MỘT ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC - Full 10 điểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



Trần Minh

MỘT ĐẶC TÍNH CỦA
HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



Trần Minh

MỘT ĐẶC TÍNH CỦA
HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC

Chuyên ngành : Hình học và tơpơ
Mã số : 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CẢM ƠN



Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, truyền
thụ cho học viên cao học khóa 21 chúng tơi những kiến thức cơ bản, những
cơng cụ, phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu quả để chúng tơi có thể tự
tin cho việc học và hồn thành luận văn tốt nghiệp.

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chun viên phịng Khoa
học cơng nghệ – Sau đại học, ban chủ nhiệm và các Thầy Cô là giảng viên
khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo
điều kiện tốt nhất cho chúng tơi hồn thành khóa học.

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn học viên cùng khóa đã ln
chia sẽ buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ nhau cùng vượt qua những lúc khó
khăn trong suốt q trình học tập.

Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn là học viên cao học
chun ngành hình học và tơpơ các khóa trước đã nhiệt tình chia sẽ kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học.

Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến những người thân
u trong gia đình tơi, những người ln bên cạnh động viên, giúp đỡ tôi về

mọi mặt.

MỤC LỤC



MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu................................................................................ 2
3. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................. 3
4. Phạm vi nghiên cứu.................................................................................. 4
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 4

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................... 6
1.1. Các khái niệm và ký hiệu ..................................................................... 6
1.2. Các ví dụ và nhận xét.......................................................................... 13

Chương 2: ĐẶC TÍNH CỦA HỆ HÀM LẶP ............................................. 19
2.1. Hyperbolic kéo theo phân thớ điểm .................................................. 20
2.2. Phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn.............. 21
2.3. Một hệ hàm lặp với một điểm hấp dẫn thì co rút tơpơ.................... 24
2.4. Phép co rút tơpơ thì khơng xun tâm đối ....................................... 31
2.5. Một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic ............ 32
Tổng kết chương 2...................................................................................... 38

Chương 3: SỰ TỒN TẠI HỆ HÀM LẶP AFFINE HYPERBOLIC........ 39
3.1. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế theo
bao affine của tập hợp tự đồng dạng........................................................ 39
3.2. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic ............................. 42

KẾT LUẬN .................................................................................................... 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47

Trang 1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hình học Fractal được biết đến từ năm 1975, do Benoit Mandelbrot đã

củng cố từ hàng trăm năm ý tưởng và sự phát triển ban đầu của mơn hình học
này. Dù cịn rất mới nhưng hình học Fractal thu hút được sự quan tâm của
nhiều nhà toán học như Michael F. Barnsley, V. Ervin, D. Hardin, J.
Lancaster, John E. Hutchinson, Masayoshi Hata, Jun Kigami, Atsushi
Kameyama, Bernd Kieninger ....

Hệ hàm lặp được giới thiệu lần đầu bởi John E. Huntchinson [7] năm
1981 khi ông nghiên cứu về “Fractal và tính tự đồng dạng” và được phổ biến
bởi Michael F. Barnsley năm 1988. Nó cung cấp phương tiện nghiên cứu các
mơ hình hình học tự đồng dạng trong tự nhiên. Ngày nay, hình học Fractal
được xem như là mơn nghiên cứu cơ bản dành riêng cho ứng dụng đồ họa
máy tính hiện đại.

Năm 2004, khi nghiên cứu về khoảng cách trên các tập hợp tơpơ tự
đồng dạng trong hình học Fractal và các ứng dụng của nó, Atsushi Kameyama
đã nêu ra một vấn đề cần quan tâm là:

“Cho một tập hợp tôpô tự đồng dạng, có hay khơng sự tồn tại của một
hệ liên kết của các ánh xạ co rút?”

Với nhiều cơng trình nghiên cứu về hình học Fractal, Michael F.
Barnsley cũng đã quan tâm đến việc tìm ra câu trả lời cho vấn đề này. Gần
đây nhất, năm 2011, kết quả nghiên cứu của ông cùng với Ross Atkins,

Trang 2

Andrew Vince, David C. Wilson cho ta thấy rằng các vấn đề mà Atsushi
Kameyama đã đặt ra là hợp lý.

Nghiên cứu sâu hơn về mối liên hệ giữa hệ hàm lặp affine và hệ hàm

lặp affine hyperbolic, ta xác định được một đặc tính của hệ hàm lặp affine

hyperbolic. Đặc tính này bao hàm câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của

Atsushi Kameyama với các tập hợp tự đồng dạng cảm sinh từ các phép biến

đổi affine trên m .



2. Mục đích nghiên cứu

Năm 2002, Bernd Kieninger [10] nghiên cứu về hệ hàm lặp trên không
gian compact Hausdorff. Trong những năm thập niên 70, R. F. Williams [19]
và Solomon Leader [12] có các cơng trình nghiên cứu về phép co rút. Trong
khoảng những năm 1970 đến 2006, nhiều cơng trình nghiên cứu khác về hình
học lồi đã được quan tâm tới bởi các nhà toán học: R. Tyrrell Rockafellar
[15], Rolf Schneider [17], Roger Webster [18], Maria Moszyńska [13]. Tiếp
cận với các kết quả nghiên cứu khoa học này, nó hướng chúng ta đến các vấn

đề có liên quan quanh bài tốn như

- Tính hyperbolic và phân thớ điểm của một hệ hàm lặp affine.
- Sự tồn tại của một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp afiine.
- Tính co rút tơpơ của một hệ hàm lặp affine.
- Hệ hàm lặp affine với tính khơng xun tâm đối của nó.

Các mối liên hệ giữa các yếu tố ở trên như thế nào? Nó quyết định điều
gì trong việc tìm ra câu trả lời cho vấn đề của Atsushi Kameyama? Chúng sẽ
được làm sáng tỏ thông qua việc nghiên cứu vấn đề dưới đây:

Trang 3

Vấn đề 1

Nếu F   m; f1, f2,..., fN  là một hệ hàm lặp affine, thì các phát biểu

sau đây là tương đương
(1) F là hyperbolic

(2) F là phân thớ điểm
(3) F có một điểm hấp dẫn

(4) F là một co rút tôpô theo vật lồi K nào đó chứa trong m



(5) F không xuyên tâm đối theo vật lồi K nào đó chứa trong m



Ngoài ra, bằng cách tổng hợp các mối liên hệ trên ta xác định được một
đặc tính về sự tồn tại của hệ hàm lặp affine hyperbolic, thông qua vấn đề 2
sau đây

Vấn đề 2

Nếu F   m; f1, f2,..., fN  là một hệ hàm lặp affine với ánh xạ mã hoá

p :   m , thì F là hyperbolic trên bao affine của p().



Đặc biệt, nếu p() chứa một tập con mở khác rỗng của m , thì F là



hyperbolic trên m .



3. Đối tượng nghiên cứu

Như trên đã đề cập, đối tượng nghiên cứu của luận văn là “

đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic”.

Trang 4

4. Phạm vi nghiên cứu

Ở vấn đề 1, phân tích các tính chất được phát biểu tương đương của hệ
hàm lặp affine, chúng tôi thiết lập mối liên hệ giữa hệ hàm lặp affine và hệ
hàm lặp affine hyperbolic. Đây là nền tảng căn bản để nghiên cứu sâu hơn về
các tính chất của hệ hàm lặp affine hyperbolic.

Bên cạnh đó, vấn đề 2 cũng sẽ làm rõ mục tiêu chính của luận văn và
chỉ ra đặc tính về sự tồn tại của hệ hàm lặp affine hyperbolic. Vấn đề của
Atsushi Kameyama được nhắc đến từ đầu cũng được trả lời từ đây.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp và hồn thiện những kết quả đã có từ những bài báo khoa học

và các tài liệu có liên quan trên thế giới.

Luận văn được viết thành 3 chương.

Phần đầu của chương 1 chứa các khái niệm, thuật ngữ và định nghĩa
được dùng trong suốt nội dung của luận văn. Phần tiếp theo của chương chứa
các ví dụ và nhận xét về các hệ hàm lặp và điểm hấp dẫn của chúng có liên
quan tới định lý 1 và định lý 2.

Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu việc chứng minh hai định lý
1 và 2, chứng minh hai định lý này được phân bố chủ yếu vào chương 2 và
chương 3.

Chương 2, ta nghiên cứu đặc tính của hệ hàm lặp affine hyperbolic với

các tính chất được phát biểu tương đương trong định lý 1 như : F là

hyperbolic, F là phân thớ điểm, F có một điểm hấp dẫn, F là một phép co

rút tôpô theo vật lồi K  m , F không xuyên tâm đối theo vật lồi K  m .

 

Trang 5

Tiếp theo đó, ta nghiên cứu sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine

hyperbolic trên một không gian con affine của m trong nội dung chương 3.



Trang 6

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trước tiên, chúng tôi đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm phục vụ cho việc
nghiên cứu các chương tiếp theo. Mục tiêu của chương này là hệ thống toàn
bộ các ký hiệu, khái niệm và định nghĩa được sử dụng trong suốt luận văn.
Ngồi ra, chúng tơi đề cập đến vài ví dụ và nhận xét quan trọng minh họa cho
mục tiêu nghiên cứu luận văn.

Hầu hết các kiến thức được trình bày ngắn gọn, liên kết chặt chẽ với
nhau để làm rõ các vấn đề trong những phần tiếp theo sau. Để tìm hiểu chi
tiết, ta có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [6], [7], [9], [10], [11] và [19]
được trích dẫn tương ứng trong nội dung chương.

1.1. Các khái niệm và ký hiệu

Ta xét m như là một không gian vectơ, một không gian affine và một



không gian mêtric.

Ta xác định một điểm x  x 1,x 2,...,x m    m với vectơ mà các tọa

độ của nó là x 1,x 2,...,x m .

Ta ký hiệu 0 m là một điểm trong m mà các tọa độ của nó là 0.

 

Cơ sở định chuẩn được ký hiệu là e1,e2,...,em .

Tích trong giữa x,y  m được ký hiệu là x,y .



Trang 7

2-chuẩn của một điểm x   m là x  x,x và mêtric Euclide

2

dE : m m  0,  được xác định bởi dE x,y  x y 2 với mọi



x,y  m .



Dưới đây là các ký hiệu và qui ước sẽ được dùng trong suốt luận văn.

(1) Một thể lồi là một tập con lồi compact của m có phần trong khác



rỗng.

(2) Với tập B   m , bao lồi của B được ký hiệu là conv B.

(3) Với tập B   m , bao affine của B , được ký hiệu là aff B , là

không gian affine con nhỏ nhất chứa B , nghĩa là giao của tất cả các không
gian affine con chứa B .

(4)  là ký hiệu của tập con compact khác rỗng của  m , và d  ký

hiệu mêtric Hausdorff trên  . Khi đó m,d   là một không gian mêtric

đầy đủ.

(5) Cho X và Y là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric
( m,d) . Khoảng cách Hausdorff d (X,Y ) của chúng xác định bởi

 
d (X,Y )  max sup inf d(x,y), sup inf d(x,y)
 x X yY yY x X 

tương đương

d (X,Y )  inf{e  0 : X Ye,Y  X e}

trong đó

Trang 8

X e :  {z  M : d(z,x)  e}
x X

Minh họa khoảng cách Hausdorff của hai tập X và Y

(6) Một mêtric d trên m được gọi là tương đương Lipschitz với d E



nếu có các hằng số r và R sao cho

rd E x,y  d x,y  Rd E x,y với mọi x,y  m .



Nếu hai mêtric tương đương Lipschitz thì chúng cảm sinh tôpô giống

nhau trên  m , nhưng điều ngược lại thì khơng cần thiết là đúng.

(7) Với bất kỳ hai tập con A và B của  m , ký hiệu

A  B : x  y : x  A,y  B được dùng để ký hiệu phép trừ theo từng

điểm của các phần tử trong hai tập hợp.

(8) Với một số nguyên dương N ,   1,2,...,N  là ký hiệu tập hợp



của tất cả các dãy vô hạn của các ký hiệu sk  thuộc bảng 1,2,...,N  .
k 1

Tập hợp  được trang bị tơpơ tích. Một phần tử của s   cũng sẽ được ký

Trang 9

hiệu bằng cách ghép s  s1s2s 3... , trong đó sk ký hiệu thành phần thứ k

của s . Khi  được trang bị tơpơ tích thì nó là khơng gian Hausdorff

compact.

Ngoài ra, vài khái niệm về bán kính phổ và bán kính phổ nối cũng được
nhắc đến trong ví dụ 3.4

(9) Bán kính phổ của một ma trận vng hoặc của một tốn tử tuyến
tính bị chặn là chặn trên của các giá trị tuyệt đối của các phần tử trong phổ

của nó.

Cụ thể hơn, cho l1,...,ln là các giá trị riêng của ma trận vuông A cấp
n . Khi đó bán kính phổ r(A) của nó được xác định như sau:

r(A)  max  li 
i

Phổ của một ma trận là tập hợp các giá trị riêng của nó.

(10) Bán kính phổ nối (the joint spectral radius) của một tập hợp các ma

trận M  {A1,..., An }  nn được xác định như sau:



  1/k

r(M )  lim max Ai1  ...  Aik : Ai  M

k 

Hệ thống lại các định nghĩa hệ hàm lặp và các khái niệm có liên quan
như sau:

Định nghĩa 1.1.1 (Hệ hàm lặp).

Nếu N là số nguyên dương và fn : m  m , n  1,2,...,N , là các



ánh xạ liên tục, thì F   m; f1, f2,..., fN  được gọi là một hệ hàm lặp.

Trang 10

Từ đó, ta mở rộng thành khái niệm hệ hàm lặp affine, là một khái niệm
quan trọng được nhắc đến hầu hết trong cả luận văn.

Nếu mỗi f  F là một ánh xạ affine trên  m , thì F được gọi là một

hệ hàm lặp affine.

Định nghĩa 1.1.2 (Hệ hàm lặp co rút).

Một hệ hàm lặp F   m; f1, f2,..., fN  là co rút khi mỗi fn là phép co

rút.

Cụ thể là, có một số an  0,1 sao cho dE fn x, fn y  andE x,y

với mọi x,y  m , với mọi n .



Định nghĩa 1.1.3 (Hệ hàm lặp hyperbolic).

Một hệ hàm lặp F   m; f1, f2,..., fN  được gọi là hyperbolic nếu có

một mêtric trên m tương đương Lipschitz với mêtric đã cho sao cho mỗi f n



là phép co rút.

Định nghĩa 1.1.4 (Ánh xạ mã hóa).

Một ánh xạ liên tục p :   m được gọi là một ánh xạ mã hóa với hệ



hàm lặp F   m; f1, f2,..., fN  nếu, với mỗi n  1,2,...,N , sơ đồ sau đây

giao hoán

 sn  

(1.1.1) p p

m fn m
  

Trang 11

Trong đó sn :    ký hiệu ánh xạ nâng ngược được xác định bởi

sn s  ns .

Ánh xạ mã hóa được Jun Kigami [11] và Kameyama [9] sử dụng như
một công cụ để xác định tập hợp tự đồng dạng. Như vậy, trong bài này, nó
được dùng để xác định điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp.

Định nghĩa 1.1.5 (Hệ hàm lặp phân thớ điểm).

Một hệ hàm lặp F   m; f1, f2,..., fN  là phân thớ điểm nếu, với mỗi

s  s1s2s 3...   , giới hạn về bên phải của

(1.1.2) p s : lim fs1  fs2  ...  fsk x 
k 

tồn tại, độc lập theo x với s cố định, và ánh xạ p :   m là một ánh xạ



mã hóa.

Khơng khó để chỉ ra rằng biểu thức (1.1.2) là ánh xạ mã hóa duy nhất
của một hệ hàm lặp phân thớ điểm. Khái niệm về một hệ hàm lặp phân thớ
điểm là tương tự với khái niệm của Kieninger [10]. Tuy nhiên, trong phạm vi
luận văn này nó được thiết lập trong khơng gian mêtric đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.6 (Ký hiệu F (B) với một hệ hàm lặp).

Với một hệ hàm lặp F   m; f1, f2,..., fN  xác định F :    bởi

N

F (B)   fn(B)
n 1

(Ký hiệu F tương tự được dùng cho hệ hàm lặp và ánh xạ.)

Trang 12

Với B   , cho F k(B) ký hiệu sự hợp thành cấp k của F , nghĩa là,
hợp của fs1  fs2  ....  fsk (B) trên mọi s1s 2...sk độ dài là k .

Định nghĩa 1.1.7 (Điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp).

Một tập hợp A   được gọi là một điểm hấp dẫn của một hệ hàm lặp

F   m; f1, f2,..., fN  nếu

(1.1.3) A  F (A) và

(1.1.4) A  lim F k(B), giới hạn theo mêtric Hausdorff, với mọi
B  .
k 

Nếu một hệ hàm lặp có một điểm hấp dẫn A , thì rõ ràng A là điểm
hấp dẫn duy nhất. Ta cũng biết rằng một hệ hàm lặp hyperbolic có một điểm
hấp dẫn. Năm 1981, Jonh E. Huntchinon [7] đã chứng minh điều này. Ông
quan sát rằng một hệ hàm lặp co rút F cảm sinh một ánh xạ co rút
F :    , từ kết quả kéo theo bởi định lý ánh xạ co rút.

Chương tiếp theo chỉ ra rằng một hệ hàm lặp phân thớ điểm F có một

điểm hấp dẫn A , và hơn nữa, nếu p là ánh xạ mã hóa của F thì A  p().
Thường thì  được xét như là “địa chỉ” của điểm p(s) trong điểm hấp dẫn.

Có nhiều cách tiếp cận với khái niệm của một hệ tự đồng dạng mà không phụ
thuộc vào không gian xung quanh. Năm 2001, trong tài liệu fractals của Jun
Kigami [11] có ví dụ chỉ ra một cách tiếp cận với khái niệm trên, cách tiếp

cận này bắt đầu với ý tưởng của ánh xạ mã hóa liên tục p và xác định điểm
hấp dẫn như p() là có hiệu quả.

Trang 13

1.2. Các ví dụ và nhận xét

Phần này chứa các ví dụ và nhận xét có liên quan tới các định lý 1 và 2
trong nội dung chính của luận văn.

Ví dụ ngay dưới đây cho ta F  ( 2; f ) là một hệ hàm lặp phân thớ
điểm, tuy nhiên hàm f  F là ánh xạ không co rút dưới mêtric thơng thường
trên  2 . Thơng qua đó, nó cho thấy sự cần thiết của việc tái thiết lập một
mêtric tương đương với mêtric thông thường, để mỗi fn  F là phép co rút
dưới mêtric mới này.

Ví dụ 1.2.1.

Xét một hệ hàm lặp affine bao gồm một hàm đơn tuyến tính trên 2



được cho bởi ma trận

0 2 
f   1 

 8 0

Chú ý rằng giá trị riêng của f bằng  1 . Khi
2

 1 n 0  0 0
2n 1  2 n T   
lim f  limT  
n n   1  0 0
 0 2

Trong đó T là ma trận chuyển cơ sở, hệ hàm lặp này là phân thớ điểm.
0 2

Tuy nhiên, khi f     , ánh xạ không là co rút dưới mêtric thông thường
1 0

trên  2 .

Trang 14

Tuy nhiên, phát biểu 1 đảm bảo cho ta có thể thiết lập (mã hóa lại) trên

2 một mêtric tương đương vì thế f là một phép co rút.



Trong tài liệu hệ hàm lặp affine, đôi khi được giả định rằng các giá trị
riêng của các phần tuyến tính của các hệ hàm lặp affine có giá trị tuyệt đối
nhỏ hơn 1.

Nhưng giả thiết này không đủ để kéo theo bất kỳ phát biểu nào trong
năm phát biểu được cho trong định lý 1.

Lúc đó hệ hàm lặp affine ( m; f ) là phân thớ điểm nếu và chỉ nếu các
giá trị riêng của phần tuyến tính của f có giá trị tuyệt đối hoàn toàn nhỏ hơn
1, một phát biểu tương tự không thể được tạo nếu số hàm trong hệ hàm lặp
lớn hơn 1.

Ví dụ 1.2.2.

Xét hệ hàm lặp affine F   2; f1, f2, trong đó

0 2 0 1
8
f1   1  và f2   
 8 0 2 0

Như được chú thích trong ví dụ 1.2.1

n n 0
lim f1 u  lim f2 u    với vectơ u bất kỳ.
n n 0


Do đó, cả F1   2; f1 và F2   2; f2 là phân thớ điểm.

Tích của chúng là ma trận

Trang 15

4 0 
f1  f2   1  , vì thế
64 
0

n 1  4 n 

lim f1  f2    lim     .
n 0 n   0 


Suy ra hệ hàm lặp F   2; f1, f2 không là phân thớ điểm.

Do vậy, điều kiện các thành phần tuyến tính của các hàm trong hệ hàm
lặp có giá trị tuyệt đối của các giá trị riêng nhỏ hơn 1 không được phát biểu
như một điều kiện tương đương trong định lý 1.

Nhận xét

Trong khi chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm
trong định lý 1 là đúng ngay cả không giả định rằng hệ hàm lặp là affine, thì
điều ngược lại khơng đúng trong trường hợp tổng quát. Thật vậy, năm 2004,
Atsushi Kameyama [9] đã chỉ ra rằng tồn tại một hệ hàm lặp điểm thớ khơng
là hyperbolic.

Ví dụ 1.2.3.

Xét hệ hàm lặp tuyến tính F   2;L1,L2, trong đó

0 2  và L2  a cos q a sin q
L1   1   aRq ,
0 a sin q
 8 a cos q 

trong đó Rq dùng để chỉ việc quay một góc q , và 0  a  1.

Trang 16

Khi đó L1n có các giá trị riêng 1 2n trong khi các giá trị riêng của L2n
cùng có độ lớn a n  1.

Ví dụ, nếu ta chọn q  p 8 và a  31 32 thì ít được xác minh rằng
các giá trị riêng của L1L2 và L2L1 có độ lớn nhỏ hơn 1 và có một trong các
giá trị riêng của L1L2L2 là 1,4014… . Suy ra, trong trường hợp này, độ lớn
các giá trị riêng của các toán tử tuyến tính L1,L2,L12,L1L2,L2L1,L22 tất cả đều

ít hơn 1, nhưng L1L2L2n x không hội tụ khi x   2 là một vectơ riêng bất

kì của L1L2L2 tương ứng với giá trị riêng 1,4014… . Nó kéo theo hệ hàm lặp

 2;L1,L2 không là phân thớ điểm.

Bằng cách sử dụng ý tưởng cơ bản tương tự, đơn giản để chứng minh

rằng, khi đưa ra bất kì một số ngun dương M , ta có thể chọn a gần bằng 1

và q gần bằng 0 theo cách như vậy thì các giá trị riêng của Ls1Ls2 ...Lsk (trong
đó s j  {1,2} với j  1,2,...,k , với k  M ) tất cả đều có độ lớn ít hơn 1,
trong khi L1L2M có giá trị riêng của độ lớn lớn hơn 1.

Điều này được liên hệ tới bán kính phổ nối của cặp tốn tử tuyến tính
và tới các giả định hữu hạn có liên quan.

Như vậy, bằng ý tưởng của ví dụ 1.2.3, nó mở ra một hướng nghiên
cứu về một phát biểu mới tương đương với năm phát biểu đã biết trong định lí
1.