Hsg T7 - 23 - Đề_Đáp.án -Triệu Hóa.docx

PHỊNG GD - ĐT THIỆU HĨA

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7

ĐỀ CHÍNH THỨC

Mơn: Tốn 7

(Đề thi này gồm 01 trang)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (3,0 điểm) Tính
A 1

a.

13
19  23
 8
.(0.5)2 .3    1  :1
15
 15 60  24

1  1  1   1
  1

B 2021  1 .   1 .   1 ... 
 1 . 
 1
 2   3   4   2020   2021 

b.

Bài 2: (4,5 điểm)

x  2  3  2 x 2 x  1
a. Tìm x biết:
2x  3y  4z
x y
y z
M


3x  4 y  5z
b. Cho : 3 4 và 5 6 .Tính

100  y 2 8  x  2021
c. Tìm x, y nguyên biết

2

Bài 3: (3,5 điểm)
a. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với
1: 2 : 3
99
98
97
96
b. Cho P( x) x  100 x  100 x  100 x  ... 100 x  1 . Tính P(99) ?

Bài 4: (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC , AB  AC . Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD  AB . Gọi
P, Q là trung điểm của AD, BC và I là giao điểm các đường vng góc với AD, BC tại P, Q .
a. Chứng minh: AIB DIC .

b. Chứng minh: AI là tia phân giác của BAC .

1
AE  AD
2
c. Kẻ IE vng góc với AB . Chứng minh
.
d. Tìm điểm F trên đường thẳng IP sao cho AF  BF ngắn nhất.
Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số dương 0 a b c 1 . Chứng minh rằng
a
b
c


2
bc  1 ac  1 ab  1

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
(Đề thi có 01 trang)

Trang 1


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Bài 1: (3,0 điểm) Tính
A 1

a.

13
19  23
 8
.(0.5)2 .3    1  :1
15
 15 60  24

1  1  1   1
  1

B 2021  1 .   1 .   1 ... 
 1 . 
 1
 2   3   4   2020   2021 
b.

Lời giải
A 1

a.
A

13
19  23
 8
.(0.5)2 .3    1  :1
15

 15 60  24

28 1
 8 79  47
. .3   
:
15 4
 15 60  24

7  32  79  24
A  
.
5  60  47

7 47 24
A 
.
5 60 47
7 2
A   1
5 5
1  1  1   1
  1

B 2021  1 .   1 .   1 ... 
 1 . 
 1
 2   3   4   2020   2021 
b.
2021.

 1  2  3  2020
1
. . ....
2021.
1
2 3 4
2021
2021

Có 2020 số hạng nên tích là số dương.
Bài 2: (4,5 điểm)

x  2  3  2 x 2 x 1
a. Tìm x biết:
2x  3y  4z
x y
y z
M


3x  4 y  5z
b. Cho : 3 4 và 5 6 .Tính
2
100  y 2 8  x  2021
x
,
y
c. Tìm
nguyên biết

Lời giải
a. Điều kiện

x

1
2

Bảng xét dấu

x
x 2



2

3
2


 x2

0

x 2

Trang 2

 x2
 3  2x
3  2x

0

3  2x

3  2x

x  2  3  2 x 2 x  1  x  2  3  2 x 2 x 1
Xét x 2 , ta có
Hay 3 x 0  x 0 (loại)

3
 x 2
x  2  3  2 x 2 x  1   x  2  3  2 x 2 x  1
Xét 2
. ta có
Hay
Xét

 5 x  4  x 

x

4
5 (loại)

3
2 , ta có x  2  3  2 x 2 x  1   x  2  3  2 x 2 x  1

Hay  x 2  x  2 (nhận)

x  2  3  2 x 2 x  1   2  2  3  2.( 2) 2.( 2) 1
Với x  2 ta có
  4  12  4  1

 4  12  3
 16  3 (vơ lý)
Vậy phương trình vơ nghiệm. Khơng có giá trị nào của x thỏa u cầu bài tốn.

x y
x
y
 

15 20
b. Ta có 3 4
y z
y
z
 

5 6
20 24
x
y
z

 
Suy ra 15 20 24

(1)

2x 3 y 4z 2x  3 y  4z
3x 4 y 5z 3x  4 y  5 z
  
 

(1)
30 60 96
186
245
Từ
và 45 80 120


2 x  3 y  4 z 3x  4 y  5 z 2 x 3x 2 x 45
:
 :
 . 1
186
245
30 45 30 3 x



2x  3 y  4z
245

2 x  3 y  4 z 245
.

.
1
186
3 x  4 y  5 z 3 x  4 y  5 z 186

 M.

245
1
186

186
 M
245
c. Ta có

2
100  y 2 8  x  2021

2

. Do

8  x  2021 0

với mọi x

2
2
suy ra 100  y 0  100  y

Trang 3


 y 2   0;1; 4;9;16; 25;36; 47;64;81;100
Với

2
y 2 0  100  y 2 100 8  x  2021



Với

2
y 2 1  100  y 2 99 8  x  2021



Với

64
2
8  x  2021
8
(loại vì x  Z )

2
y 2 49  100  y 2 51 8  x  2021



Với

75
2
 x  2021
8
(loại vì x  Z )

2
y 2 36  100  y 2 64 8  x  2021



Với

84
2
 x  2021
8
(loại vì x  Z )

2
y 2 25  100  y 2 75 8  x  2021



Với

91
2
 x  2021
8
(loại vì x  Z )

2
y 2 16  100  y 2 84 8  x  2021



Với

96
2
12  x  2021
8
(loại vì x  Z )

2
y 2 9  100  y 2 91 8  x  2021



Với

99

2
 x  2021
8
(loại vì x  Z )

2
y 2 4  100  y 2 96 8  x  2021



Với

100
2
 x  2021
8
(loại vì x  Z )

51
2
 x  2021
8
(loại vì x  Z )

2
y 2 64  100  y 2 36 8  x  2021



36

2
 x  2021
8
(loại vì x  Z )

Trang 4


Với

2
y 2 81  100  y 2 19 8  x  2021



Với

19
2
 x  2021
8
(loại vì x  Z )

2
y 2 100  100  y 2 0 8  x  2021
2

 0  x  2021  x 2021
Vậy y 10; y  10
Do đó

 x; y   2021;10 

và

 x; y   2021;  10 

Bài 3: (3,5 điểm)
a. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với
1: 2 : 3
99
98
97
96
b. Cho P( x) x  100 x  100 x  100 x  ... 100 x  1 . Tính P(99) ?

Lời giải
a) Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Khơng mất tính tổng qt, giả sử
a b c 9.
Ta có 1 a  b  c 27
Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9 .
Do đó a  b  c 18 hoặc a  b  c 9 hoặc a  b  c 27 .

a b c a b c
  
6
Theo đề ta có : 1 2 3
Như vậy a  b  c chia hết cho 6, nên a  b  c 18
Từ đó suy ra a 3; b 6; c 9
Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hang đơn vị chẳn, vì vậy hai số cần tìm là: 396;936

b) Vì x 99 nên x  99 0
99
98
97
96
Ta có P( x) x  100 x  100 x  100 x  ... 100 x  1

P( x) x99  99 x98  x98  99 x97  x 97  99 x96  x 96  ...  99 x  x  1
P ( x) x98 ( x  99)  x97 ( x  99)  x96 ( x  99)  ...  x( x  99)  ( x  1)
P( x) x98.0  x97 .0  x96 .0  ...  x.0  ( x  1)
 P (99) 99  1 98

Bài 4: (7,0 điểm)

Trang 5


Cho tam giác ABC , AB  AC . Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD  AB . Gọi
P, Q là trung điểm của AD, BC và I là giao điểm các đường vuông góc với AD, BC tại P, Q .
a. Chứng minh: AIB DIC .

b. Chứng minh: AI là tia phân giác của BAC .

1
AE  AD
2
c. Kẻ IE vng góc với AB . Chứng minh
.
d. Tìm điểm F trên đường thẳng IP sao cho AF  BF ngắn nhất.
Lời giải

a) Chứng minh:
AIB DIC
Xét AIB và DIC có:

IA ID ( I thuộc đường
trung trực AD )

AB CD (gt)
IB IC ( I thuộc đường
trung trực BC )

Suy ra AIB DIC (c-c-c)

b) Chứng minh: AI là tia phân giác của BAC .



Ta có AIB DIC (cmt) suy ra BAI CDI (góc tương ứng)

(1)

0


Mà AIP DIP (c-g-c) vì có IPA IPD 90

IP cạnh chung
AP PD ( P là trung điểm AD )




Nên IAP IDP (góc tương ứng)


Hay IAC CDI

(2)




Từ (1);(2) suy ra BAI IAC hay AI là tia phân giác của BAC .
1
AE  AD
2
c) Kẻ IE vng góc với AB . Chứng minh
.
Xét AIE và AIP có:

 P
 900
E



BAI
IAC
(cmt)
AI cạnh chung
Suy ra AIE AIP (ch-gn)

Trang 6


Suy ra AE  AP (cạnh tương ứng)
Mà

AP 

AD
2 ( vì P là trung điểm AD )

1
AE  AD
2
Do đó
d) Tìm điểm F trên đường thẳng IP sao cho AF  BF ngắn nhất.
Xét FPA và FPD có:



FPA
FPD
900
AP PD ( P là trung điểm AD )
FP cạnh chung
Suy ra FPA FPD (c-g-c)
Suy ra AF DF (cạnh tương ứng)
Ta có AF  BF DF  BF
Nếu F khơng thuộc BD thì BPD là tam giác, suy ra DF  BF  BD

Hay AF  BF  BD
Nếu F thuộc BD thì B, P, D thẳng hàng, suy ra DF  BF BD
Hay AF  BF BD
Vậy để AF  BF nhỏ nhất thì F thuộc giao điểm BD; IP
Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số dương 0 a b c 1 . Chứng minh rằng

a
b
c


2
bc  1 ac  1 ab  1
Lời giải
(1  a) 0

(1  b) 0
(1  c) 0
Vì 0 a b c 1 nên 
Suy ra

 1  a   1  b  0  1  a  b  ab 0  1  ab a  b


Tương tự:

(1)

 1  b   1  c  0  1  c  b  cb 0  1  bc c  b


Tương tự :

1
1
c
c



ab  1 a  b
ab  1 a  b

1
1
a
a



bc  1 c  b
bc  1 c  b

(2)

 1  a   1  c  0  1  a  c  ac 0  1  ac a  c

Trang 7



1
1
b
b



ac  1 a  c
ac  1 a  c

a
b
c
a
b
c




+
Do đó bc  1 ac  1 ab  1 b  c a  c a  b

(3)

(4)

a

b
c
2a
2b
2c
2(a  b  c )

+


+

2
a b c
Mà b  c a  c a  b a  b  c a  b  c a  b  c

(5)

a
b
c


2
(4);(5)
Từ
suy ra bc  1 ac  1 ab  1
(đpcm)
= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Trang 8