Giáo trình toán cao cấp trường đh kinh tế nghệ an

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................ - 1 Chương 1. TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ ........................................................... - 3 1.1. Tập hợp ................................................................................................ - 3 1.1.1. Các khái niệm cơ bản.................................................................... - 3 1.1.2. Các phép toán trên tập hợp ........................................................... - 5 1.2. Quan hệ ................................................................................................ - 7 1.2.1. Tích Descartes .............................................................................. - 7 1.2.2. Quan hệ.......................................................................................... - 7 1.2.3. Ánh xạ ............................................................................................ - 9 1.2.4. Ánh xạ ngược .............................................................................. - 11 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN ..................................................... - 12 2.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số ................................. - 12 2.1.1 Biến số........................................................................................... - 12 2.1.2. Quan hệ hàm số........................................................................... - 12 2.1.3. Đồ thị của hàm số........................................................................ - 15 2.1.4. Khái niệm hàm ngược................................................................. - 16 2.1.5. Một số đặc trưng hàm số............................................................. - 18 2.1.6. Các hàm số sơ cấp ....................................................................... - 21 2.2. Dãy số và giới hạn của dãy số........................................................... - 23 2.2.1. Dãy số ........................................................................................... - 23 2.2.2. Giới hạn của dãy số: ................................................................... - 23 2.2.3. Đại lượng vô cùng bé .................................................................. - 26 2.2.4. Các định lý cơ bản về giới hạn. .................................................. - 27 2.3. Giới hạn của hàm số. ......................................................................... - 29 2.3.1. Khái niệm giới hạn của hàm số .................................................. - 29 2.3.2. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản ..................................... - 31 2.3.3. Các định lý cơ bản về giới hạn ................................................... - 32 2.3.4. Hai giới hạn cơ bản dạng vô định .............................................. - 34 2.3.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn .......................................................... - 34 2.4. Hàm số liên tục .................................................................................. - 38 2.4.1. Khái niệm hàm số liên tục. ......................................................... - 38 2.4.2. Các phép toán sơ cấp đối với hàm số liên tục. ........................... - 39 2.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng. ........ - 39 Chương 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN......................................................... - 41 3.1. Đạo hàm của hàm số. ........................................................................ - 41 3.1.1. Khái niệm đạo hàm ..................................................................... - 41 3.1.2. Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản ........................................... - 43 3.1.3. Các quy tắc tính đạo hàm. .......................................................... - 43 3.2. Vi phân của hàm số. .......................................................................... - 44 3.2.1. Khái niệm vi phân và liên hệ với đạo hàm ................................. - 44 3.2.2. Các quy tắc tính vi phân ............................................................. - 45 3.3. Các định lý cơ bản về hàm số khả vi ............................................... - 46 - 1 -


3.3.1. Định lý Fermat ............................................................................ - 46 3.3.2. Định lý Rolle ................................................................................ - 47 3.3.3. Định lý Lagrange ........................................................................ - 47 3.3.4. Định lý Cauchy ............................................................................ - 48 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao. ............................................................ - 49 3.4.1. Đạo hàm cấp cao. ........................................................................ - 49 3.4.2. Vi phân cấp cao. .......................................................................... - 50 3.5. Ứng dụng của đạo hàm trong việc tính giới hạn dạng vơ định. ... - 51 3.5.1. Tính các giới hạn dạng vơ định dạng

0
¥
và
. ....................... - 51 0
¥

3.5.2. Các dạng vơ định khác. ............................................................... - 52 Chương 4. PHÉP TỐN TÍCH PHÂN ...................................................... - 55 4.1. Nguyên hàm và tích phân bất định.................................................. - 55 4.1.1. Nguyên hàm của hàm số............................................................. - 55 4.1.2. Tích phân bất định ...................................................................... - 55 4.1.3. Các cơng thức tích phân cơ bản ................................................. - 56 4.2. Các phương pháp tính tích phân bất định...................................... - 57 4.2.1. Phương pháp đổi biến số ............................................................ - 57 4.2.2. Phương pháp tính tích phân theo từng phần ............................ - 59 4.3. Một số dạng tích phân cơ bản. ......................................................... - 61 4.3.1. Tích phân của các phân thức hữu tỷ ......................................... - 61 4.3.2. Tích phân của một số biểu thức lượng giác .............................. - 63 4.3.3. Tích phân của một số biểu thức chứa căn ................................. - 65 4.4. Tích phân xác định ............................................................................ - 67 4.4.1. Khái niệm tích phân xác định .................................................... - 67 4.4.2. Điều kiện khả tích ....................................................................... - 69 4.4.3. Các tính chất của tích phân xác định ........................................ - 70 4.4.4. Liên hệ giữa tích phân xác định và ngun hàm. Cơng thức
Newton - Leibnitz................................................................................... - 71 4.4.5. Phương pháp đổi biến số ............................................................ - 72 4.4.6. Phương pháp tính tích phân từng phần .................................... - 74 4.4.7. Tích phân suy rộng. .................................................................... - 74 4.5. Một số ứng dụng của tích phân xác định ............................................ - 78 4.5.1. Tính diện tích hình phẳng ............................................................ - 78 4.5.2. Tính thể tích vật tròn xoay .......................................................... - 79 Chương 5. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ .................................................... - 81 5.1 Các khái niệm cơ bản ......................................................................... - 81 5.1.1. Hàm số hai biến số ...................................................................... - 81 5.1.2. Hàm số n biến số ......................................................................... - 83 5.2 Giới hạn và tính liên tục. ................................................................... - 84 5.2.1. Giới hạn của hàm số hai biến số ................................................ - 84 5.2.2. Giới hạn của hàm n biến .............................................................. - 88 5.23. Hàm số liên tục ............................................................................. - 89 5.3. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến .................................. - 89 - 2 -


5.3.1. Số gia riêng và số gia toàn phần ................................................ - 90 5.3.2. Đạo hàm riêng ............................................................................. - 90 5.3.3. Đạo hàm riêng của hàm hợp ...................................................... - 91 5.3.4. Vi phân ......................................................................................... - 92 5.3.5. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao. ............................................ - 93 5.4. Cực trị của hàm nhiều biến .............................................................. - 95 5.4.1. Khái niệm cực trị và điều kiện cần ............................................. - 95 5.4.2. Điều kiện đủ................................................................................. - 97 Chương 6. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ................................................... - 99 6.1. Các khái niệm cơ bản ........................................................................ - 99 6.1.1. Các khái niệm chung .................................................................. - 99 6.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ......................................... - 103 6.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất ................. - 103 6.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 khơng thuần nhất ..... - 104 6.3. Phương trình vi phân cấp hai ........................................................ - 107 6.3.1 Khái quát chung về phương trình vi phân cấp 2 ...................... - 107 6.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai ................................. - 108 6.3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với các hệ số hằng số - 112 Chương 7. KHÔNG GIAN VECTƠ ......................................................... - 121 7.1. Khái niệm về không gian vectơ ...................................................... - 121 7.1.1. Định nghĩa 1. ............................................................................. - 121 7.1.2. Các tính chất.............................................................................. - 122 7.1.3. Một số ví dụ về không gian vectơ ............................................. - 122 7.2. Không gian vectơ con ...................................................................... - 123 7.2.1. Định nghĩa 2. ............................................................................. - 123 7.2.2. Định lý 1. .................................................................................... - 123 7.3. Tổ hợp tuyến tính. Hệ sinh ............................................................. - 124 7.3.1. Tổ hợp tuyến tính ...................................................................... - 124 7.3.2. Hệ sinh. ...................................................................................... - 124 7.4. Họ véctơ độc lập tuyến tính. Cơ sở và số chiều của khơng gian véctơ . 125 7.4.1. Họ véctơ độc lập tuyến tính ...................................................... - 125 7.4.2. Cơ sở. Số chiều của không gian vectơ ..................................... - 126 Quy ước: dim() = 0 ..................................................................................... - 126 Chương 8. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ................................................ - 127 8.1. Ma trận và các phép toán tuyến tính đối với ma trận ................. - 127 8.1.1. Các khái niệm cơ bản về ma trận ............................................. - 127 8.1.2. Các dạng ma trận ...................................................................... - 129 8.1.3. Các phép toán đối với ma trận .................................................. - 132 8.1.4. Các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận.............................. - 135 8.2. Định thức .......................................................................................... - 136 8.2.1. Định thức của ma trận vuông .................................................. - 136 8.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức ......................................... - 139 8.2.3. Phương pháp tính định thức bằng biến đổi sơ cấp ................. - 141 8.4. Ma trận nghịch đảo ......................................................................... - 143 - 3 -


8.4.1. Khái niệm ma trận nghịch đảo ................................................. - 143 8.4.2. Điều kiện tồn tại và cơng thức tìm ma trận nghịch đảo .......... - 144 8.4.3. Các tính chất của ma trận nghịch đảo. .................................... - 145 8.5. Hạng của ma trận. ........................................................................... - 145 8.5.1. Khái niệm hạng của ma trận .................................................... - 145 8.5.2. Các phương pháp tìm hạng của ma trận ................................. - 146 Chương 9. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .................................. - 148 9.1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính và phương pháp
khử ẩn liên tiếp ....................................................................................... - 148 9.1.1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính. ............ - 148 9.1.2. Hệ phương trình dạng tam giác và dạng hình thang. ............. - 150 9.1.3. Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. ........... - 153 9.2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất........................................ - 157 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................... - 159 -

- 4 -


LỜI NĨI ĐẦU
Tốn học được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, xã
hội. Các bài toán trong kinh tế, kế toán, các bài toán trong khoa học kỹ thuật, đã
được giải nhằm phục vụ lợi ích con người.
Để kịp thời phục vụ cho công tác giảng dạy, học tập của sinh viên hệ Đại
học, chúng tôi đã biên soạn ra cuốn giáo trình này trên cơ sở cuốn Giáo trình

Tốn cao cấp viết cho hệ Cao đẳng. Trong giáo trình này chúng tơi cố gắng trình
bày kiến thức tốn thật đơn giản nhưng khơng phá vỡ tính liên tục, tính hệ thống
của chúng. Những khái niệm Toán học cơ bản, những phương pháp cơ bản,
những kết quả cơ bản của các chương đều được trình bày đầy đủ. Một số định lý
không được chứng minh, nhưng ý nghĩa của những định lý quan trọng được giải
thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh họa được đưa ra.
Giáo trình gồm 9 chương:
Chương 1: Tập hợp và quan hệ
Chương 2: Hàm số và giới hạn
Chương 3: Đạo hàm và vi phân
Chương 4: Phép tốn tích phân
Chương 5: Hàm số nhiều biến số
Chương 6: Phương trình vi phân
Chương 7: Khơng gian vectơ
Chương 8: Ma trận và định thức
Chương 9: Hệ phương trình tuyến tính
Chương 1 trình bày tóm tắt những nội dung bao qt, thuộc nền tảng tốn
học nói chung: tập hợp, các khái niệm cơ bản về phép toán hai ngơi trong tập
hợp, khái niệm ánh xạ.
Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bản về hàm số và giới hạn.
- 1 -


Chương 3, chương 4 có một số kiến thức đã được đề cập ở bậc phổ thông,
những kiến thức này chúng tơi trình bày một cách chính xác và có mở rộng.
Những kiến thức mới được trình bày gọn nhưng kỹ, nhằm giúp sinh viên dễ
dàng lĩnh hội. Một vài ví dụ thực tế cũng được giới thiệu, qua đó sinh viên thấy
được việc cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản nhất của chương
nhằm phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu các môn học chuyên ngành.
Chương 5 gồm những kiến thức mới chưa được học ở bậc phổ thông. Tên

chương là “ Hàm số nhiều biến số ” nhưng nội dung chính trong chương cơ bản
đề cập đến hàm số hai biến số.
Chương 6 chủ yếu đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và
cấp 2. Mỗi dạng phương trình được nêu đều có các ví dụ minh họa để sinh viên
biết cách giải khi nhận được dạng của phương trình.
Chương 7 trình bày một số khái niệm cơ bản của khơng gian vectơ
Chương 8, chương 9 trình bày những kiến thức cơ bản nhất về các khái
niệm được nêu trong tên của chương. Các chương này gồm những kiến thức
chưa được học ở bậc phổ thơng nên được trình bày khá kỹ, sau mỗi mục đều có
ví dụ minh họa nhằm giúp sinh viên nắm được kiến thức và tạo lập kỹ năng vận
dụng kiến thức để làm bài tập.
Cuốn giáo trình này được biên soạn trong thời gian ngắn, chắc chắn cịn
nhiều sai sót. Rất mong được sự góp ý của bạn đọc để cuốn sách ngày càng được
hoàn thiện.
Các tác giả

- 2 -


Chương 1. TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ
1.1. Tập hợp
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1.1. Tập hợp và phần tử
Thuật ngữ “Tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Chúng ta thường
nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập hợp các
nghiệm của phương trình, tập hợp các học sinh trong lớp học ... Tập hợp là một
khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng làm cơ sở cho các khái niệm khác
nhưng bản thân nó khơng được định nghĩa qua các khái niệm đơn giản hơn.
Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳng hạn
khi nói về tập hợp các số tự nhiên, các đối tượng của tập hợp là các số tự nhiên;

khi nói về tập hợp các học sinh của một lớp học, các đối tượng của tập hợp là
học sinh trong lớp học đó.
Các đối tượng của tập hợp đã cho được gọi là các phần tử của tập hợp đó.
Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, C  và ký hiệu các
phần tử bằng các chữ in thường a, b, c  Để nói rằng a là một phần tử của tập
hợp A ta dùng ký hiệu: a  A (đọc là: “ a thuộc A ”).
Ngược lại nếu a không phải là phần tử của tập hợp A thì viết: a  A (đọc
là “ a khơng thuộc A ”).
Ví dụ 1.1: Ở trong chương trình phổ thơng ta đã biết các tập hợp sau:
Tập hợp các số tự nhiên;
Tập hợp các số nguyên;
Tập hợp các số hữu tỉ;
Tập hợp các số thực.
Cho tập hợp A nghĩa là xác định tất cả các phần tử của nó. Có hai cách
cho tập hợp:
Cách 1: Cho tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.
Ví dụ 1.2:
+) Nếu A là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 6 thì ta viết:
A = {1; 2; 3; 4; 5}.
+) Có thể liệt kê các phần tử của tập hợp
các số tự nhiên và tập
các số
nguyên như sau:
= { 0; 1; 2; 3  }.
- 3 -


= { 0; 1; 2; 3 }.
Cách 2: Cho tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất của các phần tử của nó.
Nếu P(x) là mệnh đề chỉ tính chất của x và A là tập hợp các phần tử x có

tính chất P(x) thì ta viết:

A =  x p( x) .
Ví dụ 1.3:
+) Nếu A là tập hợp tất cả các số nguyên chẵn thì ta viết:

A =  n  Z n ch½n .
+) Có thể mơ tả tập hợp

các số hữu tỉ như sau:
p

=  p, q  Z ; q  0  .
q


Nếu A là tập hợp hữu hạn, tức là có thể liệt kê tất cả các phần tử của nó thì
ta ký hiệu A là số phần tử của tập hợp A.
1.1.1.2. Tập rỗng
Tập A được gọi là tập rỗng nếu nó khơng chứa phần tử nào.
Có duy nhất một tập rỗng và được ký hiệu là . Như vậy || = 0.
Viết A   (đọc là A không rỗng) nghĩa là A chứa ít nhất một phần tử.
1.1.1.3. Tập con và đẳng thức tập hợp
+) Giả sử cho hai tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A cũng là phần tử
của B thì ta nói A là tập con của B, ký hiệu A  B (đọc là A con B) hoặc B  A
(đọc là B chứa A).
+) Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A B và B  A, ký hiệu
A = B.
+) Nếu tập hợp A không bằng tập hợp B thì ta viết A  B.
+) Tập A được gọi là tập con thật sự của tập hợp B nếu A  B nhưng A 

B
Quy ước: Tập hợp  là tập con của mọi tập hợp.
1.1.1.4. Biểu đồ Venn
Để dễ hình dung về tập hợp và mối liên hệ giữa các tập hợp, người ta
dùng các tập hợp điểm của mặt phẳng để minh họa. Thông thường ta xét các tập
hợp phần tử của một tập hợp bao trùm, gọi là không gian hay vũ trụ. Tập không
gia được mô tả bằng tập hợp các điểm của hình chữ nhật. Mỗi tập hợp trong
khơng gian được minh họa bằng một tập hợp điểm giới hạn bằng một đường
- 4 -


khép kín bên trong hình chữ nhật. Cách minh họa ước lệ như vậy được gọi là
Biếu đồ Venn.
Ví dụ, biểu đồ Venn ở hình dưới mơ tả hai tập hợp A, B, trong đó A là tập
con của B

A

B

1.1.2. Các phép toán trên tập hợp
1.1.2.1. Phép hợp và phép giao
- Phép hợp
Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là phần
tử của ít nhất một trong các tập hợp đó, ký hiệu A B.
Như vậy:
A  B ={x  A hoặc x  B}.
Ví dụ 1.4: Cho hai tập hợp số
A = {0; 1; 2; 3; 4};
Khi đó:

B = {0; 1; 3; 5; 7}.

A  B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7}.
- Phép giao
Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó là
phần tử của đồng thời thuộc cả hai tập hợp A và B, ký hiệu A  B.
Như vậy:
A  B ={x  A và x  B}.
Ví dụ 1.5: Cho hai tập hợp số
A = {0; 1; 2; 3; 4};
Khi đó:

B = { 0; 1; 3; 5; 7}.
A  B = {0; 1; 3}.

- Các tính chất cơ bản của phép hợp và phép giao tập hợp
+) Tính giao hốn
A  B = B  A;

A  B = B  A.
- 5 -


+) Tính chất kết hợp
A  (B  C) = (A  B)  C;
A  (B  C) = (A  B)  C.
+) Tính chất phân phối
A  (B  C) = (A  B) (A  C);
A (B  C) = (A  B)  (A  C).

1.1.2.2. Phép trừ tập hợp và phần bù của tập hợp
- Hiệu của hai tập hợp
Hiệu của tập hợp A và tập hợp B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc
tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B, ký hiệu A\ B.
Vậy:
A\ B = { x  A và x  B }.
Ví dụ 1.6: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5};
B = {0; 2; 4; 6; 8}. Ta có:
A\ B = { 1; 3; 5}.
B \ A = { 6; 8}.
- Phần bù của tập hợp
Cho tập hợp E và A là tập con của E, nghĩa là A E. Lúc đó E\ A được gọi
là phần bù của A trong E, ký hiệu A .
Nhận xét: A  E; A = E \ A = A.
Ví dụ 1.7: Trong tập hợp tất cả các số thực , tập hợp các số vô tỉ là phần bù
của tập hợp tất cả các số hữu tỉ.
Định lý 1. (Định lý De Mocgan hay Nguyên lý đối ngẫu)
Với mọi A  E; B  E, ta có

A  B = A  B; A  B = A  B .
Nghĩa là:
- Phần bù của hợp của các tập hợp là giao của các phần bù của chúng.
- Phần bù của giao của các tập hợp là hợp của các phần bù của chúng.
Chứng minh:
Ta chứng minh đẳng thức đầu còn đẳng thức sau tương tự
Xét x  E, ta có:
x  A  B  x  A  B  ( x  A và x  B)  ( x  A và x  B)  x  A  B;
x  A  B  ( x  A và x  B)  ( x  Avà x  B)  x  A  B  x  A  B;

Vậy:

- 6 -


A B = A B .
1.2. Quan hệ
1.2.1. Tích Descartes
- Tích Descartes của 2 tập hợp.
Tích Descartes của hai tập hợp X và Y là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự
(x; y) trong đó x là một phần tử của tập X và y là một phần tử của tập Y.
Tích Descartes của X và Y được gọi tắt là tích của X và Y. Ký hiệu tích của
hai tập hợp X và Y là X  Y :

X  Y =  ( x; y) x  X ; y Y 
Chú ý: Ký hiệu (x; y) chỉ một cặp có thứ tự : x là phần tử đứng trước, y là phần
tử đứng sau. Với x và y là hai phần tử khác nhau thì (x; y) và (y; x) là hai cặp có
thứ tự khác nhau. Từ hai tập hợp X và Y ta có hai tập tích X  Y và Y  X
Ví dụ 1.8: Cho X = {1; 2}; Y = {3; x}.
X  Y = {(1;3); (1;x); (2;3); (2;x)}; Y  X = (3;1);(3;2);( x;1);( x;2)
X  X = {(1;1); (1;2); (2;1); (2;2)}.
- Tích Descartes của n tập hợp.

Tích Descartes của n tập hợp X1; X2;; Xn là tập tất cả các bộ n phần tử
có thứ tự (x1; x2;  ; xn) trong đó xk là phần tử của tập hợp Xk ( k = 1; 2; …; n),
ký hiệu là X 1  X 2   X n .
X1 ´ X 2 ´ ¼ ´ X n = {( x1; x2 ;ẳ ; xn ) xk ẻ X k ; k = 1; n}.

Tích đề các X  X 

 X (n lần) viết gọn là Xn.

X ´ X ´ ¼ ´ X = X n = {( x1; x2 ;ẳ ; xn ) xk ẻ X ; k = 1; n}.
1.2.2. Quan hệ.
1.2.2.1. Khái niệm quan hệ.
Theo nghĩa thông thường, quan hệ trong một tập hợp là một tính chất đặc
trưng hay một quy ước liên kết các phần tử của tập hợp đó. Quan hệ hai ngôi
liên kết các phần tử theo từng cặp. Chẳng hạn, quan hệ hôn nhân trong cộng
đồng người liên kết hai người có đăng ký kết hơn; quan hệ chia hết liên kết các
số nguyên theo từng cặp ( p; q), trong đó p là số chia hết cho q. Một cách khái
quát, một quan hệ hai ngôi trong tập hợp X là một quy tắc xác định những cặp
phần tử ( x; y) có quan hệ với nhau theo quy tắc đó. Nếu xem mỗi cặp phần tử
(x; y) của tập hợp X là một phần tử của tập tích X2 thì mỗi quan hệ xác định một

- 7 -


tập hợp   X2. Ta có thể đồng nhất mỗi quan hệ trong tập hợp X với một tập
con  của tập tích X2.
Định nghĩa 1. Quan hệ hai ngôi trong tập hợp X là một tập con của tập hợp X2.
Ví dụ 1.9:
Trong tập hợp số thực , quan hệ “không lớn hơn” là tập hợp:

( x; y) :

x  , y  , x  y 

2

1.2.2.2. Quan hệ tương đương
Cho   X2 là một quan hệ trong tập hợp X. Nếu ( x; y)   thì ta nói
phần tử x có quan hệ  với phần tử y và viết xy.

Định nghĩa 2. Một quan hệ  trong tập hợp X được gọi là quan hệ tương đương
nếu nó có các tính chất sau:
- Tính phản xạ: xx, xX ( mọi phần tử x của tập hợp X có quan hệ 
với chính nó)
- Tính đối xứng : xy thì yx ( nếu x có quan hệ  với y thì y cũng có
quan hệ  với x )
- Tính bắc cầu: Nếu xy và yz thì xz (nếu x có quan hệ  với y và y có
quan hệ  với z thì x có quan hệ  với z )
Ví dụ 1.10:
Quan hệ “ x đồng dạng với y ” là một quan hệ tương đương trong tập hợp
tất cả các tam giác.
Quan hệ “ x là bạn của y ” trong tập hợp các sinh viên của một trường đại
học không phải là quan hệ tương đươngvì quan hệ này khơng có tính bắc cầu.
1.2.2.3. Quan hệ thứ tự:
Định nghĩa 3. Một quan hệ  trong tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu
nó có các tính chất sau:
- Tính phản xạ: xx, xX ( mọi phần tử x của tập hợp X có quan hệ 
với chính nó)
- Tính bắc cầu: Nếu xy và yz thì xz (nếu x có quan hệ  với y và y có
quan hệ  với z thì x có quan hệ  với z )
- Tính đối xứng: Nếu xy và yx thì x = y (phần tử x trùng với phần tử y)
Ví dụ 1.11:
+) Quan hệ “ x  y ” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả các số thực

- 8 -


+) Quan hệ “ p chia hết cho q ” là một quan hệ thứ tự trong tập hợp tất cả
các số tự nhiên
1.2.3. Ánh xạ

1.2.3.1. Khái niệm ánh xạ
Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng bất kỳ
Định nghĩa 4. Một ánh xạ f từ tập X vào tập hợp Y là một quy tắc đặt tương
ứng mỗi phần tử x của tập X với một và chỉ một phần tử y thuộc tập Y.
Để nói rằng f là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y, ta dùng ký hiệu:
f : X →Y .
Phần tử yY tương ứng với phần tử x X qua ánh xạ f được gọi là ảnh của
phần tử x. Để nói rằng y là ảnh của phần tử x qua ánh xạ f thì ta viết: y = f(x).
f: X → Y

Khi đó

x  y = f(x)
Tập hợp X được gọi là nguồn hoặc gọi là miền xác định của f và Y gọi là
đích hay miền lấy giá trị của f.
Ví dụ 1.12:
+) Phép đặt tương ứng mỗi điểm M của một mặt phẳng P với hình chiếu
vng góc N của nó trên một đường thẳng   P là một ánh xạ từ P vào .
M

N

Ánh xạ này được gọi là phép chiếu vng góc. Điểm N là ảnh của điểm M
qua phép chiếu đó.
n
, n  là một ánh xạ xác định
+) f : → xác định bởi: f (n) =
n +1
trên tập số tự nhiên

nhận giá trị trên tập các số hữu tỷ

1.2.3.2. Ảnh và nghịch ảnh của một tập hợp
Cho ánh xạ f: X → Y.
Định nghĩa 5. Ảnh của một tập hợp A  X qua ánh xạ f là tập hợp ảnh của tất
cả các phần tử xA.
Ảnh của tập hợp A được ký hiệu f(A):
f(A) = {y  Y  tồn tại xA sao cho y = f(x)}
- 9 -


→ [0; +)

Ví dụ 1.13 : Cho f :

x  f(x) = x2
Khi đó f ([−1; 3]) = [0; 9]; f([1; 2]) = [1; 4]; f ([−2; −1 ]) = [1; 4].
Định nghĩa 6. Nghịch ảnh của một tập hợp B  Y qua ánh xạ f là tập hợp tất cả
các phần tử của X có ảnh thuộc tập B.
Nghịch ảnh của tập B được ký hiệu là f −1(B):
f−1(B) = {xX f(x)B}.
Nghịch ảnh của tập hợp một phần tử BY được gọi là nghịch ảnh của
phần tử b và được ký hiệu là f −1(b):
f −1(b) = {x X  f(x) = b}.
Ví dụ 1.14: Với f là ánh xạ cho ở ví dụ trên, ta có:
f − 1(1) ={−1; 1 } ; f − 1([1; 4]) =  −2; −1  1; 2 .
Sau đây là một số tính chất cơ bản của ảnh và nghịch ảnh.
Định lý 2. Với mọi ánh xạ f: X → Y ta ln có:
+) f ( A1  A2 ) = f ( A1 )  f ( A2 ); A1; A2  X ;

+) f −1 ( B1  B2 ) = f −1 ( B1 )  f −1 ( B2 ); B1; B2  Y ;
+) f −1 ( B1  B2 ) = f −1 ( B1 )  f −1 ( B2 ); B1; B2  Y .

1.2.3.3. Đơn ánh, toàn ánh và song ánh
- Ánh xạ đơn ánh
Ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh, nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ
của tập X ln có ảnh khác nhau, nghĩa là:
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 );  x1 ; x2  X .

Nói cách khác, f là đơn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử
y  Y hoăc là tập trống, hoặc chỉ có một phần tử duy nhất.

( f ( x1 ) = f ( x2 )  x1 = x2 ;  x1 , x2  X ) .
Ví dụ 1.15: Ánh xạ

f :[0; π] → là một đơn ánh.
x y = cos x

- Ánh xạ toàn ánh
Ánh xạ f : X → Y được gọi là toàn ánh, nếu ảnh của tập hợp X là toàn bộ
tập hợp Y: f ( X ) = Y .
Nói cách khác, f là toàn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử
y  Y đều không rỗng:
- 10 -


y  Y , x  X : f ( x) = y .
→ [ − 1;1] là toàn ánh (nhưng khơng phải là đơn ánh).

Ví dụ 1.16: Ánh xạ f :

y = cos x

x

- Ánh xạ song ánh
Ánh xạ f : X → Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là tồn ánh.
Ví dụ 1.17: Ánh xạ f :[0;1] → [ − 1;1] là một song ánh.

x

y = cos x

1.2.4. Ánh xạ ngược
Định nghĩa 7. Giả sử ánh xạ f : X → Y là một song ánh. Khi đó mỗi phần tử
y  Y đều có nghịch ảnh khơng rỗng (do f là tồn ánh) và nghịch ảnh của nó là

một phần tử duy nhất x  X (do f là đơn ánh) trong trường hợp này ta có ánh xạ
f −1 : Y → X đặt tương ứng mỗi phần tử y  Y với phần tử x = f −1 ( y) ánh xạ

f −1 được gọi là ánh xạ ngược của song ánh f .
Ví dụ 1.18: Gọi X là tập hợp sinh vên của một lớp học và Y là danh sách gọi tên
đầy đủ (gồm họ, tên đệm, tên) của các sinh viên đó. Giả sử lớp học khơng có hai
sinh viên nào trùng tên. Khi đó, ánh xạ X → Y đặt tương ứng mỗi sinh viên với
tên gọi của sinh viên đó trong danh sách là một song ánh. Ánh xạ ngược của
song ánh f là ánh xạ f −1 đặt tương ứng mỗi tên trong danh sách với sinh viên có
tên đó.

- 11 -

CHƯƠNG 2. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
2.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số
2.1.1 Biến số
2.1.1.1 Khái niệm biến số
Định nghĩa 1. Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một số bất kỳ
thuộc một tập số X   cho trước ( X Ì ¡ ). Tập hợp X được gọi là miền biến
thiên ( MBT ) và mỗi số thực x 0 Ỵ X được gọi là một giá trị của biến số đó.
Từ biến số nhiều khi được gọi tắt là biến. Các biến số thường được ký
hiệu bằng các chữ cái: x, y, z…. Thông thường, người ta chỉ xét các biến số mà
MBT của nó có ít nhất hai số. Một biến số chỉ nhận một giá trị duy nhất được
gọi là hằng số.
Trong giải tích toán học, ta thường xét các biến số thay đổi giá trị một
cách liên tục, với MBT là một khoảng số. Các khoảng số được ký hiệu như sau:
Khoảng đóng ( đoạn ): [a; b] = {x : a £ x £ b}
Khoảng mở:

(a; b) = {x : a < x < b}

Các khoảng nửa mở:

[a; b) = {x : a £ x < b}
(a; b]= {x : a < x £ b}

Các khoảng vơ hạn:

(- ¥ ; b] = {x : x £ b}
(- ¥ ; b) = {x : x < b}
[a; + ¥ ) = {x : x ³ a}
(a; + ¥ ) = {x : x > a}

(- ¥ ; + ¥ ) = ¡

2.1.2. Quan hệ hàm số
2.1.2.1. Khái niệm hàm số
Khái niệm hàm số được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, để biểu
diễn quan hệ chi phối lẫn nhau giữa các biến số. Định nghĩa khái niệm hàm số
bằng ngơn ngữ hình thức tốn học có nội dung như sau:
Định nghĩa 2. Cho hai tập hợp X ,Y Ì ¡ . Ánh xạ
f :X ® Y
x a y = f ( x)

được gọi là một hàm số biến số thực.

- 12 -


Tập hợp X được gọi là miền xác định ( MXĐ ) của hàm số f. Số y tương
ứng với số x, theo quy tắc f, được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x, ký hiệu
f(x). Khi nói đến các hàm số khác nhau, ta sử dụng các ký hiệu khác nhau: f, g,

…
Định nghĩa 3. Miền giá trị ( MGT ) của một hàm số f là tập hợp tất cả các số
thực là giá trị của hàm số đó tại ít nhất một điểm thuộc miền xác định của nó.
Miền giá trị của hàm số f xác định trên miền X được ký hiệu là f(X):
f ( X ) = { y Ỵ ¡ :$ x Ỵ X sao cho f ( x) = y}
2.1.2.2. Hàm số dạng biểu thức
Ở bậc học phổ thông, học sinh đã được làm quen với các biểu thức chứ
biến số, từ những biểu thức có một phép tốn đến những biểu thức có nhiều
phép tốn phối hợp, chẳng hạn như:

xn , n x , a x ,loga x,sin x,cos x, tan x,cot x,...
ax 2 + bx + c
5- x
ax + bx + c,
,log 2
,...
px + q
3x - 1
2

Ta gọi miền xác định tự nhiên của một biểu thức f(x) là tập hợp tất cả các
số thực mà khi gán cho x thì biểu thức đó có nghĩa (tất cả các phép tốn trong
biểu thức đó đều thực hiện được). Mỗi biểu thức f(x) là một hàm số xác định
trên tập con X bất kỳ của MXĐ tự nhiên của nó: mỗi số thực x0 Ỵ X đặt tương
ứng với giá trị tính tốn của biểu thức đó khi gán x = x0
Ví dụ 2.1: Biểu thức f ( x) = log 2

5- x
là một hàm số với MXĐ tự nhiên là
3x - 1

tập hợp tất cả các số thực x thỏa mãn điều kiện:

5- x
1
> 0Û < x< 5
3x - 1
3
Theo biểu thức đó, ta dễ dàng tính giá trị của hàm số tại một điểm bất kỳ
thuộc MXĐ, chẳng hạn:

5- 1
= log 2 2 = 1
3.1- 1
5- 3
1
f (3) = log 2
= log 2 = - 2
3.3 - 1
4
f (1) = log 2

- 13 -


Phương pháp xác định hàm số bằng biểu thức là một phương pháp phổ
biến trong toán học cũng như trong các lĩnh vực ứng dụng toán học. Khi xem xét
các hàm số cho bằng biểu thức, ta cần lưu ý những điểm sau:
- Về nguyên tắc, MXĐ của một hàm số là một tập số thực cho trước, còn
biểu thức giữ vai trò quy tắc tương ứng f trong định nghĩa hàm số. Do đó, khi
một hàm số xác định trên tập X Ì ¡ được cho bằng một biểu thức f(x), tập X có
thể chỉ là một tập con nào đó của MXĐ tự nhiên của biểu thức đó. Tuy nhiên,
trong toán học nhiều khi người ta cho trước một biểu thức f(x) và xét biểu thức
đó như một hàm số. Trong trường hợp này, ta đồng nhất MXĐ của hàm số với
MXĐ tự nhiên của biểu thức f(x).
- Một hàm số có thể được cho dưới dạng phân rã MXĐ thành các tập con
rời nhau và trên mỗi tập con đó, quy tắc xác định giá trị tương ứng của hàm số
tại mỗi điểm được biểu diễn bằng một biểu thức riêng.
Ví dụ 2.2:

ìï 1- 2 x khi x < 0
f ( x) = ïí 2
ïïỵ x + 3 khi x ³ 0
là một hàm số xác định trên ¡ : giá trị của hàm số tại mỗi điểm x được tính theo
cơng thức f ( x) = x 2 + 3 khi x thuộc khoảng [0; + ¥ ) , và theo công thức

f ( x) = 1- 2 x khi x thuộc khoảng (- ¥ ;0) .
2.1.2.3. Quan hệ hàm số giữa các biến số.
Trong lĩnh vực khoa học, người ta phân tích quy luật thay đổi giá trị của
các đại lượng đo được bằng số dưới dạng các biến số có quan hệ với nhau: sự
thay đổi giá trị của biến số này kéo theo sự thay đổi giá trị của biến số kia theo
một quy luật nhất định. Chẳng hạn, trong kinh tế, chúng ta thấy khi giá trị hàng
hóa thay đổi thì lượng hàng hóa mà người sản xuất muốn bán ra thị trường và
lượng hàng hóa mà người mua bằng lịng mua cũng thay đổi theo; khi thu nhập
của các hộ gia đình thay dổi thì lượng tiêu dùng của họ cũng thay đổi…. Sự phụ
thuộc của một biến số này vào một biến số khác thường được biểu diễn dưới
dạng hàm số.
Cho hai biến số x và y với miền biến thiên là tập hợp các số thực X và Y,
trong đó biến x có thể nhận giá trị tùy ý trong miền biến thiên X của nó. Ta nói x
là biến độc lập hay đối số.
Định nghĩa 4. Ta nói biến số y phụ thuộc hàm số vào biến số x, hay biến số y là
hàm số của biến số x, khi và chỉ khi tồn tại một quy tắc hoặc quy luật f sao cho
- 14 -


mỗi giá trị của biến số x trong miền biến thiên X của nó được đặt tương ứng với
một và chỉ một giá trị của biến số y.
Theo định nghĩa thì quy tắc f chính là một hàm số xác định trên miền biến
thiên X của biến x và giá trị của hàm số f tại điểm x chính là giá trị tương ứng
của biến số y:

x a y = f ( x)
Để nói một cách khái quát rằng y là hàm số của x (y phụ thuộc hàm số vào
x) ta có thể viết : y = y(x).
Chú ý. Hai định nghĩa hàm số trên là tương đương với nhau. Khi cho một hàm
số f với MXĐ là tập hợp X, các cách diễn đạt sau đây có nghĩa như nhau:
- Cho hàm số f xác định trên tập X (X là một tập số cho trước);
- Cho hàm số f(x), x Ỵ X ;
- Cho hàm số y = f(x), x Ỵ X .
Chú ý rằng, khi viết hàm số dưới dạng y = f(x), các ký hiệu x và y chỉ mang ý
nghĩa hình thức, dùng để gọi tên các biến số. Một hàm số được xác định bởi hai
yếu tố : miến xác định X ( miền biến thiên của biến độc lập x ) và quy tắc f cho
phép ta xác định được giá trị của hàm số tại mỗi điểm x Ỵ X . Chẳng hạn, dưới
góc độ tốn học, ta khơng phân biệt các hàm số y = x 2 và v = u 2 khi miền biến
thiên của x và miền biến thiên của u trùng nhau.
2.1.3. Đồ thị của hàm số
Quan hệ hàm số y = f(x) liên kết các cặp số thực ( x0 ; y0 ) , trong đó x0 là
một số bất kỳ thuộc MXĐ X của hàm số và y0 = f ( x0 ) . Mỗi cặp số thực như
vậy là một điểm của mặt phẳng tọa độ.
Định nghĩa 5. Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x ; y) của mặt
phẳng tọa độ có hồnh độ x là một số thực bất kỳ lấy từ MXĐ của hàm số và
tung độ y là giá trị tương ứng của hàm số tại điểm x.
Việc lập đồ thị của hàm số f với MXĐ là một khoảng số thực thường được
thực hiện theo trình tự như sau :
- Lấy các số x1 , x2 ,..., xn từ MXĐ của hàm số (càng gần nhau càng tốt)
- Tính các giá trị tương ứng của hàm số tại các điểm đó :
y1 = f ( x1 ), y2 = f ( x2 ),..., yn = f ( xn ) .
- Định vị các điểm M 1 ( x1; y1 ); M 2 ( x2 ; y2 );...; M n ( xn ; yn ) .
- Nối các điểm M 1; M 2 ;...; M n ta được hình ảnh đồ thị của hàm số
- 15 -

y
y = f(x)
yn

Mn

y2
y1

M1

O

x1

M2
x2

xn

x

Phương pháp đồ thị không phải là phương pháp định lượng. Tuy nhiên,
người ta thường sử dụng đồ thị để minh họa bằng hình ảnh các đặc trưng cơ bản
của sự phụ thuộc hàm số giữa các biến số. Nhìn vào đồ thị ta dễ dàng quan sát
xu hướng biến thiên của hàm số khi biến độc lập thay đổi giá trị.
2.1.4. Khái niệm hàm ngược.
Xét một hàm số y = f(x) với MXĐ X và MGT Y = f(X). Nếu với mỗi giá
trị y0 Ỵ Y chỉ tồn tại duy nhất một giá trị x0 Ỵ X sao cho f ( x0 ) = y0 , tức là

phương trình f ( x ) = y0 có một nghiệm duy nhất x 0 trong miền X, thì
y = f ( x) Û x = f - 1 ( y ) ( x Ỵ X , y Ỵ Y )

trong đó, ký hiệu x0 = f - 1 ( y0 ) chỉ nghiệm duy nhất của phương trình f ( x ) = y0
như đã nói ở trên
Như vậy, trong trường hợp này, quan hệ hàm số y = f(x) biểu diễn sự phụ
thuộc của y vào x có thể đảo ngược để biểu diễn sự phụ thuộc của x vào y thông
qua hàm số x = f - 1 ( y ) .
Định nghĩa 6. Với giả thiết và quy ước về ký hiệu như trên, ta gọi hàm số
x = f - 1 ( y ) là hàm ngược của hàm số y = f(x). Nói cách khác, hàm số f - 1 ( xác

định trên miền Y = f(X) là hàm ngược của hàm số f ( xác định trên miền X )
Ví dụ 2.3:
- Hàm số y = x3 với MXĐ X = ¡

x =

3

có hàm ngược là hàm số

y :
y = x3 Û x =

3

y (x Ỵ ¡ , y Ỵ ¡ )

- 16 -