Hsg T7 - 009 - Đề_Đáp.án - Bá Thước.docx

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM
Mơn: Tốn 7
Thời gian làm bài: 150 phút

PHỊNG GD -ĐT BÁ THƯỚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi này gồm 01 trang)
Bài 1: (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
3
 5 1 4
A  3  1   3  2 
5
 6 3 5
a.

b.

B

46.95  69.120
84.312  611

1 
1 
1 
 1  1 
C  1    1    1 
  1
 .... 1 

 3   6   10   15   210 

c.
Bài 2: (4,5 điểm)
x y y z


a. Tìm x, y, z biết: 2 3 ; 5 4 và x  y  z  49

b. Tìm các số nguyên (x;y) thỏa mãn: x  2 y 3 xy  3
Bài 3: (4,0 điểm)
2
a. Cho đa thức f ( x) ax  bx  c với a,b,c  Q .

Chứng minh rằng

f ( 2) f  3 0

biết 13a  2b  c 0 .

b. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca ) .
Bài 4: (6,0 điểm)
1. Cho đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia
Ax; By lần lượt vng góc với AB tại A; B . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên
0

tia Ax .lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho COD 90

a. Gọi E là giao điểm của CO và BD . Chứng minh: DOC DOE từ đó suy ra
AC  BD CD
b. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt OD tại H . Chứng minh: EH  CD .

0


2. Cho ABC có B 2C  90 vẽ AH vng góc với BC tại H . Trên tia AB lấy điểm D
sao cho AD HC . Chứng minh đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC .

Bài 5: (1,0 điểm)
*
Cho biết a, b  N . Tính giá trị của biểu thức

A

a2  b2
ab biết A có giá trị nguyên..

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Trang 1


Trang 2


HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM
Mơn: Tốn 7
Bài 1: (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
3
 5 1 4
A  3  1   3  2 

5
 6 3 5
a.

b.

B

46.95  69.120
84.312  611

1 
1 
1 
 1  1 
C  1    1    1 
  1
 .... 1 

 3   6   10   15   210 
c.
Lời giải
3
 5 1 4
A  3  1   3  2 
5
 6 3 5
a.



 5 1  
 4 3 
A  (3  1)        3  2      
 6 3  
 5 5 

1  1

A  2    1  
2  5

5 6
A  . 3
2 5

b.

B

46.95  69.120
84.312  611

 4 .9  4  6 .6.20
5

B

5

9

212.312  611

 36  4  6
B
5

10

.20

212.312  611

6104  610.20
B  12 11
6 6

B

61024
611 (6  1)

611.4 4
B  11 
6 .5 5

1 
1 
1 
 1  1 

C  1    1    1 
  1
 .... 1 

 3   6   10   15   210 
c.

2 5 9 14 209
C  . . . ....
3 6 10 15 210

Trang 3


C

2.2 2.5 3.6 4.7 19.22
. . .
....
2.3 3.4 4.5 5.6 20.21

C

2.2.(2.3.4....19)(5.6.7...22)
(2.3.4....20)(3.4.5.....21)

C

2.2.22 11


20.3.4 30

Bài 2: (4,5 điểm)
x y y z


a. Tìm x, y , z biết: 2 3 ; 5 4 và x  y  z  49

b. Tìm các số nguyên ( x; y) thỏa mãn: x  2 y 3xy  3
Lời giải
x y y z
x
y
z


 
a. Từ 2 3 ; 5 4 suy ra 10 15 12
x
y
z
x yz
 49
  

 7
7
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 10 15 12 10  15  12

Suy ra x  7.10  70 ;

y  7.15  105

z  7.12  84
b. Ta có x  2 y 3 xy  3
 3xy  x  2 y  3 0
 9 xy  3x  6 y  9 0
 3x(3 y  1)  2(3 y  1)  7 0
 (3 y  1)(3 x  2)  7 mà x, y  Z
 (3 y  1),(3x  2) là ước của  7 .

Ta có  7  1.7  7.1 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y như bảng sau :
3y  1

7

1

1

7

3x  2

1

7

1

2

0

1

3

7
2
3
5
3

y

x
Vì

8
3
1
3

x, y  Z nên ( x; y ) (1;  2) hoặc ( x; y ) (3;0)

Bài 3: (4,0 điểm)
2
a. Cho đa thức f ( x ) ax  bx  c với a,b,c  Q .

Trang 4


Chứng minh rằng

f ( 2) f  3 0

biết 13a  2b  c 0 .

b. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca ) .
Lời giải
2
a. Cho đa thức f ( x) ax  bx  c với a,b,c  Q .

Ta có f ( 2) 4a  2b  c
f (3) 9a  3b  c

Suy ra f (  2)  f (3) 13a  2b  c 0 . Do đó f ( 2) và f (3) là hai số đối nhau nên

f ( 2) f  3 0
b. Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên
0  a  b  c  a 2  ab  ac
0  b  a  c  b 2  ab  bc
0  c  a  b  c 2  ac  bc
2
2
2
Do đó a  b  c  2(ab  bc  ca ) .

Bài 4: (6,0 điểm)
1. Cho đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia

Ax; By lần lượt vng góc với AB tại A; B . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên
0

tia Ax .lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho COD 90

a. Gọi E là giao điểm của CO và BD . Chứng minh: DOC DOE từ đó suy ra

AC  BD CD
b. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt OD tại H . Chứng minh: EH  CD .
0


2. Cho ABC có B 2C  90 vẽ AH vng góc với BC tại H . Trên tia AB lấy điểm D

sao cho AD HC . Chứng minh đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC .
Lời giải
1.
a) Chứng minh: DOC DOE
Xét AOC và BOE có:
AOC BOE

(đối đỉnh)

AO BO (gt)
A B
 900
(gt)

Trang 5


Suy ra AOC = BOE (g-c-g)

 OC OE (cạnh tương ứng)
AC BE (cạnh tương ứng)
Xét DOC và DOE có:

x

y
D

Cạnh OD chung


DOC
DOE
900

CO EO (cm trên)

C

K

H

Suy ra DOC DOE (c-g-c)
Suy ra CD DE ( cạnh tương ứng)
A

Ta có AC  BD BE  BD ED

B
O

Vậy AC  BD CD
E

b) Chứng minh: EH  CD .
Ta gọi K là giao điểm của CH với BD
Vì CK //AB mà AB  BD nên CK  BD
CK , DO cắt nhau tại H nên H là trực tâm nên
Xét CDE có hai đường cao
EH  CD

2.
A

F

B

H

E

C

D

Gọi giao điểm của DH với AC là F .
0


Vì B 2C  90 nên AC  BA suy ra HC  HB

Trên HC lấy E sao cho HB HE (1)
Xét AHB và AHE có
AH chung

Trang 6


AHB  AHC 900
HB HE

Nên AHB = AHE (c-g-c)
 ABH  AEH (góc tương ứng)
AB  AE ( cạnh tương ứng)

Mà

 2C
  AEH 2 ACB
B




Mặt khắc AEH  ACB  CAE ( góc ngồi tam giác)


Do đó ACB CAE suy ra ACE cân tại E nên EA EC  AB EC
Mà AD HC  AB  BD HE  EC do đó BD EH (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD BH do đó BDH cân tại B
ABC


BDH
BHD

 ACB

 AHF FAH
2
( cùng phụ với hai góc bằng nhau)

Suy ra HFC cân tại F  FH FC
Lại có

AFC cân tại F  FH FA

 FC FA nên F là trungđiểm của AC

Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC .
*

Bài 5: (1,0 điểm) Cho biết a, b  N . Tính giá trị của biểu thức:

A

a2  b2
ab biết A có giá trị nguyên.
Lời giải

2
2
Để biểu thức A có giá trị ngun thì a  b ab

Giả sử

 a, b  d , d  N *

*
khi đó a d .x; b d . y với x, y  N ,( x, y ) 1

2
2 2
2
2 2
Suy ra a d .x ; b d . y
2
2
2
2
2
2

Vì a  b ab  d ( x  y )d xy
2
2
2
2
2
Suy ra  x  y xy  x  y x  y x mà ( x, y ) 1 nên y x

Tương tự xy
Mà ( x, y ) 1 nên x  y do đó a b d
A

a2  a2
2
a.a

Vậy A=2.

Trang 7


= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Trang 8