Tam thức bậc hai định lí về dấu của ta thức bậc hai

Đỗ Thị Khánh Huyền - 096602445
Nhắc lại về tam thức bậc 2. (dùng để giải bất phương trình bậc hai)
1. Tam thức bậc 2:
Có dạng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0)
2. Định lí về dấu của tam thức bậc 2:
∆ = 𝑏 − 4𝑎𝑐 (Ngoài ra nếu 𝑏 = 2𝑏 ⇔ 𝑏 chẵn thì có thể dùng ∆ = 𝑏 − 𝑎𝑐. Tuy nhiên mình
nên dùng ∆ thơi, tránh nhầm.)
Cho tam thức bậc hai 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0):
 Nếu ∆ < 0 thì 𝑓(𝑥) cùng dấu với hệ số 𝑎 với mọi 𝑥 ∈ ℝ.
Bảng xét dấu
𝑥
𝑓(𝑥)

−∞

+∞
Cùng dấu với 𝑎

 Nếu ∆ = 0 thì 𝑓(𝑥) cùng dấu với hệ số a với mọi 𝑥 ≠ −

và 𝑓 −

=0

Bảng xét dấu
𝑥

−∞

−

+∞

𝑓(𝑥)
Cùng dấu với 𝑎
0
Cùng dấu 𝑎
Nếu ∆ > 0 thì tam thức 𝑓(𝑥) có hai nghiệm phân biệt 𝑥 , 𝑥 (𝑥 < 𝑥 ). Khi đó 𝑓(𝑥) cùng dấu
với hệ số 𝑎 với mọi 𝑥 ∈ (−∞; 𝑥 ) ∪ (𝑥 ; +∞); 𝑓(𝑥) trái dấu với hệ số a với mọi 𝑥 ∈ (𝑥 ; 𝑥 ).
𝑥
𝑓(𝑥)

−∞

𝑥
Cùng dấu với 𝑎

0

𝑥
Trái dấu 𝑎

0

+∞
Cùng dấu 𝑎

3. Giải bất phương trình bậc hai:
a. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎
Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 𝑥 ∈ ℝ ⇔

𝑎>0
∆<0

Nếu là chỉ tìm 𝑥 thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 và 𝑎 < 0 thì nếu ∆ > 0 thì các giá trị 𝑥 thỏa mãn
sẽ là 𝑥 ∈ (𝑥 ; 𝑥 ). Trường hợp ∆ = 0; ∆ < 0 kết luận khơng có giá trị nào thỏa mãn.
b. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎
Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 𝑥 ∈ ℝ ⇔

𝑎<0
∆<0

Nếu là chỉ tìm 𝑥 thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 và 𝑎 > 0 thì nếu ∆ > 0 thì các giá trị 𝑥 thỏa mãn
sẽ là 𝑥 ∈ (𝑥 ; 𝑥 ). Trường hợp ∆ = 0; ∆ < 0 kết luận khơng có giá trị nào thỏa mãn.
c. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎
Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 𝑥 ∈ ℝ ⇔

𝑎>0
∆≤0

Link facbook: />

Đỗ Thị Khánh Huyền - 096602445
Nếu là chỉ tìm 𝑥 thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 và 𝑎 < 0 thì nếu ∆ > 0 thì các giá trị 𝑥 thỏa mãn
sẽ là 𝑥 ∈ [𝑥 ; 𝑥 ]. Trường hợp ∆ < 0 kết luận không có giá trị nào thỏa mãn.
d. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎
Bất phương trình có nghiệm đúng với mọi 𝑥 ∈ ℝ ⇔

𝑎<0
∆≤0

Nếu là chỉ tìm 𝑥 thỏa mãn 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 và 𝑎 > 0 thì nếu ∆ > 0 thì các giá trị 𝑥 thỏa mãn
sẽ là 𝑥 ∈ [𝑥 ; 𝑥 ]. Trường hợp ∆ < 0 kết luận khơng có giá trị nào thỏa mãn.
Ví dụ: Giải bất phương trình:
𝑥 − 2𝑥 − 1 < 0
Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 − 1
Có 𝑎 = 1 > 0; 𝑏 = −2; 𝑐 = −1 nên ∆ = (−2) − 4. (−1). 1 = 8 > 0
𝑥 = 1 − √2
⇒ 𝑓(𝑥) = 0 có 2 nghiệm phân biệt là
nên ta có bảng xét dấu:
𝑥 = 1 + √2
𝑥
−∞
1 − √2
1 + √2
+∞
𝑓(𝑥)
+
0
−
0
+
Vậy 𝑓(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 ∈ (1 − √2; 1 + √2)
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số 𝑚 để tam thức bậc hai sau dương với mọi 𝑥 ∈ ℝ:
𝑥 + (𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 + 3
Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑥 + (𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 + 3
Có 𝑎 = 1 > 0; 𝑏 = 𝑚 + 1; 𝑐 = 2𝑚 + 3
𝑎 > 0 (𝑙𝑢ơ𝑛 đú𝑛𝑔 𝑣ì 𝑎 = 1)
𝑓(𝑥) dương với ∀𝑥 ∈ ℝ ⇔ 𝑓(𝑥) > 0 ∀𝑥 ⇔
∆<0
∆ = (𝑚 + 1) − 4.1. (2𝑚 + 3) = 𝑚 − 6𝑚 − 11 < 0

Nhận xét: ∆ cũng là một tam thức bậc 2 nên bài toán trở về giải bất phương trình 𝑚 − 6𝑚 −
11 < 0
Đặt 𝑔(𝑚) = 𝑚 − 6𝑚 − 11
𝑥 = 3 − 2√5
∆ = (−6) − 4.1. (−11) = 80 > 0 ⇒ 𝑔(𝑚) = 0 có hai nghiệm là:
nên ta có
𝑥 = 3 + 2√5
bảng xét dấu:
𝑥
−∞
3 − 2√5
3 + 2√5
+∞
𝑓(𝑥)
+
0
−
0
+
Vậy 𝑚 ∈ 3 − 2√5; 3 + 2√5 thì 𝑔(𝑚) < 0 hay ∆ < 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài

Link facbook: />