Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HẢI HÀ
VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ HẢI HÀ
VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN NGUYÊN AN
THÁI NGUYÊN – NĂM 2014
Mục lục
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 2
1.1. Xây dựng vành K[X] 2
1.2. Hàm đa thức 6
1.3. Số học trong K[X] 7
1.4. Không điểm của đa thức 10
1.5. Đa thức với hệ số phức và thực 12
Chương 2. Phân thức hữu tỷ 16
2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ 16
2.2. Phân tích thành phân thức đơn giản 22
2.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG) 28
2.4. Công thức nội suy Lagrange 38
Chương 3. Một số bài toán liên quan 42
3.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ 42

3.2. Một số lớp phương trình, hệ phương trình với hàm phân thức hữu tỷ 45
3.3. Phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ 53
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
Mở đầu
Phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản của chương trình
Toán ở bậc học phổ thông. Đặc biệt, ở các trường THPT chuyên và các lớp chuyên
toán có rất nhiều dạng toán liên quan đến hàm phân thức. Hơn nữa phân thức hữu
tỷ còn xuất hiện ở cả bậc Đại học trong Đại Số, Giải Tích, Hình Học, Tổ Hợp. Để
phục vụ cho việc dạy học sau này cũng như làm tiền đề để nghiên cứu sâu về phân
thức hữu tỷ. Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “ Vành phân thức hữu tỷ và ứng
dụng”. Luận văn được chia ra làm ba chương.
Chương 1: Là kiến thức chuẩn bị về vành đa thức bao gồm cách xây
dựng vành đa thức K[X], hàm đa thức, số học trong vành K[X], không điểm
của đa thức và đa thức với hệ số phức và thực, đặc biệt chương này giới thiệu
một cách chứng minh của Định lý cơ bản Đại số (Định lý d’Alambert); giới
thiệu thuật toán chia theo lũy thừa tăng.
Chương 2: Trình bày về phân thức hữu tỷ. Cách xây dựng trường các
phân thức hữu tỷ, cách phân tích thành các phân thức đơn giản cũng như cách
thực hành phép phân tích đơn giản, Định lý Lagrange và ứng dụng trong phân
tích phân thức hữu tỷ
Chương 3: Chương này bao gồm các bài toán trên phân thức hữu tỷ và
một số phương trinh và phương trình hàm trên hàm phân thức hữu tỷ.
Để hoàn thành luân văn này, trước nhất em xin chân thành cảm ơn tới
T.S Trần Nguyên An đã dành thời gian hướng dẫn chỉ bảo tận tình giúp đỡ
trong suốt quá trình làm luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã đọc, kiểm
tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ và phong
phú hơn.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014

5
Lê Hải Hà
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận văn ta giả sử
K
là một trường.
1.1. Xây dựng vành đa thức
[ ]K X
1.1.1. Định nghĩa.
(i). Với mọi dãy
( )
n
n
a
∈¥
thuộc
n
K
, ta gọi tập hợp các n thuộc
¥
sao cho
0
n
a ≠
là giá của
( )
n
n
a

∈¥
.
(ii). Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong
K
) là dãy
( )
n
n
a
∈¥
bất kỳ thuộc
n
K

có giá hữu hạn.
(iii). Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong
K
kí hiệu là
[ ]K X
.
Như thế,
[ ]K X

⊂
K
¥
và với mọi dãy
( )
n
n

a
∈¥
thuộc
K
¥
:
( )
n
n
a
∈¥
( )
( )
[ ] , , 0 .
n
K X N n n N a∈ ⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ =¥ ¥
Các phần tử của
[ ]K X
cũng được gọi là đa thức hình thức. Ta kí hiệu 0 là dãy
hằng không thuộc
K
¥
(xác định bởi:
, 0
n
n a∀ ∈ =¥
), được gọi là đa thức
không. Đa thức hằng là các đa thức
( )
n

n
a
∈¥
thuộc
[ ]K X
sao cho:
1, 0.
n
n a∀ ≥ =
Đơn thức là đa thức
( )
n
n
a
∈¥
thuộc
[ ]K X
bất kỳ sao cho tồn tại
0
n ∈¥
thỏa
mãn:
0
,( 0).
n
n n n a∀ ∈ ≠ ⇒ =¥
Nhận xét:
(i). Theo 1.1.1, hai đa thức
( )
n

n
a
∈¥
,
( )
n n
b
∈¥
bằng nhau khi và chỉ khi:
, .
n n
n a b∀ ∈ =¥
6
(ii).
[ ]K X K≠
¥
vì dãy hằng (1) (xác định bởi:
, 1
n
n a∀ ∈ =¥
) thuộc
K
¥
,
không thuộc
[ ]K X
.
Định nghĩa. Cho
( ) [ ].
n n

P a K X
∈
= ∈
¥
(i). Nếu
0P ≠
, số tự nhiên n lớn nhất sao cho
0
n
a ≠
gọi là bậc của P, và
kí hiệu là
deg( )P
. Phần tử
deg( )P
a
được gọi là hệ tử của hạng tử có bậc cao
nhất (hoặc hệ tử cao nhất) của P. Ta nói rằng P là chuẩn tắc khi và chỉ khi
0P ≠
và
deg( )P
a
=1. Ta kí hiệu
deg(0) .= −∞
(ii). Nếu
0P ≠
, định giá của P, kí hiệu là
( )val P
, là số tự nhiên n bé nhất
sao cho

0
n
a ≠
. Ta quy ước
(0) .val = +∞
Nhận xét:
[ ]\{0}, ( ) deg( ).P K X val P P∀ ∈ ≤
Định nghĩa. Cho
( ) [ ].
n n
P a K X
∈
= ∈
¥
(i). Ta nói rằng
P
là chẵn khi và chỉ khi:
2 1
, 0.
p
p a
+
∀ ∈ =¥
(ii). Ta nói rằng
P
là lẻ khi và chỉ khi:
2
, 0.
p
p a∀ ∈ =¥

1.1.2. Mệnh đề (Phép cộng).
(i). Cho
( )
n n
P a
∈
=
¥
,
( )
[ ].
n
n
Q b K X
∈
= ∈
¥

Khi đó
( )
[ ],
n n
n
P Q a b K X
∈
+ = + ∈
¥
xác định phép cộng trên K[X].
(ii). Ta có, với P, Q bất kì thuộc
[ ]K X

:
•
deg( ) (deg( ),deg( )).P Q Max P Q+ ≤
•
deg( ) deg( ) deg( ) (deg( ),deg( )).P Q P Q Max P Q≠ ⇒ + =
•
( ) ( ( ), ( )).val P Q Min val P val Q+ ≥
•
( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )).val P val Q val P Q Min val P val Q≠ ⇒ + =
(iii). (
[ ]K X
,+) là một nhóm Abel.
1.1.3. Mệnh đề (Phép nhân).
7
(i). Cho
( )
n n
P a
∈
=
¥
,
( )
[ ].
n
n
Q b K X
∈
= ∈
¥

Kí hiệu
PQ
là dãy
( )
n
n
n
c K
∈
∈
¥
xác định bởi:
0
, .
n
n k n k i j
k i j n
n c a b a b
−
= + =
∀ ∈ = =
∑ ∑
¥
Khi đó
PQ
[ ]K X∈
, xác định phép nhân trên K[X].
(ii). Ta có:
2
deg( ) deg( ) deg( )

( , ) ( [ ]) ,
( ) ( ) ( ).
PQ P Q
P Q K X
val PQ val P val Q
= +

∀ ∈

= +

Ta quy ước ở đây rằng:
•
( ) ( )
(
( )
, , .N N N∀ ∈ −∞ + = −∞ +∞ + = +∞¥
•
( ) ( ) ( ) ( )
, .−∞ + −∞ = −∞ +∞ + +∞ = +∞
(iii). (
[ ]K X
,+,
g
) là một miền nguyên.
(iv). Các phần tử nghịch đảo của vành
[ ]K X
là các dãy
( ,0, ,0, )
α

với
{ }
\ 0 .K
α
∈
1.1.4. Mệnh đề (Luật ngoài).
(i). Cho
( )
, [ ].
n
n
K P a K X
λ
∈
∈ = ∈
¥
Ta kí hiệu
( )
n n
P a
λ λ
∈
=
¥
, và ta có:

[ ].P K X
λ
∈
(ii). Ta có:

{ }
deg( ) deg( )
\ 0 , [ ], .
( ) ( )
P P
K P K X
val P val P
λ
λ
λ
=

∀ ∈ ∀ ∈

=

(iii).
[ ]K X
, được trang bị các luật +,
g
(ngoài),
g
(trong) là một
K
- đại số
kết hợp, giao hoán, có đơn vị.
(iv). Ánh xạ
: [ ]K K X
θ
→

là đơn cấu các
K
- đại số.

1
λ λ
a
Mệnh đề trên cho phép “đồng nhất” một phần tử
λ
thuộc K với một đa thức
1
λ
thuộc
[ ]K X
, tức là “nhúng”
K
vào
[ ]K X
. Ta kí hiệu
(0,1,0, ,0, )X =

8
là ẩn. Ta sẽ kí hiệu
0
1X =
, và với
n∀ ∈¥
,
1n n
X X X

+
=
. Đặc biệt:
1
X X=
.
Một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ răng:
*
, (0, ,0,1,0, ,0, ),
n
n X∀ ∈ =¥ K K K
trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị trí thứ 0).
Cho
( )
[ ],
n
n
P a K X N
∈
= ∈ ∈
¥
¥
sao cho
( )
degN P≥
, ta có:
( )
( ) ( ) ( )
0 1
0 1

0 1
0
, , , ,0, ,0,
1,0, ,0, 0,1,0, ,0, 0, ,0,1,0, ,0,
.
N
N
N
N n
N n
n
P a a a
a a a
a a X a X a X
=
=
= + + +
= + + + =
∑
K K K
K K K K K K K K
K
Bây giờ ta bỏ kí hiệu
( )
n n
a
∈¥
đối với một đa thức, và thay vào đó là kí hiệu
0
N

n
n
n
a X
=
∑
(trong đó
( )
degN P≥
), hoặc
n
n
n
a X
∈
∑
¥
, hoặc
0
n
n
n
a X
+∞
=
∑
(để tránh chỉ rõ
bậc của đa thức). Đối với
0
[ ]

N
n
n
n
P a X K X
=
= ∈
∑
và
n∈¥
, phần tử
n
a
của K
được gọi là hệ tử của
n
X
trong P, và đơn thức
n
n
a X
là hạng tử bậc n của P.
(v). Họ vô hạn
( )
n
n
X
∈¥
, tức là
2

1, , , , ,
n
X X XK K
là một cơ sở
K
- kgv
[ ]K X
, gọi là cơ sở chính tắc của
[ ]K X
. Với
n∈¥
cố định, tập hợp
{ }
[ ];deg( )P K X P n∈ ≤
rõ ràng là một
K
- không gian vector con của
[ ]K X
,
thường được kí hiệu
[ ]
n
K X
. Họ hữu hạn
2
1, , , , ,
n
X X XK K
là một cơ sở của
[ ]

n
K X
, gọi cơ sở chính tắc của
[ ]
n
K X
. Vậy ta có:
dim( [ ]) 1
n
K X n= +
.
(vi). Cho
I
là một bộ phận của
¥
,
( )
i i I
P
∈
là một học những đa thức thuộc
[ ]K X
\{0} sao cho:
( ) ( )
( )
2
, , deg( deg( ) .
i j
i j I i j P P
∀ ∈ ≠ ⇒ ≠

Thế thì
( )
i i I
P
∈
độc lập trong
K
- kgv
[ ]K X
.
1.1.5. Định nghĩa (Phép hợp đa thức).
9
Cho
0
[ ]
N
n
n
n
P a X K X
=
= ∈
∑
và
[ ]Q K X∈
. Ta định nghĩa đa thức hợp
P Qo

(hoặc
( )P Q

) là:
P Qo
=
( )P Q
=
0
N
n
n
n
a Q
=
∑
.
Như vậy, ta được
( )P Q
bằng cách thế
Q
vào chỗ
X
trong
P
.
1.1.6. Định nghĩa (Phép đạo hàm). Với mọi
0
[ ]
N
n
n
n

P a X K X
=
= ∈
∑
, đa thức
đạo hàm của
P
, và kí hiệu là
'
P
, là đa thức được định nghĩa bởi:
( )
1
' 1
1
1 0
1 .
N N
n n
n n
n n
P na X n a X
−
−
+
= =
= = +
∑ ∑
Ta kí hiệu
( ) ( )

( )
'
0 1
''
, 'P P P P P= = =
, và với
k
bất kỳ thuộc
∗
¥
,
( ) ( )
1
'
( )
k k
P P
−
=
.
Với những kí hiệu trên, nếu
0N =
thì
0P =
.
1.2. Hàm đa thức
1.2.1. Định nghĩa. Với mọi
0
[ ]
N

n
n
n
P a X K X
=
= ∈
∑
.
Ta kí hiệu
:P K K→
%

0
N
n
n
n
x a x
=
∑
a
hàm này gọi là hàm đa thức liên kết với
P
.
1.2.2. Mệnh đề. Với mọi
K
α
∈
và
, [ ]P Q K X∈

:
•
²
o
o
P Q P Q
α α
+ = +
.
•
²
o
o
PQ PQ=
.
•
²
o
o
P Q P Q=o o
1.2.3. Mệnh đề. Ánh xạ
[ ]
K
K X K→
là đơn ánh khi và chỉ khi
K
vô hạn.

o
P Pa

10
Nhận xét: Vậy khi
K
là vô hạn, ta có thể đồng nhất
P
với
o
P
, tức là kí hiệu
P
thay
o
P
.
1.2.4. Định lí (Định lí Taylor đối với đa thức). Cho
[ ],P X N∈ ∈¥£
thỏa
mãn
deg( ) ,P N a≤ ∈£
. Ta có:
( )
( )
²
( )
0
.
!
n
N
n

n
P a
P a X X
n
=
+ =
∑
1.3. Số học trong
[ ]K X
1.3.1. Định nghĩa (Tính chia hết). Cho
2
( , ) ( [ ])A P K X∈
. Ta nói rằng
A
chia
hết
P
(trong
[ ]K X
) và kí hiệu
|A P
, nếu tồn tại
[ ]Q K X∈
sao cho
P AQ=
.
Thay cho
A
chia hết
P

, ta cũng nói:
A
là một ước của
P
, hoặc
P
là một bội
của
A
.
Nhận xét:
•
[ ], A|0.A K X∀ ∈
•
[ ], (0|P 0).P K X P∀ ∈ ⇔ =
• Nếu kí hiệu
{ }
[ ] [ ]; [ ],P=AQAK X P K X Q K X= ∈ ∃ ∈
, với mọi
[ ]A K X∈
thì ta có với mọi
2
( , ) ( [ ])A P K X∈
,
| [ ] [ ].A P AK X PK X⇔ ⊃
1.3.2. Mệnh đề.
•
[ ], | .A K X A A∀ ∈
•
{ }

2
|
( , ) ( [ ]) , ( 0 , ) .
|
A P
A P K X K P A
P A
α α
 

∀ ∈ ⇔ ∃ ∈ − =

 ÷

 
•
3
|
( , , ) ( [ ]) , | .
|
A B
A B C K X A C
B C
 

∀ ∈ ⇒

 ÷

 

•
{
( )
3
( , , ) ( [ ]) , | | .A B C K X A B A BC∀ ∈ ⇒
•
3
|
( , , ) ( [ ]) , | ) .
|
A B
A B C K X A B C
A C
 

∀ ∈ ⇒ +

 ÷

 
11
•
4
|
( , , , ) ( [ ]) , | .
|
A B
A B C Q K X AP BQ
P Q
 


∀ ∈ ⇒

 ÷

 
•
( )
( )
2
, , ( [ ]) , | | .
n n
A B n K X A B A B
∗
∀ ∈ × ⇒
¥
1.3.3. Định lý - Định nghĩa (Phép chia Euclide).
Cho
{ }
( )
( , ) [ ] [ ]\ 0A B K X K X∈ ×
. Tồn tại một cặp duy nhất
( )
2
( , ) [ ]Q R K X∈

sao cho:
deg( ) deg( ).
A BQ R
R B

= +


<

Đa thức
Q
(tương ứng:
R
) gọi là thương (tương ứng: dư) của phép chia
Euclide
A
cho
B
.
1.3.4. Mệnh đề.
o
( )
( )
[ ], , | 0 .P K X a K X a P P a∀ ∈ ∀ ∈ − ⇔ =
1.3.5. Mệnh đề - Định nghĩa (Phép chia theo lũy thừa tăng).
Cho
, [ ], [ ]n A K X B K X∈ ∈ ∈¥
sao cho
( )
0val B =
(tức là
o
( )
0 0B ≠

). Tồn
tại một cặp duy nhất (Q, R) thuộc
[ ]
( )
2
K X
sao cho
1n
A BQ X R
+
= +
và
( )
deg Q n≤
.
Đa thức Q (tương ứng R) gọi là thương (tương ứng dư) của phép chia A cho B
tho lũy thừa tăng đến cấp n
Chứng minh
(i). Sự tồn tại. Quy nạp theo n
Trường hợp n = 0
Ta kí hiệu
0 0
,a b
là các hạng tử hằng tương ứng của A, B (tức là
o
( )
o
( )
0 0
0 , 0 0a A b B= = ≠

),
1
0 0
Q a b
−
=
. Hạng tử hằng của A – BQ là không, vậy
tồn tại
[ ]R K X∈
sao cho A – BQ = XR.Vậy
A BQ XR= +
và
( )
deg 0Q ≤
.
12
Giả sử
n∈¥
và giả sử tồn tại
( )
[ ]
( )
2
,Q R K X∈
sao cho
1n
A BQ X R
+
= +

và
( )
deg Q n≤
. Theo sự khảo sát trường hợp n = 0, áp dụng cho R thay vì A,
tồn tại
( )
[ ]
( )
2
1
,q R K X∈
sao cho
1
R Bq XR= +
và
( )
deg 0q ≤
. Đặt
1
1
n
Q Q X q
+
= +
ta suy ra
( )
( )
1 2
1 1 1
1

.
deg 1.
n n
A BQ X Bq XR BQ X R
Q n
+ +
= + + = +


≤ +


(ii). Tính duy nhất
Giả sử
( ) ( )
1 1 2 2
, , ,Q R Q R
thích hợp. Suy ra
( ) ( )
1
1 2 2 1
n
B Q Q X R R
+
− = −
, do đó
bằng cách chuyển sang các định giá
( ) ( )
1 2 2 1
1 1val Q Q n val R R n− = + + − ≥ +

.
Nếu
1 2
0Q Q− ≠
, thì
( ) ( )
1 2 1 2
deg 1n Q Q val Q Q n≥ − ≥ − ≥ +
, mâu thuẫn.
Vậy
1 2
,Q Q=
nên
1 2
R R=
.
Ví dụ
Thực hiện phép chia
2 3
2 3A X X X= + − +
cho
2 3
1 4B X X X= + − +
(trong
[ ]
X¡
) theo lũy thừa tăng đến cấp 2.
2 3 2 3
2 3 2
2 3

3 4 5
2 3 1 4
7 2 7 27
27 8
116 34 27
X X X X X X
X X X X X
X X
X X X
+ − + + − +
− − − − +
−
− + −
Suy ra thương
2
2 7 27Q X X= − +
và dư
2
116 34 27R X X= − + −
1.3.5. Định nghĩa (UCLN, BCNN). Cho
( )
{ }
( )
*
1
, , , [ ]\ 0 .
n
n
n P P K X∈ ∈¥
Tập hợp tất cả các bậc của đa thức

P
thuộc
{ }
[ ]\ 0K X
sao cho:
{ }
( )
1, , , |
i
i n P P∀ ∈

13
là một bộ phận khác rỗng của
¥
(vì:
{ }
( )
1, , ,1|
i
i n P∀ ∈
), bị chặn trên bởi
deg( )
i
P
.
Vậy tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc
∆
, khác không, là ước chung
của
1

, ,
n
P P
, và có bậc cao nhất trong các ước chung của
1
, ,
n
P P
. Tương tự
tồn tại duy nhất một đa thức chuẩn tắc
M
, khác không, là bội chung của
1
, ,
n
P P
và có bậc thấp nhất trong các bội chung của
1
, ,
n
P P
.
1.3.6. Định lý (UCLN, BCNN).
1
1
[ ] [ ], [ ] [ ].
n
n
i i
i

i
PK X K X PK X MK X
=
=
= ∆ =
∑ I
Ký hiệu: Với
{ }
( )
2
( , ) [ ]\ 0P Q K X∈
, ta kí hiệu:
( , )
( , ).
P Q UCLN P Q
P Q BCNN P Q
∧ =


∨ =

1.3.7. Định lý Bezout.
Cho
*
n∈¥
,
( )
[ ]
{ }
( )

1
, , \ 0
n
n
P P K X∈K
. Để
( )
1
, ,
n
P PK
nguyên tố cùng nhau
trong toàn thể, điều kiện cần và đủ là tồn tại
( )
[ ]
( )
1
, ,
n
n
U U K X∈K
sao cho
1
1.
n
i i
i
PU
=
=

∑
1.3.8. Định lý Gauss.
( )
[ ]
{ }
( )
3
|
, , \ 0 , | .
1
A BC
A B C K X A C
A B

∀ ∈ ⇒

∧ =

1.4. Không điểm của đa thức
1.4.1. Định nghĩa. Cho
[ ],P K X a K∈ ∈
. Ta nói rằng
a
là một không điểm
(hoặc một nghiệm ) của
P
khi và chỉ khi
o
( )
0P a =

.
1.4.2. Mệnh đề. Cho
1
[ ], , , ,
n
P K X n x x K
∗
∈ ∈ ∈¥
từng đôi khác nhau. Nếu
1
, ,
n
x x
là các không điểm của
P
thì
( )
0
|
n
i
i
X x P
=
−
∏
.
1.4.3. Hệ quả.
14
(i). Cho

[ ],P K X n
∗
∈ ∈¥
. Nếu
deg( )P n<
và nếu
P
có ít nhất
n
không
điểm từng đôi khác nhau, thì
0P =
.
(ii). Nếu một đa thức
P
thuộc
[ ]K X
triệt tiêu tại một số vô hạn các phần
tử thuộc
K
, thì
0P =
.
1.4.4. Định nghĩa. Cho
[ ],P K X a K∈ ∈
,
α
∗
∈¥
.Ta nói rằng

a
là một không
điểm cấp bội không thấp hơn
α
của
P
khi và chỉ khi:
( )
|X a P
α
−
.
Ta nói rằng
a
là một không điểm cấp bội đúng bằng
α
của
P
khi và chỉ
khi:
( )
|X a P
α
−
và
( )
1
|X a
α
+

− P
.
Nếu
1
α
=
(tương ứng: 2, tương ứng: 3), ta nói
α
là không điểm đơn (tương
ứng: kép, tương ứng: bội ba).
1.4.5. Mệnh đề - Định nghĩa. Cho
{ }
[ ]\ 0P K X∈
,
a K∈
. Nếu
α
là không
điểm của
P
, thì tồn tại
α
∗
∈¥
duy nhất sao cho
a
là không điểm cấp bội
đúng bằng
α
của

P
, và ta nói rằng
α
là cấp bội của không điểm
a
trong
(hoặc của)
P
.
1.4.6. Mệnh đề. Cho
1
, , ,
n
n x x K
∗
∈ ∈¥
từng đôi khác nhau.
( )
1
, [ ].
n
k
k
A X x B K X
=
= − ∈
∏
Thế thì ta có:
{ }
o

( )
( )
| 1, , , 0 .
k
A B k n B x⇔ ∀ ∈ =
1.4.7. Định nghĩa (Đa thức tách). Một đa thức
P
của
[ ]K X
được gọi là đa
thức tách (hay: tách được) trên
K
khi và chỉ khi tồn tại
{ }
1
\ 0 , , , ,
n
K n x x K
λ
∗
∈ ∈ ∈¥
sao cho:
( )
1
n
i
i
P X x
λ
=

= −
∏
.
Ở đây
1
, ,
n
x x
không nhất thiết khác nhau từng đôi.
15
1.4.8. Định nghĩa (Hàm đối xứng cơ bản). Cho
1
, , ,
n
n x x K
∗
∈ ∈¥
. Các
biểu thức sau:
( ) ( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 2 .
1
2 1 2 1 3 1 2 3 2
1
2 1 2 1

1
1 2


.
(1 ).
.
k
k
n
i n
i
i i n n
i i n
n n n n n n
k i i i
i i i n
n n
x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x k n
x x x
σ
σ
σ
σ
=
≤ < ≤
− − − −

≤ < < < ≤
= = + + +
= = + + + + + +
+ + + +
= ≤ ≤
=
∑
∑
∑
M
M
gọi là các hàm cơ bản của
1
, ,
n
x x
.
1.4.9. Mệnh đề (Hệ thức giữa hệ tử và không điểm).
Cho
( )
* 1
0
, , ,
n
n
n a a K
+
∈ ∈¥
sao cho
0

n
a ≠
và
0
n
i
i
i
P a X
=
=
∑
. Giả thiết
P

tách được trên
K
và ký hiệu
1
, ,
n
x x
là các không điểm của
P
(không nhất
thiết từng đôi khác nhau), sao cho:
( )
1
n
n i

i
P a X x
=
= −
∏
.
Thế thì ta có:
( ) ( )
1 0
1
, , 1 , , 1
k n
n n k
k n
n n n
a a a
a a a
σ σ σ
− −
= − = − = −
.
trong đó
1
, ,
n
σ σ
chỉ các hàm đối xứng cơ bản của
1
, ,
n

x x
.
1.5. Đa thức với hệ số phức và thực
Do trường
£
là vô hạn, nên ta đồng nhất đa thức
P
thuộc
[ ]X£
và hàm
đa thức
o
P
. Tương tự do trường
¡
vô hạn nên ta cũng đồng nhất
[ ]P X∈¡
và
hàm đa thức
o
P
.
1.5.1. Định lí (Định lí d’Alembert). Mọi đa thức khác hằng thuộc
[ ]X£
có ít
nhất một không điểm trong
£
. Ta nói rằng trường
£
là đóng đại số.

16
Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử tồn tại
[ ]P X∈£
,
khác hằng và không có một không điểm nào trong
£
. Ta ký hiệu
deg( ) 1n P= ≥
,
0
n
i
i
i
P a X
=
=
∑
, và
:
ϕ
→£ £

( )
z P za
(i). Vì
( )
z
ϕ
→ +∞

, ta có:

z +∞a
( )
( )
0, 0, ,A B z z B z A
ϕ
∀ > ∃ > ∀ ∈ > ⇒ >£
.
Đặc biệt tồn tại
*
B
+
∈¡
, sao cho:
( ) ( )
( )
, 0z z B z
ϕ ϕ
∀ ∈ > ⇒ >£
.
Mặt khác,
ϕ
liên tục trên tập compact
{ }
;z z B∈ ≤£
, nên
ϕ
bị chặn và đạt
các biên trên tập compact này, vậy tồn tại

0
z ∈£
sao cho:
0
( )= (z)
z B
z Inf
ϕ ϕ
≤
.
Vì hơn nữa:
( ) ( )
( )
( )
0
, 0z z B z z
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ > ⇒ > ≥£
.
nên ta kết luận:
( )
( )
0
z
z Inf z
ϕ ϕ
∈
=
£
.

(ii). Theo công thức Taylor đối với đa thức ta có:
( )
( )
( )
'
0 0 0 0
, ( ) ( )
!
n
n
h
h P z h P z hP z P z
n
∀ ∈ + = + + +£
.
Ta sẽ chứng minh rằng có thể chọn
h
sao cho
( )
0 0
( )P z h P z+ <
.
Tức là
( )
0 0
( )z h z
ϕ ϕ
+ <
, điều này sẽ cho ta một mâu thuẫn.
Vì

( )
( )
0
!, 0
n
n
P z n a= ≠
, nên tồn tại
*
k ∈¥
sao cho:
17
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
0
0
0
1, , , 0
k
l
P z
l k l k P z

≠



∀ ∈ < ⇒ =


K
.
Nói khác đi,
k
là số nguyên bé nhất
≥
1 sao cho
( )
( )
0
0
k
P z ≠
.
Vậy ta có:
( )
( )
( )
( )
0 0
0
0 0 0
( )
, 1
( ) ! ( ) ! ( )
k n
k n

P z P z
P z h
h h h
P z k P z n P z
+
∀ ∈ = + + +£
.
Theo sự khảo sát của các căn bậc
k
trong
£
, tồn tại
*
w∈£
sao cho:
( )
0
( )
! ( )
k
k
o
P z
w
k P z
= −
.
Vậy ta có (với
t ∈¡
):

0
0
0
1 ( )
( )
k k
t
t
P z
w
t r
P z
ο
 
+
 ÷
 
= − +
a
.
Vậy tồn tại
η
>0 sao cho:
[ ]
0
0
0, , 1
( )
t
P z

w
t
P z
η
 
+
 ÷
 
∀ ∈ <
.
điều này mâu thuẫn với định nghĩa
0
z
.
1.5.2. Hệ quả.
(i). Mọi đa thức khác hằng trong
[ ]X£
đều tách được trên
£
.
(ii). Các đa thức bất khả quy thuộc
[ ]X£
là các đa thức bậc 1.
1.5.3. Mệnh đề (Đa thức với hệ số thực).
(i). Cho
[ ]
P X∈£
. Ta có:
[ ]
( )

( )
, ( )P X z P z P z∈ ⇔ ∀ ∈ =¡ £
.
18
(ii). Cho
[ ]
P X∈£
,
a∈£
,
α
∗
∈¥
. Để cho
a
là không điểm cấp bội không
thấp hơn
α
(tương ứng: đúng bằng
α
) của
P
, cần và đủ là
a
là không điểm
cấp bội không thấp hơn
α
(tướng ứng: đúng bằng
α
) của

P
.
(iii). Các đa thức bất khả quy của
[ ]
X¡
là:
Các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức bội hai biệt thức <0.
19
Chương 2
Phân thức hữu tỷ
2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ
Ta ký hiệu
E
=
[ ]K X
x (
[ ]K X
\{0}) và xét quan hệ
ℜ
xác định trong
E
bởi
( )
,A S
ℜ

( )
,B T
⇔

AT BS=
.
Quan hệ
ℜ
là một quan hệ tượng đương trong
E
.
Thật vậy , tính phản xạ và tương đối xứng là hiển nhiên , còn về tính bắc cầu
thì với mọi
( ) ( ) ( )
, , , , ,A S B T C U
thuộc
E

( , ) ( , )
( , ) ( , ) .
A S B T AT BS
B T C U BU CT
ℜ =
 
⇔
 
ℜ =
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AU T AT U BS U BU S CT S CS T AU CS⇒ = = = = = ⇒ =
,vì
0T ≠
và
[ ]
K X

là vành nguyên.
Tập thương
/E ℜ
được ký hiệu là
[ ]K X
và các phần tử của nó được gọi là
các phân thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong
K
. Với
( )
, A S E∈
, ta ký
hiệu
A
S
là lớp modun
ℜ
của
( )
,A S
. Như thế với mọi
( ) ( )
, , ,A S B T
thuộc
E

ta có
.
A B
AT BS

S T
= ⇔ =
2.1.1. Phép cộng trọng K(X).
Ta định nghĩa một luật trong , ký hiệu + , trong
E
bởi
( ) ( ) ( )
, , , .A S B T AT BS ST+ = +
(ta có
0ST ≠
, vì
0S ≠
và
0T ≠
).
Luật + này tương thích với
ℜ
(C.1.1) tức là:
( , ),( , ),( , ) ,( , ) ( , ) (( , ) ( , )) (( , ) ( , )).A S B T C U E A S B T A S C U B T C U∀ ∈ ℜ ⇒ + ℜ +
Thật vậy nếu
( ) ( )
, , ,A S B Tℜ
thì
AT BS=
từ đây
20
2 2
( ) ( )AU CS TU ATU CSTU BSU CSTU BU CT SU+ = + = + = +
.
Vậy

( , ) ( , ).AU CS SU BU CT TU+ ℜ +
Tức là
(( , ) ( , )) (( , ) ( , )).1A S C U B T C U+ ℜ +
Vậy ta có thể định nghĩa một luật cộng , vẫn ký hiệu là + , trong
( )
K X
bởi
( , ),( , ) ,
A B AT BS
A S B T E
S T ST
+
∀ ∈ + =
.
2.1.2. Phép nhân trong K(X).
Tương tự như ở 2.1.1 ta chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một luật nhân
trong K(X) , ký hiệu
g
(hoặc bằng cách không viết dấu nào cả ) như sau
( , ),( , ) ,
A B AB
A S B T E
S T ST
∀ ∈ × =
.
2.1.2.1. Định lý – Định nghĩa.
( )
( )
, ,K X + g
là một, gọi là trường các phân

thức hữu tỷ một ẩn và lấy hệ tử trong
K
.
Chứng minh:
Ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau :
(i). Kết hợp , giao hoán có
0
1
(ký hiệu 0) là phẩn tử trung hòa , và mọi phẩn tử
A
S
thuộc
( )
K X
đều có một phần tử đối là
A
S
−
, ký hiệu là -
A
S
.
(ii). Kết hơp, giao hoán , phân phối đối với +, có
1
1
(ký hiệu 1 ) là phần tử
trung hòa , và với mọi phần tử
A
S
thuộc

( )
K X
–{0} , ta có A
≠
0 và
A
S
có
một phần tử nghịch đảo , đó là
S
A
.
2.1.3. Luật ngoài trong K(X).
21
Tương tự như ở 2.1.1 ta chứng minh rằng ta có thể định nghĩa một luật ngoài
trong
( )
K X
(lấy hệ tử trong
K
), được ký hiểu bằng cách không viết dấu nào
cả
, ( . ) , .
A A
K A S E
S S
λ
λ λ
∀ ∈ ∀ ∈ =
2.1.3.1. Mệnh đề.

( )
( )
, ,K X + g
là một
K
đại số kết hợp , giáo hoán , có đơn
vị.
Chứng minh:
Ta có thể chứng minh dễ dàng các tính chất sau ( trong đó một số đã thu được
ở 2.1.2):
(i).
( )
( )
,K X +
là một nhóm Abel.
(ii).
( )
( )
, , K X + g
là một K – không gian vector.
(iii).
, . ( ),( ) ( )K F G K X F G FG
λ λ λ
∀ ∈ ∀ ∈ =
(iv). K[X] có tính kết hợp, giao hoán, có phần tử đơn vị 1.
2.1.4. Nhúng K[X] vào K(X). Ánh xạ
: [ ] ( )K X K X
ψ
→
là một đồng cấu

1
P
P a
đơn cấu đại số , tức là :

, [ ], ( ) ( ) ( ).
, [ ], ( ) ( ) ( ).
, [ ], ( ) ( ).
(1) 1.
[ ], ( ( ) 0 0).
P Q K X P Q P Q
P Q K X PQ P Q
K P K X P P
P K X P P
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
λ ψ λ λψ
ψ
ψ
∀ ∈ + = +
∀ ∈ =
∀ ∈ ∀ ∈ =
=
∀ ∈ = ⇒ =
g
g
g
g
g

Vậy ta có thể đồng nhất một đa thức
P
với phân thức hữu tỷ
1
P
. Như thế
[ ]
K X
được xem như là một đại số con có đơn vị của
( )
K X
, đặc biệt
[ ]
K X

là một vành con của
( )
K X
, và
[ ]
K X
là một không gian vector con của
K
–
không gian vector K(X)
22
2.1.5. Bậc của một phân thức hữu tỷ. Với mọi
( ) ( )
,, ,A S B T

thuộc
E
sao
cho
A B
S T
=
ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.– –deg A deg S deg AT deg ST deg BS deg ST deg B deg T= = − = −
Điều này cho phép ta định nghĩa bậc của một phân thức hữu tỷ bởi:
( , ) , deg deg( ) deg( ) {- }
A
A S E A S
S
 
∀ ∈ = − ∈ ∞ ∪
 ÷
 
¢
.
Ta chú ý rằng ánh xạ deg:
( )
K X
→
{
−∞
}
∪
¢

thác triển ánh xạ:
deg:
[ ] { }K X → − ∞ ∪ ¥
vì :
( )
[ ], deg deg( ) deg(1) deg( )
1
P
P K X P P deg P
 
∀ ∈ = − = =
 ÷
 
.
Ta có thể chứng minh các công thức sau , với
*
k K∀ ∈
và
( )
,F G K X∀ ∈
(i).
deg( ) {deg( ).deg( )}.F G Max F G+ ≤
(ii).
deg( ) deg( ).kF F=
(iii).
deg( ) deg( ) deg( ).FG F G= +
2.1.6. Dạng bất khả quy của một phân thức hữu tỷ khác không. Đại diện
bất khả quy của một phân thức hữu tỷ khác không
F
thuộc

( )
K X
là cặp
( )
,A S
bất kỳ thuộc
[ ]
( )
2
\{ }0K X
sao cho:
A
F
S
=
và
1A S∧ =
.
Ta chứng minh được :
(i). Mọi phân thức hữu tỷ khác không có ít nhất một đại diện bất khả quy
(ii). Cho
( )
F K X∈
và
( )
,A S
là một đại diện bất khả quy của
F
; mọi đại
diện của

F
đều có dạng
( )
[ ]
{ }
, , \ 0QA QS Q K X∈
.
(iii). Cho
( )
F K X∈
và
( )
,A S
là một đại diện bất khả quy của
F
; các đại
diện bất khả quy của
F
là
( ) { }
, , \ 0kA kS k K∈
.
23
2.1.7. Định nghĩa (Không điểm và cực điểm của phân thức hữu tỷ).
Cho
( ) { }
\ 0F K X∈
,
( )
,A S

là một đại diện bất khả quy của
F
. Các không
điểm của
A
được gọi là không điểm của
.F
Nếu
a
là một không điểm của F,
cấp bội của
a
như là không điểm của
A
gọi là cấp bội của không điểm
a
của
F
. Các không điểm của
S
được gọi là cực điểm của
F
. Nếu
a
là một cực
điểm của
,F
cấp bội của
a
như là không điểm của

A
gọi là cấp bội của
không điểm
a
của
F
.
Ví dụ: Với
4 2
2
( )
3 2
X X
X
X X
−
∈
− +
¡
, dạng bất khả quy của F là
( )
2
1
2
X X
F
X
+
=
−

,
các không điểm của
F
là -1( đơn) , 0 (kép) , và
F
chỉ có một cực điểm :
2(đơn).
2.1.8. Định nghĩa (Đạo hàm một phân thức hữu tỷ).
Cho
( ) ( )
, ,F K X A S E∈ ∈
sao cho
A
F
S
=
.
Ta định nghĩa phân thức hữu tỷ đạo hàm của
F
, ký hiệu
'
F
bởi
' '
'
2
AS AS
F
S
−

=
.
Định nghĩa này hợp lệ vì nếu
( ) ( )
, , ,A S B T
là hai phần tử của
E
sao cho
A B
F
S T
= =
. Thì
AT BS=
do đó
' ' ' '
AT AT B S BS+ = +
. Vậy :
' ' 2 ' ' 2 ' ' ' 2 ' 2
' ' ' 2 ' 2
' '
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) 0.
AS AS T BT BT S AT B S ST AS T BT S
BS AT ST AS T BT S
BS AT S T ST
− − − = − − +
= − − +
= − + =

Ánh xạ
( )
K X
→

( )
K X
thác triển ánh xạ
[ ] [ ]
K X K X→
vì:

'F Fa

'
P Pa
'
'
2
1 .0
[ ], '
1 1
P P P
P K X P
−
 
∀ ∈ = =
 ÷
 
.

24
Ta có thể chứng minh dễ dàng các công thức sau , với mọi
λ
thuộc
K
và mọi
,F G
thuộc
( )
:K X
'
2
( )' ' ', ( )' ,
' '
( )' ', ( 0).
F G F G F F
F F G FG
FG FG FG G
G G
λ λ
+ = + =
−
 
= + = ≠
 ÷
 
Có thể xảy ra là
( )
( )
'

1deg F deg F
−≠
như trong các ví dụ sau:
2
1, ' 0, deg( ) 0,deg( )
1 1
, ' , deg( ) 0,deg( ') 2.
F F F F
X
F F F F
X X
= = = = −∞
+
= = − = = −
Tuy nhiên ta có thể chú ý rằng:
( ) \{0},deg( ') deg( )F K X F F∀ ∈ <
. Ta định
nghĩa bằng quy nạp các đạo hàm kế tiếp của một phân thức hữu tỷ
F
:
(0) (1)
( ) ( 1)
, '
, ( )'
n n
F F F F
n F F
−
= =



∀ ∈ =

¥
Ta có thể chứng minh các công thức sau:
(i).
2 ( )
( ), ( , ) ,( ) .
i j i j
F K X i j F F
+
∀ ∈ ∀ ∈ =¥

(ii).
2 ( ) ( )
0
, ( , ) ( ( )) ,( ) .
n
n k k n k
n
k
n F G K X FG C F G
−
=
∀ ∈ ∀ ∈ =
∑
¥
(công thức Leibniz)
2.1.8.1. Mệnh đề. Cho
[ ]

P K X∈
tách được,
1
( ), \{0},
n
i
P X K
λ λ λ
=
= − ∈
∏
với
1
*, , .
n
n x x K∈ ∈¥
Ta có
'
1
1
n
i
i
P
P X
λ
=
=
−
∑

.
Chứng minh: Suy ra từ
( )
1
'
n
j
i
i j n
P X x
λ
=
≤ ≤
 
= −
 ÷
 
∑
∏
bằng cách chia cho P.
2.1.9. Định nghĩa (Hàm hữu tỷ). Cho
( )F K X∈
,
( )
,A S
là một đại diện bất
khả quy của F
25