương ứng la ị = -1, - —, 0, — và 1, chúng ta có:
N ,= -(l-^ )(l-2 ^ (-l-2 £ )/6
N 2 = 4(1 - 4)(1 - 2 4 )4 (-l - £,) / 3

N] = ( \ - ị ) ( \ - 2 ị ) ( - \ - 2 ị ) ( - \ - ị )

(1-65)

N4 = 4 ( l- ^ ( l- 2 4 ) ( - l - 4 ) /3
N5 = ( l- 2 4 ) 4 ( l - 2 4 ) ( - l- ^ ) /6
1.4.2. H àm nội suy cho p h ần tử tam giác
Đối với phần từ tam giác có 2 toạ độ địa phương ( 4 và TI ). Thêm đó chúng ta có thế
sứ dụng 1 toạ độ bổ sung Ç = l - Ç -T Ị. Đối với phần tử tam giác có 15 nút, các hàm
hình dáng có thế viết như sau vsơ nút địa phương giống như được chi ra trên hinh 1.5):
N! = Ç(4Ç- l)(4 < ;-2 )(4 Ç -3 )/6
N2=

- 1)(4Ç - 2)(4Ç - 3)/6

Nj = n(4ri - l)(4r| - 2)(4ri - 3)/6
N4 = 4 ¿ 3 ( 4 4 - l ) ( 4 ¡ i - l )

N5= 4 Ç n (4 ầ -l)(4 ii-l)
N6 = 4 ợi C ( 4 ợ l- l ) ( 4 ầ - l)
N7 = Ç 4 (4 Ç -l)(4 Ç -2 )* 8 /3
N 8 = ¿ £ (4 4 -l)( 4 ¡;-2 )* 8 /3
N , - n 4 ( 4 4 - l)(4 ¡;-2 )* 8 /3
N , o = ^ ( 4 t 1 - l ) ( 4 ri- 2 ) * 8 /3
N |,= ầtợ(4 ti

1)(4r| - 2)*8/3

N|2 = T|Ç(4Ç - 1)(4Ç - 2)*8 ‘Ĩ

N |, = 3 2 1 ^ 4 ’,

1)

N .4 -3 2 n K (4 4 -l)
N,5 = 3 2 r i ^ ( 4 r i - 1 )
20

(1-66)


Hìnlí 1.5: sổ toạ độ địa phương và vị trí cùa các núi
Giống như vậy, phần tử 6 nút có hàm hình dáng sau:
N | = Ç(2Ç-1)
N j = 4 (24-1)
N 3= r|(2 r|-l)

(1-67)

N4= 4 %
n

5 = 4Çri

N 6= 4 n ỗ
1.4.3. T ớch p h õn s c a p h ầ n tử tuyến tinh
{ F ( Ç ) d ^ X F ( 4 ,) w ,
ị=-l
i=l

( 1-6 8 )

trong đó:
F( ị ) - giá trị cùa hàm F tại vị trí Çj.
Wi - hệ số khối lượng tại điểm i.

k - tổng m ẫu điềm được sử dụng.
Hai phương pháp thường được sừ dụng trong Plaxis, đầu tiên là tích phân NewtonC'otes cho điểm ịị được chọn tại vị trí cùa nút; thứ 2 là tích phân Gauss cho số điểm ít
hơn tại một số vị tri đặc biệt có thể đạt được độ chính xác cao Vị tríhệ số khối lượng
cùa hai loại tích phân trên được đưa ra tương

ứng trong bảng 1.1 và 1.2. Chú ý ràng

sau

khi cộng tất cá các hệ số khối lượng bàng 2.
21


B ảng 1.1: Tích phân Newton-Cotes
Wj

Ị»
2 nút

± 1

1

3 nút

± 1 ,0

1/3, 4/3

4 nút

± 1, ± 1/3

1/4, 3/4

5 nút

± 1, ± 1/2,0

7/45,32/45, 12/45
B ảng 1.2. Tích phân Gauss
w,

Si
1 điểm

0,0000000...

2

2 điểm

±0,577350...(±1 / n/3 )

1

3 điểm

± 0,774596...(± V Õ 6 )

0,55555...(5/9)
0,88888...(8/9)

0,000000...
4 điểm

5 điềm

0,347854...

±0,861136...
±0,339981...

0,652145...

±0,906179...

0,236926...

±0,538469...

0,478628...

0,0000000...

0,568888...

1.4.4. T ích p h ân số cho p h ầ n tử tam giác
Đối với phần tử tuyến tính, phương trinh tích phân số áp dụng như sau:
|jF (4 ,ì1)dệdr1* t F ( 4 i>i1i)w i
i=l

(1-69)

Plaxis sừ dụng tích phân Gauss cho các phần từ tam giác. Cho các phần từ 6 nút, tích
phân lấy cho 3 m ẫu điểm. Còn đối với với phần từ 15 nút sừ dụng 12 mẫu điểm. Vị trí
và hệ số khối lượng của tích phân điểm được đưa ra trong bàng 1.3 và 1.4. Chú ý rằng
trái với phần từ tuyến tính, tổng hệ số khối lượng bằng 1.
B ảng 1.3: Ba điểm tích phân của phần tử 6 nút
Điếm
1,2 và 3

22

Ç.

Hi

Ç,

Wj

1/6

1/6

2/3

1/3


điềm tích phân cùa phần tử

B à n g 1 .4 : 12

Điểm

15

nút
Wj

n,

Si

1,2 và 3

0,063089...

0,063089...

0,873821...

0,050845...

4 .6

0,249286...

0,249286...

0,501426...

0,116786...

7..12

0,310352...

0,053145...

0,636502...

0,082851...

1.4.5. Đạo hàm cùa hàm hình dáng
u câu tính tốn thành phân biên dạng Đê các từ chun vị, giơng như trong
phương trình (1-10), đạo hàm tính tốn theo hệ toạ độ chính (x, y, z).
■B V.

(1-70)

Với:

ỔN,
ổx

ỔN ị

0

B =

0

õy

0

0

ỔN,

ỔN,

õỳ

ổx
ỔN,

0

ỡz

dN ;
5z

0

0
0
ỔN;
õz

(1-71)

0
3Nj
õy
ỔN ị
õx

Trong phạm vi cúa phần tử, đạo hàm tính tốn theo hệ toạ độ địa phương (

T|, q ),

mối quan hệ giữa đạo hàm theo hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ chính thơng qua ma
trận Jacobian J:
ỔN,

Õx

õy

ổz

'S N j'

ỔN,

SẸ,

dị

õị

ỗti

ổx

9x

3Nj

ổx

õy

õz

5N,

ỡr|

dì]

ÕTỊ

Ỡr|

ày

ày

ỔN,

Õx

õy

ổz

ÕN,

ỔN,

ỡq

ổ?_

dĩ.

5z

õ
.

= ỉ

õN ị

(1-72)

23