Đề và đáp án môn toán khối A năm 2012


 !"#$%&'%
"($)$*+',-'$./"01
23456789:$;,<
=>79:$;,<Cho hm s
4 2 2
2 1 1y x ( m )x m ( )= − + +
,với m l tham s thực.
a) Kho st sự biến thiên v vẽ đồ thị hm s (1) khi m = 0.
b) Tìm m để đồ thị hm s (1) có ba điểm cực trị tạo thnh ba đỉnh của một tam gic vuông.
=>79:$;,< Gii phương trình
3 sin2x+cos2x=2cosx-1
=>?79:$;,< Gii hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =


(x, y ∈ R).
=>@79:$;,<Tính tích phân
3
2

1
1 ln( 1)x
I dx
x
+ +
=
∫
=>A79:$;,< Cho hình chóp S.ABC có đy l tam gic đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABC) l điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường
thẳng SC v mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khi chóp S.ABC v tính khong
cch giữa hai đường thẳng SA v BC theo a.
=>B79:$;,<Cho cc s thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm gi trị nhỏ nhất
của biểu thức
2 2 2
3 3 3 6 6 6
x y y z z x
P x y z
− − −
= + + − + +
.
23CD7?9:$;,<Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
%E"FGH"IJ)1KL"">M
=>8E*79:$;,< Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M l
trung điểm của cạnh BC, N l điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Gi sử
11 1
;
2 2
M

 
 ÷
 
v
đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
=>.E*79:$;,<Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 2
1 2 1
x y z+ −
= =
v điểm I (0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I v cắt d tại hai điểm A, B sao cho
tam gic IAB vuông tại I.
=>NE*79:$;,<ECho n l s nguyên dương thỏa mãn
1 3
5
n
n n
C C
−
=
. Tìm s hạng chứa x
5
trong
khai triển nhị thức Niu-tơn
2
1
14
n
nx
x

 
−
 ÷
 
, x ≠ 0.
E"FGH"IJ)1KL"=)H*G
=>8E-79:$;,<Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+ y
2
= 8. Viết
phương trình chính tắc elip (E), biết rằng (E) có độ di trục lớn bằng 8 v (E) cắt (C) tại bn
điểm tạo thnh bn đỉnh của một hình vuông.
=>.E-79:$;,<Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1 2
2 1 1
x y z+ −
= =
, mặt phẳng (P) : x + y – 2z + 5 = 0 v điểm A (1; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d
v (P) lần lượt tại M v N sao cho A l trung điểm của đoạn thẳng MN.
=>NE-79:$;,<Cho s phức z thỏa
5( )
2
1
z i
i
z
+
= −
+

. Tính môđun của s phức w = 1 + z + z
2
.
6O
5PQ
23456789:$;,<
=>a/ Kho st, vẽ (C) :
m = 0 ⇒ y = x
4
– 2x
2

D = R, y’ = 4x
3
– 4x, y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x = ±1
Hm s đồng biến trên (-1; 0) v (1; +∞), nghịch biến trên (-∞;-1) v (0; 1)
Hm s đạt cực đại tại x = 0 v y
CĐ
= 0, đạt cực tiểu tại x = ±1 v y
CT
= -1
lim
x
y
→±∞
= +∞
Bng biến thiên :
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ − 0 + 0 − 0 +
y +∞ 1 +∞

-1 -1
y = 0 ⇔ x = 0 hay x =
2±
Đồ thị tiếp xúc với Ox tại (0; 0) v cắt Ox tại hai điểm (
2±
; 0)
b/ y’ = 4x
3
– 4(m + 1)x
y’ = 0 ⇔ x = 0 hay x
2
= (m + 1)
Hm s có 3 cực trị ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > -1
Khi đó đồ thị hm s có 3 cực trị A (0; m
2
),
B (-
1m +
; – 2m – 1); C (
1m +
; –2m – 1)
Do AB = AC nên tam gic chỉ có thể vuông tại A. Gọi M l trung điểm của BC ⇒ M (0; -2m–1)
Do đó ycbt ⇔ BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền)
⇔ 2
1m +
= 2(m
2
+ 2m + 1) = 2(m + 1)
2
⇔ 1 = (m + 1)

1m +
=
3
2
( 1)m +
(do m > -1)
⇔ 1 = (m + 1) (do m > -1) ⇔ m = 0
=>E
3 sin2x+cos2x=2cosx-1
⇔
2 3
sinxcosx + 2cos
2
x = 2cosx ⇔ cosx = 0 hay
3
sinx + cosx = 1
⇔ cosx = 0 hay
3
2
sinx +
1
2
cosx =
1
2
⇔ cosx = 0 hay
cos( ) cos
3 3
x
π π

− =
⇔ x =
2
2
k hay x k
π
π π
+ =
hay
2
2
3
x k
π
π
= +
(k ∈ Z).
=>?
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =



Đặt t = -x
Hệ trở thnh
3 3 2 2
2 2
3 3 9( ) 22
1
2
t y t y t y
t y t y

+ + + − + =


+ + + =


. Đặt S = y + t; P = y.t
Hệ trở thnh
3 2 3 2
2 2
3 3( 2 ) 9 22 3 3( 2 ) 9 22
1 1 1
2 ( )
2 2 2
S PS S P S S PS S P S
S P S P S S
 
− + − − = − + − − =

 
⇔
 
− + = = + −
 
 
3 2
2
3
2 6 45 82 0
4
1 1
( )
2
2 2
S S S
P
P S S
S

+ + + =

=
 
⇔ ⇔
 
= + −
 
= −



. Vậy nghiệm của hệ l
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
−
   
−
 ÷  ÷
   
x
y
-1
O
-
-1
1
Cch khc :
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1 1
( ) ( ) 1
2 2
x x x y y y
x y

− − + = + −



− + + =


. Đặt u = x
1
2
−
; v = y +
1
2
Hệ đã cho thnh
3 2 3 2
2 2
3 45 3 45
( 1) ( 1) ( 1)
2 4 2 4
1
u u u v v v
u v

− − = + − + − +



+ =

Xét hm f(t) =
3 2
3 45
2 4

t t t− −
có f’(t) =
2
45
3 3
4
t t− −
< 0 với mọi t thỏa t≤ 1
⇒ f(u) = f(v + 1) ⇒ u = v + 1 ⇒ (v + 1)
2
+ v
2
= 1 ⇒ v = 0 hay v = -1 ⇒
0
1
v
u
=


=

hay
1
0
v
u
= −



=

⇒ Hệ đã cho có nghiệm l
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
−
   
−
 ÷  ÷
   
.
=>@E
3
2
1
1 ln( 1)x
I dx
x
+ +
=
∫
=
3 3
2 2
1 1
1 ln( 1)x
dx dx
x x
+

+
∫ ∫
=
1
3
1
1
x
−
−
J+
=
2
3
J+
. Với
3
2
1
ln( 1)x
J dx
x
+
=
∫
Đặt u = ln(x+1)
⇒
du =
1
1

dx
x +
; dv =
2
1
dx
x
, chọn v =
1
x
−
- 1
J =
3
1
( 1)ln( 1)
1
x
x
−
− +
+
3
1
dx
x
∫
=
3
1

( 1)ln( 1)
1
x
x
−
− +
+
3
1
ln x
=
4
ln 4 2ln 2
3
−
+
+ ln3
=
2
ln 2 ln 3
3
−
+
. Vậy I =
2 2
ln 2 ln3
3 3
−
+ +

Cch khc : Đặt u = 1 + ln(x+1) ⇒ du =
1
dx
x +
; đặt dv =
2
dx
x
, chọn v =
1
x
−
, ta có :
[ ]
3
1
1
1 ln( 1)I x
x
= − + +
+
3
1
( 1)
dx
x x +
∫
=
[ ]
3 3

1 1
1
1 ln( 1) ln
1
x
x
x x
− + + +
+
=
2 2
ln 2 ln3
3 3
−
+ +
=>AE
Gọi M l trung điểm AB, ta có
 ? B
a a a
MH MB HB= − = − =




? . 8
 B ?B ?
a a a a
CH CH
 
 

= + = ⇒ =
 
 
 
 
 8

?
a
SC HC= =
; SH = CH.tan60
0
=
21
3
a
( )
 ?
 8 8
9
? @ 
a a
V S ABC a= =
dựng D sao cho ABCD l hình thoi, AD//BC
Vẽ HK vuông góc với AD. V trong tam gic vuông
SHK, ta kẻ HI l chiều cao của SHK.
Vậy khong cch d(BC,SA) chính l khong cch 3HI/2 cần tìm.
 ? ?
?  ?
a a

HK = =
, hệ thức lượng
    
    
 ?
? ?
HI HS HK
a a
⇒ = + = +
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
[ ]
@ ? ? @ @
9
    .
a a a
HI d BC SA HI⇒ = ⇒ = = =
 %




!


=>BE x + y + z = 0 nên z = -(x + y) v có 2 s không âm hoặc không dương. Do tính chất đi xứng
ta có thể gi sử xy ≥ 0
Ta có

2 2
2 2
3 3 3 12( )
x y y x x y
P x y xy
− + +
= + + − + +
=
2 2
2
3 3 3 12[( ) ]
x y y x x y
x y xy
− + +
= + + − + −
≥
2 2
2
2
3 2.3 12[( ) ]
y x x y
x y
x y xy
+ + +
−
+ − + −
≥
3
2
3 2.3 2 3

x y
x y
x y
+
−
+ − +
. Đặt t =
0x y+ ≥
, xét f(t) =
3
2.( 3) 2 3
t
t−
f’(t) =
3 3
2.3( 3) .ln 3 2 3 2 3( 3.( 3) ln 3 1) 0
t t
− = − >
⇒ f đồng biến trên [0; +∞) ⇒ f(t) ≥ f(0) = 2
M
3
x y−
≥ 3
0
= 1. Vậy P ≥ 3
0
+ 2 = 3, dấu “=” xy ra ⇔ x = y = z = 0. Vậy min P = 3.
%E"FGH"IJ)1KL"">M
=>8*E
Ta có : AN =

10
3
a
; AM =
5
2
a
; MN =
5
6
a
;
cosA =
2 2 2
2 .
AM AN MN
AM AN
+ −
=
1
2
⇒
·
45
o
MAN =
(Cch khc :Để tính
·
MAN
= 45

0
ta có thể tính
·
·
1
2
3
( ) 1
1
1 2.
3
tg DAM DAN
−
− = =
+
)
Phương trình đường thẳng AM : ax + by
11 1
2 2
a b− −
= 0
·
2 2
2
1
cos
2
5( )
a b
MAN

a b
−
= =
+
⇔ 3t
2
– 8t – 3 = 0 (với t =
a
b
<⇒t = 3 hay
1
3
t = −
+ Với t = 3 ⇒ tọa độ A l nghiệm của hệ :
2 3 0
3 17 0
x y
x y
− − =


+ − =

⇒ A (4; 5)
+ Với
1
3
t = −
⇒ tọa độ A l nghiệm của hệ :
2 3 0

3 4 0
x y
x y
− − =


− − =

⇒ A (1; -1)
Cch khc: A (a; 2a – 3),
3 5
( , )
2
d M AN =
, MA =
3 10
. 2
2
MH =
⇔
2 2
11 7 45
( ) (2 )
2 2 2
a a− + − =
⇔ a = 1 hay a = 4 ⇒ A (1; -1) hay A (4; 5).
=>.*E Ta có M (-1; 0; 2) thuộc d, gọi
d
u
uur

= (1; 2; 1) l vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
[ , ]
2
( , )
2 2
d
d
MI u
AB R
IH d I d
u
= = = =
uuur uur
uur
,
[ , ] ( 2;0;2)
d
MI u = −
uuur uur
⇒ IH =
8 2
6 3
=
2 2
2
3
R
=
⇒ R =
2 6

3
⇒ phương trình mặt cầu (S) l :
2 2 2
8
( 3)
3
x y z+ + − =
.
=>NE*E
1 3
5
n
n n
C C
−
=
⇔
( 1)( 2)
5.
6
n n n
n
− −
=
⇔ 30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0) ⇒ n = 7
Gọi a l hệ s của x
5
ta có
7
2

7 5
7
1
.
2
i
i
i
x
C ax
x
−
−
 
 
− =
 ÷
 ÷
 
 
⇔
7
7 14 3 5
7
1
( 1) . .
2
i
i i i
C x ax

−
− −
 
− =
 ÷
 
⇒ 14 – 3i = 5 ⇒ i = 3 v
7
7
7
1
.
2
i
i
C a
−
−
 
− =
 ÷
 
⇒ a =
35
16
−
. Vậy s hạng chứa x
5
l
35

16
−
.x
5
.
E"FGH"IJ)1KL"=)H*G
B
A
C
D
N
M
=>8- Phương trình chính tắc của (E) có dạng :
2 2
2 2
1 ( )
x y
a b
a b
+ = >
. Ta có a = 4
(E )cắt (C ) tại 4 điểm tạo thnh hình vuông nên :
M (2;-2) thuộc (E)
2 2
4 4
1
a b
⇔ + =
2
16

3
b⇔ =
. Vậy (E) có dạng
2 2
1
16
16
3
x y
+ =
=> E
( 1 2 ; ;2 )( )M d M t t t t R∈ ⇒ − + + ∈
; A l trung điểm MN
(3 2 ; 2 ;2 )N t t t⇒ − − − −

( )N P∈
2t⇒ =
( 1; 4;0)N⇒ − −
;
∆
đi qua A v N nên phương trình có dạng :
1 4
2 3 2
x y z+ +
= =
=>N-E
z x yi= +
5( )
2
1

z i
i
z
+
= −
+

5( )
2
1
x yi i
i
x yi
− +
⇔ = −
+ +

5[( ( 1) )
2
( 1)
x y i
i
x yi
− −
⇔ = −
+ +
5 5( 1) 2( 1) ( 1) 2x y i x x i yi y⇔ − − = + − + + +

5 5( 1) (2 2 ) ( 1 2 )x y i x y x y i⇔ − − = + + − + −
2 2 5

1 2 5( 1)
x y x
x y y
+ + =


+ − = −

3 2
7 6
x y
x y
− =

⇔

− = −

1
1
x
y
=

⇔

=

z = 1 + i;
2 2

1 1 (1 ) (1 )w z z i i= + + = + + + +
1 1 1 2 ( 1)i i= + + + + + −
2 3i= +
4 9 13w⇒ = + =
Bộ gio dục