Bài kiểm tra cuối kỳ _ Hệ thống điều khiển số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢIN TẢI TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA ĐIỆN – ĐTN – ĐTVT

BÀI TẬP KIỂM TRA CUỐI KỲ

HỌC PHẦN: HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ

GV:Nguyễn Thị Chính
NHĨM THỰC HIỆN – ĐTN: 3 - TD20A

Trần Quang Đạt 2051050092

Nguyễn Đường Trung Hiếu 2051050112

Nguyễn Minh Châu 2051050072

Đoàn Văn Đạt 2051050087

Lê Thành Dự 2051050083

Nguyễn Chí Trung Nguyên 2051050031

Hờ Chí Minh, 11/2023

Câu 1: Cho hệ thống như hình vẽ:

10
Với 𝐺(𝑠) = s2+ 4 s+8 ; 𝐻(𝑠) = 1 T = 0.1s

a. Tìm hàm truyền hở, kín.

b. Xét tính ổn định củaịnh của hệ thống.

c. Tính định củấp ứng của hệ thống với ngõ vào là hàm bậc thang. K = 0, 1, 2, 3, 4,
5, . .10

Bài làm:

a)Tìm hàm truyền hở,kín
G (s )= s2 10 +4 s+ 8
Ta có:

G ( z )=(1−z−1) Z [ G (s ) s ]

G( s) = 10
s s(s¿¿ 2+ 4 s+8)= As + s2 B + 4 s+8 ¿

Trong đó

A(s¿ ¿ 2+ 4 s+8)+ Bs=10 ¿

s=0=¿ 8 A=10=¿ A= 5
4

5 (s¿ ¿ 2+ 4 s+8)+ Bs=10=¿ B=−5 (s +4 )¿
4 4

Thay vào phương trình

G( s) s = 54 . 1s − 4 s2 5 ( s+ 4 ) +4 s+ 8

( ) G( s) 5 1 s+2 2
s = 4 s − ( s+2)2+22 −( s+2 )2+22

z z [ z −e−2T cos (2T )] ze−2T sin (2 T )
( ) G ( z)= 5 (1−z−1)−2
4 −2T −2.2 T − 2 −2T −2.2 T
z−1 z −2 e cos (2T )+e z −2 e cos (2T )+e

z2−0,64 z
( ) 5
−1 z
G ( z )= (1−z ) −2
4 z−1 z −1,6 z+ 0,67

¿>G ( z )= z2 0,043 z+ 0,038 −1,6 z+ 0,67
¿>Gk ( z )= G( z ) 1+G( z) = z20,043 z+ 0,038 −1,56 z+ 0,71

Matlab:
>> num = 10;
>> den = [1, 4, 8];
>> Gs=tf(num,den)

Gs =

10
-------------
s^2 + 4 s + 8

Continuous-time transfer function.

>> Gz=c2d(Gs,0.1,'zoh')

Gz =

0.04367 z + 0.03821
----------------------
z^2 - 1.605 z + 0.6703

Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
>> Gk=feedback(Gz,1)

Gk =

0.04367 z + 0.03821
----------------------
z^2 - 1.561 z + 0.7085

Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.

b)Xét tính ổn định của hệ thống
phương trình đặc trưng là

1+G ( z)=0
¿>1+ z2 0 , 043 z−0,038 −1,6 z+ 0,67 =0
¿> z2−1,56 z +0,71=0

Biếnđổi: z=( w−1 w+1 )

( ) w +1 2−1,56 w +1 + 0,71=0
w−1 w−1

¿> (w+1)2−1,56 ( w+1) (w−1)+ 0,71( w−1)2=0

¿> 0,15 w2+0,58 w+ 0,15=0

Bảng Routh

w2 0,15 0,15

w1 0,58 0

w0 0,15−0,15 .0=0,15
0,58

Vậy hệ thống ổn định do tất cả hệ số ở cột 1 đều dương

c)tính đáp ứng của hệ thống với ngõ vào là hàm bậc thang. K=0,1,2,3,4,5...,10

G (s )= s2 10 +4 s+ 8

Phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm:

[ ] [ ] X (k +1 )= 0 1 −8 −4 X (k )+ 01 u(k)

y (k )=[10 0 ] X (k )

Khi K=0 thì :

X (1)=[ 0 1 −8 −4] X (0)+[01]u( k)=[01]

[ ] y (1)=[10 0] 01 =0

Khi K=1 thì:

[ X (2)= 0−8 −41 ][10]+[10]0=[−41 ]

[ ] y (2)=[10 0] 1−4 =10

Khi K=2 thì:

X (3)=[−8 −4 0 1 ][−41 ]+[10]0=[ 8−4]

[ ] y (3)=[10 0] −48 =−40

Khi K=3 thì:

X (4)=[−8 −4 0 1 ][ 8−4]+[10]0=[08]
[ ] y (4 )=[10 0] 80 =80

Khi K=4 thì:

X (5)=[−8 −4 0 1 ][08]+[10]0=[−64 0 ]
[ ] y (5)=[10 0] 0 −64 =0

Khi K=5 thì:

X (6)=[−8 −4 0 1 ][−64 0 ]+[10]0=[ 256 −64]
[ ] y (6)=[10 0] −64 256 =−640

Câu 2:
Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau:

2y(k+3) + y(k+2) + 5y(k+1) + 4y(k)= u(k+2) + 3u(k)
Bài làm:

Ta có:
2y(k+3) + y(k+2) + 5y(k+1) + 4y(k) = u(k+2) + 3u(k)
¿>¿ y(k+3) + 0,5y(k+2)+2,5y(k+1) + 2y(k) = 0,5u(k+2) + 1,5u(k)
Đặt các biến trạng thái:
x1( k ) = c(k) - β0 r ( k )
x2( k) = x1(k+1) - β1r (k )
x3( k) = x2(k+1) - β2r (k )

x3(k +1) = −a3 x1(k )−a2 x2(k )−a1 x3(k )+ β3 r ( k )

Trong định củaó:

β0 = b0 = 0

β1 = b1- a1 β0 = 0,5 × 0 = 0,5

β2 = b2 - a1 β1 - a2 β0 = 0 - 0,5 × 0,5 – 2,5 × 0 = -0,25

β3 = b3 - a1 β2 - a2 β1 - a3 β0 = 1,5 = 0,5 × (-0,25) – 2,5 × 0,5 = 0,375

Hệ phương trình biến trạng thái có dạng:

{x(k +1)= Ad x (k )+Bd r (k )

c (k )=Cd x (k )+ Dd r ( k)

Trong định củaó:

[ ] [ ] x1(k)
01 0

x(k) = x2(k ) ; Ad = 0 0 1
−2 −2,5 −0,5
x3 (k )

[ ]0,5

Bd = −0,25 ; Cd = [ 1 0 0 ]

0,375

Câu 3:

 Phương trình định củaặc trưng: Bài làm:

1 G(z) 0

1 G(s)
G(z) (1 z )Z  

s

 1  50 
(1 z )Z  2 

 s (s  5) 

 1  z[(0.5  1 e 0.5 )z  (1 e 0.5  0.5e 0.5 )] 
10(1 z )  
2  0.5
 5(z  1) (z  e ) 

G(z)  0.21z  0.18
(z  1)(z  0.607)

 Cặp cực mong muốn: z1,2 * rej

r eTn e 0.10.70710 0.493

 Tn 1  2 0.110  1 0.7072 0.707
z1,2 * 0.493ej0.707
 z1,2 * 0.375  j0.32

 Góc pha cần bù:

*  180  (1  2 )  3
1 152.90
2 125.90
3 14.60
 * 840

 Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệt tiêu
nghiệm:

 zC 0.607

 zC  0.607
 pC OA OB  AB
OB 0.607
AB 0.578
 pC  0.029

 Tính KC :

GC (z)G(z) zz* 1

 KC (z  0.607)  0.21z  0.18 1
 z  0.029  z  1  z  0.607 z0.375j0.32

 KC [0.21(0.375  j0.32)  0.18]  0.375  j0.32  0.029  0.375  j0.32  1 1

 KC 0.267 0.4710.702 1
 KC 1.24

=> Hàm truyền của bộ định củaiều khiển cần thiết kế là:

GC (z) 1.24 z  0.607 z  0.029

* Vẽ quỹ định củaạo nghiệm số bằng Matlab: >> ts1=conv(1.24,[1 -0.607]);
>> ms1=[1 -0.029];
>> ts=50; >> Gcs=tf(ts1,ms1)
>> ms=[1 5 0];
>> Gs=tf(ts,ms)

Gs = Gcs =

50 1.24 s - 0.7527
--------- ---------------
s^2 + 5 s
s - 0.029

Continuous-time transfer function. Continuous-time transfer function.

>> rlocus(Gs) >> G=Gs*Gcs
>> plot(r,'-')
>> grid on G =

62 s - 37.63
-------------------------
s^3 + 4.971 s^2 - 0.145 s

Continuous-time transfer function.

>> rlocus(G)

>> grid on

* Đáp ứng quá độ trước và sau hiệu chỉnh:
- Code Matlab:

>> ts=50; Gcs =
>> ms=[1 5 0];
>> Gs=tf(ts,ms) 1.24 s - 0.7527
---------------
Gs =
s - 0.029

50
--------- Continuous-time transfer
s^2 + 5 s function.
>> h=1;
>> gk1=feedback(Gs,h) >> G=Gs*Gcs
gk1 =
G =
50
-------------- 62 s - 37.63
s^2 + 5 s + 50 -------------------------
s^3 + 4.971 s^2 - 0.145 s
Continuous-time transfer
function. Continuous-time transfer
function.
>> num1=50; >> gk2=feedback(G,h)
>> den1=[1 5 50];
gk2 =
Gcs =
>> ts1=conv(1.24,[1 -0.607]); 62 s - 37.63
>> ms1=[1 -0.029]; ---------------------------------
>> Gcs=tf(ts1,ms1) s^3 + 4.971 s^2 + 61.85 s -
37.63

Continuous-time transfer
function.

>> num2=[62 -37.63];

>> den2=[1 4.971 61.85 -37.63]; >> t=0:0.01:3;

>> y1=step(num1,den1,t);
>> y2=step(num2,den2,t);

>> plot(t,y1,'.',t,y2,'-')
>> grid on

Nhận xét: Dựa vào biểu đồ trên ta thấy, độ vọt lố của hệ thống sau khi hiệu
chỉnh không quá cao (khoảng 0.25) và thời gian xác lập nhanh (khoảng 2
giây)