Bai kiem tra cuoi kyHệ thống điều khiển số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

BÀI KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ

GIẢNG VIÊN: NGUYỄN THỊ CHÍNH

NHÓM THỰC HIỆN: 3

Trần Quang Đạt 2051050092 TD20A

Nguyễn Đường Trung Hiếu 2051050112 TD20A

Nguyễn Minh Châu 2051050072 TD20A

Đoàn Văn Đạt 2051050087 TD20A

Lê Thành Dự 2051050083 TD20A

Nguyễn Chí Trung Nguyên 2051050031 TD20A

Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 11 năm 2023

CÂU 1: CHO HỆ THỐNG NHƯ HÌNH VẼ

Với 𝐺(𝑠) = 𝐬𝟐 𝟏𝟎 +𝟒𝐬+𝟖 ; 𝐻(𝑠) = 1 T = 0.1s

a. Tìm hàm truyền hở, kín.
b. Xét tính ổn định của hệ thống.

c. Tính đáp ứng của hệ thống với ngõ vào là hàm bậc thang. K = 0, 1, 2, 3, …,10

Bài làm

10
𝐺(𝑠) = 2

𝑠 + 4𝑠 + 8

− Ta có

𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)𝑍[𝐺(𝑠)]
𝑠
𝐺(𝑠) 10 𝐴 𝐵
𝑠 = 𝑠 (𝑠2 + 4𝑠 + 8) = 𝑠 + 𝑠2 + 4𝑠 + 8

− Trong đó

𝐴(𝑠2 + 4𝑠 + 8) + 𝐵𝑠 = 10

5
𝑠 = 0 => 8𝐴 = 10 => 𝐴 = 4
5 (𝑠2 + 4𝑠 + 8) + 𝐵𝑠 = 10 => 𝐵 = − 5 (𝑠 + 4)
4 4

− Thay vào phương trình

𝐺(𝑠) 5 1 5 (𝑠 + 4)
𝑠 = 4 . 𝑠 − 4 𝑠2 + 4𝑠 + 8
51 𝑠+2 2

𝐺(𝑠) = 4 (𝑠 − (𝑠 + 2)2 + 22 − (𝑠 + 2)2 + 22)
𝑠 𝑧[𝑧 − 𝑒−2𝑇 cos(2𝑇)]
5 −1 𝑧
𝐺(𝑧) = 4 (1 − 𝑧 ) (𝑧 − 1 − 𝑧2 − 2𝑒−2𝑇 cos(2𝑇) + 𝑒−2.2𝑇

𝐺(𝑧) 𝑧𝑒−2𝑇 sin(2𝑇)
=> − 𝑧2 − 2𝑒−2𝑇 cos(2𝑇) + 𝑒−2.2𝑇)
=>
5 −1 𝑧 𝑧2 − 0,64𝑧
= (1 − 𝑧 ) ( − 2 )
4 𝑧 − 1 𝑧 − 1,6𝑧 + 0,67

0,043𝑧 + 0,038
𝐺(𝑧) = 2
𝑧 − 1,6𝑧 + 0,67
𝐆(𝐳) 𝟎, 𝟎𝟒𝟑𝐳 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟖
𝐆𝐤(𝐳) = = 𝟐
𝟏 + 𝐆(𝐳) 𝐳 − 𝟏, 𝟓𝟔𝐳 + 𝟎, 𝟕𝟏

Matlab

>> num = 10;
>> den = [1, 4, 8];
>> Gs=tf(num,den)
Gs =

10
-------------
s^2 + 4 s + 8
Continuous-time transfer function.

>> Gz=c2d(Gs,0.1,'zoh')
Gz =

0.04367 z + 0.03821
----------------------
z^2 - 1.605 z + 0.6703
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
>> Gk=feedback(Gz,1)
Gk =

0.04367 z + 0.03821
----------------------
z^2 - 1.561 z + 0.7085
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

b) Xét tính ổn định của hệ thống

Phương trình đặc trưng là

1 + 𝐺(𝑧) = 0

0,043z − 0,038
=> 1 + z2 − 1,6z + 0,67 = 0
<=> 𝑧2 − 1,56𝑧 + 0,71 = 0

Biến đổi ∶ z = (𝑤+1)
𝑤−1
𝑤+1 2

𝑤+1
(𝑤 − 1) − 1,56 𝑤 − 1 + 0,71 = 0
<=> (𝑤 + 1)2 − 1,56(𝑤 + 1)(𝑤 − 1) + 0,71(𝑤 − 1)2 = 0

<=> 0,15𝑤2 + 0,58 𝑤 + 0,15 = 0

Bảng Routh

𝑤2 0,15 0,15

𝑤1 0,58 0

𝑤0 0,15 − 0,15 . 0 = 0,15
0,58

Vậy hệ thống ổn định do tất cả hệ số ở cột 1 đều dương

c) Tính đáp ứng của hệ thống với ngõ vào là hàm bậc thang. K=0,1,2,3,4,5...,10

10
𝐺(𝑠) = 2

𝑠 + 4𝑠 + 8
− Phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm:

𝑋(𝑘 + 1) = [ 0 1 ] 𝑋(𝑘) + [0] 𝑢(𝑘)
−8 −4 1
𝑦(𝑘) = [10 0]𝑋(𝑘)

− Khi K=0 thì :

𝑋(1) = [ 0 1 ] 𝑋(0) + [0] 𝑢(𝑘) = [0]
−8 −4 1 1
𝑦(1) = [10 0] [01] = 0

− Khi K=1 thì:

𝑋(2) = [ 0 1 ] [0] + [0] 0 = [ 1 ]
−8 −4 1 1 −4
𝑦(2) = [10 0] [ 1−4] = 10

− Khi K=2 thì:

𝑋(3) = [ 0 1 ] [ 1 ] + [0] 0 = [−4]
−8 −4 −4 1 8
𝑦(3) = [10 0] [−48 ] = −40

− Khi K=3 thì:

𝑋(4) = [ 0 1 ] [−4] + [0] 0 = [8]
−8 −4 8 1 0
𝑦(4) = [10 0] [80] = 80

− Khi K=4 thì:

𝑋(5) = [ 0 1 ] [8] + [0] 0 = [ 0 ]
−8 −4 0 1 −64
𝑦(5) = [10 0] [ 0 −64] = 0

− Khi K=5 thì:

𝑋(6) = [ 0 1 ] [ 0 ] + [0] 0 = [−64]
−8 −4 −64 1 256
𝑦(6) = [10 0] [−64 256] = −640

CÂU 2: VIẾT PTTT MƠ TẢ HỆ THỐNG CĨ QUAN HỆ VÀO RA BỞI PTSP SAU
2y(k+3) + y(k+2) + 5y(k+1) + 4y(k)= u(k+2) + 3u(k)

Bài làm

− Ta có:

2y(k+3) + y(k+2) + 5y(k+1) + 4y(k) = u(k+2) + 3u(k)
<=> y(k+3) + 0,5y(k+2)+2,5y(k+1) + 2y(k) = 0,5u(k+2) + 1,5u(k)

− Đặt các biến trạng thái:

𝑥1(𝑘) = c(k) - 𝛽0𝑟(𝑘)
𝑥2(𝑘) = 𝑥1(𝑘 + 1) - 𝛽1𝑟(𝑘)
𝑥3(𝑘) = 𝑥2(𝑘 + 1) - 𝛽2𝑟(𝑘)
𝑥3(𝑘 + 1) = −𝑎3𝑥1(𝑘) − 𝑎2𝑥2(𝑘) − 𝑎1𝑥3(𝑘) + 𝛽3𝑟(𝑘)

− Trong đó:

𝛽0 = 𝑏0 = 0
𝛽1 = 𝑏1- 𝑎1𝛽0 = 0,5 × 0 = 0,5
𝛽2 = 𝑏2 - 𝑎1𝛽1 - 𝑎2𝛽0 = 0 - 0,5 × 0,5 – 2,5 × 0 = -0,25
𝛽3 = 𝑏3 - 𝑎1𝛽2 - 𝑎2𝛽1 - 𝑎3𝛽0 = 1,5 = 0,5 × (-0,25) – 2,5 × 0,5 = 0,375

− Hệ phương trình biến trạng thái có dạng:

{𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑑𝑥(𝑘) + 𝐵𝑑𝑟(𝑘)
𝑐(𝑘) = 𝐶𝑑𝑥(𝑘) + 𝐷𝑑𝑟(𝑘)

− Trong đó:

𝑥1(𝑘) 0 1 0
0 1]
x(k) = [𝑥2(𝑘)] ; 𝐴𝑑 = [ 0 −2,5 −0,5

𝑥3(𝑘) −2 0]

0,5

𝐵𝑑 = [−0,25] ; 𝐶𝑑 = [1 0

0,375

CÂU 3:

Bài làm

− Phương trình đặc trưng 1 + 𝐺(𝑧) = 0

𝐺(𝑧) = (1 − 𝑧−1)𝑍 {𝐺(𝑠)}
𝑠

= (1 − 𝑧−1)𝑍 {𝑠2 50 (𝑠 + 5)}

= 10(1 − 𝑧−1) ( 𝑧[(0.5 − 1 + 𝑒−0.5)𝑧 + (1 − 𝑒−0.5 − 0.5𝑒−0.5)] )

2 −0.5
5(𝑧 − 1) (𝑧 − 𝑒 )

0.21𝑧 + 0.18
=≫ 𝐺(𝑧) = (𝑧 − 1)(𝑧 − 0.607)

− Cặp cực mong muốn * = 𝑟𝑒±𝑗𝜑

𝑧1,2

𝑟 = 𝑒𝑇𝜉𝜔𝑛 = 𝑒−0.1×0.707×10 = 0.493

𝜑 = 𝑇𝜔𝑛√1 − 𝜉2 = 0.1 × 10 × √1 − 0.7072 = 0.707

=≫ * = 0.493𝑒±𝑗0.707

𝑧1,2

<=> * = 0.375 ± 𝑗0.32

𝑧1,2

− Góc pha cần bù

𝜙* = −180 + (𝛽1 + 𝛽2) − 𝛽3
𝛽1 = 152. 90
𝛽2 = 125. 90
𝛽3 = 14. 60
=> 𝜙* = 840

− Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệt tiêu nghiệm

−𝑧𝐶 = 0.607
=> 𝑧𝐶 = −0.607
−𝑝𝐶 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 − 𝐴𝐵
𝑂𝐵 = 0.607
𝐴𝐵 = 0.578
=> 𝑝𝐶 = −0.029

− Tính KC

|𝐺𝐶(𝑧)𝐺(𝑧)|𝑧=𝑧* = 1
(𝑧 − 0.607)(0.21𝑧 + 0.18)

=> |𝐾𝐶 (𝑧 − 0.029)(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.607)| = 1

𝑧=0.375±𝑗0.32

[0.21(0.375 + 𝑗0.32) + 0.18]
=> |𝐾𝐶 (0.375 + 𝑗0.32 − 0.029)(0.375 + 𝑗0.32 − 1)| = 1

0.267
=> 𝐾𝐶 0.471 × 0.702 = 1
=> 𝐾𝐶 = 1.24

− Hàm truyền của bộ điều khiển cần thiết kế là
𝑧 − 0.607

𝐺𝐶(𝑧) = 1.24 𝑧 − 0.029

− Vẽ quỹ đạo nghiệm số bằng Matlab

>> ts=50; transfer function.
>> ms=[1 5 0];
>> Gs=tf(ts,ms)
Gs =

50
---------
s^2 + 5 s
Continuous-time
>> rlocus(Gs)
>> plot(r,'-')
>> grid on

>> ts1=conv(1.24,[1 -0.607]);
>> ms1=[1 -0.029];
>> Gcs=tf(ts1,ms1)
Gcs =

1.24 s - 0.7527
---------------

s - 0.029
Continuous-time transfer function.
>> G=Gs*Gcs
G =

62 s - 37.63

-------------------------
s^3 + 4.971 s^2 - 0.145 s
Continuous-time transfer function.
>> rlocus(G)
>> grid on

− Đáp ứng quá độ trước và sau hiệu chỉnh

Matlab

>> ts=50;
>> ms=[1 5 0];
>> Gs=tf(ts,ms)
Gs =

50
---------
s^2 + 5 s
>> h=1;
>> gk1=feedback(Gs,h)
gk1 =

50
--------------
s^2 + 5 s + 50
Continuous-time transfer function.
>> num1=50;
>> den1=[1 5 50];
Gcs =
>> ts1=conv(1.24,[1 -0.607]);

>> ms1=[1 -0.029];
>> Gcs=tf(ts1,ms1)
Gcs =
1.24 s - 0.7527
---------------

s - 0.029
Continuous-time transfer function.
>> G=Gs*Gcs
G =

62 s - 37.63
-------------------------
s^3 + 4.971 s^2 - 0.145 s
Continuous-time transfer function.
>> gk2=feedback(G,h)
gk2 =

62 s - 37.63
---------------------------------
s^3 + 4.971 s^2 + 61.85 s - 37.63
Continuous-time transfer function.
>> num2=[62 -37.63];
>> den2=[1 4.971 61.85 -37.63];
>> t=0:0.01:3;
>> y1=step(num1,den1,t);
>> y2=step(num2,den2,t);
>> plot(t,y1,'.',t,y2,'-')
>> grid on

Nhận xét: Dựa vào biểu đồ trên ta thấy, độ vọt lố của hệ thống sau khi hiệu
chỉnh không quá cao (khoảng 0.25) và thời gian xác lập nhanh (khoảng 2 giây)