Hsg -T7 - 001 - Đáp Án -Diễn Châu.docx

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022-2023
Môn: Tốn 7
Thời gian làm bài: 120 phút

PHỊNG GD -ĐT DIỄN CHÂU
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi này gồm 01 trang)
Bài 1: (3 điểm) Tính

2
a. Tính giá trị của biểu thức A  x  3x  1 khi

x

1 2
 .
3 3

3 x
5

x 3
b. Tìm x biết 20
Bài 2: (5 điểm)
x  1 y  2 x  y 1


5
x 2
a. Tìm các số x, y thỏa mãn 3

b. Cho x nguyên , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

 

ab
c. Tìm số có hai chữ số ab biết
Bài 3: (3 điểm)

2

 a  b 

A

2x 1
x 3

2

1
Ba lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh là 137. Trong đợt biểu diễn văn nghệ lớp 7A lấy đị 6 số
1
1
học sinh của lớp, lớp 7B lấy đi 11 số học sinh của lớp, lớp 7C lấy đi 9 số học sinh của lớp thì
số học sinh cịn lại ở 3 lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 4: (7 điểm)

Cho ABC vuông cân tại A, đường cao AH , AE là phân giác của HAC ( E  HC ).
a. Kẻ EI vng góc với AC(I  AC) . Chứng minh AI HC.

b. Trên cạnh AB lấy điểm K, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho AK AM
Chứng minh BM vng góc với CK .
c. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Cx vng góc với AC , qua E kẻ
EN vng góc với AE (N thuộc tia Cx ). Chứng minh AE EN .
Bài 5: (2 điểm) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn
(x  2019)2000  (x  2020)2020 20202021

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
(Đề thi có 01 trang)

Trang 1


HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO
NĂM HỌC: 2022-2023
Mơn: Tốn 7

Một số bài thầy cơ trình bày hơi dài, mình đã sửa lại. cịn bài 2a và câu c bài hình
thầy cơ tham khảo cách giải của mình, nếu được thì sửa lại giúp.
GV phản biện: Trần quý Dương. 0905430798
Bài 1: (3 điểm) Tính
2
a. Tính giá trị của biểu thức A  x  3x  1 khi

x

1 2
 .
3 3

3 x
5

x 3
b. Tìm x biết 20
Lời giải

1 2

1
x 

1 2
3 3  x
x   
3

3 3
 x  1  2
 x  1

3 3
a.
2

1
1
1
1

1
x   A    3.  1   1  1 
3
3
9
9
 3
Với
2

Với

x  1  A   1  3.( 1)  1 1  3  1 5

3 x
5

x 3
b. 20
 (3  x)(x  3) ( 5).20
  (x  3)(x  3)  100
2
  (x  3)  100
2
 (x  3) 100
 x  3 10
 x 13
 
 
 x  3  10  x  7

x    7;13
Vậy
Bài 2: (5 điểm)

x  1 y  2 x  y 1


5
x 2
a. Tìm các số x, y thỏa mãn 3

b. Cho x nguyên , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

 ab 
c. Tìm số có hai chữ số ab biết

2

 a  b 

A

2x 1
x 3

3

Lời giải

Trang 2


x  1 y  2 x  y 1


5
x 2
a. 3

 x 1 y2
 3  5 (1)
 
 x  1  x  y  1 (2)
x 2
 3
Từ (1) suy ra
 5(x  1) 3(y  2)
 5x  5 3y  6
 3y 5x  11
5x  11
 y
3
Từ (2) suy ra
(x  1)(x  2) 3(x  y  1)
 x 2  2x  x  2 3x  3y  3
 x 2  3x  2  3  3x 3y
 x 2  6x  1 3y
Thay 3y 5x  11 ta có
x 2  6x  1 5x  11

 x 2  6x  5x  1  11 0
 x 2  x  10x  10 0
 x(x  1) 10(x  1) 0
 (x  1)(x  10) 0

 x  1 0
 

 x  10 0
Với
Với

x 1  y 

 x 1

 x 10

5.1  11 5  11  6

  2
3
3
3

x 10  y 

Vậy

5.10  11 50  11 39


 13
3
3
3

(x; y)   1;  2  ,  10;13



b. Ta có

A



2x  1 2x  6  7
7

2 
x 3
x 3
x 3

7
Vì x nguyên nên x  3 đạt giá trị lớn nhất
 x  3 1  x 4
Khi đó giá trị lớn nhất của A 2  7 9
Vậy A đạt giá trị lớn nhât bằng 9  x 4
c. Vì

 ab 

2

 a  b 

3

nên a+ b là số chính phương.

3
2
Đặt a  b x vì (a  b) ab

2

Trang 3


2

 x6 ab  x3 ab
mà 9  ab  100
 9  x3  100  x   3; 4

Nếu x 3  ab 27 (thỏa mãn)
Nếu x 4  ab 64 (loại)
Vậy ab 27.

Bài 3: (3 điểm)
1
Ba lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh là 137. Trong đợt biểu diễn văn nghệ lớp 7A lấy đị 6 số
1
1
học sinh của lớp, lớp 7B lấy đi 11 số học sinh của lớp, lớp 7C lấy đi 9 số học sinh của lớp thì
số học sinh cịn lại ở 3 lớp bằng nhua. Tính số học sinh mỗi lớp.
Lời giải
*
Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y,z(x, y,x  N ) và x  y  z 137.
Theo bài ra ta có :
x
y
z
5x 10y 8z
x  y 
z  


6
11
9
6
11
9
x
y
z
x y z
137


  

1
48 44 45 48  44  45 137
 x 48

 y 44
 z 45

Vậy số học sinh 7A, 7B,7C lần lượt là 48;44;45 học sinh.
Bài 4: (7 điểm)

Cho ABC vuông cân tại A, đường cao AH , AE là phân giác của HAC ( E  HC ).
a. Kẻ EI vng góc với AC(I  AC) . Chứng minh AI HC.

b. Trên cạnh AB lấy điểm K, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho AK AM
Chứng minh BM vng góc với CK .
c. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Cx vng góc với AC , qua E kẻ
EN vng góc với AE (N thuộc tia Cx ). Chứng minh AE EN .
Lời giải

Trang 4


a) ABC vuông cân tại A


 ABC
ACB

450

B


AHC vuông tại H có ACB
450

H

P
K

 AHC vng cân tại H
 AH HC

M


Ta có AE là phân giác của HAC

A

Q

E

I

C

N

0

1
45


 HAE
EAC
 HAC

22,50
2
2

x

Xét HAE VÀ IAE có :


AHE
AIE
90 0
AE chung



HAE
EAC

 HAE IAE (cạnh huyền – góc nhọn)
 AH AI
 AI HC.
b) Gọi P là giao điểm của BM và CK
Xét ABM và ACK có:
AB AC ( ABC cân)


BAM
KAC
90 0
AK AM

 ABM ACK (cgc)


 ABM
ACK


0


0
Mà ABM  AMB 90  ACK  AMB 90


0
Hay PCM  CMP 90

 MPC vuông tại P.

 BM  CP hay BM  CK
c) Gọi Q là giao điểm của AE,CN
ACQ vuông tại C

 90 0
 QAC
Q
QEN vuông tại E

 90 0
 QNE
Q

Trang 5




 QNE
QAC
22,50
EI  AC,CN  AC  EI CN


 IEN
QNE
(so le trong)


IEC vng tại I có ECI
450
 IEC vng tại cân tại I.

 IEC
450

  IEN

 CEN
IEC
450  22,50 22,50


 CEN
QNE

 ECN cân tại C  CE CN



0
Ta có CEN  CEQ NEQ 90

 90 0
QNE
Q

  ECQ
 CEQ

Q
cân tại C.
 CE CQ  CQ CN
Xét ACQ và ACN có


ACQ
ACN
90 0

AC chung
QC NC
 ACQ ACN


 QAC
NAC


0
0
Mà QAC 22,5  NAC 22,5



 EAN
QAC
 NAC
450

 EAN vuông cân tại E .
 EA EN.
Bài 5: (2 điểm) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn
(x  2019)2020  (x  2020)2020 2020 y  2021

Lời giải
Trường hợp 1: Nếu y 2021 thì 2020

y  2021

1

 (x  2019)2020  (x  2020)2020 1 0 2020  12020

  x 

  x 
 
  x 
 x 
 

2019 0
2020 1

 x 2019
 
2019 1
 x 2020

2020 0

y  2021
Trường hợp 2: Nếu y  2021 thì 2020
là số chẵn mà vế trái ln là số lẻ.
2020
Do nếu x chẵn thì (x  2019)
là lẻ

 (x  2019)2020  (x  2020)2020 là lẻ

Trang 6


2020
Nếu x lẻ thì (x  2020)
lẻ
 Vế trái ln lẻ
 Khơng tìm được số ngun x, y nào thỏa mãn đề bài.

Vậy

 x,y     2019;2021 ,  2020;2021

.
= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Trang 7