Hsg T7 - 013 - Đề_Đáp.án - Thcs Kim Long.docx

UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
Toán – Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2,0 điểm) Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
b)

x  x  2 3
x  y  x : y 3  x  y 

1 2 y 1 4 y 1 6 y


24
6x
c) 18
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Tìm cặp số nguyên

 x; y 

|y +2011|+ 30=
thỏa mãn

2010
(2 x+ 6)2 +67

b) Cho đa thức P(x) = ax + bx + cx + d . Với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết P(x) chia
hết cho 5 với mọi số nguyên x. Chứng tỏ rằng các số nguyên a, b, c, d cũng chia hết cho 5.
Bài 3: (2,0 điểm)
2
2
a) Nếu một tam giác có độ dài hai đường cao là 3 ; 5 và đường cao thứ ba cũng là số chính
phương thì đường cao thứ ba là bao nhiêu?
b) Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng trong ba số đó tồn tại hai số mà tổng
hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12.

A AB  AC  .
Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại 
Tia phân giác của góc B cắt AC ở
D. Kẻ DH vng góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE  AB. Đường thẳng vng
góc với AE tại E cắt tia DH tại K .

a) Chứng minh rằng BA BH .
b) Tính góc DBK .
Bài 5: (2,0 điểm)





 2008.a  3.b 1 . 2008a  2008.a  b 225
a) Tìm số tự nhiên a, b sao cho
b) Tìm ba số nguyên tố khác nhau là a, b, c sao cho abc  ac  bc  ab
c) Tìm hai số tự nhiên x, y biết rằng tổng của chúng gấp hai lần tích của chúng;
…………….. Hết ……………..

Trang 1


ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN
TRƯỜNG THCS
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (2,0 điểm) Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
b)

x  x  2 3
x  y x : y 3  x  y 

1 2 y 1 4y 1 6 y


24
6x
c) 18
Lời giải
a) (0,75đ)
Nếu x   2, ta có  2 x  2 3  x  2,5
Nếu  2  x  0, ta có 0 x  2 3  khơng có giá trị của x.
Nếu x 0, ta có 2 x  2 3  x  0,5
b) (0,75đ)
Vì

x  y  x : y 3  x  y 

Suy ra x : y 2 (vì y 0)

Ta có

x  y 2 và 3  x  y  2

4
2
 x ;y .
3
3


c) (0,5 đ)

1 2 y 1 4 y
1

 y   x 5
24
4
Từ 18
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Tìm cặp số nguyên

 x; y 

|y +2011|+ 30=
thỏa mãn

2010
(2 x+ 6)2 +67

3

2
b) Cho đa thức P ( x) ax  bx  cx  d . Với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết P(x) chia
hết cho 5 với mọi số nguyên x. Chứng tỏ rằng các số nguyên a, b, c, d cũng chia hết cho 5.

Lời giải
a) (1 đ)

|y +2011|+ 30=
Ta có:

2010
(2 x+ 6)2 +67 (1)

( 2 x +6 )2≥0 với x  Z
⇒

⇒

( 2 x +6 )2 +67≥67 với x  Z

2010
2010
≤
=30
2
(2 x +6 ) +67 67

với x  Z

Trang 2


|y+2011|≥0

với y  Z

⇒

|y+2011|+30≥30

Do đó (1) có nghiệm nguyên x, y khi và chỉ khi

với y  Z

{(2 x+6 )=0¿¿¿¿ ⇔¿ { x=−3¿¿¿

b) (1đ)
vì

P  x  5

với mọi x nguyên, nên ta có :

P  0  d 5
P  1 a  b  c  d 5

mà d 5  a  b  c 5 (1)

P   1  a  b  c  d 5

mà

d 5   a  b  c5  2 

Từ (1) và (2)  2b5  b5 (vì 2 và 5 nguyên tố cùng nhau)
Từ (1) và b 5  a  c 5
P  2  8a  4b  2c  d 6a  2  a  c   4b  d 5  6a 5

 a 5  c 5.
Bài 3: (2,0 điểm)
2
2
a) Nếu một tam giác có độ dài hai đường cao là 3 ; 5 và đường cao thứ ba cũng là số chính
phương thì đường cao thứ ba là bao nhiêu?
b) Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng trong ba số đó tồn tại hai số mà tổng
hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12.
Lời giải

a) (1 đ)
Gọi ba cạnh của tam giác là a, b, c và đường cao tương ứng là 9, 25, m
Ta có: 9a 25b mc 2S ( S là diện tích tam giác)

 a

2S
2S
2S

b
c
9 ,
25 ,
m

Áp dụng BĐT tam giác ta có: a  b  c  a  b



225
225
m
 m 9
34
16
(vì m là số chính phương)

b) (1 đ)
Số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 số dư chỉ có thể là: 1,5, 7,11
Nhóm I: số dư là 1; 11
Nhóm II : số dư là 5; 7
Vì có ba số nguyên tố mà chỉ có hai nhóm nên theo nguyên Đrichle, tồn tại hai số thuộc cùng
một nhóm
 Hai số đó có hiệu hoặc tổng chia hết cho 12

Trang 3


A AB  AC  .

Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vng tại 
Tia phân giác của góc B cắt AC ở
D. Kẻ DH vng góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE  AB. Đường thẳng vng
góc với AE tại E cắt tia DH tại K .

a) Chứng minh rằng BA BH .
b) Tính góc DBK .
Lời giải
Vẽ hình, ghi GT, KL
I

B

K
H
A

D

E

C

a) (0,75 đ)
Δ ABD = Δ HBD (Cạnh huyền - góc nhọn)
 BA = BH
b) (1,25 đ)
Qua B, kẻ đường vng góc với EK , cắt EK tại I
0


Ta có ABI 90



Chứng minh HBK KBI , bằng cách chứng minh

HBK IBK (cạnh huyền - cạnh góc vng)

 DBK
450
Bài 5: (2,0 điểm)





 2008.a  3.b  1 . 2008a  2008.a  b 225
a) Tìm số tự nhiên a, b sao cho
b) Tìm ba số nguyên tố khác nhau là a, b, c sao cho abc  ac  bc  ab
c) Tìm hai số tự nhiên x, y biết rằng tổng của chúng gấp hai lần tích của chúng;
Lời giải
a) (0,75 đ)
a
Theo đề bài 2008a  3b  1 và 2008  2008a  b là 2 số lẻ.

a
Nếu a 0  2008  2008a là số chẵn

Trang 4

a
Để 2008  2008a  b lẻ  b lẻ

Nếu b lẻ  3b + 1 chẵn do đó
2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn)
Vậy a = 0
Với a = 0  (3b + 1)(b + 1) = 225
Vì b  N  (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25
3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1

3b  1 25
 
 b 8
b  1 9
Vậy a 0; b 8.
b) (0,75 đ)

abc  ac  ab  bc 

Giả sử



1 1 1
  1
a b c

a b c 2

1 1 1
 
a b c

3
 1  c  3,
c
suy ra c = 2 (vì c là số nguyên tố)

Ta có

1 1 1
+ >
a b 2

Tương tự tính được b 3, a 5
c) (0,5đ)
Ta có x + y = 2xy
Giả sử x  y  2x  x + y  2x  2xy  y  1
Vì y là số tự nhiên nên y  {0 ; 1}
Với y = 0  x = 0
Với y = 1  x = 1
…………………………

Trang 5