Nâng cao chất lượng dạy dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ”

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG
CAO CHẤT LƯỢNG DẠY DẠNG
TOÁN “CHUYỂN ĐỘNG CỦA
HAI KIM ĐỒNG HỒ”


MỤC LỤC
NỘI DUNG TRANG

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
5. Phạm vi, giới hạn nghiên cứu
6. Phương pháp nghiên cứu
II. NỘI DUNG THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

CHƯƠNG I: Nghiên cứu thực trạng của việc dạy và học dạng

toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ”

1. Mục đích- đối tượng – kết quả điều tra
2. Nghiên cứu thực trạng việc dạy và học dạng toán “Chuyển động
của hai kim đồng hồ”

2.1. Về chương trình, sách giáo khoa
2.2. Về tài liệu tham khảo
2.3.Về giáo viên
2.4. Về học sinh
2.5. Về thực tế cuộc sống
CHƯƠNG II: Các giải pháp dạy dạng toán “Chuyển động của hai
kim đồng hồ”

1.Giải pháp 1: Củng cố các công thức của dạng toán “Chuyển động
cùng chiều đuổi nhau”

2 . Giải pháp 2:Hướng dẫn học sinh tìm hiểu vận tốc, hiệu vận tốc của
hai kim

3 . Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh xác định khoảng cách ban đầu
giữa kim phút và kim giờ

4 . Giải pháp 4: Xây dựng kiến thức mới trên nền kiến thức cũ; biến
đổi dạng lạ thành dạng quen; Dựa vào kiến thức đơn giản để hình



thành kiến thức nâng cao.
5 . Giải pháp 5: Dựa vào kiến thức đơn giản để hình thành kiến thức

nâng cao.

CHƯƠNG III: Phân dạng các bài toán chuyển động của hai kim
đồng hồ

DẠNG 1: Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ chập nhau (
trùng nhau)

DẠNG 2: Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ tạo với nhau
một góc vuông

TRƯỜNG HỢP 1: Kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ
TRƯỜNG HỢP 2: Kim phút chuyển động không phải vượt qua kim
giờ

DẠNG 3: Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ tạo với nhau
một đường thẳng

TRƯỜNG HỢP 1: Kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ
TRƯỜNG HỢP 2: Kim phút chuyển động không phải vượt qua kim
giờ

DẠNG 4: Hai kim chuyển động đổi chỗ cho nhau
III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
VI. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ
V. ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
VI. KIẾN NGHỊ - ĐỀ XUẤT
VII. KẾT LUẬN CHUNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO

ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Trong công cuộc đổi mới kinh tế xã hội đang diễn ra từng ngày, từng giờ
trên khắp đất nước. Nó đòi hỏi phải có những lớp người lao động mới có bản lĩnh,
có năng lực, chủ động, sáng tạo, dám nghĩ, dám làm thích ứng được với thực tiễn
đời sống xã hội luôn phát triển. Nhu cầu này làm cho mục tiêu Giáo dục đào tạo
phải được điều chỉnh một cách thích hợp dẫn đến sự thay đổi tất yếu về nội dung
và phương pháp dạy học.
Ở bậc Tiểu học môn toán có vai trò đặc biệt quan trọng cùng với các môn
học khác nó góp phần tích cực vào việc hình thành và phát triển tư duy của người
học, đồng thời môn toán còn góp phần vào việc thực hiện mục tiêu giáo dục, đào
tạo thế hệ trẻ. Ở nhà trường tiểu học, việc dạy học toán cho học sinh tạo năng lực
cho các em sử dụng toán trong học tập và trong cuộc sống hàng ngày. Thông qua
việc học toán ở nhà trường đã rèn cho các em năng lực tư duy, phát triển trí thông
minh, kĩ năng tính toán. Chính vì thế, môn Toán luôn được chú trọng và được dành
một thời lượng rất lớn trong việc giảng dạy Giáo dục phổ thông. Theo yêu cầu của
Bộ giáo dục và Đào tạo về đổi mới nội dung và phương pháp dạy học ở Tiểu học,
ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy học để học sinh nắm được kiến thức chuẩn
thì tùy vào năng lực của học sinh, giáo viên cần phải phát triển, khai thác, mở rộng
thêm kiến thức một cách phù hợp để đáp ứng nhu cầu học tập của các em.

Hơn nữa, bậc tiểu học là bậc quan trọng, nó đặt nền móng cho việc hình
thành nhân cách ở học sinh, trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa học ban đầu
về tự nhiên và xã hội, phát triển các năng lực nhận thức, trang bị các phương pháp
và kĩ năng ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn, bồi dưỡng và
phát huy các tình cảm, thói quen và đức tính tốt đẹp của con người Việt Nam.
Chính vì vậy mà bậc tiểu học được coi là " nền móng vững chắc của toà nhà phổ
thông".
Trong đó, môn học toán lớp 5 góp phần không nhỏ để tạo nên cái gọi là "
nền móng " đó. Học sinh học tốt môn toán lớp 5 sẽ tạo điều kiện thuận lợi để phát
triển năng lực học toán ở các lớp tiếp theo. Và để đem lại thành công trong dạy học
toán là rất khó đối với giáo viên vì phải biết lựa chọn các phương pháp và hình
thức tổ chức dạy học dựa trên đặc điểm tâm lý của các em. Ở học sinh lớp 5, kiến
thức toán đối với các em không còn mới lạ, khả năng nhận thức của các em đã
được hình thành và phát triển ở các lớp trước, tư duy đã bắt đầu có chiều hướng
bền vững và đang ở giai đoạn phát triển. Vốn sống, vốn hiểu biết thực tế đã bước
đầu có những tích lũy nhất định.
Trong những năm vừa qua, thực hiện nhiệm vụ năm học, Ban giám hiệu nhà
trường đã phân công việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu nói chung và học sinh
năng khiếu Toán nói riêng cho các giáo viên chủ nhiệm. Tuy nhiên khi thành lập


đội tuyển học sinh thi Violimpic Toán các cấp thì tôi là người trực tiếp phụ trách
công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán. Tôi nhận thấy rằng chương trình
Toán 5 có nhiều mảng, nhiều dạng toán phong phú, đa dạng, trong đó dạng toán về
“Chuyển động của hai kim đồng hồ” là dạng khó. Nhưng đây là những bài toán rất
lí thú, cần cho học sinh tiếp cận để mở mang kiến thức, rèn luyện tư duy và khả
năng nhanh nhạy cho các em khi học Toán. Xuất phát từ vấn đề đó tôi đã lựa chọn
và nghiên cứu tìm ra những giải pháp tốt nhất để giúp học sinh học tốt dạng toán
này.
2. CƠ SỞ THỰC TIỄN.

Dạng toán “ Chuyển động đều” là một dạng toán khó ở trong chương trình
môn Toán lớp 5. “Chuyển động đều” là dạng toán liên quan đến 3 đại lượng vận
tốc, thời gian và quãng đường. Để giải được dạng toán này đòi hỏi học sinh phải
huy động tối đa các kiến thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân
tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa.
Thực trạng dạy và học toán “ Chuyển động đều” mà trong đó có dạng toán
“Chuyển động của hai kim đồng hồ” thường gây khó khăn cho học sinh, các em
còn lúng túng khi gặp phải dạng bài này. Bên cạnh đó các em chưa tạo cho mình
được thói quen tự học, việc học và trình bày bài học đôi lúc còn tỏ ra cẩu thả thiếu
khoa học, phụ thuộc vào trực quan, sự phát triển về tư duy trừu tượng còn ít, học
sinh rất nhanh quên, sự chú ý mang tính chưa bền vững, bị phân tán. Và các em
thường nắm bắt kiến thức một cách máy móc. Đồng thời các em đều chưa biết
cách học, còn phụ thuộc phần lớn vào giáo viên.
Đối với dạng toán “ Chuyển động của hai kim đồng hồ” là một dạng toán
khó mà loại bài tập này không có trong chương trình sách giáo khoa, lại ít xuất
hiện trong tài liệu kể cả tài liệu tham khảo nên khi gặp phải dạng bài tập này đa số
giáo viên cảm thấy khó. Trong chương trình Violympic giải toán qua mạng
Internet do BGD&ĐT tổ chức thì đa số giáo viên gặp khó khăn trong việc hướng
dẫn học sinh giải dạng toán “ Chuyển động của hai kim đồng hồ ” .
Để góp phần đổi mới phương pháp bồi dưỡng học sinh năng khiếu trên cơ sở
kiến thức chuẩn theo chương trình, hình thành và phát triển những kiến thức nâng
cao một cách phù hợp với nhận thức của học sinh. Dạng toán “Chuyển động của
hai kim đồng hồ” luôn là nỗi trăn trở với tôi, những mong góp phần tham gia giúp
các em học sinh học tốt môn toán nói chung và toán chuyển động nói riêng.

3. KẾT LUẬN CHUNG.
Môn Toán với tư cách là một môn học tự nhiên nghiên cứu một số mặt của
thế giới hiện thực, nó chiếm một thời lượng khá lớn trong quá trình học tập của
học sinh. Khả năng giáo dục của môn Toán khá lớn, nó phát triển tư duy lô gíc,
hình thành và phát triển các thao tác trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh, chứng
minh, trừu tượng hóa, khái quát hóa là môn học cần thiết để học tập các môn học
khác và đặc biệt nó được áp dụng trong đời sống hàng ngày của con người.
Dạy học toán nói chung, dạy học toán chuyển động nói riêng giúp rèn luyện
cho học sinh trí thông minh, nhanh nhẹn, kích thích suy nghĩ sáng tạo, phát huy
sáng kiến, bộc lộ tài năng cá nhân, rèn luyện tính mạnh dạn, tự tin trong cuộc sống.
Qua đó tạo cho các em lòng say mê tìm tói, nghiên cứu trong học tập, thích khám
phá, rèn luyện cho học sinh trở thành những người chủ động, sáng tạo.
Kì thi giải Toán Violimpic qua mạng Internet đã và đang được học sinh cả
nước hưởng ứng mạnh mẽ. Trong quá trình tự luyện cũng như ở vòng thi các cấp
nhất là ở một số vòng cuối, học sinh Tiểu học nói chung và học sinh lớp 5 nói
riêng gặp không ít khó khăn về cách giải một số dạng Toán. Trong đó các bài toán
về chuyển động của hai kim đồng hồ xuất hiện khá nhiều ở những vòng cuối làm
cho học sinh loay hoay và cần sự trợ giúp của người lớn. Khi gặp những bài toán
này các em thực sự lúng túng, hay nhầm lẫn, tốn nhiều thời gian làm ảnh hưởng
đến kết quả chung của cả vòng thi.
Mặc dù trong chương trình và sách giáo khoa Toán 5 không có bài tập nào
liên quan đến chuyển động của hai kim đồng hồ nhưng để phát triển và nâng cao trí
tuệ cho học sinh nhất là những học sinh có năng khiếu về môn Toán thì nhiệm vụ
của người giáo viên bồi dưỡng là phải biết phát huy hết khả năng tiềm ẩn của các
em.
Để nâng cao năng lực giải toán ở tiểu học nói chung và dạng toán chuyển
động cùng chiều thuộc “Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” nói

riêng cho giáo viên và học sinh trong nhà trường tôi đã chọn đề tài “Một số giải
pháp nâng cao chất lượng dạy dạng toán : Chuyển động của hai kim đồng hồ”
để nghiên cứu.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Xây dựng và áp dụng các giải pháp dạy dạng toán “Chuyển động của hai
kim đồng hồ” cho học sinh giỏi Toán lớp 5, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của
việc dạy và học môn Toán.
III. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
1. Khách thể nghiên cứu:
- Học sinh giỏi Toán lớp 5, Giáo viên dạy lớp 5 Trường Tiểu học Trần Cao.


2. Đối tượng nghiên cứu:
- Các giải pháp nâng cao chất lượng dạy dạng toán “Chuyển động của hai kim
đồng hồ”.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1. Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn về các giải pháp dạy dạng toán
“Chuyển động của hai kim đồng hồ”
2. Nghiên cứu thực trạng về việc dạy giải toán chuyển động ở lớp 5 nói
chung và dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” nói riêng.
3. Tìm hiểu, phân dạng các bài toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ”
4. Tìm hiểu những kĩ năng cơ bản cần trang bị để phục vụ việc giải toán
“Chuyển động của hai kim đồng hồ” cho học sinh lớp 5.
5. Đề xuất giải pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng dạy dạng toán
“Chuyển động của hai kim đồng hồ” ở lớp 5.
V. PHẠM VI, GIỚI HẠN NGHIÊN CỨU:
1. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là cách xây dựng và áp dụng các giải pháp
dạy dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” của học sinh lớp 5 và giáo viên
dạy lớp 5 ở trường Tiểu học Trần Cao - huyện Phù Cừ.

2. Giới hạn nghiên cứu của đề tài là một số giải pháp dạy dạng toán “Chuyển
động của hai kim đồng hồ” nhằm nâng cao chất lượng dạy giải toán cho học sinh ở
lớp 5.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu, giáo trình có liên quan
đến các vấn đề cần nghiên cứu. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập và các tài
liệu khác.
2. Phương pháp điều tra:
- Trao đổi với giáo viên về những khó khăn, thuận lợi khi dạy giải toán
chuyển động, đặc biệt dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ”
- Tiếp cận, trò chuyện với học sinh về những hứng thú, khó khăn khi học giải
toán chuyển động, đặc biệt dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ”
- Dự giờ để đánh giá thực trạng việc dạy và học giải toán giải toán chuyển
động, đặc biệt dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” để đề xuất giải pháp
khắc phục.
3. Phương pháp thực nghiệm: Để kiểm tra tính khả thi của những vấn đề
đã được nghiên cứu.
4. Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm.


5. Phương pháp thống kê toán học: Thu thập, xử lí, đánh giá số liệu

NỘI DUNG THỰC HIỆN

CHƯƠNG 1
NGHIÊN CỨU THỰC TRẠNG CỦA VIỆC DẠY VÀ HỌC
DẠNG TOÁN “CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI KIM ĐỒNG HỒ”

1. MỤC ĐÍCH – ĐỐI TƯỢNG – KẾT QỦA NGHIÊN CỨU
1.1. Mục đích điều tra:

Mục đích điều tra của tôi là tìm hiểu thực trạng về việc dạy và học toán
chuyển động, đặc biệt là dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” của giáo
viên và học sinh, để từ đó đưa ra một số giải pháp dạy nhằm nâng cao chất lượng
dạy dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” ở lớp 5.

1.2. Đối tượng điều tra:
Đối tượng điều tra của tôi trong đề tài này là phương pháp dạy dạng toán
“Chuyển động của hai kim đồng hồ” của giáo viên đang dạy lớp 5 và cách giải
toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” của học sinh giỏi lớp 5 trường Tiểu học
Trần Cao, huyện Phù Cừ, tỉnh Hưng Yên.

1.3. Kết quả điều tra thực trạng:

Tôi đã làm một đợt khảo sát chất lượng hai nhóm học sinh giỏi của hai lớp:
Lớp thực nghiệm (Lớp 5A) và lớp đối chứng (Lớp 5B) để đánh giá chất
lượng ban đầu của hai nhóm học sinh ở hai lớp này làm cơ sở để khảo sát thực
nghiệm của đề tài.
Nội dung khảo sát nhằm đánh giá kĩ năng vận dụng các kiến thức, kĩ năng
giải toán chuyển động, kĩ năng giải dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ”
đi từ mức độ đơn giản đến phức tạp, từ việc áp dụng giải các bài toán khi các dữ
kiện được biết một cách tường minh đến các bài toán đòi hỏi sự tổng hợp kiến thức
để giải quyết các mối quan hệ giữa các dữ kiện đã cho trong bài.
Kết quả khảo sát chất lượng của hai nhóm học sinh giỏi ở 2 lớp 5A và 5B
trường Tiểu học Trần Cao như sau:





Líp

Số
HSG
dự K/S

Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm dưới 5
SL % SL % SL % SL %
Líp thùc
nghiÖm
15 3 20 7 46.7 3 20 2 13.3
Líp ®èi
chøng
15 2 13.3 8 53.3 4 26.7 1 6.7

Biểu đồ: So sánh kết quả thực nghiệm và đối chứng.















Qua kết quả khảo sát thì thấy rằng chất lượng của hai nhóm học sinh này là

tương đương, sự chênh lệch giữa trình độ của hai nhóm là không đáng kể, các em
đều có kĩ năng giải toán, vận dụng kiến thức đã học vào thực tế bài toán tương đối
đồng đều.




0
1
2
3
4
5
6
7
8
Giái Kh¸ TB YÕu
TN
§C


2. NGHIÊN CỨU THỰC TRẠNG VIỆC DẠY VÀ HỌC GIẢI TOÁN “CHUYỂN
ĐỘNG CỦA HAI KIM ĐỒNG HỒ” CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
Qua tìm hiểu chương trình và sách giáo khoa, qua nghiên cứu thực tế và bồi
dưỡng học sinh có năng khiếu về môn Toán lớp 5 của trường Tiểu học Trần Cao
tôi thấy rằng:
1. Về chương trình, sách giáo khoa:
Trong chương trình Toán 5 phần Toán chuyển động được dạy trong 9 Tiết.
Trong đó dạng toán Hai chuyển động cùng chiều được dạy trong 1 tiết luyện tập và
trong tiết đó chỉ có 2 bài tập ở dạng chuyển động cùng chiều. ở phần ôn tập cuối

năm có một số bài nữa được lồng trong các tiết ôn luyện về giải toán.
“ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ ” là một dạng toán thuộc các
bài toán “ Hai động tử chuyển động cùng chiều ” nhưng chuyển động của kim giờ
và kim phút trên mặt đồng hồ không được đưa vào giảng dạy trong sách giáo khoa
Toán 5.
2. Về tài liệu tham khảo:
Ở các dạng toán khác, tài liệu nâng cao để giáo viên và học sinh tham khảo khá
phong phú, nhưng các bài toán về “Chuyển động của hai kim đồng hồ” lại ít được
chú đến. Qua nghiên cứu nhiều tài liệu tôi thấy rằng trong cuốn sách “Chuyên đề
số đo thời gian và chuyển động” của tác giả Phạm Đình Thực cho đến nay là cuốn
duy nhất có chuyên đề dành riêng cho phần “Các bài toán về kim đồng hồ”. Nhưng
trong phần này cũng chỉ có 1 bài mẫu liên quan đến sự chuyển động của các kim
và 4 bài luyện tập không cùng dạng với bài mẫu. Ngoài ra còn cuốn Toán nâng cao
lớp 5 – Tập 2 của Vũ Dương Thụy, Đỗ Trung Hiệu có một số bài nữa. Còn các
cuốn sách tham khảo khác hầu như không đề cập đến. Như vậy nguồn kiến thức để
giáo viên tham khảo quá nghèo nàn.
3. Về giáo viên :
- Chất lượng của đội ngũ giáo viên ngày càng được nâng cao do được đào tạo
cơ bản và chất lượng “đầu vào” được chú ý hơn. Do tác động của xã hội nói chung
và yêu cầu của giáo dục ngày nay nói riêng nên đòi hỏi nhà giáo phải vươn lên
không ngừng, vì vậy chất lượng của đội ngũ ngày càng được cải thiện rõ nét.
- Còn hiện tượng giáo viên chưa thực sự hiểu rõ học sinh muốn học cái gì,
người thầy muốn học sinh mình phải biết vững cái gì nên dẫn đến học sinh hiểu
vấn đề một cách hời hợt, rất khó cho các em học sinh giỏi khi tiếp cận các bài toán
nâng cao. GV phải là người tìm ra con đường dạy – học: thoải mái cho HS nhưng
cũng đảm bảo sự truyền thụ và tiếp thu của GV - HS.
- Một số giáo viên còn xem nhẹ việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Không ít giáo viên trong các nhà trường nói chung và trong trường Tiểu học nói
riêng còn có suy nghĩ rằng việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi là công việc
của cán bộ quản lý và của một vài giáo viên mà quên đi đó là trách nhiệm của tất

cả mọi giáo viên, của tất cả mọi người chứ không phải của riêng ai.


- Vẫn còn không ít giáo viên thiếu sự nghiên cứu, sáng tạo trong hoạt động dạy
và học, còn hạn chế trong việc tổ chức các phương pháp dạy học mới, thiếu sự linh
hoạt trong việc kế thừa kiến thức cũ để dạy kiến thức mới hay “đưa lạ về quen”.
- Vì chủ quan có những lúc GV đã làm một cách máy móc, sử dụng phương
pháp không đạt hiệu quả làm ảnh hưởng đến khả năng sáng tạo của học sinh.
- Qua thực tế bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu về môn Toán tôi
thấy rằng đa số giáo viên còn lúng túng khi hướng dẫn học sinh giải dạng toán
“Chuyển động của hai kim đồng hồ”. Các bước giải trong tài liệu tham khảo còn
chưa cụ thể, quá dài nên khi giáo viên tham khảo để hướng dẫn học sinh còn gây
sự khó hiểu cho các em; một số giáo viên còn không hiểu bản chất của bài toán.
3. Về học sinh :
- Ở Tiểu học, một bộ phận các em còn thụ động, chủ yếu là nghe giảng, ghi nhớ
và làm theo bài mẫu. Chính vì vậy mà kiến thức của các em còn mang tính hời hợt,
nhớ không lâu, thiếu sự linh hoạt, sáng tạo và khả năng phân tích của các em còn
hạn chế. Từ những bài toán quen thuộc mà các em đã học ít khi được các em vận
dụng để giải quyết các bài toán lạ thuộc dạng “đưa lạ về quen”.
- “Chuyển động của hai kim đồng hồ” là dạng toán khó, trừu tượng với tư duy
của học sinh Tiểu học nên khi gặp những bài toán này các em thường không nhận
diện được các bài toán đã cho thuộc dạng toán nào trong mảng toán chuyển động
đều. Cachs hiểu vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ còn mơ hồ. Lúng
túng trong việc xác định khoảng cách ban đầu giữa hai kim. Nhầm lẫn cách tính
thời gian giữa các dạng bài và các bài trong cùng dạng (Hai kim chuyển động để
trùng khít lên nhau; để tạo với nhau một góc vuông; tạo với nhau thành một đường
thẳng…)
- Đối với các bài toán “Chuyển động đều” liên quan đến 3 đại lượng gây không
ít khó khăn cho một số đông học sinh vì đây là dạng toán khó trong chương trình
Tiểu học. Đặc biệt, đối với dạng toán “chuyển động cùng chiều” liên quan đến hai

kim trên mặt đồng hồ quả thực là khó đối với học sinh vì chuyển động của chúng
là chuyển động trên vòng tròn. Các em khó xác định được vị trí và quy luật của hai
kim đồng hồ là kim phút và kim giờ. Các em còn khó xác định đâu là thời gian,
đâu là thời điểm. Khả năng tưởng tượng của các em còn hạn chế nên việc tìm ra
khoảng cách giữa hai kim trong một thời điểm còn mơ hồ.
4. Về thực tế cuộc sống:
“ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” là những bài toán thực tế
mà chúng ta gặp trong cuộc sống hàng ngày. Những bài toán đó hiện nay vẫn còn
xa lạ với nhiều người như:
Minh học bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Minh học xong thì đã 9 giờ. Hỏi trong
thời gian đó kim phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?
Những bài toán như thế nếu biết được phương pháp giải thì không khó nhưng
quả thực hiện nay còn quá khó đối với học sinh.




CHƯƠNG 2
CÁC GIẢI PHÁP DẠY DẠNG TOÁN “CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI KIM
ĐỒNG HỒ”


I.GIẢI PHÁP I: CỦNG CỐ CÁC CÔNG THỨC CỦA DẠNG TOÁN “CHUYỂN
ĐỘNG CÙNG CHIỀU ĐUỔI NHAU”
Dạng toán “Chuyển động của hai kim đồng hồ” thực chất là dạng toán chuyển
động đều và chuyển động cùng chiều mà vận tốc của mỗi kim không hề thay đổi;
song nó rất trừu tượng đối với học sinh Tiểu học, bởi các em vẫn thường quen với
chuyển động trên một quãng đường thẳng. Để giúp các em hiểu và giải được dạng
toán này một cách dễ dàng trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm vững công
thức tính của dạng toán Chuyển động cùng chiều. Dạng toán chuyển động cùng

chiều đã được học trong chương trình sách giáo khoa thông qua tiết luyện tập. Để
học sinh nắm bắt một cách dễ dàng, thành thạo cách giải dạng toán “Chuyển động
của hai kim đồng hồ” thì một việc không thể thiếu là học sinh phải nắm chắc công
thức tính của hai chuyển động cùng chiều.
Với dạng toán “Hai chuyển động cùng chiều đuổi nhau” có vận tốc là v
1
và v
2

(v
1
> v
2
) trên một quãng đường cách nhau một khoảng cách để đuổi kịp nhau thì:

Thời gian đuổi kịp nhau (t) = Khoảng cách ban đầu (KCBĐ) :
Hiệu vận tốc (v
1
– v
2
)

Từ công thức trên các em dễ dàng suy ra được hai công thức tiếp theo:

Khoảng cách ban đầu (KCBĐ) = Hiệu vận tốc (v
1
– v
2
) x
Thời gian đuổi kịp nhau (t)

Hiệu vận tốc (v
1
– v
2
) = Kho
ảng cách ban đầu (KCBĐ) :
Thời gian đuổi kịp nhau (t)

II.GIẢI PHÁP II: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HIỂU VẬN TỐC, HIỆU
VẬN TỐC CỦA HAI KIM ĐỒNG HỒ

Thông thường các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ chỉ liên quan đến
quan hệ chuyển động giữa kim phút và kim giờ. Để học sinh hiểu tường minh vấn
đề của bài toán thì cần hướng dẫn học sinh xác định vận tốc của kim phút, kim giờ


và hiệu vận tốc giữa hai kim. Để lamg được điều này tôi hướng dẫn học sinh qua
các bước sau:
Bước 1: Vẽ một hình tròn tượng trưng cho bề mặt của đồng hồ:


12
1
1
1
2
3
1

0
9
5
8
4
7
6


Bước 2: Hướng dẫn tìm hiểu về vận tốc và hiệu vận tốc của hai kim đồng hồ
- Chia đường tròn bao quanh mặt đồng hồ thành 12 phần bằng nhau như hình vẽ.
- Giáo viên nêu câu hỏi dẫn dắt để học sinh tìm hiểu:
+ Trong một giờ, kim giờ di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu phần
của vòng đồng hồ?
( Một giờ, kim giờ di chuyển từ một vạch này đến một vạch tiếp theo
1 giờ, Kim giờ đi được đoạn đường bằng
12
1
vòng đồng hồ)
+ Trong một giờ, kim phút đi được đoạn đường nào?
( 1 giờ, kim phút quay đúng 1 vòng trên bề mặt đồng hồ
1 giờ, Kim phút đi được đoạn đường bằng
12
12
vòng đồng hồ)
+ Trong một giờ, kim phút đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu phần của
vòng đồng hồ?
( 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là: 1 –
12
1

=
12
12
(vòng đồng hồ)
1 giờ, Kim phút đi hơn kim giờ đoạn đường bằng
12
11
vòng đồng hồ)
Bước 3: Kết luận
Từ những nhận xét trên giáo viên hướng dẫn học sinh đưa ra kết luận sau
- Vận tốc của kim giờ là
12
1
vòng đồng hồ/giờ
- Vận tốc của kim phút là
12
12
vòng đồng hồ/giờ (hay 1 vòng đồng hồ/giờ)
- Hiệu vận tốc của hai kim là
12
11
vòng đồng hồ/giờ


Với đồng hồ “chạy chuẩn” thì tốc độ của kim giờ, kim phút là không thay
đổi nên vận tốc của kim giờ, kim phút và hiệu vận tốc của hai kim là những đại
lượng không thay đổi. Giáo viên cần lưu y học sinh nắm chắc kiến thức này để áp
dụng giải toán.

III.GIẢI PHÁP III: HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH

BAN ĐẦU GIỮA KIM PHÚT VÀ KIM GIỜ.

Hiểu được vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim giờ và kim phút; nắm vững cách
xác định khoảng cách ban đầu (KCBĐ) của hai kim sẽ trợ giúp đắc lực cho các em
trong quá trình giải các bài toán về “chuyển động của hai kim đồng hồ”. Vì vậy hai
bước này cần tách riêng, hướng dẫn học sinh thật kĩ trước khi cho học sinh làm
những bài toán cụ thể.
Trong đồng hồ cả hai kim chuyển động cùng chiều xoay vòng trên đường
khép kín, nhưng vì kim phút có vận tốc lớn hơn kim giờ nên ta coi như kim phút
chuyển động để đuổi theo kim giờ. Vì thế KCBĐ của hai kim luôn tính từ vị trí
kim phút đến vị trí kim giờ theo chiều quay của kim đồng hồ.
* Giáo viên cho học sinh quan sát một số trường hợp sau:


12
1
1
1
2
3
1
0
9
5
8
4
7
6

12

1
1
1
2
3
1
0
9
5
8
4
7
6

12
1
1
1
2
3
1
0
9
5
8
4
7
6

Hình 1 Hình 2 Hình 3

- Ở hình 1: Đồng hồ chỉ lúc 2 giờ đúng. Lúc đó kim phút chỉ số 12, kim giờ
ở vị trí số 2. Vậy khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là 2/12 (hay 1/6)
vòng đồng hồ.
- Ở hình 2: Đồng hồ chỉ lúc 8 giờ đúng. Lúc đó kim phút chỉ số 12, kim giờ
ở vị trí số 8. Vậy khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là 8/12 (hay 2/3)
vòng đồng hồ.
- Ở hình 3: Đồng hồ chỉ lúc 12 giờ đúng. Lúc đó kim phút chỉ số 12, kim
giờ cũng ở vị trí số 12. Vậy khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là 0/12
(hay 0) vòng đồng hồ.

IV.GIẢI PHÁP IV: XÂY DỰNG KIẾN THỨC MỚI TRÊN NỀN KIẾN THỨC
CŨ; BIẾN ĐỔI DẠNG LẠ THÀNH DẠNG QUEN; DỰA VÀO KIẾN THỨC
ĐƠN GIẢN ĐỂ HÌNH THÀNH KIẾN THỨC NÂNG CAO.



Trên cơ sở kiến thức đã học trong sách giáo khoa Toán 5, tôi đã hình thành
đưa các bài ở dạng mới, dạng lạ trở về các bài toán điển hình quen thuộc. Cụ thể:
Ví dụ 1:
Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/giờ. Sau 3 giờ một xe
máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 36km/giờ. Hỏi kể từ lúc xe máy bắt đầu đi,
sau bao lâu xe máy đuổi kịp xe đạp ?
( SGK Toán 5 –Trang 146 )
Đây là bài toán thuộc dạng toán “ Hai động tử chuyển động cùng chiều”
với vận tốc V1, V2 (V2 > V1) trên một quảng đường để đuổi kịp nhau thì :
Thời gian đuổi kịp nhau ( t ) bằng khoảng cách ban đầu chia cho hiệu vận
tốc (V2 – V1)
Trong ví dụ trên ta có thể giải như sau :

Bài giải Nhận xét

- Quãng đường xe đạp đi trước xe máy trong 3
giờ là :
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy gần xe đạp là :
36 – 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi kịp xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ )
= 1 giờ 30 phút
Đáp số: 1 giờ 30 phút
- Quãng đường đi trước.(Khoảng
cách ban đầu)


- Hiệu vận tốc .


- Thời gian đuổi kịp nhau .
Vận dụng vào bài toán đơn giản đó, tôi đã khai thác để dạy học sinh áp dụng
để giải “ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ ” khá xa lạ đối với học
sinh và một bộ phận giáo viên. Khi gặp “Các bài toán chuyển động của hai kim
đồng hồ”, các em không biết phân tích vì khó hình dung ra vị trí của hai kim trên
mặt đồng hồ và quá trình chuyển động của chúng. Để khắc phục điều này, chúng
tôi đã thực hiện qui trình dạy như sau :
Sau khi học xong bài toán thông thường nói trên, chúng tôi đã đưa ra “Các
bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ” cụ thể là :
Bài toán 1:
Hiện nay là 5 giờ đúng. Hỏi kim phút sẽ đuổi kịp kim giờ sau ít nhất bao lâu
thời gian nữa?

Phân tích
* Giáo viên cho học sinh quan hình vẽ, hướng dẫn học sinh đưa ra nhận xét:


3
12
1
1
1
2
3
1
0
9
5
8
4
7
6

Lúc 5 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 5 => kim phút cách kim giờ
12
5

vòng đồng hồ.

Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau. Đến
lúc đó, kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đường đúng bằng khoảng cách
giữa hai kim đồng hồ lúc 5 giờ đúng, nghĩa là bằng
12
5
vòng đồng hồ.
Mà cứ mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được
12
1

vòng đồng hồ nên trong một giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ 1 -
12
1
=
12
11
vòng
đồng hồ.
Như vậy đây là chính là dạng bài toán “ Hai động tử chuyển động cùng
chiều đuổi nhau” có khoảng cách ban đầu là
12
5
vòng đồng hồ và hiệu hai vận tốc
là
12
11
vòng đồng hồ.
Bài toán được so sách với ví dụ và giải như sau:
Ví dụ Bài toán 1 Nhận xét
- Quảng đường xe đạp đi

trước xe máy trong 3 giờ là:
12 x 3 = ( 36 km )


- Trung bình mỗi giờ xe
máy gần xe đạp là :
36 – 12 = 24 ( km )



- Thời gian để xe máy đuổi
- Lúc 5 giờ, kim phút chỉ số 12,
kim giờ chỉ số 5 => kim phút cách
kim giờ
12
5
vòng đồng hồ.


- Mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng
đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được
12
1
vòng đồng hồ => hiệu vận tốc
của hai kim là:
1 -
12
1
=
12

11
(vòng đồng hồ).
*Quãng đường
đi trước.
(khoảng cách
ban đầu)

* Hiệu vận tốc








kịp xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ )
1,5 giờ = 1 giờ 30 phút
Đáp số: 1 giờ 30 phút

- Kể từ lúc 5 giờ, thời gian để kim
phút đuổi kịp kim giờ là:
12
5
:
12
11
=
11

5
(giờ)
Đáp số:
11
5
giờ
*Thời gian
đuổi kịp nhau .
Qua việc đối chiếu cách giải hai bài toán trên, học sinh đã biết cách giải bài
toán khi bài toán cho trước thời điểm và yêu cầu tìm thời gian chập (trùng khít )
lên nhau bằng cách lấy: Khoảng cách giữa hai kim (tại thời điểm đó) chia cho
hiệu vận tốc của hai kim
Như vậy từ cách giải của một bài toán quen thuộc các em có thể suy ra được
cách giải của một bài toán tưởng như trừu tượng, phức tạp với các em.
Với phương pháp này thì từ các bài toán đơn giản thông thường học sinh có
thể vận dụng để giải các bài toán nâng cao của dạng toán vẫn được coi là trừu
tượng. Tôi thiết nghĩ rằng nếu khi dạy dạng toán này chúng ta không bám chắc vào
các kiến thức học sinh đã học để nâng cao dần cho học sinh mà đột ngột đưa ra bài
toán như bài toán 1 thì chắc hẳn các em sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Nhưng với giải
pháp này thì học sinh lại tiếp cận với toán nâng cao một cách rất dễ dàng.

V.GIẢI PHÁP V: HÌNH THÀNH CHO CÁC EM KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
THÔNG QUA CÁC BƯỚC GIẢI TOÁN.
1. Cách tính thời gian gần nhất để hai kim đồng hồ chồng khít lên nhau
(trùng nhau):
Qua cách giải của Bài toán 1 và bài toán 2 ở trên ta nhận thấy rất rõ các bước
giải của dạng toán Hai kim đồng hồ chuyển động chồng khít lên nhau. Có thể khái
quát thành các bước giải sau:
Bước 1: Tìm quãng đường kim giờ đi trước kim phút (Hay còn gọi là
Khoảng cách ban đầu)

Bước 2: Tính hiệu vận tốc giữa hai kim (Luôn không thay đổi là
12
11
(vòng
đồng hồ).
Bước 3: Tìm thời gian kim phút đuổi kịp kim giờ.
Thời gian đuổi kịp nhau = Khoảng cách ban đầu : Hiệu vận tốc

Bước 4: Tìm thời điểm hai kim đuổi kịp nhau ( Nếu bài toán yêu cầu)
2. Cách tính thời gian gần nhất để hai kim đồng hồ tạo với nhau một góc
vuông hoặc thẳng hàng nhau:
Khi hai kim chuyển động trên mặt đồng hồ, giữa hai kim sẽ tạo ra các góc
khác nhau. “Khoảng cách đi trước” được tính như thế nào khi giữa kim phút và
kim giờ tạo ra các góc đó? Thời gian ngắn nhất tại một thời điểm cho trước để đến


lúc chúng tạo ra các góc là bao nhiêu? Tôi đã hướng dẫn học sinh giải các bài tập
loại này thông qua các trường hợp đặc biệt khi hai kim tạo ra góc vuông, góc bẹt
(thẳng hàng) mà các em được học ở chương trình Tiểu học.
2.1. HAI KIM VUÔNG GÓC:
Bài toán 2:
Bây giờ là 12 giờ trưa. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu lâu nữa thì kim giờ và kim
phút sẽ vuông góc với nhau ?
Phân tích:
* GV vẽ hình, cho học sinh quan sát, nhận xét:

12
1
1
1

2
3
1
0
9
5
8
4
7
6

- Lúc 12 giờ đúng, hai kim đồng hồ chập khít lên nhau và cùng chỉ số 12
- Để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau thì kim phút và kim giờ phải cách nhau
một khoảng là
12
3
vòng đồng hồ. ( Hay
4
1
vòng đồng hồ). Như vậy để hai kim
vuông góc với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ một quãng đường bằng
tổng khoảng cách ban đầu và khoảng cách để hai kim tạo ra một góc vuông.
Các bước Bài giải Nhận xét
Bước 1



Bước 2

Bước 3


- Lúc 12 giờ đúng, hai kim đồng hồ chập khít lên
nhau và cùng chỉ số 12. => Khoảng cách ban đầu
của hai kim là 0.

- Để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau thì kim
phút và kim giờ phải cách nhau một khoảng là
12
3
vòng đồng hồ.
Như vậy, từ lúc 12 giờ đến khi hai kim vuông góc
với nhau thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ là :
0 +
12
3
=
12
3
(vòng đồng hồ)

- Mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn
kim giờ chỉ đi được

12
1
vòng đồng hồ => hiệu vận
tốc của hai kim là:
*Quãng đường
đi trước
(khoảng cách
ban đầu).




*Quãng đường
kim phút đi
nhiều hơn kim
giờ.


* Hiệu vận tốc






Bước 4
1 -
12
1
=

12
11
(vòng đồng hồ).
- Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để kim phút và kim
giờ vuông góc với nhau là:

12
3
:
12
11
=
11
3
(giờ)
Đáp số :
11
3
giờ

*Thời gian hai
kim tạo với
nhau một góc
vuông.

2.2. HAI KIM THẲNG HÀNG:
Bài toán 3: Bây giờ là 3 giờ. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim đồng hồ thẳng
hàng với nhau là bao nhiêu ?
Phân tích:
* GV vẽ hình, cho học sinh quan sát, nhận xét:

12
1
1
1
2
3
1
0
9
5
8
4
7
6

- Để hai kim đồng hồ thẳng hàng nhau thì kim phút và kim giờ phải cách nhau một
khoảng là
12
6
vòng đồng hồ.
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3. => Khoảng cách ban đầu giữa
kim phút và kim giờ
12
3
vòng đồng hồ .
- Sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ (trùng với kim giờ ), để hai kim thẳng hàng
với nhau thì kim phút phải đi vượt kim giờ
12

6
vòng đồng hồ nữa .
Như vậy để hai kim thẳng hàng nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ một
quãng đường bằng tổng khoảng cách ban đầu và khoảng cách để hai kim thẳng
hàng nhau.

Các bước Bài giải Nhận xét
- Bước 1


- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3.
=> Khoảng cách ban đầu giữa hai kim là
12
3
vòng
đồng hồ .
*Quãng đường
đi trước (khoảng
cách ban đầu).



- Bước 2

- Bước 3




- Bước 4
- Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim thẳng
hàng với nhau thì kim phút phải đi vượt kim giờ
12
6
vòng đồng hồ nữa .
Như vậy , kể từ lúc 3 giờ , tới lúc hai kim thẳng
hàng với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim
giờ:

12
3
+
12
6
=
12
9
(vòng đồng hồ)
- Mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn
kim giờ chỉ đi được
12
1
vòng đồng hồ => hiệu vận
tốc của hai kim là:

1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ).

Từ lúc 3 giờ , thời gian ngắn nhất để hai kim thẳng
hàng với nhau là :

12
9
:
12
11
=
11
9
(giờ )
Đáp số :
11
9
(giờ )




*Quãng đường
kim phút đi

nhiều hơn kim
giờ.


* Hiệu vận tốc



*Thời gian hai
kim thẳng hàng
nhau
Như vậy đối với “ Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ ” khi
mà hai kim tạo thành góc vuông hoặc thẳng hàng tôi đã hướng dẫn học sinh giải
theo 4 bước cơ bản sau:
Bước 1: Tìm khoảng cách ban đầu của hai kim
Bước 2: Tìm quãng đường kim phút đi nhiều hơn kim giờ.
Bước 3: Tìm hiệu vận tốc của hai kim
Bước 4: Tìm thời gian hoặc thời điểm của hai chuyển động trên vuông góc
với nhau hoặc thẳng hàng nhau.

CHƯƠNG 3
PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
CỦA HAI KIM ĐỒNG HỒ

Để giúp học sinh phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức và phương pháp
giải một cách chính xác, nhanh nhạy cần chia các bài toán “Chuyển động của hai
kim đồng hồ” thành các dạng để bồi dưỡng cho học sinh

I. DẠNG 1:
“CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI KIM ĐỒNG HỒ”
CHẬP NHAU (TRÙNG NHAU)
Bài toán 4:
Hiện nay là 2 giờ. Hỏi ít nhất sau bao lâu thì kim phút sẽ đuổi kịp kim giờ?
( Bài 3 – Vòng 25 – Violimpic 2008 – 2009)
Hướng dẫn:
- Giáo viên cho học sinh quan sát vị trí của kim phút và kim giờ để trả lời câu hỏi:

12
1
1
1
2
3
1
0
9
5
8
4
7
6

+ Vào lúc 2 giờ, kim phút và kim giờ nằm ở vị trí nào? (Kim phút chỉ số 12,
kim giờ chỉ số 2)
+ Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ lúc đó là bao nhiêu? (
12

2
vòng đồng
hồ)
+ Khi kim phút đuổi kịp kim giờ (Hai kim trùng nhau) thì kim phút đã đi hơn
kim giờ đoạn đường bao nhiêu? (
12
2
vòng đồng hồ tức là bằng KCBĐ giữa hai
kim)
+ Trong một giờ, kim giờ di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu phần
của vòng đồng hồ? (1 giờ, Kim giờ đi được đoạn đường bằng
12
1
vòng đồng hồ)
+ Trong một giờ, kim phút đi được đoạn đường nào? 1 giờ, Kim phút đi được
đoạn đường bằng
12
12
vòng đồng hồ hay 1 vòng đồng hồ)
+ Vậy hiệu vận tốc của hai kim được tính như thế nào? ( Lấy vận tốc của kim
phút - vận tốc của kim giờ)
Từ các phân tích trên giáo viên cho học sinh vận dụng cách giải của dạng toán để
trình bày bài giải:
Bài giải
Lúc 2 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 2 => Khoảng cách ban đầu
của kim phút và kim giờ
12
2
vòng đồng hồ.
Mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được

12
1
vòng
đồng hồ => hiệu vận tốc của hai kim là:


1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ/ giờ).
Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:

12
2
:
12
11
=
11
2
(giờ)
Đáp số:
11
2
giờ
Vậy tại những thời điểm hai kim đã trùng khít lên nhau thì thời gian để hai
kim chập nhau lần sau là bao lâu? Như chúng ta biết kim phút chuyển động nhanh

hơn kim giờ nên trong vòng quay thứ nhất chúng không thể gặp nhau. Để
hướng dẫn dạng bài toán này tôi thực hiện như sau :
Bài toán 5:
Bây giờ là 12 giờ, ít nhất sau bao lâu hai kim đồng hồ sẽ chập nhau ?
Tôi đã phân tích và hướng dẫn học sinh giải như sau:
Bài giải:
Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ cùng chỉ vào số 12 . Vì kim phút đi nhanh hơn
kim giờ nên kim phút đi hết một vòng đồng hồ tức là 1 giờ mà hai kim vẫn chưa
gặp nhau, lúc này là 1 giờ đúng.
Lúc 1 giờ kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 1. Khoảng cách lúc này giữa
hai kim là
12
1
vòng đồng hồ.
Mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được
12
1
vòng
đồng hồ => hiệu vận tốc của hai kim là:
1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ/giờ).
Kể từ lúc 1 giờ, thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:

12
1

:
12
11
=
11
1
(giờ)
Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để hai kim chập nhau là:
1 +
11
1
= 1
11
1
giờ
Đáp số : 1
11
1
giờ
Nhận xét :
Qua bài toán trên ta thấy :
Nếu tính tại một thời điểm nhất định khi hai kim đang trùng nhau thì thời
gian để hai kim trùng nhau (chập khít) lần thứ 2 sẽ mất một khoảng thời gian là
1
11
1
giờ.
Từ nhận xét đó chúng tôi hướng dẫn học sinh giải bài toán 7.
Bài toán 6:

Trong một ngày, hai kim giờ và kim phút gặp nhau bao nhiêu lần và vào
những thời điểm nào trong ngày?
Phân tích và hướng dẫn giải như sau:
Nếu tính từ 0 giờ tức là lúc 12 giờ đúng trên mặt đồng hồ là thời điểm mà
hai kim hai kim chập nhau lần thứ nhất (hai kim cùng chỉ vào số 12) thì sau 1
11
1

giờ nữa hai kim mới chập nhau lần thứ hai ( xem bài giải trên )
Một ngày có 24 giờ nên số lần hai kim chập nhau là :
24 : 1
11
1
= 22 (lần)
Các thời điểm đó là:
1
11
1
giờ ; 2
11
2
giờ, , 22
11
10
giờ; 24 giờ .

Kết luận: Thời gian để hai kim đuổi kịp nhau được tính như sau:
t = KCBĐ : Hiệu vận tốc
* Các bài toán để luyện:

1. Hiện nay là 3 giờ ( 4 giờ, 5 giờ….). Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim giờ và
kim phút sẽ trùng nhau?
2. Hiện nay là 3 giờ 15 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim giờ và kim phút
sẽ trùng nhau?
3. Hoa học bài từ lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi trong thời
gian đó kim giờ và kim phút gặp nhau mấy lần?

II. DẠNG 2:
“CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI KIM ĐỒNG HỒ” TẠO
VỚI NHAU MỘT GÓC VUÔNG
Ở dạng toán này ta chia làm hai trường hợp sau:
1. TRƯỜNG HỢP 1: KIM PHÚT PHẢI CHUYỂN ĐỘNG VƯỢT QUA KIM
GIỜ.
Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên
KCBĐ <
4
1
vòng đồng hồ
Bài toán 7:
Hiện nay là 1 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và kim giờ vuông
góc với nhau?
Hướng dẫn:
- Giáo viên cho học sinh quan sát vị trí của kim phút và kim giờ để trả lời câu hỏi:



12
1
1
1

2
3
1
0
9
5
8
4
7
6

+ Vào lúc 1 giờ, kim phút và kim giờ nằm ở vị trí nào? (Kim phút chỉ số 12,
kim giờ chỉ số 1)
+ Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ lúc đó là bao nhiêu? (
12
1
vòng đồng
hồ)
+ Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì khoảng
cách giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu? ( Bằng
12
3
vòng đồng hồ hay
4
1
vòng
đồng hồ)
+ Lúc đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu?
Đây là câu hỏi tương đối trừu tượng. Để học sinh dễ hình dung giáo viên nên
cho học sinh quan sát hình vẽ để nhận thấy:

* Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì kim phút
đã chạy vượt lên gặp kim giờ. Tại thời điểm đó, kim phút đã đi hơn kim giờ một
đoạn đường bằng KCBĐ (
12
1
vòng đồng hồ).
* Sau đó kim phút lại tiếp tục vượt lên, đến khi khoảng cách giữa nó
và kim giờ tạo với nhau một góc vuông thì nó tiếp tục đi hơn kim giờ
4
1
vòng đồng
hồ nữa.
* Như vậy từ lúc 1 giờ đến khi kim phút và kim giờ vuông góc với
nhau thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường là:
12
1
+
4
1
=
3
1
(vòng đồng hồ).
Từ các phân tích trên , học sinh có thể dễ dàng tìm ra đáp số của bài toán bằng
cách lấy tổng quãng đường kim phút đi hơn kim giờ chia cho hiệu vận tốc của hai
kim.
Bài giải:
Vào lúc 1 giờ, Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1 => Khoảng cách ban
đầu của kim phút và kim giờ
12

1
vòng đồng hồ.
Để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau thì kim phút và kim giờ phải cách
nhau một khoảng là
4
1
vòng đồng hồ.


Như vậy, từ lúc 1 giờ đến khi hai kim vuông góc với nhau thì kim phút đã đi
nhiều hơn kim giờ là :

12
1
+
4
1
=
3
1
(vòng đồng hồ)
Mỗi giờ kim phút đi được 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi được
12
1
vòng
đồng hồ => hiệu vận tốc của hai kim là:
1 -
12
1
=

12
11
(vòng đồng hồ/giờ).
Kể từ lúc 1 giờ, thời gian để kim phút và kim giờ vuông góc với nhau là:

3
1
:
12
11
=
11
4
(giờ)
Đáp số :
11
4
giờ
Nhận xét:
Nếu ta gộp các phép tính của bài toán lại thì được biểu thức:
(
12
1
+
4
1
) :
12
11
=

11
4


( KCBĐ +
4
1
) : hiệu vận tốc = Thời gian
Kết luận: Thời gian để hai kim tạo với nhau một góc vuông được tính như
sau:
t = ( KCBĐ +
4
1
) : Hiệu vận tốc
* Các bài toán để luyện:
1. Hiện nay là 2 giờ ( 3 giờ, 12 giờ). Hỏi sau ít nhất bao lâu nữa thì kim phút và
kim giờ vuông góc với nhau?
2. Trong một ngày có bao nhiêu lần kim đồng hồ vuông góc với nhau?
3. Khi An bắt đầu làm bài tập toán thì An thấy đồng hồ chỉ 7 giờ 20 phút. Khi An
làm xong bài tập thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ vuông góc với nhau. Hỏi An
làm xong bài tập lúc mấy giờ?

2. TRƯỜNG HỢP 2: KIM PHÚT CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG PHẢI VƯỢT
QUA KIM GIỜ.
Trường hợp này ta chia thành loại 2 nhỏ:
Loại 1: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên:

4
1
vòng đồng hồ < KCBĐ <

4
3
vòng đồng hồ