Chuoi so chuoi ham

CHUỖI

Lý thuyết chuỗi
• Chuỗi số
• Chuỗi hàm số - chuỗi lũy thừa
• Chuỗi Fourier

1

CHUỖI

4.1. Chuỗi số

4.1.1. Khái niệm

• Cho dãy số vơ hạn {an} = {a0, a1, · · · , an, · · · }, với n ≥ 0.

Biểu thức

+∞

a0 + a1 + · · · + an + · · · = an, (∗)

n=0

được gọi là một chuỗi số. Khi đó, a0, a1, · · · , an, · · · được gọi là các số hạng của

chuỗi (∗) và số hạng an, với số tự nhiên n bất kỳ, được gọi là số hạng tổng quát

hoặc số hạng thứ n.

n

• Với mỗi n, đặt Sn = a0 + a2 + · · · + an = ak. Khi đó Sn được gọi là tổng

k=0

riêng thứ n của chuỗi (∗).

2

CHUỖI

• Nếu khi n → ∞, mà Sn → S, với S hữu hạn thì ta nói chuỗi (∗) hội tụ. Khi

+∞

đó S được gọi là tổng của chuỗi (∗), và ta viết S = an.

n=0

Ngược lại, nếu Sn → ±∞ hoặc khơng tồn tại lim Sn thì ta nói chuỗi (∗) phân

n→∞
+∞

kỳ hoặc không hội tụ. Trong trường hợp Sn → ±∞, ta vẫn viết an = ±∞.

n=0

3

CHUỖI

VD 1. Cho chuỗi số ∞1 .

n=0 2n

a) Xác định số hạng tổng quát và tính tổng riêng thức n của chuỗi số.

b) Chuỗi số hội tụ hay phân kỳ?

Chú ý:Tổng các số hạng của cấp số nhân như sau: Cho cấp số nhân {bn} với

cơng bội q = 1. Khi đó bn = qn−1b1 và

b1 + b2 + · · · + bn = b1 − bn+1 b1(1 − qn)
= .
1−q 1−q

4

CHUỖI

Giải:
1
a) Số hạng tổng quát là an = 2n, với số tự nhiên n ≥ 0.
Tổng riêng thứ n

11 1 1
Sn = a0 + a1 + · · · + an = 1 + 2 + 22 + · · · + 2n = 2 − 2n.

Å 1ã
b) Ta có lim Sn = lim 2 − n = 2. Suy ra chuỗi số hội tụ và
n→∞ n→∞ 2

2= ∞1 .

n=0 2n

5

CHUỖI

VD 2. Cho hàm số f (x) xác định trên R. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau

∞

[f (n) − f (n + 1)].

n=0

6

CHUỖI

Giải: Với mỗi n, ta có

n

Sn = [f (k)−f (k+1)] = [f (0)−f (1)]+[f (1)−f (2)]+· · ·+[f (n)−f (n+1)]

k=0

Suy ra Sn = f (0) − f (n + 1).

Nếu lim f (n) = A với A hữu hạn thì lim Sn = f (0) − A và chuỗi hội tụ và
n→+∞ n→+∞

tổng bằng f (0) − A.

Nếu lim f (n) hoặc bằng ±∞ hoặc khơng tồn tại thì chuỗi số phân kỳ.

n→+∞

7

CHUỖI

4.1.2. Một số tính chất

+∞ +∞ +∞

a) Nếu hai chuỗi số an và bn hội tụ thì chuỗi số (an + bn) hội tụ và

n=0 n=0 n=0
+∞
+∞ +∞

(an + bn) = an + an.

n=0 n=0 n=0

+∞ +∞

b) Với mỗi số thực c, nếu chuỗi số an hội tụ thì chuỗi số c.an hội tụ và

n=0 n=0
+∞
+∞

c.an = c. an.

n=0 n=0

8

CHUỖI

+∞

c)Cho chuỗi số an, số tự nhiên n0 ≥ 0 và số thực c = 0.

n=0

+∞ +∞

+) Chuỗi số an và chuỗi số an = an0 + an0+1 + · · · + an + · · · , cùng

n=0 n=n0

hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

+∞ +∞

+) Hai chuỗi số an và c.an cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

n=0 n=0

Chú ý: Với một chuỗi số, ta có thể bắt đầu chỉ số n từ số tự nhiên n0 nào

đó miễn sao các số hạng an xác định với mọi n ≥ n0.

d) Nếu thay đổi một số hữu hạn các số hạng đầu tiên của chuỗi số thì

tính chất hội tụ hoặc phân kỳ là không thay đổi.

9

CHUỖI

+∞ ĐĐIIỀỀUU KKIIỆỆNN CCẦẦNN

• Nếu chuỗi số an hội tụ thì lim an = 0.

n→∞
n=1

+∞

Tiêu chuẩn phân kỳ:Nếu chuỗi số an có lim an = 0 hoặc lim an không

n→∞ n→∞
n=1

tồn tại thì chuỗi số phân kỳ.

Chú ý: Khi thực hành tiêu chuẩn phân kỳ, ta thực hiện như sau:

+) Xác định số hạng tổng quát an, tính |an|.

+) Xác định lim |an|.

n→∞

+) Kết luận: Nếu lim |an| > 0 hoặc lim |an| = +∞ hoặc lim |an|
n→∞ n→∞ n→∞

không xác định thì kết luận chuỗi số phân kỳ.

10

CHUỖI

CChhuuỗỗii ssốố đđặặcc bbiiệệtt
+∞ 1
n=1 • Chuỗi Riemann: np, với p ∈ R.
Hội tụ khi và chi khi p > 1; phân kỳ khi và chỉ khi p ≤ 1.

+∞

• Chuỗi dạng hình học: qn, với q ∈ R.

n=0

Hội tụ khi và chỉ khi |q| < 1; phân kỳ khi và chỉ khi |q| ≥ 1.

11

CHUỖI

VD 3. Cho chuỗi số +∞ n + 1 . Tính lim n+1 .

n=1 n + 2 n→∞ n + 2

Sử dụng tiêu chuẩn phân kỳ, khảo sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của chuỗi số.

12

CHUỖI

Giải:

+) Ta có lim n+1 = 1.

n→∞ n + 2

+) Số hạng tổng quát của chuỗi số là n+1 , với n ≥ 1.

n+2

Do đó, chuỗi số phân kỳ.

VD 4. Cho chuỗi số (−1)n +∞ .2n + 1.
n+3
n=1
2n + 1
Tính lim .
n→∞ n + 3

Chuỗi số hội tụ hay phân kỳ?

13

CHUỖI

Giải:

+) Ta có lim 2n + 1 = 2.

n→∞ n + 3

+) Số hạng tổng quát của chuỗi là (−1)n.2n + 1.
n+3

Ta có lim (−1)n.2n + 3 > 0. Do đó chuỗi số phân kỳ.
n→∞ n+3

+∞

VD 5. Cho chuỗi số (−1)n+1.3n. Dựa vào kết quả lim 3n = +∞, khảo

n→+∞
n=1

sát sự hội tụ hoặc sự phân kỳ của chuỗi số.

14

CHUỖI

Giải:

+) Số hạng tổng quát của chuỗi số là (−1)n+1.3n, với n ≥ 1.

+) Ta có lim |(−1)n+1.3n| = lim 3n = +∞.
n→+∞ n→+∞

Do đó, chuỗi số phân kỳ.

VD 6. Cho chuỗi số (−1)n +∞ Å . n + 1ãn .
n+2
n=1
n+1 n
Å ã

Tính lim .
n→∞ n + 2

Chuỗi số hội tụ hay phân kỳ?

15

CHUỖI

Giải:

 Ñn + 3é Ñ 1 é

Ån + 3ãn lim n. ln  lim n. ln 1+ 

+) Ta có lim =e n→∞ n+2 =e n→∞ n+2

n→∞ n + 2

 Ñ 1 é

lim n. 

n→∞ n + 2 = e.

=e

+) Số hạng tổng quát của chuỗi là (−1)n Å . n + 3ãn .
n+2

Ta có lim (−1)n Å . n + 3ãn > 0. Do đó chuỗi số phân kỳ.
n→∞ n+2

16

CHUỖI

BT 1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau:

a) +∞ 2n + 1 .

n=1 n + 3

b) (−1)n−2 +∞ √ n .
n=1 n2 + 2

+∞ 1 .
c) n. sin
2n + 1
n=1

d) +∞ Å2n + 1ãn .

n=1 2n + 3

e) (−1)n+3 +∞ Å . n + 1ãn .
n+4
n=1

+∞ Å 2 ãn

f) 1− 3n + 1 .

n=1

+∞

g) (−1)n.n3.

n=1

h) +∞ n2 .

n=1 n + 3 17

CHUỖI

Hướng dẫn:

a) Chuỗi số phân kỳ vì lim 2n + 1 = 2 > 0.

n→∞ n + 3

b) Chuỗi số phân kỳ vì lim √ n = 1 > 0.

n→∞ n2 + 2

1 = lim n. 1 1
c) Chuỗi số phân kỳ vì lim n. sin = > 0.
n→∞ 2n + 1 n→∞ 2n + 1 2

Å d) Chuỗi số phân kỳ vì lim 2n + 1 = e−1 ãn > 0.
n→∞ 2n + 3

Å e) Chuỗi số phân kỳ vì lim n + 1 = e−3 ãn > 0.
n→∞ n + 4

Å 2 = e−2 ãn 3 > 0.
f) Chuỗi số phân kỳ vì lim 1 − 3n + 1
n→∞

g) Chuỗi số phân kỳ vì lim n3 = +∞.

n→∞

h) Chuỗi số phân kỳ vì lim n2 = +∞.

n→∞ n + 3

18

CHUỖI

4.1.3. Chuỗi số dương và một số tiêu chuẩn khảo sát hội tụ

• Chuỗi số có tất cả các số hạng đều dương được gọi là một chuỗi số dương.

+∞

• Cho chuỗi số dương an. Ta có

n=1

Sn+1 = a1 + a2 + · · · + an + an+1 = Sn + an+1 > Sn,

với mọi n ≥ 1. Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} của chuỗi là một dãy số tăng.

+∞

Do đó, chuỗi số dương an thỏa mãn hoặc chuỗi hội tụ hoặc chuỗi có

n=1

lim Sn = +∞ hay chuỗi số phân kỳ

n→∞

19

CHUỖI

KKIIẾẾNN TTHHỨỨCC CCẦẦNN GGHHII NNHHỚỚ

Chuỗi đặc biệt: Cho số thực a = 0 và hai số thực p, q. aa
+∞ a = a+ + +

n=1 a) Chuỗi Riemann mở rộng là chuỗi số có dạng np 2p 3p
a

· · · + np + · · · , hội tụ khi p > 1 và phân kỳ khi p ≤ 1.

+∞

b) Chuỗi dạng hình học mở rộng: (a.qn) = a+a.q +a.q2 +· · ·+a.qn +· · ·

n=0

hội tụ khi |q| < 1 và phân kỳ khi |q| ≥ 1.

20