Một số tính chất của nón phân thớ

i
BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HÀ THỊ YẾN
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NÓN
PHÂN THỚ
Chuyên ngành: Đại số - lý thuyết số
Mã số: 60. 46. 05
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. LÊ TUẤN HOA
Hà nội, năm 2011
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và
nghiêm khắc của GS.TSKH. Lê Tuấn Hoa. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình đến với thầy Lê Tuấn Hoa.
Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH. Ngô Việt Trung và GS.TSKH.
Nguyễn Tự Cường đã tạo điều kiện cho tác giả tham gia sinh hoạt khoa
học tại Viện Toán học, Viện khoa học và công nghệ Việt Nam.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của ban giám hiệu trường
Đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình
học cao học. Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn của mình đến
ban chủ nhiệm Khoa Khoa học tự nhiên và các đồng nghiệp trong tổ
Đại số đã tạo điều kiện về thời gian giúp tác giả ra Hà Nội học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, động viên của các nghiên
cứu sinh Lê Xuân Dũng, Đỗ Trọng Hoàng và một số cử nhân khác.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Bố, Mẹ, Chồng
và những người thân của mình luôn yêu thương, cổ vũ, động viên, chăm
lo chu đáo để tác giả an tâm học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Hà Thị Yến.

ii
Mục lục
MỞ ĐẦU 2
1 SỐ BỘI HILBERT-SAMUEL VÀ SỐ BỘI TRỘN 4
1.1 Số bội Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Số bội trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Số bội trộn tối tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 CHUỖI HILBERT CỦA NÓN PHÂN THỚ 29
2.1 Chuỗi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Chuỗi Hilbert của nón phân thớ . . . . . . . . . . . . . . 34
3 ĐẶC TRƯNG COHEN-MACAULAY CỦA NÓN PHÂN
THỚ 40
3.1 Các kết quả chung liên quan đến số bội và tính Cohen-
Macaulay của nón phân thớ . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Đặc trưng trong trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu 49
KẾT LUẬN 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
1
MỞ ĐẦU
Trong nhiều thập kỉ gần đây, đại số Rees, vành phân bậc liên kết
và nón phân thớ của một iđêan đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả.
Trong các đối tượng đó, nón phân thớ F (a) := ⊕
n≥0
a
n
/ma
n
thường là khó
nghiên cứu nhất. Gần đây, nhờ một khái niệm mới là số bội trộn, một
số tác giả đã nhận được kết quả mới về nón phân thớ.

Cho (A, m) là một vành địa phương, a và b là hai iđêan m-nguyên sơ
của A. Hàm số Bhattacharya của a và b là hàm B
a,b
(−) : N
∗
× N
∗
→
N được xác định bởi B
a,b
(r, s) = (A/a
r
b
s
) < ∞, với mọi r, s ∈ N
∗
.
Bhattacharya chứng minh rằng tồn tại một đa thức p
a,b
(x, y) ∈ Q[X, Y ]
bậc d sao cho B
a,b
(r, s) = p
a,b
(r, s), với mọi r, s đủ lớn. Hơn nữa, các
thành phần có bậc tổng là d với hai biến r, s trong p
a,b
(r, s) có dạng
1
d!



e
0
(a|b)r
d
+ · · · +


d
i


e
i
(a|b)r
d−i
s
i
+ · · · + e
d
(a|b)s
d


với e
0
(a|b), · · · , e
i
(a|b), · · · , e

d
(a|b) là các số nguyên dương.
Các số e
0
(a|b), · · · , e
i
(a|b), · · · , e
d
(a|b) được gọi là các số bội trộn của
a và b. Khái niệm này được đưa ra bởi Teissier trong [14].
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu một số tính chất của nón
phân thớ thông qua số bội trộn e
d−1
(m|a) với cách tiếp cận theo hướng
khai thác mối quan hệ giữa đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân
thớ và chuỗi Hilbert của nó. Trong luận văn cũng đưa ra nhiều ví dụ
2
được tính toán cụ thể để minh họa cho các kết quả được phát biểu.
Bây giờ, chúng tôi xin giới thiệu cấu trúc của luận văn. Ngoài phần
mở đầu, tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương.
Chương 1 chia làm ba phần. Mục 1.1 trình bày khái niệm và tính
chất của số bội Hilbert-Samuel và một số đặc trưng của môđun Cohen-
Macaulay. Mục 1.2 trình bày khái niệm và một số tính chất của số bội
trộn, mối quan hệ giữa số bội trộn và số bội Hilbert-Samuel. Mục 1.3
nêu khái niệm và đặc trưng của iđêan có số bội trộn tối tiểu.
Chương 2 chia làm hai phần. Mục 2.1 trình bày khái niệm và một
số tính chất của chuỗi Hilbert. Mục 2.2 giới thiệu khái niệm nón phân
thớ, chuỗi Hilbert của nón phân thớ và trình bày công thức tính chuỗi
Hilbert của nón phân thớ trong trường hợp đêan có số bội trộn tối tiểu.
Chương 3 chia làm hai phần. Mục 3.1 nêu các kết quả chung liên

quan đến số bội và tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ. Ở đây
chúng tôi trình bày một đặc trưng của Cruz-Raghavan-Verma về tính
Cohen-Macaulay thông qua chuỗi Hilbert. Sử dụng kết quả tổng quát
đó và công thức tính chuỗi Hilbert ở Mục 2.2, trong Mục 3.2 chúng tôi
trình bày một đặc trưng tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ thông
qua số mũ rút gọn trong trường hợp đêan có số bội trộn tối tiểu.
3
Chương 1
SỐ BỘI HILBERT-SAMUEL VÀ
SỐ BỘI TRỘN
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm về số bội
Hilbert-Samuel, số bội trộn, số bội trộn tối tiểu và các tính chất cần
thiết cho chứng minh các định lý chính ở Chương 2 và Chương 3.
1.1 Số bội Hilbert-Samuel
Cho A là vành Noether N-phân bậc chuẩn trên vành Artin A
0
và E là
Z-môđun phân bậc hữu hạn sinh trên A. Khi đó 
A
0
(E
n
) < ∞ và hàm
số H
E
(−) : Z → N được xác định bởi H
E
(n) = 
A
0

(E
n
), với mọi n ∈ Z
được gọi là hàm Hilbert của E.
Định lý 1.1.1. (Hilbert-Serre) Cho A là vành Noether N-phân bậc chuẩn
trên vành Artin A
0
và E là A-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d. Khi
đó, tồn tại một đa thức p
E
(x) ∈ Q[X] có bậc d − 1 gọi là đa thức Hilbert
của E sao cho H
E
(n) = p
E
(n), với mọi n đủ lớn. Hơn nữa, p
E
(x) luôn
4
viết được duy nhất dưới dạng
p
E
(x) =
d−1

i=0
(−1)
i
e
i

(E)


x + d − i − 1
d − i − 1


với e
0
(E), , e
d−1
(E) là các số nguyên và e
0
(E) > 0.
Khi đó số bội của môđun E được định nghĩa là
e(E) :=





e
0
(E) nếu d > 0,
(E) nếu d = 0.
Từ đây cho đến hết Mục 1.1, nếu không nói gì ta luôn giả thiết (A, m)
là vành địa phương Noether chiều d, E là A-môđun hữu hạn sinh và a
là iđêan m-nguyên sơ của A.
Định nghĩa 1.1.2. Hàm H
a,E

(−) : Z → N được xác định bởi H
a,E
(n) =
(E/a
n+1
E) < ∞, với mọi n ∈ Z được gọi là hàm Hilbert-Samuel của E
đối với a.
Định nghĩa 1.1.3. Cho (A, m) là vành địa phương Noether, E là A-
môđun hữu hạn sinh và a là một iđêan của A. Khi đó,
G
a
(E) := ⊕
n≥0
a
n
E/a
n+1
E
được gọi là môđun phân bậc liên kết của E đối với a.
Trong trường hợp E = A, ta kí hiệu G
a
(A) bởi G(a) và được gọi là
vành phân bậc liên kết của A đối với a.
Bây giờ giả sử a là iđêan m-nguyên sơ. Khi đó G(a) là vành phân
bậc chuẩn có G
0
= A/a là vành Artin. Hơn nữa, G
a
(E) là môđun phân
5

bậc hữu hạn sinh trên G(a). Theo Định lý Hilbert-Serre tồn tại đa thức
p
G
a
(E)
(x) và số s sao cho
(G
a
(E)
n
) = (a
n
E/a
n+1
E) = p
G
a
(E)
(n), ∀n ≥ s.
Do đó với mọi n ≥ s, ta có
H
a,E
(n) = (E/a
n+1
E)
=
s−1

j=0
(a

j
E/a
j+1
E) +
n

j=s
(a
j
E/a
j+1
E)
= α +
n

j=s
p
G
a
(E)
(j),
trong đó α là hằng số.
Từ đó suy ra H
a,E
(n) bằng một đa thức có bậc bằng dim E với mọi
n đủ lớn. Do đó ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.1.4. Tồn tại một đa thức P
a,E
(x) ∈ Q[X] có bậc bằng dim E
gọi là đa thức Hilbert-Samuel sao cho H

a,E
(n) = P
a,E
(n), với mọi n đủ
lớn.
Vì dim E ≤ d nên ta luôn viết được P
a,E
(n) duy nhất dưới dạng
P
a,E
(n) =
e.n
d
d!
+ g(n),
trong đó g(n) có bậc nhỏ hơn d, e ∈ Z và e > 0.
Định nghĩa 1.1.5. e(a, E) := e được gọi là số bội Hilbert-Samuel của
E đối với a. Trong trường hợp E = A, khi đó ta đặt e(a, A) = e(a) và
định nghĩa là số bội của a. Nói riêng e(m) := e(A).
6
Từ nhận xét trước Hệ quả 1.1.4 ta có e(a, E) = e
0
(G
a
(E)).
Tiếp theo chúng ta nêu một số tính chất cơ bản của số bội Hilbert-
Samuel. Những tính chất này được trích từ [10], từ trang 107 đến trang
112. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra bổ đề sau
Bổ đề 1.1.6. Với a và E như trên ta có
(i) e(a, E) = lim

n→∞
d!(E/a
n+1
E)
n
d
.
Nói riêng nếu d = 0 thì e(a, E) = (E).
(ii) e(a
s
, E) = s
d
e(a, E), ∀s ≥ 1.
(iii) e(a, E) > 0 nếu dim E = d và e(a, E) = 0 nếu dim E < d.
(iv) Nếu a và a

là hai iđêan m-nguyên sơ của A và a ⊆ a

thì e(a, E) ≥
e(a

, E) .
Tiếp theo chúng tôi nêu một số tính chất được dùng trong tính toán
số bội Hilbert-Samuel
Bổ đề 1.1.7. Cho 0 −→ E

−→ E −→ E

−→ 0 là dãy khớp các
A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó,

e(a, E) = e(a, E

) + e(a, E

).
Định lý 1.1.8. (Công thức bội liên kết) Cho {p
1
, · · · , p
r
} là tất cả các
iđêan nguyên tố tối tiểu của A mà dim A/p
i
= d. Khi đó e(a, E) =
r

i=1
e(a
i
, A/p
i
) (E
p
i
), trong đó a
i
là ảnh của a trong A/p
i
và  (E
p
i

) là độ
dài của E
p
i
như A
p
i
−môđun.
7
Ví dụ 1.1.9. Cho A = k[[X
1
, · · · , X
n
]] với k là một trường.
a = (X
n
) ∩ (X
2
1
, X
2
3
) ∩ (X
2
, X
3
3
) là phân tích nguyên sơ tối tiểu của a.
B = A/a = k[[X
1

, · · · , X
n
]]/(X
n
) ∩ (X
2
1
, X
2
3
) ∩ (X
2
, X
3
3
).
Ta có
Ass(A/a) = {(X
n
), (X
1
, X
3
), (X
2
, X
3
)} = {p
1
, p

2
, p
3
},
trong đó
p
1
= (X
n
), p
2
= (X
1
, X
3
), p
3
= (X
2
, X
3
).
Đặt p

1
= (x
n
), p

2

= (x
1
, x
3
), p

3
= (x
2
, x
3
) lần lượt là ảnh của p
1
, p
2
, p
3
trong B. Khi đó p

1
, p

2
, p

3
là các iđêan nguyên tố tối tiểu của B.
Mặt khác
dim B = max { dim A/p
1

, dim A/p
2
, dim A/p
3
}
= dim A/p
1
= n − 1.
Áp dụng Định lý 1.1.8 trong vành B = A/a ta được,
e(B) = e(A/p
1
)(B
p
1
) = 1.
Định nghĩa 1.1.10. Iđêan b ⊆ a của A được gọi là một rút gọn của a
nếu có một số nguyên không âm r sao cho a
r+1
= ba
r
. Một rút gọn của
a được gọi là tối tiểu của a nếu nó không thực sự chứa một rút gọn nào
khác của a.
Northcott và Rees đã chứng minh rằng rút gọn tối tiểu của một iđêan
luôn tồn tại. Nếu b là một rút gọn của a và a
r+1
= ba
r
thì với mọi n > r
ta có a

n
= ba
n−1
.
8
Định nghĩa 1.1.11. Nếu b là một rút gọn của a thì số mũ rút gọn của
a đối với b được định nghĩa là
r
b
(a) = min

n ≥ 0|a
n+1
= ba
n

.
Số mũ rút gọn r(a) của a được định nghĩa là
r(a) = min{ r
b
(a) | b là rút gọn tối tiểu của a }.
Bổ đề 1.1.12. Giả sử b là một rút gọn của a. Khi đó b cũng là m-nguyên
sơ và với bất kì A-môđun hữu hạn sinh E ta có e(b, E) = e(a, E).
Hệ quả 1.1.13. Giả sử trường thặng dư của A vô hạn. Khi đó tồn
tại một hệ tham số x của A mà (x) là một rút gọn tối tiểu của a và
e(a, E) = e((x), E).
Từ bổ đề trên suy ra nếu A/m vô hạn thì mọi iđêan rút gọn tối tiểu
của a đều là iđêan tham số.
Bổ đề 1.1.14. Cho (A, m) là vành địa phương Noether chiều d, a là
iđêan m-nguyên sơ của A và x

1
, · · · , x
d
là một hệ tham số của A được
chứa trong a. Giả sử x
i
∈ a
r
i
, ∀i = 1, · · · , d. Khi đó với mọi s = 1, · · · , d
ta có
e(a/(x
1
, · · · , x
s
), E/(x
1
, · · · , x
s
)E) ≥ r
1
· · · r
s
e(a, E).
Nói riêng, nếu s = d chúng ta có
(E/(x
1
, · · · , x
d
)E) ≥ r

1
· · · r
d
e(a, E).
Hệ quả 1.1.15. Cho (A, m) là một vành địa phương Noether chiều d và
E là A-môđun hữu hạn sinh. Giả sử x
1
, · · · , x
d
là một hệ tham số của
9
E. Đặt q = (x
1
, · · · , x
d
). Khi đó,
(E/qE) ≥ e(q, E).
Định nghĩa 1.1.16. Cho (A, m) là vành địa phương Noether. Một A-
môđun hữu hạn sinh E được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu E = 0
hoặc nếu E = 0 và (E/qE) = e(q, E), trong đó q là một iđêan tham số
của E. Nếu bản thân A là môđun Cohen-Macaulay như A-môđun thì ta
gọi A là vành Cohen-Macaulay.
Ví dụ 1.1.17. (i) k là một trường. Khi đó k là vành Cohen-Macaulay.
(ii) k[[X
1
, · · · , X
n
]], với k là một trường, là vành Cohen-Macaulay.
Ví dụ 1.1.18. Cho vành A = k[[t
4

, t
5
, t
6
, t
7
]] với t là phần tử bất định
và m = (t
4
, t
5
, t
6
, t
7
).
Ta có m =


n≥4
α
n
t
n
|α
n
∈ k

, suy ra m
p

=


n≥4p
α
n
t
n
|α
n
∈ k

.
Do đó
 (A/m
p
) = 4p − 3.
Vậy
e(A) = e(m) = 4.
Ta có
m
2
= (t
8
, t
9
, t
10
, t
11

, t
12
, t
13
, t
14
),
(t
4
)m = (t
8
, t
9
, t
10
, t
11
).
Suy ra m
2
= (t
4
)m. Do đó (t
4
) là rút gọn tối tiểu của m.
Theo nhận xét ở Hệ quả 1.1.13 ta được q = (t
4
) là iđêan tham số của A.
10
Theo Hệ quả 1.1.13, e(q) = e(m) = 4.

Mặt khác, q =

t
4
+

n≥8
α
n
t
n
|α
n
∈ k

, suy ra  (A/q) = 4.
Từ đó nhận được e(q) =  (A/q).
Vậy A là vành Cohen-Macaulay.
Sau đây là một vài tính chất đặc biệt của vành và môđun Cohen-
Macaulay.
Bổ đề 1.1.19. E là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi (E/qE) =
e(q, E) với mọi hệ tham số q của E.
Bổ đề 1.1.20. [7, Lemma 1.7] Giả sử q là iđêan tham số của E và n là
số nguyên không âm. Khi đó,
(E/q
n+1
E) ≤

n + d
d


(E/qE).
Dấu đẳng thức với mọi n xảy ra khi và chỉ khi E là Cohen-Macaulay.
Tiếp theo ta nêu một số ví dụ tính toán cụ thể số bội Hilbert-Samuel.
Ví dụ 1.1.21. Cho (A, m, k) là vành địa phương chính quy chiều d. Khi
đó,
G
m
(A)
∼
=
A

= k[X
1
, · · · , X
d
].
Vì
H
A

(n) =

n + d − 1
d − 1

,
nên
e(A) = e

0
(G
m
(A)) = e
0
(A

) = 1.
Vì A là chính quy nên m được sinh bởi một hệ tham số của A, tức
m = (x
1
, · · · , x
d
).
11
Kí hiệu (x) := (x
1
, · · · , x
d
), ta có
 (A/ (x)) = (A/m) = 1.
Mặt khác, e((x)) = e(m) = e(A) = 1.
Từ đó suy ra e((x)) =  (A/ (x)).
Vậy A là vành Cohen-Macaulay.
Từ đó suy ra một vành địa phương chính quy là vành Cohen-Macaulay.
Ví dụ 1.1.22. Cho A = k[X
1
, · · · , X
d
], với d ≥ 2 và B = A/(f), f là

đa thức thuần nhất bậc s. Xét B như vành phân bậc, tính e
0
(B) (xem
Định lý 1.1.1).
Ta có dãy khớp
0 −→ A(−s)
·f
−→ A −→ A/fA −→ 0.
Từ đó suy ra dãy khớp
0 −→ A(−s)
n
·f
−→ A
n
−→ (A/fA)
n
−→ 0.
Vì A(−s)
n
= A
n−s
nên
H
B
(n) =  ((A/fA)
n
) =  (A
n
) −  (A
n−s

)
=

n + d − 1
d − 1

−

n − s + d − 1
d − 1

Từ đó ta được
p
B
(x) =

x + d − 1
d − 1

−

x − s + d − 1
d − 1

=
s
(d − 2)!
x
d−2
+ g(x),

trong đó g(x) có bậc nhỏ hơn d − 2.
12
Vậy e
0
(B) = s.
Từ đó suy ra nếu C = k[[X
1
, · · · , X
d
]]/(f) thì e(C) = s.
1.2 Số bội trộn
Cho (A, m) là vành địa phương chiều d, a là iđêan m-nguyên sơ. Theo
Hệ quả 1.1.4, (A/a
n
) là một đa thức bậc d ẩn r, với mọi r đủ lớn. Giả
sử b là một iđêan m-nguyên sơ khác. Khi đó (A/a
r
b
s
) < ∞. Một câu
hỏi tự nhiên là có gì tương tự khi xét hàm số (A/a
r
b
s
), với r và s là các
số nguyên dương. Câu hỏi này đã được Bhattacharya trong [2] trả lời.
Định nghĩa 1.2.1. Cho a và b là hai iđêan m-nguyên sơ. Hàm số Bhat-
tacharya của a và b là hàm B
a,b
(−) : N

∗
× N
∗
→ N được xác định bởi
B
a,b
(r, s) = (A/a
r
b
s
) < ∞, với mọi r, s ∈ N
∗
.
Bhattacharya đã chứng minh được trong [2] định lý sau.
Định lý 1.2.2. Tồn tại một đa thức p
a,b
(x, y) ∈ Q[X, Y ] bậc d sao cho
B
a,b
(r, s) = p
a,b
(r, s), với mọi r, s đủ lớn. Hơn nữa, các thành phần có
bậc tổng là d với hai biến r, s trong p
a,b
(r, s) có dạng
1
d!




e
0
(a|b)r
d
+ · · · +


d
i


e
i
(a|b)r
d−i
s
i
+ · · · + e
d
(a|b)s
d



,
với e
0
(a|b), · · · , e
i
(a|b), · · · , e

d
(a|b) là các số nguyên dương.
Các số e
0
(a|b), · · · , e
i
(a|b), · · · , e
d
(a|b) được gọi là các số bội trộn của
a và b. Khái niệm này được đưa ra bởi Teissier trong [14].
13
Bhattacharya cũng nghiên cứu về hàm số B

a,b
(−) : N
∗
×N
∗
→ N được
xác định bởi:
B

a,b
(r, s) = (a
r
b
s
/a
r+1
b

s
) < ∞, (1.1)
với mọi r, s ∈ N
∗
. Bhattacharya đã chứng minh trong [2] tồn tại một đa
thức p

a,b
(x, y) ∈ Q[X, Y ] bậc d − 1 sao cho B

a,b
(r, s) = p

a,b
(r, s), với mọi
r, s đủ lớn. Hơn nữa, các thành phần có bậc tổng là d − 1 với hai biến
r, s trong p

a,b
(r, s) có dạng
1
(d − 1)!

e
0
(a|b)r
d−1
+ · · · +

d − 1

i

e
i
(a|b)r
d−1−i
s
i
+ · · · + e
d−1
(a|b)s
d−1

.
Từ đó dễ dàng xác định được mối liên hệ giữa số bội Hilbert-Samuel
e(a
r
b
s
) và các số bội trộn e
0
(a|b), · · · , e
i
(a|b), · · · , e
d
(a|b).
Bổ đề 1.2.3. Với mọi r, s nguyên dương ta có
e(a
r
b

s
) = e
0
(a|b)r
d
+ · · · +


d
i


e
i
(a|b)r
d−i
s
i
+ · · · + e
d
(a|b)s
d
. (1.2)
Chứng minh. Xét hàm số,
(A/(a
r
b
s
)
n

) = (A/a
rn
b
sn
).
Nếu xem đây là hàm Bhattacharya của a và b thì với mọi rn và sn
đủ lớn các thành phần có bậc tổng là d với hai biến rn, sn trong đa thức
tương ứng là
1
d!



e
0
(a|b)(rn)
d
+ · · · +


d
i


e
i
(a|b)(rn)
d−i
(sn)
i

+ · · · + e
d
(a|b)(sn)
d



hay
n
d
d!



e
0
(a|b)r
d
+ · · · +


d
i


e
i
(a|b)r
d−i
s

i
+ · · · + e
d
(a|b)s
d



.
14
Cố định r và s, n thay đổi thì với mọi n đủ lớn ta có thể xem hệ số
của n
d
trong đa thức trên là
1
d!



e
0
(a|b)r
d
+ · · · +


d
i



e
i
(a|b)r
d−i
s
i
+ · · · + e
d
(a|b)s
d



.
Nếu xem (A/(a
r
b
s
)
n
), với r, s cố định, n thay đổi là hàm Hilbert-
Samuel của iđêan a
r
b
s
thì với mọi n đủ lớn hệ số của n
d
trong đa thức
tương ứng là
e(a

r
b
s
)
d!
.
Từ đó suy ra đẳng thức sau với mọi r, s nguyên dương
e(a
r
b
s
) = e
0
(a|b)r
d
+ · · · +


d
i


e
i
(a|b)r
d−i
s
i
+ · · · + e
d

(a|b)s
d
.
Trong một số trường hợp đặc biệt, Rees trong [11] đưa ra mối liên hệ
sau.
Bổ đề 1.2.4. ([11]) Cho (A, m) là vành địa phương Noether chiều d, a,
b là hai iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó,
(i) e
i
(a|a) = e(a), ∀i = 1, · · · , d,
(ii) e
0
(a|b) = e(a),
(iii) e
d
(a|b) = e(b).
Chứng minh. (i) Hiển nhiên.
(ii) Giả sử B

a,b
(r, s) = p

a,b
(r, s), với mọi r ≥ r
0
và s ≥ s
0
. Ta xem b
s
như một A-môđun và coi e(a, b

s
) như số bội của a trên A-môđun b
s
. Cố
15
định một s ≥ s
0
. Khi đó ta có
e(a, b
s
) = lim
r→∞
(d − 1)!(a
r
b
s
/a
r+1
b
s
)
r
d−1
= lim
r→∞
(d − 1)!B

a,b
(r, s)
r

d−1
= e
0
(a|b)
Vì b là m-nguyên sơ nên iđêan (0 : b
s
) = {r ∈ A/rb
s
= (0)} là lũy
linh. Vì vậy dim b
s
= dim A/(0 : b
s
) = d và dim A/b
s
< d. Suy ra
e(a, A/b
s
) = 0.
Ta có dãy khớp
0 −→ b
s
−→ A −→ A/b
s
−→ 0.
Theo Bổ đề 1.1.7,
e(a, b
s
) = e(a, A) − e(a, A/b
s

).
Vậy e(a, b
s
) = e(a, A) = e(a).
(iii) Tương tự (ii) ta được e
d
(a|b) = e(b).
Rees trong [12] đã giới thiệu về rút gọn chung của một tập các iđêan
và từ đó chứng minh được công thức tính các số bội trộn e
i
(a|b), với
i = 0, , d thông qua số bội Hilbert-Samuel của một hệ tham số.
Định nghĩa 1.2.5. [12, Section 1] Cho U = (a
1
, · · · , a
t
) là một tập các
iđêan của A, không cần thiết phải khác nhau. Kí hiệu R = (r
1
, · · · , r
t
)
là tập các số nguyên dương nào đó, R
i
= (r
1
, · · · , r
i
− 1, · · · , r
t

). Khi đó
ta nói một tập các phần tử x
i
, i = 1, · · · , t là một rút gọn chung của
a
1
, · · · , a
t
nếu x
i
∈ a
i
, với mỗi i = 1, · · · , t và ta có U
R
=
t

i=1
x
i
U
R
i
, trong
đó U
R
= a
1
r
1

· · · a
t
r
t
.
16
Một cách phát biểu tương đương là, nếu c =
t

i=1
x
i
a
1
· · · a
i−1
a
i+1
· · · a
t
thì c là rút gọn của a
1
· · · a
t
.
Trong trường hợp các iđêan a
1
, · · · , a
t
có thể lặp lại, ta kí hiệu tập gồm

k
1
iđêan a
1
,· · · , k
t
iđêan a
t
là (a
1
, · · · , a
1
, · · · , a
t
, · · · , a
t
) := (a
1
[k
1
]
| · · · |a
t
[k
t
]
)
và được gọi là tập bội của k
1
iđêan a

1
,· · · , k
t
iđêan a
t
.
Rees chứng minh được rằng nếu A/m vô hạn thì rút gọn chung luôn
tồn tại. Khi đó ta có thể tính được các số bội trộn theo số bội Hilbert-
Samuel như sau.
Bổ đề 1.2.6. [12, Theorem 2.4] Cho (A, m) là vành địa phương Noether
chiều d và s
1
, · · · , s
d−i
, t
1
, · · · , t
i
là một rút gọn chung của (a
[d−i]
|b
[i]
),
với mọi i = 0, · · · , d. Kí hiệu q
i
= (s
1
, · · · , s
d−i
, t

1
, · · · , t
i
). Khi đó, với
mọi i = 0, · · · , d ta có e
i
(a|b) = e(q
i
).
Chú ý rằng, kết hợp bổ đề này với Hệ quả 1.1.13 ta cũng nhận được
Bổ đề 1.2.4 ở trên.
Nhận xét 1.2.7. Giả thiết và kí hiệu như ở Bổ đề 1.2.6.
Vì s
1
, · · · , s
d−i
, t
1
, · · · , t
i
là một rút gọn chung của (a
[d−i]
|b
[i]
) nên q
i
là iđêan tham số của A, với mọi i = 0, · · · , d. Do đó, từ Bổ đề 1.2.6 ta
có bổ đề sau nêu công thức tính các số bội trộn e
i
(a|b), với i = 0, · · · , d

đối với vành địa phương Cohen-Macaulay.
Bổ đề 1.2.8. Cho (A, m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d
và s
1
, · · · , s
d−i
, t
1
, · · · , t
i
là một rút gọn chung của (a
[d−i]
|b
[i]
). Kí hiệu
q
i
= (s
1
, · · · , s
d−i
, t
1
, · · · , t
i
). Khi đó,với mọi i = 0, · · · , d ta có e
i
(a|b) =



A
q
i

.
17
Dựa vào kết quả của Bổ đề 1.2.8 ta có thể tính được các số bội trộn
của m và a trong vành địa phương (A, m) Cohen-Macaulay chiều d , với
a là iđêan m-nguyên sơ.
Ví dụ 1.2.9. [5, Example 3.11] Cho vành A = k[[x, y, z]] với k là một
trường, m = (x, y, z) và a = (x
3
, y
3
, z
3
, xy, xz, yz).
Ta nhận thấy yz ∈ a, xy + xz ∈ a và x + y + z ∈ m thỏa mãn
ma = yzm + (xy + xz)m + (x + y + z)a.
Suy ra
ma
2
= yzma + (xy + xz)ma + (x + y + z)a
2
.
Do đó, (x + y + z)a + (yz, xy + xz)m là một rút gọn của ma.
Vì vậy (x + y + z, yz, xy + xz) là một rút gọn chung của (m|a
[2]
).
Mặt khác dim A = 3 nên theo Bổ đề 1.2.8 ta được

e
2
(m|a) = 

A
(x + y + z, yz, xy + xz)

= 4.
Ta có yz ∈ a, y + z ∈ m và x ∈ m thỏa mãn
m
2
a = yzm
2
+ (y + z)ma + xma.
Do đó (y + z, x, yz) là rút gọn chung của (m
[2]
|a).
Theo Bổ đề 1.2.8 ta được
e
1
(m|a) = 

A
(y + z, x, yz)

= 2.
Vậy e
2
(m|a) = 4; e
1

(m|a) = 2.
Ngoài ra, xét trường hợp (A, m) là vành địa phương Cohen-Macaulay
chiều 2 với trường thặng dư vô hạn, a và b là hai iđêan m-nguyên sơ của
A. Khi đó chúng ta có công thức tính số bội trộn e
1
(a|b) như sau.
18
Bổ đề 1.2.10. [16, Theorem 3.2] Cho (A, m) là vành địa phương Cohen-
Macaulay chiều 2 với trường thặng dư vô hạn, a và b là hai iđêan m-
nguyên sơ của A. Khi đó hai phát biểu sau là tương đương
(i) Tồn tại x ∈ a và y ∈ b thỏa mãn xb + ya = ab.
(ii) e
1
(a|b) =  (A/ab) − (A/a) − (A/b).
Trong bổ đề trên, cho a = b, ta suy ra công thức tính số bội của a
trong trường hợp số mũ rút gọn r(a) ≤ 1.
Hệ quả 1.2.11. Cho (A, m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều
2 với trường thặng dư vô hạn và a là iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó,
r(a) ≤ 1 khi và chỉ khi
e(a) = 

A
a
2

− 2

A
a


.
Dựa vào kết quả của Bổ đề 1.2.10 ta có thể tính được số bội trộn
e
1
(m|a) trong vành địa phương (A, m) Cohen-Macaulay chiều 2, với a là
iđêan m-nguyên sơ.
Ví dụ 1.2.12. Cho A = k[[x, y]] với k là một trường, a = (x
3
, x
2
y
4
, xy
5
, y
7
)
và b = (x
3
, y
7
).
Ta có
ma = (x
4
, x
3
y, x
2
y

5
, xy
6
, y
8
).
Vì y ∈ m và x
3
∈ a thỏa mãn ya + x
3
m = ma nên theo Bổ đề 1.2.10,
e
1
(m|a) =  (A/ma) − (A/a) − (A/m).
Mặt khác,


A
ma

= 20, 

A
m

= 1, 

A
a


= 16.
Từ đó suy ra, e
1
(m|a) = 3.
19
Bên cạnh đó, theo (1.1) cho trường hợp m và iđêan m-nguyên sơ a,
ta có phương pháp khác để tính các số bội trộn của m và a. Ta có
thể xem m
r
a
s
/m
r+1
a
s
là không gian véc tơ trên trường A/m. Do vậy
(m
r
a
s
/m
r+1
a
s
) = µ(m
r
a
s
), với mọi r, s nguyên dương, trong đó µ(a) kí
hiệu số phần tử sinh tối tiểu của a. Khi đó

e
d−1
(m|a)
(d − 1)!
chính là hệ số
của s
d−1
trong biểu thức của µ(m
r
a
s
). Nếu tính được cụ thể biểu thức
của µ(m
r
a
s
) thì ta có thể suy ra tất cả các số bội trộn e
i
(m|a), với mọi
i = 0, · · · , d − 1. Từ đó minh họa đẳng thức (1.2) trong trường hợp
r = s = 1.
Ví dụ 1.2.13. Cho vành A = k[[x, y]] với k là một trường, m = (x, y)
và a = (x
4
, x
3
y, xy
3
, y
4

).
Ta có, a
n
= m
4n
, với mọi n ≥ 2.
Từ đó suy ra, với mọi r, s nguyên dương và s ≥ 2,
(m
r
a
s
/m
r+1
a
s
) = µ(m
r
a
s
) = µ(m
r+4s
)
=

r + 4s + 1
1

= r + 4s + 1.
Do đó, e
0

(m|a) = 1 và e
1
(m|a) = 4.
Mặt khác, với mọi n ≥ 2,


A
a
n

= 

A
m
4n

=

4n + 1
2

=
4n(4n + 1)
2
.
Từ đó nhận được e(a) = 16.
Lại có, với mọi n ≥ 2,


A

(ma)
n

= 

A
m
5n

=

5n + 1
2

=
5n(5n + 1)
2
.
Suy ra, e(ma) = 25.
20
Vì vậy
e(ma) = e
0
(m|a) +

2
1

e
1

(m|a) + e
2
(m|a),
trong đó, e
0
(m|a) = e(m) = 1 và e
2
(m|a) = e(a) = 16.
Vậy đẳng thức (1.2) đúng với r = s = 1.
Ví dụ 1.2.14. Cho vành A = k[[x, y, z]] với k là một trường, m =
(x, y, z) và a = m
3
.
Với mọi r, s nguyên dương ta có
(m
r
a
s
/m
r+1
a
s
) = (m
r+3s
/m
r+3s+1
) = µ(m
r+3s
) =


r + 3s + 2
2

=
(r + 3s + 2)(r + 3s + 1)
2
=
1
2
(r
2
+ 6rs + 9s
2
) + · · ·
Suy ra
e
0
(m|a) = 1; e
1
(m|a) = 3; e
2
(m|a) = 9.
Ví dụ 1.2.15. Cho vành A = k[[t
4
, t
5
, t
6
, t
7

]] với t là phần tử bất định,
m = (t
4
, t
5
, t
6
, t
7
) và a = (t
4
, t
5
, t
6
).
Theo Ví dụ 1.1.18 ta được
e
d−1
(m|a) = e
0
(m|a) = e(m) = e(A) = 4.
1.3 Số bội trộn tối tiểu
Trong mục này chúng tôi giới thiệu khái niệm iđêan có số bội trộn tối
tiểu và đặc trưng để nhận biết iđêan có số bội trộn tối tiểu.
Trong vành địa phương (A, m) Cohen-Macaulay chiều d, Abhyankar
trong [1] đã chứng minh rằng µ(m)−d+1 ≤ e(A). Cruz-Raghavan-Verma
mở rộng điều này cho số bội trộn.
21
Định lý 1.3.1. [5, Lemma 3.1] Cho (A, m) là vành địa phương Cohen-

Macaulay chiều d và a là iđêan m-ngyên sơ. Khi đó,
e
d−1
(m|a) ≥ µ(a) − d + 1.
Chứng minh. Nếu cần thiết ta thay A bằng vành A(X) = A[X]
mA[X]
nên
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử A/m vô hạn.
Cho (x, y
1
, · · · , y
d−1
) là một rút gọn chung của (m|a
[d−1]
). Khi đó theo
Bổ đề 1.2.8,
e
d−1
(m|a) = 

A
(x, y
1
, · · · , y
d−1
)

.
Xét ánh xạ
f :

A
a
⊕

A
m

d−1
→
(x, y
1
, · · · , y
d−1
)
xa + (y
1
, · · · , y
d−1
)m
(z

, t

1
, , t

d−1
) → (zx +
d−1


i=1
t
i
y
i
)

,
trong đó dấu phẩy là kí hiệu modulo.
Rõ ràng f là toàn cấu. Vì vậy


A
a

+ 


A
m

d−1

−  (ker f) = 

(x, y
1
, · · · , y
d−1
)

xa + (y
1
, · · · , y
d−1
)m

.
Hay


A
a

+ d − 1 −  (ker f) = 

A
xa + (y
1
, · · · , y
d−1
)m

− e
d−1
(m|a).
Suy ra
e
d−1
(m|a) =  (ker f) − d + 1 + 


A
xa + (y
1
, · · · , y
d−1
)m

−
− 

A
ma

+ 

A
ma

− 

A
a

=  (ker f) − d + 1 + µ(a) + 

ma
xa + (y
1
, · · · , y
d−1

)m

.
22
Vì vậy e
d−1
(m|a) ≥ µ(a) − d + 1.
Định nghĩa 1.3.2. Cho (A, m) là vành địa phương Cohen-Macaulay
chiều d và a là iđêan m-ngyên sơ. Ta nói a có số bội trộn tối tiểu nếu
e
d−1
(m|a) = µ(a) − d + 1 (1.3)
J. Chuai trong ([4]) đã chứng minh rằng với một iđêan m-ngyên sơ
a trong một vành địa phương (A, m) Cohen-Macaulay chiều d, e(a) ≥
µ(a) −d + (A/a). S. Goto trong ([8]) định nghĩa một iđêan có số bội tối
tiểu nếu e(a) = µ(a) − d +  (A/a). Từ đó, S. Goto đã nghiên cứu nhiều
đặc trưng của vành phân bậc liên kết, nón phân thớ và đại số Rees của
các iđêan có số bội tối tiểu. Trong trường hợp iđêan không có số bội tối
tiểu nhưng có số bội trộn tối tiểu, một số tác giả cũng đưa ra được nhiều
tính chất đẹp được áp dụng trong nghiên cứu vành phân bậc liên kết,
nón phân thớ và đại số Rees của các iđêan có số bội trộn tối tiểu. Sử
dụng đẳng thức (1.3) trong định nghĩa trên ta có thể nhận biết iđêan có
số bội trộn tối tiểu.
Ví dụ 1.3.3. Cho A = k[[x, y]] với k là một trường, a = (x
3
, x
2
y
4
, xy

5
, y
7
)
và b = (x
3
, y
7
).
Theo Ví dụ 1.2.12, e
1
(m|a) = 3.
Từ đó suy ra, e
d−1
(m|a) = µ(a) − d + 1.
Vậy a có số bội trộn tối tiểu.
Ta có
a
2
= (x
6
, x
2
y
10
, y
14
, x
5
y

4
, x
4
y
5
, x
3
y
7
, xy
12
).
a
3
= (x
9
, x
8
y
4
, x
7
y
5
, x
6
y
7
, x
5

y
10
, x
4
y
12
, x
3
y
14
, x
2
y
17
, xy
19
, y
21
).
23