2024 Tài Liệu Ôn Tập Toán Olympic Quốc Tế TIMO Khối THPT

MỤC LỤC
Giới thiệu Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế TIMO ...................................................................2
Syllabus/ Khung chương trình ...........................................................................................................4
Đề thi Đáp án
PRELIMINARY ROUND / VÒNG LOẠI
Đề số 1.................................................................................................................................... 5 ..........42
Đề số 2.................................................................................................................................. 10 ..........43
Đề số 3.................................................................................................................................. 15 ..........44
Đề số 4.................................................................................................................................. 19 ..........45
Đề số 5: Đề thi Vòng loại năm học 2020-2021............................................................... 23 ..........46
HEAT ROUND / VỊNG QUỐC GIA
Đề số 1: Đề thi Vịng quốc gia năm học 2016-2017 ...................................................... 27 ..........47
Đề số 2: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2017-2018 ...................................................... 30 ..........48
Đề số 3: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2018-2019 ...................................................... 33 ..........49
Đề số 4: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2019-2020 ...................................................... 36 ..........50
Đề số 5: Đề thi Vòng quốc gia năm học 2020-2021 ...................................................... 39 ..........51
Heat Round Answer Sheet/ Phiếu Trả Lời Vịng Quốc Gia.......................................................52
Thơng tin liên hệ ..............................................................................................................................53

1
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


GIỚI THIỆU KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO
Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế TIMO (Thailand International Mathematical
Olympiad) được tổ chức hàng năm bởi Trung tâm Giáo dục Vô địch Olympiad Hong Kong
(Olympiad Champion Education Centre from Hong Kong) hợp tác cùng Tổ chức Du lịch Thái
Lan (Tourism Authority of Thailand). Kỳ thi được tổ chức hàng năm nhằm tạo sân chơi trí tuệ

bổ ích cho học sinh các khối lớp từ mẫu giáo đến trung học phổ thơng có sở thích về Tốn học
tham gia, mục đích kích thích và ni dưỡng niềm u thích tốn học của giới trẻ, tăng cường
khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, mở rộng mối quan hệ giao lưu văn hóa quốc tế.
Trong mỗi lần tổ chức, Kỳ thi Olympic Toán học quốc tế TIMO đã thu hút hàng trăm
nghìn thí sinh tham dự đến từ nhiều quốc gia và vùng lãnh thổ khác nhau trên thế giới như:
Australia, Brazil, Bulgaria, Cambodia, England, France, Georgia, Ghana, Hong Kong,
Indonesia, India, Iran, Kazakhstan, Kyrgyzstan, Malaysia, Myanmar, Philippines, Singapore,
Sri Lanka, Switzerland, Taiwan, Turkey, Thailand, Vietnam, ...
I. Về cấu trúc đề thi
Vòng thi

Vòng loại

Vòng quốc gia

Vòng quốc tế

Số câu hỏi

25

25

30

Điểm mỗi câu hỏi

4

4

5

Tổng điểm

100

100

150

Tư duy lơgic

5

5

6

Số học/Đại số

5

5

6

Lý thuyết số

5

5

6

Hình học

5

5

6

Tổ hợp

5

5

6

Thời gian

60 phút

90 phút

120 phút

Dạng đề thi

Trắc nghiệm

Điền đáp án

Điền đáp án

Chủ đề

Lưu ý: Khối 10, 11, 12 thi chung đề và xét giải chung.
II. Cơ cấu giải thưởng
1. Thí sinh
- Cúp, huy chương và giấy chứng nhận được cấp cho thí sinh đạt thành tích cao tại
Vịng quốc gia và Vịng quốc tế;
- Thí sinh đạt giải Vàng vịng quốc tế TIMO được tham dự (miễn lệ phí thi) Vịng quốc
tế WIMO;
2
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


- Thí sinh đạt giải World Star (cao điểm nhất khu vực Việt Nam) Vòng quốc tế TIMO
và vượt qua (đạt giải Vàng, Bạc, Đồng) Vòng quốc gia TIMO năm học tiếp theo được miễn lệ
phí dự thi Vịng quốc tế TIMO năm học tiếp theo đó.
Cụ thể về điều kiện xét giải như sau:
Giải thưởng

Điều kiện xét giải
Vòng quốc gia

Ngơi sao
thế giới
(World Star)

Vịng quốc tế

Phần thưởng

Thí sinh cao điểm

Cúp Ngơi sao

nhất mỗi khu vực.

thế giới
- Cúp Vơ địch
(Champion);

Giải

03 thí sinh cao điểm

03 thí sinh điểm cao

- Cúp Á quân 1

Xuất sắc

nhất mỗi khối thi.

nhất mỗi khối thi.

(1st Runner-up);
- Cúp Á quân 2
(2nd Runner-up).

Thí sinh chiến

Thí sinh chiến thắng

thắng đạt từ 80

đạt từ 120 điểm trở

điểm trở lên.

lên.

Thí sinh chiến

Thí sinh chiến thắng

thắng đạt từ 60

đạt từ 90 điểm trở

điểm trở lên.

lên.

Thí sinh chiến

Thí sinh chiến thắng

thắng đạt từ 40

đạt từ 60 điểm trở

điểm trở lên.

lên.

Giải

Thí sinh chiến

Thí sinh chiến thắng

Khuyến khích

thắng đạt từ 20

đạt từ 30 điểm trở

(Merit Award)

điểm trở lên.

lên.

Giải Vàng
(Gold Award)
Giải Bạc
(Silver Award)
Giải Đồng
(Bronze Award)

Huy chương Vàng và
Giấy chứng nhận.
Huy chương Bạc và
Giấy chứng nhận.
Huy chương Đồng và
Giấy chứng nhận.

Giấy chứng nhận.

Lưu ý:
- Ban Tổ chức sắp xếp kết quả giảm dần dựa trên điểm thi và ngày sinh. Do đó, các thí
sinh bằng điểm có thể nhận hai giải khác nhau. Nếu một giải thưởng đã đủ chỉ tiêu, thí sinh
tiếp theo sẽ nhận giải thưởng mức liền kề phía dưới;
- Các mốc điểm đạt giải có thể thay đổi dựa trên kết quả thi thực tế của tất cả thí sinh.
2. Nhà trường
Trường có từ 100 học sinh tham gia Kỳ thi được tặng Kỷ niệm chương cho trường và
giáo viên phụ trách.

3
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455

SYLLABUS / KHUNG CHƯƠNG TRÌNH
Topics

Senior Secondary / Khối THPT

Chủ đề

Logical thinking
Tư duy logic

Algebra
Đại số

Number theory
Lý thuyết số

Geometry
Hình học

Combinatorics
Tổ hợp

➢
➢
➢
➢
➢

Number pattern & Figure pattern / Dãy số và dãy hình có quy luật
Speed, distance, time / Vận tốc, khoảng cách, thời gian
Equation formation / Dạng tốn lập phương trình
Worst case scenario / Dạng toán trường hợp xấu nhất
Other logical problems / Các bài toán tư duy khác

➢
➢
➢
➢

Maximum and minimum value / Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Factorize polynomial / Tách đa thức thành nhân tử
Value of algebraic expressions / Giá trị của các biểu thức đại số
Advanced system of equations or Inequality / Hệ phương trình
hoặc bất phương trình nâng cao
Simplification on surd form / Rút gọn căn thức
Divisibility / Tính chất chia hết
Division with remainder / Phép chia có dư
Factor and multiple / Ước và bội
Unit digit / Tìm chữ số tận cùng
Equal or similar triangles / Tam giác bằng nhau và tam giác đồng
dạng
Perimeter and area / Chu vi và diện tích
Volume and Surface area / Thể tích và diện tích bề mặt
Angle of regular polygons / Các góc trong đa giác đều
Coordinate plane / Mặt phẳng tọa độ
Permutation and combination / Chỉnh hợp và tổ hợp
Partition of integers / Tách số nguyên thành tổng
Worst case scenario / Dạng toán trường hợp xấu nhất

Formation of numbers / Thành lập số
Advanced probability / Xác suất nâng cao

➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢

*Khung chương trình mang tính chất tham khảo.

4
KỲ THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


PRELIMINARY ROUND / VÒNG LOẠI
ĐỀ SỐ 1
Logical Thinking / Tư duy lô-gic

1.

A box contains 2015 balls which is either Red, Green, Blue, Yellow or Black.
If 1800 balls are drawn, we can ensure that at least one ball of each color is drawn. Find
the minimum number of the balls needed to be drawn to ensure that balls of 3 different
colors is taken.
Một chiếc hộp chứa 2015 quả bóng với các màu Đỏ, Xanh lá, Xanh lam, Vàng hoặc Đen. Nếu
1800 quả bóng được lấy ra, ta chắc chắn lấy được ít nhất một quả bóng mỗi màu. Tìm số lượng
quả bóng ít nhất cần phải lấy ra để chắc chắn rằng có bóng thuộc 3 màu khác nhau.
A. 1797

2.

B. 1798

C. 1368

D. 1367

According to the pattern shown below, what is the next number?
Dựa vào quy luật dưới đây, tìm số tiếp theo.

1024、0、512、256、384、320、352、…
A. 336
3.

B. 672

C. 448

D. 310

x and y are prime numbers and x 2 − y 3 = 1 , find the value of x + y .
Cho x và y là các số nguyên tố và x 2 − y 3 = 1 , tìm giá trị của x + y .
A. 3

4.

B. 4

C. 5

D. 6

There are six teams named A, B, C, D, E and F, participating a tournament. In 5 days,
each team will play one game on each day. They play with another team once in the
tournament. Given that:
• Team A wins Team B on the first day.
• Team C is defeated by Team D on the second day.
• Team E wins Team A on the third day.
• Team B wins Team C on the fourth day.
Which team does Team E play with on the fifth day?
Có 6 đội A, B, C, D, E và F cùng tham dự một giải đấu. Trong 5 ngày, mỗi đội sẽ thi đấu một
trận mỗi ngày. Họ thi đấu với mỗi đội khác đúng một lần. Biết:
• Đội A thắng đội B trong ngày đầu tiên.
• Độ C để thua đội D trong ngày thứ hai.
• Đội E thắng đội A trong ngày thứ ba.
• Đội B thắng đội C trong ngày thứ tư.
Hỏi trong ngày thứ năm, đội E đã thi đấu với đội nào?
A. Team F (Đội F)

C. Team C (Đội C)

B. Team B (Đội B)
D. Team D (Đội D)

5
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


5.

There are 7 people arguing which day of week is today. Their statements are quoted as
below:
A: Yesterday was Wednesday.
B: Tomorrow will not be Tuesday.
C: Tomorrow will be Wednesday.
D: Today is Tuesday or yesterday was Tuesday.
E: Today is Tuesday.
F: Today is neither Monday, Tuesday nor Sunday.
G: Today is neither Tuesday nor Saturday.
Given that only three statements are correct, which day of week is today?
Có 7 người tranh luận xem hơm nay là thứ mấy. Các phát biểu của họ như sau:
A: Hôm qua là Thứ Tư.
B: Ngày mai không phải Thứ Ba.
C: Ngày mai là Thứ Tư.
D: Hôm nay hoặc hôm qua là Thứ Ba.
E: Hôm nay là Thứ Ba.
F: Hôm nay không phải Thứ Hai, Thứ Ba hay Chủ nhật.

G: Hôm nay không phải Thứ Ba hay Thứ Bảy.
Biết rằng chỉ có 3 phát biểu đúng, vậy hơm nay là thứ mấy?
A. Monday (Thứ Hai)
B. Wednesday (Thứ Tư)
C. Friday (Thứ Sáu)
D. Sunday (Chủ nhật)
Algebra / Đại số

6.

7.

1
3 1111
i) in the form of a + bi .
Express ( −
2 2
1
3 1111
i) dưới dạng a + bi .
Biểu diễn ( −
2 2
1
1
3
3
+
−
i
i

A.
B.
2 2
2 2

1
3
i
D. − −
2 2

Given the equation x 4 − x 3 + ax 2 + bx + 3 = 0 (a and b are constants) has a double root 1.
How many complex roots with non-zero imaginary part does it have?
Cho phương trình x 4 − x 3 + ax 2 + bx + 3 = 0 , a và b là các hằng số. Phương trình có nghiệm kép
là 1. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo khác 0?
A. 0

B. 1

C. 2
10

8.

1
3
i
C. − +
2 2

Find the value of the expression

k =2

10

Tìm giá trị của

k =2

A.

36
55



  k

2



  k

2

D. 3

1 

 .
−1

1 
.
−1
B.

72
55

C.

5
11

D.

10
11

6
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


9.

(

)(
− 20x − 15) : ( x − 1) .

(

Tìm phần dư của x 2015

2

B. 19x − 15

A. 19x + 15

10.

)

Find the remainder of x 2015 − 20 x − 15 : x 2 − 1 .

C. −19x + 15

D. −19x − 15

Factorize x 2 − 3 xy + 2 y 2 + x − 4 y − 6 .
Phân tích đa thức x 2 − 3 xy + 2 y 2 + x − 4 y − 6 thành nhân tử.
A.
C.

( x − y − 3 )( x − 2y + 2 )

( x − y + 3 )( x − 2y − 2 )

B.
D.

( x + y − 3 )( x + 2y + 2 )
( x + y − 3 )( x − 2y + 2 )

Number Theory / Lý thuyết số
11.

Given a, b and c are positive real numbers and a2 + b2 + c 2  24 , find the maximum value
2

2

2

of a 3 + b 3 + c 3 .
2

2

2

Cho a, b và c là các số thực dương và a2 + b2 + c 2  24 , tìm giá trị lớn nhất của a 3 + b 3 + c 3 .
A. 4
12.

B. 5

C. 6

D. 7

Given that x is a real number and −3  x  3 , find the maximum value of the algebraic
expression x + 9 − x 2 .
Biết x là một số thực và −3  x  3 , tìm giá trị lớn nhất của x + 9 − x 2 .
B. 3 2

A. 3
13.

15.

D. 3 3

 2015 n 
Given log 2 = 0.301 , round log   C2015
 to the nearest 3 decimal places.
 n= 0

2015


n
Cho log 2 = 0.301 , làm tròn log   C2015
 tới 3 chữ số sau dấu phẩy.
 n= 0


A. 606.505

14.

C. 6

B. 606.515

C. 606.525

D. 606.535

 8 x  9 (mod17)
Find the smallest positive integral solution of 
.
 3 x  5 (mod 7)
 8 x  9 (mod17)
Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của 
.
 3 x  5 (mod 7)

A. 64

B. 65

If real number a and

23 − 8 7 + a 23 + 8 7 are rational, find a.

Nếu số thực a và

A. 0

C. 66

D. 67

23 − 8 7 + a 23 + 8 7 đều là hữu tỉ, tìm giá trị cỉa a.

B. 1

C. 2

D. 3

7
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


Geometry / Hình học
16.

Given that L1 , L2 are two tangents of C : x 2 + y 2 = 1 passing through P(3, 4) . Find the sum
of slopes of those two lines.
Cho L1 , L2 là 2 tiếp tuyến của C : x 2 + y 2 = 1 đi qua P(3, 4) . Tìm tổng hai hệ số góc của chúng.
A. 2

B. -3

C. -2

D. 3

17.

The altitudes AD and BE of the acute angled triangle ABC intersect at point H. Join D and
E. How many pairs of similar triangles are there?
Đường cao AD và BE của tam giác nhọn ABC cắt nhau tại H. Nối D và E. Hỏi có bao nhiêu cặp
tam giác đồng dạng?
C. 8
D. 4
A. 10
B. 2

18.

Given a, b and c are side lengths of a triangle, 0  a  6  b  8  c  12 . When the area of
the triangle attains its maximum, find the perimeter of the triangle.
Cho a, b và c là độ dài cạnh của một tam giác, 0  a  6  b  8  c  12 . Khi diện tích của tam
giác đạt giá trị lớn nhất, tìm chu vi của tam giác đó.
A. 24
B. 23
C. 22
D. 25

19.

Find the shortest distance from the point (5, - 10) to the straight line with equation 4y =
3x in the coordinate plane.

Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm (5, - 10) tới đường thẳng 4y = 3x trong mặt phẳng tọa độ.
A. 10
B. 11
C. 8
D. 9

20.

In the figure shown below, TA and DC are tangents of the circle at A and C respectively.
T, B, and C is collinear. Given ATB = 500 and BCD = 750 , find the value of ABC ?
Trong hình vẽ, TA và DC lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và C. T, B và C thẳng
hàng. Cho ATB = 500 và BCD = 750 , tìm số đo góc ABC .

A. 750

C. 800

B. 77.50

D. 72.50

Combinatorics / Tổ hợp
21.

Find the number of unlike terms of ( a + b + c )

( a + d + e ) after expansion.
Tìm số lượng các số hạng khác nhau của ( a + b + c ) ( a + d + e ) sau khi khai triển và rút gọn.
15

7

15

A. 4896

B. 4897

C. 4898

7

D. 4899

8
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


22.

8 boys sit on their own chairs. Then, they stand up and choose a chair to sit randomly.
How many possible cases are there that “only three boys not sit on his own chair?
8 bạn nam ngồi trên ghế của chính mình. Sau đó, họ đứng lên và chọn ngẫu nhiên một ghế để
ngồi. Hỏi có bao nhiêu trường hợp mà có đúng 3 bạn nam khơng ngồi đúng ghế của mình?
A. 112
B. 56
C. 58
D. 116

23. Given x1 , x2 ,..., x5 are all integers, x1  −3, x2  −2, x3  −1 and x4 , x5 are positive, how
many solutions are there to the equation x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 6 ?
Cho x1 , x2 ,..., x5 đều là số nguyên, x1  −3, x2  −2, x3  −1 và x4 , x5 là số dương. Hỏi phương
trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 6 có bao nhiêu nghiệm?
A. 1000

B. 1001

C. 1002

D. 1003

24.

Find the minimum number of positive integers to be chosen from 1 to 20 to ensure that
there are 2 numbers such that one of them is a multiple of another
Hỏi cần chọn ra ít nhất bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 20 sao cho chắc chắn rằng trong đó
có 2 số mà số này là bội của số kia?
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

25.

How many ways are there for 5 different balls to be distributed into 4 different boxes?
(The boxes may be empty after distribution.)
Có bao nhiêu cách chia 5 quả bóng khác nhau vào 4 hộp khác nhau (Các hộp có thể cịn trống khi
chia xong).
A. 1016

B. 1020
C. 1010
D. 1024

9
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


ĐỀ SỐ 2
Logical thinking / Tư duy lô-gic
1.

The lengths of 2 trains are 85m and 65m respectively. To completely cross each other, it
takes them 6 seconds if they are running in opposite direction and 30 seconds if they are
running in the same direction. Find the speed of the faster train in km/h.
Hai đồn tàu có độ dài lần lượt là 85m và 65m. Để hai đoàn tàu đi qua nhau hồn tồn thì chỉ cần
6 giây nếu chúng chạy ngược chiều và cần 30 giây nếu chúng chạy cùng chiều. Tính vận tốc của
đồn tàu nhanh hơn theo đơn vị km/h.
A. 63
B. 72
C. 36
D. 54

2.

In the Black Friday week, the sales of a store in each day increase by 20% compared to
the previous day. After 2 days, by how many percent do the sales increase compared to
the original?

Trong tuần lễ mua sắm, doanh thu của cửa hàng trong mỗi ngày tăng thêm 20% so với ngày hôm
trước. Hỏi sau 2 ngày thì doanh thu của cửa hàng đã tăng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu?
A. 20%
B. 40%
C. 44%
D. 24%

3.

How many values for x are there, given that x + 2 and 3x + 4 are both 2-digit prime
numbers?
Có bao nhiêu giá trị của x để x + 2 và 3x + 4 đều là các số nguyên tố có 2 chữ số ?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

4.

If each letter below represents a different 1-digit number, find I.
Biết mỗi chữ cái dưới đây biểu diễn một chữ số khác nhau, tính giá trị của I.

A. 3
5.

B. 4

C. 5

D. 6

In a training lesson, an archer shot 30 arrows. He got 10 points for each arrow hitting the
inner ring, 5 points for each arrow hitting the outer ring and lost 5 points for each arrow
missing the target. After completing the training lesson, he got 100 points. At least how
many arrows missed the target?
Trong một buổi tập, người bắn cung đã bắn 30 mũi tên. Anh ấy được 10 điểm cho mỗi mũi tên
trúng tâm, được 5 điểm cho mỗi mũi tên trúng vịng ngồi tâm và mất 5 điểm cho mỗi mũi tên
bắn trượt. Sau buổi tập, anh ấy được 100 điểm. Hỏi anh ấy đã bắn trượt ít nhất bao nhiêu mũi
tên?
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7

10
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


Algebra / Đại số
6.

Find the value of z if 2020 − 2 x + y + ( x − y − 2021)2 + x + y + z = 0 .
Tìm giá trị của z biết 2020 − 2 x + y + ( x − y − 2021)2 + x + y + z = 0 .
A. 2021

7.

8.

9.

B. 2023

C. – 2023

4a 2 + 9
given that a is a positive real number.
a+2
4a 2 + 9
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biết rằng a là số thực 2 x 3 + ax 2 + bx + 3 dương.
a+2
A. 3
B. 2.6
C. 4
D. 4.5
Find the minimum value of

2a + 20
?
a−2
2a + 20
Cho a là số nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của a thỏa mãn a + 2 
?
a−2
A. 5
B. 6
C. 4

D. 3
a is a positive integer. How many values of a are there if a + 2 

Find the coefficient of x 6 in the expansion of (2 x 2 − 1)10 .
Tìm hệ số của x 6 khi khai triển đa thức (2 x 2 − 1)10 .
A. 960
B. – 960
C. – 64

10.

D. – 2021

D. 210

Let be divisible by 2 x 2 + x − 1 . Find the sum of a and b.
Cho 2 x 3 + ax 2 + bx + 3 chia hết cho 2 x 2 + x − 1 . Tính tổng của a và b.
A. – 6

B. – 4

C. – 9

D. – 5

Number theory / Lý thuyết số
11.

Find the largest integral value of n such that
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của n sao cho

A. 117

B. 59

123!
is also an integer.
6n

123!
cũng là một số nguyên
6n
C. 176

D. 23

12.

A 3-digit number has remainder 4 when divided by 5 but has remainder 1 when divided
by 4. How many different values for the number are there?
Một số có 3 chữ số chia 5 dư 4 và chia 4 dư 1. Hỏi số đó có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?
A. 40
B. 45
C. 50
D. 55

13.

Find the remainder of 98100 divided by 20.
Tìm số dư khi chia 98100 cho 20.
A. 16

B. 8

C. 0

D. 4

11
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


14.

Find the last digit of 2 + 22 + 23 + ... + 22020 + 22021 .
Tìm chữ số tận cùng của 2 + 22 + 23 + ... + 22020 + 22021 .
A. 2

15.

B. 4

C. 6

D. 8

Linda combines consecutive natural numbers into 1 number as follow. At least how
many digits does the number have such that it is divisible by 45?
Linda ghép các số tự nhiên liên tiếp thành 1 số như dưới đây. Hỏi số đó có ít nhất bao nhiêu chữ
số biết rằng số đó phải chia hết cho 45?

A = 1234567891011121314...

A. 79

B. 45

C. 61

D. 35

Geometry / Hình học
16.

Given a circle with center O(3, 4) and the diameter MN , where the coordinates are
M(2 + x , y) and N(−2 − y , x) . Find the value of 4 x + 2 y.
Cho hình trịn có tâm O(3, 4) và đường kính MN, với tọa độ M(2 + x , y) và N(−2 − y , x) . Tìm
giá trị của 4 x + 2 y.
A. 25

17.

C. 15

D. 30

Susan draws a regular polygon with n vertices on a piece of paper. Then she erases 2
vertices to create a new polygon with n – 2 vertices. She finds that the ratio of the sum of
all angles between 2 polygons is 10 : 9. Find n.
Susan vẽ một hình đa giác đều có n đỉnh trên một mảnh giấy. Sau đó cơ bé xóa đi 2 đỉnh để tạo
thành một đa giác mới có n – 2 đỉnh. Cô nhận thấy rằng tỉ số của tổng độ lớn các góc giữa hai

hình đa giác là 10 : 9. Tính n.
A. 22

18.

B. 20

B. 20

C. 18

D. 16

Let 6 and 8 be the lengths of two shortest sides of the right-angled triangle. If d is the
diameter of the incircle and D is the diameter of the circumcircle of this triangle, find the
value of d + D.
Cho độ dài hai cạnh nhỏ nhất trong tam giác vuông lần lượt là 6 và 8. Gọi d là đường kính hình
trịn nội tiếp và D là đường kính hình trịn ngoại tiếp tam giác, tính giá trị của d + D.

A. 5

B. 10

C. 7

D. 14

12
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT

FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


19.

Given a triangle ABC right at A with AB = 30 and AC = 40. M is mid-point of segment BC
and AH is the altitude. Find the length of MH.
Cho tam giác ABC vng góc tại A với AB = 30 và AC = 40. Cho M là trung điểm đoạn BC và
AH là đường cao của tam giác. Tính độ dài đoạn MH

A. 7
20.

B. 8

C. 9

D. 10

Given figure 1 formed by 3 identical rectangles with dimension below. They cut along
the dotted line to divide it into 3 regions A, B and C as in figure 2. Find the area ratio
between region A and region C.
Cho hình 1 được ghép bởi 3 hình chữ nhật y hệt nhau có kích thước dưới đây. Người ta cắt theo
đường nét đứt để chia hình đó thành 3 phần A, B và C như hình 2. Hỏi tỉ lệ diện tích hình A so
với diện tích hình C là bao nhiêu?

A.

1
9

B.

1
7

C.

1
8

D.

1
6

Combinatorics / Tổ hợp
21.

A fair 6-sided dice with numbers from 1 to 6 is thrown 3 times. Find the probability that
the product of three numbers received is divisible by 4.
Một xúc xắc 6 mặt đồng chất gồm các số từ 1 đến 6 được tung 3 lần. Tính xác suất để tích ba số
nhận được là số chia hết cho 4.
5
5
3
1
A.
B.
C.

D.
6
8
8
8

22.

There are 3 black balls, 4 blue balls and 5 red balls in a box and 4 balls are drawn at
random. Find the probability that at least 2 blue balls are drawn.
Trong hộp có 3 bóng đen, 4 bóng xanh và 5 bóng đỏ. Người ta lấy ra ngẫu nhiên 4 quả bóng.
Tính xác suất để chọn được ít nhất 2 bóng xanh.
1
10
85
67
A.
D.
B.
C.
11
11
165
99
13

KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455

23.

How many 4-digit numbers with exactly two digits “2” are there?
Hỏi có bao nhiêu số có 4 chữ số mà chứa đúng hai chữ số 2?
A. 570

24.

C. 408

D. 459

Students taking part in HKIMO 2021 must complete a test with 25 questions, 4 points for
each question. Wrong or blank answer receives zero points. At least how many students
should join this competition so that judges can always find 5 students with the same
mark?
Học sinh tham dự kì thi HKIMO 2021 phải hồn thành một bài thi có 25 câu hỏi, mỗi câu đúng
được 4 điểm. Trả lời sai hoặc không trả lời thì khơng có điểm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu thí sinh
thi để ban giám khảo ln tìm được 5 bạn có cùng điểm?
A. 131

25.

B. 432

B. 105

C. 101

D. 126

There are 4 cards marked by numbers from 1 to 4. Amy and Betty take turn to draw one
card from the deck. On picking numbers from 2 to 4, they must return the card to the
deck and shuffle it. The first person who draw card number 1 is the winner. If Amy is the
first player, find the probability Betty wins the game.
Có 4 lá bài được đánh số từ 1 đến 4. Amy và Betty lần lượt rút một lá bài từ bộ bài. Nếu rút các
lá từ 2 đến 4 thì người đó phải để lại lá đã rút vào bộ bài và tráo lên. Người đầu tiên bốc được lá
số 1 là người chiến thắng. Biết Amy chơi trước, tính xác xuất để Betty thắng trị chơi.
A.

3
8

B.

1
4

C.

3
7

D.

3
16

14

KỲ THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


ĐỀ SỐ 3
Logical Thinking / Tư duy lô-gic
1.

According to the pattern shown below, what is the number in the blank?
Dựa vào quy luật dưới đây, tìm số thích hợp điền vào chỗ trống.
2 、 6 、 15 、 28 、 55 、 78 、? 、….
A. 228

2.

C. 126

D. 151

There are n lines cutting a circle which separate the circle into 232 parts, find the
minimum value of n.
Có n đường thẳng cắt một hình trịn thành 232 phần. Tìm giá trị nhỏ nhất của n.
A. 18

3.

B. 119

B. 19

C. 20

D. 21

If x, y and z are all prime and 6x y + y x = 3 z , find the minimum value of z.
Nếu x, y và z đều là các số nguyên tố và 6x y + y x = 3 z , tìm giá trị nhỏ nhất của z.
A. 19

4.

C. 31

D. 29

There are 31 problems in a competition. The scores of each problem are allocated in the
following ways: 2 marks will be given for a correct answer, 2 marks will be deducted
from a wrong answer and 2 marks will be deducted from a blank answer. Find the
minimum number of candidates to ensure that 3 candidates will have the same scores in
the competition.
Có 31 câu hỏi trong 1 cuộc thi. Số điểm của mỗi câu hỏi được tính như sau: Mỗi câu trả lời đúng
được 2 điểm, mỗi câu để trống hoặc trả lời sai bị trừ 2 điểm. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu người
tham gia để chắc chắn rằng tìm được 3 người có cùng số điểm?
A. 65

5.

B. 17

B. 64

C. 63

D. 62

There are 17 pieces of red socks, 13 pieces of white socks and 16 pieces of blue socks in
the box. If you want to get 2 pairs of socks that is not red colour and 3 pairs of socks that
is not blue colour, at least how many pieces of socks are needed to be drawn at random?
Có 17 chiếc tất đỏ, 13 chiếc tất trắng và 16 chiếc tất xanh ở trong hộp. Nếu muốn chắc chắn rằng
lấy được 2 đôi tất không phải màu đỏ và 3 đôi tất khơng phải màu xanh thì ta cần lấy ra ngẫu
nhiên ít nhất bao nhiêu chiếc tất?
A. 21

B. 22

C. 23

D. 24

Algebra / Đại số
6.

If 2 x 4 − 19x 3 + mx 2 − nx + 36 is divisible by x 2 − 4 x + 3 , find m + n.
Biết 2 x 4 − 19x 3 + mx 2 − nx + 36 chia hết cho x 2 − 4 x + 3 , tìm m + n.
A. 129
B. 130
C. 143

D. 144

15
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


7.

If

2019

Cho

1
x + 2019

2019

x
1

x + 2019

2019

= 2 , tính x 2019 +

.

x

A. 1
8.

1

= 2 , calculate x 2019 +

x
1

x 2019

.

B. 2

C. 3

Find the value of x.
Tìm giá trị của x.
5

3x = 2 +

5

4+
4+

A. 4
9.

D. 4

B. 5

5
4 + ...

C. 2

D. 1

If k is an integer, find the smallest value of k such that ( k 2 − 5)x 2 + kx − 2 = 0 has no real roots.
Nếu k là một số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho ( k 2 − 5)x 2 + kx − 2 = 0 khơng có nghiệm thực.
A. – 3
B. – 2
C. 0
D. 2

10.

Factorize 2 x 4 + 5 x 3 − 11x 2 − 20 x + 12 .
Phân tích đa thức 2 x 4 + 5 x 3 − 11x 2 − 20 x + 12 thành nhân tử.
A. ( 2 x + 1)( x − 2 )( x + 2 )( x + 3 )
B. ( 2 x + 1)( x − 3 )( x − 2 )( x + 2 )
C.

( 2x − 1)( x − 2 )( x + 2 )( x + 3 )

D.

( 2x − 1)( x − 3 )( x − 2 )( x + 2 )

Number Theory / Lý thuyết số
11.

Find the smallest positive integral solution of the system of equations:
Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của hệ phương trình đồng dư:
 4 x  3(mod 11)

6 x  2(mod 8)
A. 30

B. 31

C. 32

D. 33

12.

Now is September. Which month will it be after 92019 months?
Hiện tại đang là tháng Chín, hỏi 92019 tháng nữa là tháng mấy?
A. June (tháng Sáu)
B. July (tháng Bảy)
C. August (tháng Tám)
D. September (tháng Chín)

13.

Given x is a real number, find the maximum value of
Cho x là một số thực, tìm giá trị lớn nhất của
A.

70
70

B.

135
135

1
2 x + 32 x + 199
2

1
2 x + 32 x + 199
2

C.

134
134

.

.
D.

71
71

16
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


14.

4000!
is a positive integer, find the maximum integral value of n.
15 n
4000!
Nếu
là một số nguyên dương, tìm giá trị nguyên lớn nhất của n.
15 n
If

A. 999
15.

B. 998

C. 997

D. 996

Given that 20190316AB is a 10-digit number which is divisible by 66, find the largest
value of A  B .
20190316AB là một số có 10 chữ số chia hết cho 66. Tìm giá trị lớn nhất của A  B.
A. 9

B. 32

C. 28

D. 16

Geometry / Hình học
16.

Find the area enclosed by the x-axis, the lines x = 2 y − 3 and 2 x + y = 9 .
Tìm diện tích phần giới hạn bởi trục Ox và các đường thẳng x = 2 y − 3 , 2 x + y = 9.
A.

17.

35
2

B.

35
4

C.

45
2

D.

45
4

Given four points on a coordinate plane A(−3,5), B(5,7), C(6, −2), D( −2, −1) , find the area
of the quadrilateral formed by using those four points as vertices.
Cho 4 điểm A(−3,5), B(5,7), C(6, −2), D( −2, −1) trên mặt phẳng tọa độ, tìm diện tích của tứ giác
có 4 đỉnh là 4 điểm này.
A. 60

B. 60.5

C. 61

D. 61.5

18.

An iron wire is cut and bent into 3 circles whose radius are 21. If the same wire is cut and
bent into 6 identical triangles, what is the maximum value of area of one triangle? (Take
22
)
=
7

Một dây sắt được cắt và uốn thành 3 đường trịn, mỗi đường trịn có bán kính là 21. Nếu sợi dây
đó được cắt và uốn thành 6 hình tam giác giống nhau, tìm diện tích lớn nhất có thể của mỗi hình
22
tam giác? (Lấy  =
)
7
A. 121
D. 242
B. 121 3
C. 121 2

19.

Peter goes east for 12km, then goes southwest for 12 2 km and goes east for 16km. How
far is he now from the original position?
Peter đi về phía đơng 12km, sau đó đi về phía tây nam 12 2 km và rồi đi về phía đơng 16km. Hỏi
lúc này Peter cách vị trí ban đầu bao xa?
A. 20km

B. 18km

C. 30km

D. 28km

17
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ÔN THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455

20.

There is a cuboid container with length of 15cm, width of 10cm and height of 18cm. The
depth of the water inside is 3cm. 8 cubes of 5cm side length is put in the container. What
is the maximum height will the water level raise (in cm)?
Một cái bể hình hộp chữ nhật có chiều dài 15cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 18cm. Mực nước ở
trong bể cao 3cm. Sau đó, 8 khối lâp phương cạnh 5cm được đặt vào trong bể. Hỏi mực nước có
thể dâng thêm nhiều nhất bao nhiêu cm?
A. 1.5

B. 4.5

C. 6.5

D. 9.5

Combinatorics / Tổ hợp
21.

Given 2 boys and 4 girls, in how many ways can they be splitted into 2 groups?
Cho 2 bạn nam và 4 bạn nữ, hỏi có bao nhiêu cách chia họ thành 2 nhóm?
A. 39
B. 40
C. 41
D. 42

22.

In how many possible ways can 12 identical flowers be distributed to 5 distinct vases so

that all vases have flowers?
Có bao nhiêu cách chia 12 bơng hoa giống nhau vào 5 chiếc bình phân biệt sao cho bình nào cũng
có hoa?
A. 495
B. 792
C. 330
D. 462

23.

A fair 6-face die is thrown 3 times. Find the probability that the sum of numbers is
multiple of 3.
Một xúc xắc 6 mặt đồng chất được gieo 3 lần. Tìm xác suất tổng của 3 số thu được là bội của 3.
1
2
23
4
A.
C.
B.
D.
3
3
72
27

24.

There are 2 identical blue flags, 3 identical red flags and 6 identical white flags are put
from left to right. How many ways of arrangement are there?

Có 2 lá cờ màu xanh giống nhau, 3 lá cờ màu đỏ giống nhau, 6 lá cờ màu trắng giống nhau được
xếp từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
A. 4630
B. 463
C. 462
D. 4620

25.

Given (a , b, c , d) is a set of integers and all of them are greater than 3. Find the number of
solution set(s) of a + b + c + d = 21 .
Cho (a , b, c , d) là bộ số nguyên và tất cả các số đều lớn hơn 3. Tìm số bộ nghiệm của
a + b + c + d = 21 .
A. 56
B. 52
C. 50
D. 48

18
KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455


ĐỀ SỐ 4
Logical Thinking / Tư duy lô-gic
1.

Given A, B and C are three non-zero digits such that:
i. ACB is divisible by 9;

ii. BCB is a cubic number.
Find the 3-digit number AAB .
Cho A, B và C là 3 chữ số khác 0 thỏa mãn:
i. ACB chia hết cho 9.
ii. BCB là số lập phương.
Tìm số AAB .
A. 223

B. 113

C. 332

D. 335

2.

There are n lines that are not parallel with each other on a plane. There are no 3 lines
intersecting at a point. If they intersect 105 times, find n.
Trong mặt phẳng có n đường thẳng đơi một khơng song song và khơng có 3 đường thẳng nào
đồng quy. Nếu có tất cả 105 giao điểm thì n bằng bao nhiêu?
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16

3.

Andy goes north for 99km, then goes east for 15km, goes south for 78km and goes west
for 87km. How far is he now from the original position?
Andy đi về phía bắc 99km, sau đó đi về phía đơng 15km, đi về phía nam 78km và đi về phía tây

87km. Hỏi khi đó Andy cách vị trí ban đầu bao xa?
A. 21km
B. 72km
C. 75km
D. 93km

4.

Given that 1st September, 2018 is Saturday. Which day of the week is 21st September,
2078?
Ngày 1 tháng Chín năm 2018 là thứ Bảy. Hỏi ngày 21 tháng Chín năm 2078 là thứ mấy?
A. Sunday (Chủ nhật)
B. Monday (Thứ Hai)
C. Tuesday (Thứ Ba)
D. Wednesday (Thứ Tư)

5.

There are 15 pieces of white chopsticks, 16 pieces of yellow chopsticks and 12 pieces of
brown chopsticks mixed together. Close your eyes. If you want to get 1 pair of chopsticks
that are not white and 1 pair of chopsticks that are not yellow, at least how many pieces
of chopsticks are needed to be taken?
Có 15 chiếc đũa trắng, 16 chiếc đũa vàng và 12 chiếc đũa nâu trộn lẫn với nhau. Hãy nhắm mắt
lại. Nếu bạn muốn lấy được 1 đôi đũa không phải màu trắng và 1 đôi đũa khơng phải màu vàng
thì cần lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc đũa?
A. 20
B. 19
C. 18
D. 17
Algebra / Đại số

6.

Calculate 9C81 + 92 C82 + 93 C83 + ... + 97 C87 + 98 C88 .
Tính 9C81 + 92 C82 + 93 C83 + ... + 97 C87 + 98 C88 .
A. 88

B. 98

C. 108

D. 108 – 1
19

KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ TIMO (Thailand International Mathematical Olympiad)
BỘ ĐỀ ƠN THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ TIMO – KHỐI THPT
FERMAT Education - Email: – 0961 603 003 – 0917 830 455