Giao trinh giai tich 2

Chương 1. Hàm nhiều biến

GIÁO TRÌNH

GIẢI TÍCH 2

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

1


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

2

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN
BÀI 1.1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM NHIỀU BIẾN
1.1.1. Tập hợp trong

n

..............................................................................

1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến .................................................................
1.1.3. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế..................................
1.1.4. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến .......................................

BÀI 1.2. ĐẠO HÀM RIÊNG, VI PHÂN TOÀN PHẦN
1.2.1. Đạo hàm riêng ....................................................................................
1.2.2. Vi phân toàn phần ..............................................................................

1.2.3. Đạo hàm riêng của hàm hợp ...............................................................
1.2.4. Đạo hàm riêng của hàm ẩn .................................................................
1.2.5. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao .....................................................
1.2.6. Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế học .........................................
1.2.7. Công thức Taylor ...............................................................................
BÀI TẬP ........................................................................................................

BÀI 1.3. CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
1.3.1. Cực trị hàm nhiều biến ........................................................................
1.3.2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ...........................................................
1.3.3. Cực trị có điều kiện .............................................................................
1.3.4. Ứng dụng của cực trị có điều kiện trong kinh tế học............................
BÀI TẬP. .......................................................................................................

CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN BỘI


Chương 1. Hàm nhiều biến

3

§2.1. TÍCH PHÂN KÉP
2.1.1. Bài tốn thể tích của vật thể hình trụ ...................................................
2.1.2. Định nghĩa tích phân kép ....................................................................
2.1.3. Tính chất của tích phân kép ................................................................
2.1.4. Điều kiện khả tích................................................................................
2.1.5. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Đề các ..................................
2.1.6. Đổi biến số trong tích phân kép ...........................................................
2.1.7. Ứng dụng của tích phân kép ..............................................................
BÀI TẬP .......................................................................................................

HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ...............................................................................

§2.2. TÍCH PHÂN BỘI BA
2.2.1. Bài tốn dẫn đến tích phân bội ba .....................................................
2.2.2. Định nghĩa tích phân bội ba ...............................................................
2.2.3. Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề các ..............................
2.2.4. Phép đổi biến trong tích phân bội ba ..................................................
2.2.5. Ứng dụng của tích phân bội ba ...........................................................
BÀI TẬP ........................................................................................................
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ ...................................................................

CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
3.1. Tích phân đường loại 1 ..........................................................................
3.2. Tích phân đường loại 2 .........................................................................
Tóm tắt Chương 3 ........................................................................................
BÀI TẬP ........................................................................................................

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN MẶT


4

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

4.1. Tích phân mặt loại một...........................................................................
4.2. Tích phân mặt loại hai ............................................................................
Tóm tắt Chương 4 ........................................................................................
BÀI TẬP ........................................................................................................

CHƯƠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

5.1. Đại cương về phương trình vi phân phương trình vi phân cấp một ......
5.2. Phương trình vi phân với biến số phân li .............................................
5.3. Phương trình thuần nhất ......................................................................
5.4. Phương trình vi phân cấp một khuyết biến .........................................
5.5. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một .............................................
5.6. Phương trình Bernoulli .........................................................................
5.7. Phương trình vi phân tồn phần, nhân tử tích phân .............................
5.8. Phương trình Lagrange và Clairaut ......................................................
II.

PHƯƠNG TRINH VI PHAN CẤP HAI ..................................................

5.9. Đại cương về phương trình vi phân cấp hai .........................................
5.10. Phương trình vi phân bậc hai khuyết biến ...........................................
5.11. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất ............................
5.12. Phương trình vi phân tuyến tính câp hai khơng thuần nhất .................
5.13. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
có hệ số khơng đổi ...............................................................................
5.14. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất
với hệ số hằng số ................................................................................
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ ........................................................................................
ĐÁP SỐ CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ .................................................................


Chương 1. Hàm nhiều biến

5

CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN
Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc của một biến số

vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với
một giá trị xác định của biến phụ thuộc. Trong thực tế, nhiều khi một biến
số phụ thuộc không chỉ vào một mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến
số khác. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm đó.

BÀI 1.1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM NHIỀU BIẾN
n

1.1.1. Tập hợp trong

Cho n là số tự nhiên. Không gian số thực n chiều
như sau:
n

=

( x1, x2 ,..., xn ) xi 

n

được xác định



, i = 1, 2,..., n

Phần tử của khơng gian

n

được gọi là điểm và kí hiệu là :

x = ( x1 , x2 ,..., xn ) .
Phép toán cộng trên

f:

n



( x, y )

→

n

n

xác định như sau:

n

x+ y

Cụ thể x = ( x1, x2 ,..., xn ) 

n

; y = ( y1, y2 ,..., y n ) 

x + y = ( x1 + y1 , x2 + y 2 ,..., xn + yn ) 

Phép toán nhân các phần tử của
g:



n

( , x )

→

n

x

n

n

n

với số thực  được xác đinh như sau:

 x = ( x1 ,  x2 ,...,  xn ) 

n

.

Khi đó khơng gian n cùng với hai phép tốn cộng và nhân lập thành
khơng gian véc tơ trên trường số thực
.


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

6
Định nghĩa 1.1.1.1. Cho x = ( x1 , x2 ,..., xn ) 

n

, y = ( y1 , y2 ,..., y n ) 

n

.

Khi đó số thực x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn được gọi là tích vơ hướng của hai véc tơ
x, y và được kí hiệu x, y .

Định lí 1.1.1.1.
Cho x = ( x1 , x2 ,..., xn ) 

n

, y = ( y1 , y2 ,..., y n ) 

n

, z = ( z1, z2 ,..., zn ) 

n

Khi đó ln có các khẳng định sau:
i) x, y = y, x ;
ii) x + y, z = x, z + y, z ;
iii)  x, y =  x, y ,   ;
iv) x, x  0; x, x = 0  x = 0.
Chứng minh
i) Ta có x, y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = y1x1 + y2 x2 + ... + yn xn = y , x .
ii) Ta có x + y, z = ( x1 + y1 ) z1 + ( x2 + y2 ) z2 + ... + ( xn + yn ) zn

= x1z1 + y1z1 + x2 z2 + y2 z2 + ... + xn zn + yn zn
= ( x1 z1 + x2 z2 + ... + xn zn ) + ( y1z1 + y2 z2 + ... + yn zn )
= x, z + y , z .
iii)  x, y =  x1 y1 +  x2 y2 + ... +  xn yn =  ( x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn )

=  x, y .
iv) x, x = x12 + x22 + ... + xn 2  0. Dấu “=” xảy ra khi x j = 0, j = 1, n.
Định lí 1.1.1.2. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Cho x 
Khi đó ta có bất đẳng thức sau: x, y

2

Chứng minh
n

, y = ( y1 , y2 ,..., y n ) 

Khi y = 0 nghĩa là y = ( 0, 0,..., 0 ) . Do đó, ta có

x, 0

2

= ( x1.0 + x2 .0 + ... + xn .0 ) = 02 = 0
2

, y

n

.

 x, x . y, y . Dấu “=” đạt được

khi hoặc y = 0 hoặc x =  y,   .
Giả sử x = x = ( x1 , x2 ,..., xn ) 

n

n

.


Chương 1. Hàm nhiều biến

7

(

)(

)

x, x . 0, 0 = x12 + x2 2 + ... + xn 2 . 02 + 02 + ... + 02 = 0
Vậy x, 0

2

= x, x . 0, 0 = 0 .

Giả sử y  0, khi đó  

, từ định lí 1.1.1 , ta có:

0  x −  y, x −  y = ( x1 −  y1 ) + ( x2 −  y2 ) + ... + ( xn −  yn )
2

(
= (x

2

) (

)

(

2

= x12 − 2 x1 y1 +  2 y12 + x22 − 2 x2 y2 +  2 y22 + ... + xn 2 − 2 xn yn +  2 yn 2
2
1

)

(

+ x2 2 + ... + xn 2 − 2 ( x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ) +  2 y12 + y22 + ... + yn 2

= x, x − 2 x, y + 

2

)

y, y
2

x, y
x, y
Chọn  =
, ta được: 0  x −  y, x −  y = x, x −
.

y, y
y, y
2

x, y

 x, x .
y, y
2

Do y, y  0, y  0, nên x, y

 x, x . y, y (1)

Tại x =  y, theo định lí 1.1.1 có x, y

2

=  y, y

2

=  2 y, y .
2

x, x =  y ,  y =  y ,  y =  2 y , y .

Do đó ta có  y, y

2

=  2 y, y

2

=  2 y, y . y, y =  y,  y . y, y .

Vậy dấu “=” của (1) xảy ra khi x =  y.
Vì vậy x, y

2

 x, x y, y , x 

Định nghĩa 1.1.1.2. Cho x 

x và được xác định như sau x =
Định lí 1.1.1.3. Cho x, y 

n

n

n

, y

n

.

, khi đó chuẩn của x được kí hiệu là

x, x .
, khi đó ta có các khẳng định sau:

i) x  0; x = 0  x = 0;
ii)  x =  x ,   ;
iii) x + y  x + y (Bất đẳng thức tam giác).

)


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

8
Chứng minh
Giả sử x = ( x1 , x2 ,..., xn ) 
i) Ta có x =

x, x =

n

(x

2
1

, y = ( y1, y2 ,..., y n ) 

n

.

)

+ x2 2 + ... + xn 2  0

(

)

x = 0  x12 + x22 + ... + xn 2 = 0  x = ( 0, 0,..., 0 ) .
ii) Ta có  x =

(

 x,  x =

=
iii) Ta có: x + y

2

2

x12 +  2 x2 2 + ... +  2 xn 2

)

x12 + x22 + ... + xn 2 =  x, x ,   ;
= x + y , x + y = x, x + y + y , x + y
= x + y , x + x + y , y = x, x + y , x + x, y + y , y
= x, x + 2 x, y + y , y

Do định lí 1.1.2 có x, y

2

 x, x . y, y , x, y 

x, y 
Vậy x + y

2

 x, x + 2

x, x .

x, x .

2

2

2

( x + y

)

2

. Nên ta có:

y, y .

y, y + y, y

 x+ y  x +2 x . y + y
 x+ y

n

2

.

 x+ y  x + y .
Định nghĩa 1.1.1.3. Cho x, y 
hai điểm x, y 

n

n

. Khi đó khoảng cách ( Euclid) giữa

được kí hiệu là d ( x, y ) và được xác định như sau:

d ( x, y ) = x − y .
Định lí 1.1.1.4. Cho x, y, z 

n

, khi đó khoảng cách có các tính chất sau:

i) d ( x, y )  0, d ( x, y ) = 0  x  y;
ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) (tính chất đối xứng);
iii) d ( x, z )  d ( x, y ) + d ( y, z ) (bất đẳng thức tam giác).


Chương 1. Hàm nhiều biến

9

Định nghĩa 1.1.1.4. Cho  

n

,   0 là số thực nào đó, khi đó  −

lân cận cầu của điểm a được kí hiệu là U ( a,  ) và được xác định như sau:



U ( a,  ) = x 

n



d ( x, a )   .

Như vậy  − lân cận cầu của điểm a trong
trong

2

là khoảng ( a −  , a +  ) ,

là hình trịn mở tâm a = ( a1 , a2 ) với bán kính  , cịn trong

3

là

hình cầu mở tâm a = ( a1 , a2 , a3 ) với bán kính  .
Định nghĩa 1.1.1.5. Cho M 

n

, M  . Điểm  

n

được gọi là

điểm trong của tập M khi và chỉ khi   0 : U ( a,  )  M . Tập hợp M được
gọi là mở nếu và chỉ nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
Định lí 1.1.1.5. Đối với các tập mở ta có các khẳng định sau:
i)  và n là các tập mở;
ii) Hợp của bất kì các tập mở là tập mở;
iii) Giao của một số hữu hạn các tập mở là tập mở.
Chứng minh
i) Hiển nhiên.
ii) Cho U ,   T − tập các tập mở. Giả sử x0  U . Khi đó x0 thuộc
T

ít nhất một tập hợp U 0 . Do U 0 mở nên tồn tại   0 sao cho

U ( x0 ,  )  U o   U .
 T

iii) Cho các tập mở

U k , k = 1, 2,..., m. Giả sử
x0 

m

U k , khi đó ta có

k =1

U k mở nên tồn tại các số  k  0 sao
cho U ( x0 ,  )  U k . Ta chọn  = min  k .
x0 U k , k = 1, 2,..., m.

Do các tập

k =1,2,...,m

Khi đó ta có   0 và U ( x0 ,  )  U ( x0 ,  k )  U k , k = 1, 2,..., m.
Vậy U ( x0 ,  ) 

m

Uk .

k =1

Chú ý: Giao của một số bất kì các tập mở có thể khơng là tập mở.


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

10
Định nghĩa 1.1.1.6. Tập hợp M 
chỉ nếu phần bù C n M là tập hợp mở.

n

được gọi là tập hợp đóng nếu và

Định lí 1.1.1.6. Đối với các tập hợp đóng ta có các khẳng định sau:
i)  và n là những tập hợp đóng;
ii) Giao của một số bất kì các tập hợp đóng là tập hợp đóng;

iii) Hợp cảu một số hữu hạn các tập hợp đóng là tập hợp đóng.
Định nghĩa 1.1.1.7. Tập hợp M  n được gọi là bị chặn nếu và chỉ
nếu tồn tại số thực R  0 sao cho M nằm trọn trong hình cầu n − chiều

S ( O, R ) tâm tại điểm O = ( 0, 0,..., 0 ) và bán kinh R.
Định nghĩa 1.1.1.8. Tập hợp M  n được gọi là liên thơng nếu và chỉ
nếu qua hai điểm bất kì của tập hợp đó đều có thể nối với nhau bằng một
đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong M. Tập mở và liên thông trong
n

được gọi là miền. Tập liên thơng được gọi là đơn liên khi nó bị giới hạn
bởi một mặt kín (hình 1.1a), gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn nhiều mặt kín
rời nhau từng đơi một (hình 1.1b).

M.

.N

M.

Hình 1.1a. Miền đơn liên
Định nghĩa 1.1.1.9. Cho M 

.N

Hình 1.1b. Miền đa liên
n

, điểm x0 được gọi là điểm biên của

tập M nếu và chỉ nếu mọi lân cận của điểm x0 đều chứa những điểm thuộc
M và chứa những điểm không thuộc M. Tập hợp tất cả các điểm biên của M
được gọi là biên của nó.
Như vậy điểm biên của tập hợp M có thể thuộc tập hợp M hoặc không
thuộc tập hợp M .


Chương 1. Hàm nhiều biến

11



Ví dụ. Tập hợp S ( x0 , r ) = x 

n



d ( x0 , x )  r là tập hợp mở.

Thật vậy, lấy điểm x bất kì thuộc S , ta có d ( x0 , x )  r. Lấy

 = r − d ( x0 , x ) , khi đó U ( x,  ) nằm hoàn toàn trong S ( x0 , r ) vì nếu y là
điểm bất kì của U ( x,  ) thì có

d ( x0 , y )  d ( x0 , x ) + d ( x, y )  d ( x0 , x ) +  = r.
Tập hợp S ( x0 , r ) được gọi là quả cầu mở trên x0 , bán kinh r. Biên
tập hợp S ( x0 , r ) gồm những điểm x sao cho d ( x0 , x ) = r được gọi là mặt
cầu tâm x0 bán kính r. Tập hợp những điểm x 

n

sao cho d ( x0 , x )  r

là một tập hợp đóng, được gọi là quả cầu đóng tâm x0 bán kính r.
1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến

Xét không gian Euclid n chiều
gọi ánh xạ f : D →

n

( n  2) ,

cho D 

n

, D  . Ta

xác định bởi

x = ( x1 , x2 ,..., xn )  D

z = f ( x ) = f ( x1 , x2 ,..., xn ) 

là hàm n biến xác định trên D. Tập D được gọi là miền xác định của hàm
f , còn x1 , x2 ,..., xn được gọi là biến độc lập. Trong giáo trình này ta chủ

yếu xét những hệ tọa độ Descartes vng góc. Ta quy ước, nếu hàm được
cho bởi công thức a = f ( x ) , x 

n

( n  2)

mà khơng nói gì thêm về miền

xác định của hàm z, thì miền xác định của hàm này được hiểu là tập hợp
những điểm x 

n

sao cho biểu thức f ( x ) có nghĩa.

Ví dụ 1. Tương ứng z = 1 − x 2 − y 2 là hàm có miền xác định là hình
2
2
trịn đóng tâm O bán kính 1, tức là miền x + y  1 (hình1.2)


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

12
y
y

1
O

x

O

1

Hình 1.2

x

Hình 1.3

Ví dụ 2. Tương ứng z = x 4 y ln ( x + y − 1) là hàm có miền xác định
là miền x + y  1, x  0, y  0. (Hình 1.3)

y : x 2 + y 2 = 1 vì tại x = 0 có tương ứng hai

Ví dụ 3. Tương ứng x
giá trị của y là 1 và −1.

Ví dụ 4. Tương ứng u = 1 − x 2 − y 2 − z 2 ln z là hàm có miền xác
định là nửa trên quả cầu đóng có tâm O và bán kính R = 1, tức là miền

x 2 + y 2 + z 2  1, z  0.
Định nghĩa 1.1.2.1. Cho hàm z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) xác định trên

D

n

. Đồ thị của hàm nhiều biền f ( x1 , x2 ,..., xn ) là tập hợp các điểm

trong không gian ( n + 1) chiều, xác định như sau:

G=

( x , x ,..., x , f ( x , x ,..., x )) ( x , x ,..., x )  D.
1

2

n

1

2

n

1

2

n

Khi n = 1 đồ thị của hàm f được biểu diễn tường minh trên mặt phẳng
và đã dược nghiên cứu kĩ trong giải tích một biến.
Khi n = 2 thì việc nghiên cứu đồ thị của hàm f sẽ gặp khó khan hơn
vì khơng dễ biểu diễn vật thể ba chiều trên mặt phẳng. Khi đó có thể dựa

vào sự trợ giúp của máy tính để nhận được đồ thị của hàm hai biến trong


Chương 1. Hàm nhiều biến

13

không gian ba chiều một cách nhanh chóng. Ngồi ra cịn một phương pháp
khác đề hình dung đồ thị của hàm hai biến, mặc dù không đầy đủ nhưng
cũng khá trực quan như sau: Với mối số thực c , phương trình f ( x, y ) = c
xác định một đường cong trong mặt phẳng. Đường cong này gọi là đường
mức c và dễ biểu diễn hơn hẳn so với biểu diễn mặt cong z = f ( x, y ) . Khi
vẽ được nhiều đường mức khác nhau, ta sẽ dễ dàng có được bức tranh tổng
thể về đồ thị của hàm hai biến này. Đối với n (  3) biến khơng có phương
pháp nào biểu diễn đồ thị một cách trực tiếp, mà chỉ có thể hình dung về đồ
thị của chúng qua các thông tin về mặt mức ( trong không gian ba chiều).
2
2
Ví dụ 5. Hàm z = x + y có đồ thị là một mặt paraboloit trịn xoay

(H.1.4)

Hình 1.4

Hình 1.5

2
2
2
Ví dụ 6. Hàm z = x + y có đồ thị là mặt nón trịn xoay( Hình 1.5)

Ví dụ 7. Hàm
(H.1.6)

x2 y 2 z 2
+
−
= 1 có đồ thị là mặt hypeboloit một tầng
a 2 b2 c2


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

14

Hình 1.6
Hình 1.7
2

Ví dụ 8. Hàm

2

2

x
y
z
+ 2 − 2 = −1 có đồ thị là mặt hypeboloit hai
2

a
b
c

tầng(H.1.7)
Ví dụ 9. Hàm

x2 y 2
−
= 2 z với p  0, q  0 có đồ thị là mặt
p q

paraboloit hyperbolic ( hay còn gọi là mặt yên ngựa)(H.1.8)

Hình 1.8

Hình 1.9

2
Ví dụ 10. Hàm y = 2 px với p  0 có đồ thị là mặt trụ parabol (H.1.9)


Chương 1. Hàm nhiều biến

Ví dụ 11. Hàm

15

x2 y 2
+

= 1 có đồ thị là mặt trụ elip(H.1.10)
a 2 b2

Hình 1.10.
1.1.3. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế
1.1.3.1. Hàm sản xuất

Hàm sản xuất là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng tiềm
năng của một doanh nghiệp vào sản lượng sử dụng các yếu tố sản xuất. Khi
phân tích hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế thường lưu tâm đến hai yếu tố
sản xuất cao trọng nhất là tư bản (capital) và lao động( labor). Gọi K là
lượng tư bản (vốn) và L là lượng lao động được sử dụng. Với trình độ
cơng nghệ của mình, khi sử dụng K đơn vị tư bản và L đơn vị lao động,
doanh nghiệp có khả năng sản xuất một lượng sản phẩm tối đa kí hiệu là Q (
gọi là sản lượng tiềm năng). Hàm sản xuất có dạng:
Q = f ( K , L).
Hàm số cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả năng sản
xuất được ở mỗi mức sử dụng kết hợp vốn và lao động. Khi phân tích sản
xuất người ta giả thiết rằng doanh nghiệp khai thác hết khả năng công nghệ,
tức là Q luôn luôn là sản lượng tiềm năng, do đó hàm sản xuất f là do
cơng nghệ xác định.
Dạng hàm sản xuất mà nhà kinh tế học hay sử dụng là hàm
CobbDouglas:

Q = aK  L ,
trong đó a,  ,  là các hằng số dương.


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

16

Đường mức của hàm sản xuất có phương trình :

f ( K , L ) = Q0 ( Q0 − const , Q0  0 ) .
Trong kinh tế học thuật ngữ “ đường mức” của hàm sản xuất có tên gọi là
đường đồng lượng, hay đường đẳng lượng. Đường đồng lượng là tập hợp các
tổ hợp yếu tố sản xuất ( K , L ) cho cùng một mức sản lượng Q0 cố định.
1.1.3.2. Hàm chi phí và hàm lợi nhuận

Tổng chi phí sản xuất TC (Total cost) tính theo sản lượng gọi là hàm
chi phí, có dạng: TC ( Q ) .
Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm chi phí là hàm số của các yếu
tố sản xuất:

TC = w K K + w L L + C0 ,
Trong đó w K là giá thuê của một đơn vị tư bản ( chẳng hạn như một
giờ sử dụng xưởng máy); w L là giá thuê của một đơn vị lao động( chẳng
hạn như một giờ làm việc của công nhân); C0 là chi phí cố định.
Nếu doạn nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = f ( K , L ) và giá trị
trường của sản phẩm là p thì tổng doanh thu của doanh nghiệp là hàm số
của 2 biến số K và L : TR = pQ = pf ( K , L ) .
Tổng lợi nhuận của một doanh nghiệp cạnh tranh là hàm số:

 = pf ( K , L ) − ( w K K + w L L + C0 ) .
1.1.3.3. Hàm chi phí kết hợp

Trên thực tế có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản
phẩm. Giả sử doanh nghiệp sản xuất n sản phẩm. Với trình độ cơng nghệ
nhất định, để sản xuất một bộ sản phẩm gồm Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn

vị sản phẩm 2,…, Qn đơn vị sản phẩm n, doanh nghiệp phải bỏ ra một
khoản chi phí TC. Như vậy TC là hàm số của n biến số:

TC ( Q1 , Q2 ,..., Qn ) .
Hàm trên dược gọi là hàm chi phí kết hợp.


Chương 1. Hàm nhiều biến

17

1.1.3.4. Hàm đầu tư

Lượng đầu tư I ( Investment) của nền kinh tế phụ thuộc vào tổng thu
nhập Y và lãi suất r. Hàm đầu tư là hàm số biểu diễn quan hệ này:

I = I (Y , r ) .
Hàm đầu tư đồng biến với thu nhập ( khi lãi suất không đổi) và nghịch
biến với lãi suất ( khi thu nhập không đổi).
1.1.3.5. Hàm lợi ích

Sở thích của người tiêu dùng là một trong các yếu tố quan trọng chi
phối quyết định mua sắm, tức là ảnh hưởng tới phía cầu của hoạt động kinh
tế. Các nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu diễn mức độ
ưa thích của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu
dùng. Ta gọi mỗi tổ hợp hàng hóa là một túi hàng. Giả sử cơ cấu tiêu dùng
gồm n mặt hàng. Mỗi túi hàng là một bộ n số thực X = ( x1 , x2 ,...., xn ) , trong
đó xi  0 là lượng hàng i ( i = 1, 2,..., n ) . Hàm lợi ích là hàm số đặt tương
ứng mỗi túi hàng X = ( x1 , x2 ,...., xn ) với mối giá trị lợi ích U nhất định theo
quy tắc: túi hàng nào được ưa chuộng hơn thì được gán giá trị lợi ích lơn

hơn. Hàm lợi ích có dạng như sau:

U = U ( x1 , x2 ,..., xn ) .
Một trong những dạng của hàm lợi ích hay sử dụng là hàm CobbDouglas:

U = ax11 x2 2 ....xn n
( a, 1 ,  2 ,...,  n là các hằng số dương).
Tập mức của hàm lợi ích có phương trình:

U ( x1 , x2 ,..., xn ) = U 0 (U 0 − const ) .
Trong kinh tế học tập mức của hàm lợi ích được gọi là tập bàng quan
(Indifferent set). Tập bàng quan là tập hợp tất cả các túi hàng đem lại cùng
một mức lợi ích cho người tiêu dùng (tập hợp các túi hàng được ưa chuộng
như nhau). Trong trường hợp n = 2 tập bàng quan được gọi là đường bàng


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

18

quan (Indifferent curve). Phương trình đường bàng quan là phương trình hai
biến số:

U ( x1 , x2 ) = U 0 .
Chú ý rằng lợi ích được sử dụng để biểu diễn sở thích của người tiêu
dùng: túi hàng nào được ưa thích hơn thì được gán giá trị lợi ích lớn hơn.
Giá trị lợi ích U chỉ mang ý nghiac ước lệ. Nếu V = g (U ) là một hàm
dương đồng biến thì hàm lợi ích U = U ( X ) , và V = g U ( X )  cùng mô tả
một sở thích.
1.1.3.6. Hàm cung và hàm cầu trên thị trường nhiều hàng hóa

Hàm cung ( hàm cầu) biểu diễn lượng hàng hóa mà người bán bằng
lịng bán ( người mua bằng lòng mua) ở mỗi mức giá. Lượng cung và lượng
cầu đối với một loại hàng hóa trên thị trường khơng những phụ thuộc vào
giá của hàng hóa đó mà còn bị chi phối bởi giá của các hàng hóa liên quan
và thu nhập của người tiêu dùng. Trên thị trường n hàng hóa liên quan hàm
cung hàng hóa i và hàm cầu đối với hàng hóa i có dạng ( với giả thiết thu
nhập không thay đổi):
Qsi = Si ( p1 , p2 ,..., pn ) ,
Qdi = Di ( p1 , p2 ,..., pn ) ,

Trong đó Qsi là lượng cung hàng hóa i, Qdi là lượng cầu đối với hàng
hóa i, pi là giá hàng hóa i ( i = 1, 2,..., n ) . Mô hình cân bằng của thị trường
n hàng hóa liên quan có dạng:
Qsi = Qdi

Qsi = Si ( p1 , p2 ,..., pn )

Qdi = Di ( p1 , p2 ,..., pn )
i = 1, 2,..., n

Hệ phương trình xác định giá cân bằng là :

 Si ( p1 , p2 ,..., pn ) = Di ( p1 , p2 ,..., p n )


i = 1, 2,..., n


Chương 1. Hàm nhiều biến

19

Qdi = Di ( p1 , p2 ,..., pn ) gọi là hàm cầu xuôi thể hiện quan hệ mức cầu –
giá dưới góc độ nhìn nhận của người tiêu dùng, nó mang ý nghĩa: nếu giá
hàng hóa là pi thì người tiêu dùng sẽ quyết định mua với khối lượng Qdi
Hàm cầu ngược pi = p ( Qdi ) biểu thị quan hệ cầu –giá nhưng theo
quan điểm của người sản xuất, nó mang ý nghĩa: nếu người sản xuất cung
ứng cho thị trường khối lượng hàng hóa Qdi thì mức giá bán được là pi .
1.1.3.7. Ví dụ

Ví dụ 12. Một cơng ti cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm
sản xuất Q = 5 3 K . L , với Q, K , L được tính hàng ngày.
a. Hãy viết phương trình đường đồng lượng ứng với mức sản lượng
Q = 200.

b. Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng
ngày của công ti theo K và L, cho biết giá sản phẩm trên thị trường là $4,
giá tư bản là $15, và giá lao động là $8 và mỗi ngày công ti phải trả $50
chi phí khác.
Giải:
a. Ta có phương trình đường đồng lượng ứng với mức sản lượng
Q = 200 là:

5 3 K . L = 200  3 K . L = 40
b. Tổng doanh thu hàng ngày của công ti là:

TR = pQ = pf ( K , L )
Với giá sản phẩm trên thị trường p = 4 ( đơn vị $). Vậy doanh thu của
công ti là:

TR = 4.5 3 K . L = 20 3 K . L .
Tổng chi phí TC = w K K + w L L + C0 , với w K = 15; w L = 8, C0 = 50
Vậy tổng chi phí của công ti là: TC = 15K + 8L + 50
Tổng lợi nhuận hàng ngày của công ti  = pf ( K , L ) − ( w K K + w L L + C0 )

 = 20 3 K L − 15K − 8L − 50.


GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2

20

Ví dụ 13. Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất Q =

1 5
40 K 3 L6

và tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm cầu D ( p ) = 350 − 3 p. Hãy lập
hàm số biều diễn tổng doanh thu theo K và L .
Giải:
Từ phương trình Q = D ( p ) ta tìm được hàm ngược p =

350 − Q
3

Vậy ta tìm được hàm số biểu diễn doanh thu là:

350 − Q
TR = pQ =

.Q =
3

1 5
350 − 40 K 3 .L6

3

1 5
.40 K 3 .L6

1 5 1 5
40 
=  350 − 40 K 3 .L6  K 3 .L6 .

3 



Ví dụ 14. Một cơng ti độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi
phí kết hợp ( Qi lượng sản phẩm i ):

TC = 3Q12 − 2Q1Q2 + 4Q22 .
a. Lượng chi phí mà công ti phải bỏ ra để sản xuất 4 đon vị sản phẩm
thứ nhất và 2 đơn vị sản phẩm thứ hai là bao nhiêu?
b. Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm thứ nhất là D1 ( p1 ) = 320 − 5 p1 ,
hàm cầu đối với sản phẩm thứ hai là D2 ( p2 ) = 150 − 2 p2 . Hãy lập hàm số biểu
diễn tổng lợi nhuận của công ti theo Q1 , Q2 .
Giải:
a. Lượng chi phí mà cơng ti phải bỏ ra là:

TC = 3.42 − 2.4.2 + 4.22 = 48
b. Hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ti theo Q1 , Q2

 = p1Q1 + p2Q2 − TC ( Q1 , Q2 )
320 − Q1
5
150 − Q2
Từ phương trình Q2 = D2 ( p2 )  p2 =
2

Từ phương trình Q1 = D1 ( p1 )  p1 =