Một số câu hỏi hình học không gian trong đề thi đại học

Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
TUYỂN TẬP MỘT SỐ CÂU HỎI HHKG THI CĐ-ĐH, DỰ BỊ ĐẠI HỌC (2002-NAY)
I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
KA 2002: Cho ∆
1
:
1
2 4 0
, : 2
2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t

= +

− + − =
 
∆ = +
 
+ − + =



= +

.

1-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆
1
và // ∆
2
. 2-Cho M(2;1;4). Tìm H∈∆
2
sao cho MH nhỏ
nhất
KD 2005: Cho
2 0
1 2 1
: , :
1 2
3 1 2
3 12 0
x y z
x y z
d d
x y

+ − − =
− + +

= =

−
+ − =


.

1-C/m d
1
//d
2
. Viết ptmp (P) chứa cả d
1
và d
2
. 2-(Oxz) cắt d
1
, d
2
tại A, B. Tính S
OAB
.
KA 2006: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AB, CD.
1-Tính d(A’C,MN). 2-Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(Oxy) một góc α mà
1
cos
6
α
=
.
KB 2006: Cho A(0;1;2),
1
1 1
: , : 1 2
1 2
2 1 1

2
x t
x y z
d d y t
z t

= +
− +

= = =− −

−

= +

.
1-Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d
1
và d
2
.
2-Tìm M∈d
1
, N∈d
2
sao cho A, M, N thẳng hàng.
KB 2009: 1. Cho tứ diện ABCD với A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C tới (P) bằng khoảng cách từ D tới (P).
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
KB 2004: Cho A(-4;-2;4) và đường thẳng

3 2
: 1
1 4
x t
d y t
z t

=− +

= −


=− +

. Viết ptđt ∆ qua A, cắt và vuông góc với d.
KA 2005: Cho
1 3 3
:
1 2 1
x y z
d
− + −
= =
−
và (P): 2x+y-2z+9=0 1-Tìm I∈d sao cho d(I,(P))=2.
2-Tìm A=d∩(P). Viết phương trình tham số của đthẳng ∆ đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc d.
KD 2006: Cho A(1;2;3),
2 2 3 1 1 1
: , :
1 2

2 1 1 1 2 1
x y z x y z
d d
− + − − − +
= = = =
− −
.
1-Tìm A’ đối xứng với A qua d
1
. 2-Viết phương trình đường thẳng qua A, vgóc với d
1
, cắt d
2
.
3. Cho hình chóp S.ABC, ∆ABC đều cạnh a, SA=2a, SA⊥(ABC); M, N lần lượt là hình chiếu của A trên
SB, SC. Tính V
A.BCNM
.
KA 2007: Cho
1 2
1 2
: , ' : 1
2 1 1
3
x t
x y z
d d y t
z

=− +

− +

= = = +

−

=

.
1-Chứng minh d, d’ chéo nhau. 2-Viết phương trình ∆ vuông góc với (P): 7x+y-4z=0 và cắt cả d
và d’.
KD 2009: 2. Cho
2 2
:
1 1 1
x y z+ −
∆ = =
−
và (P): x+2y-3z+4=0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong
(P) sao cho d ⊥∆.
III. BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TÍNH TOÁN, CHỨNG MINH
KB 2002: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
1-Tính d(A’B,B’D) theo a. 2-M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Tính
·
( , ' )MP C N
KD 2002: 1-Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), AC=AD=4cm, AB=3cm, BC=5cm. Tính
khoảng cách từ A tới (BCD).
2-Cho (P): 2x-y+2=0,
(2 1) (1 ) 1 0
( ) : .

(2 1) 4 2 0
m x m y m
d
m
mx m z m

+ + − + − =


+ + + + =


Tìm m để (d
m
) song song với (P).
1
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
KA 2003: 1-Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (A’BC), và (A’CD).
2-Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b); M là
trung điểm CC’. a-Tính V
BDA’M
theo a, b. b-Xác định tỉ số a/b để (A’BD)⊥(MBD).
KB 2003: Cho A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho
(0; 6; 0)AC =
uuur
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của
BC tới đường thẳng OA.
KD 2003: 1-Cho
3 2 0
:

1 0
x ky z
d
k
kx y z

+ − + =


− + + =


. Tìm k để đường thẳng d
k
vgóc với mặt phẳng (P): x-y-2z+5=0. ĐS:
k=1
KA 2004: Cho h.c S.ABCD, ABCD là hình thoi AC cắt BD tại gốc O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2
2
), M
là trung điểm của SC.
1-Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM. 2-Giả sử (ABM)∩SD=M. Tính V
S.ABMN
.
KA 2007: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng
minh AM vuông góc với BP và tính V
CMNP
.
KB 2007: P.Ban: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng

minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa MN và AC.
KD 2007: Cho S.ABCD, ABCD là hình thang,
·
·
90 , , 2 , ( ), 2
o
ABC BAD BA BC a AD a SA ABCD SA a= = = = = ⊥ =
.
Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H
tới (SCD).
KB 2008: Cho A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2. Tìm tọa độ điểm M∈ mặt phẳng (P): 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC.
KA 2009: 2. Cho (P): x-2y+2z-1=0 và
1 2
1 9 1 3 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z+ + − − +
∆ = = ∆ = =
−
. Xác định tọa độ
điểm M ∈∆
1
sao cho d(M,∆
2
)=d(M;(P)).
KD 2009: 1. Cho A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x+y+x-20=0. Xác định tọa độ điểm D
∈AB sao cho CD song song với (P).
IV. BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU

KD 2003: 2-Cho (P)⊥(Q) có giao tuyến là ∆. Trên ∆ lấy 2 điểm A, B với AB=a. Trên (P), (Q) lần lượt lấy
C, D sao cho AC, BD cùng vgóc với ∆ và AC=BD= AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
và k/cách từ A tới (BCD) theo a.
KD 2004: 1-Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B’(-a;0;b), a>0, b>0.
a) Tính d(B’C,AC’) theo a và b.
b) Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn a+b=4. Tìm a, b để d(B’C,AC’) là lớn nhất.
2-Cho A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và (P): x+y+z-2=0. Viết phương trình mặt cầu qua A, B, C và có tâm
thuộc (P).
KB 2005: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B’(4;0;4).
1-Tìm A’, C’. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCC’B’).
2-Gọi M là trung điểm A’B’. Viết ptmp (P) qua A, M và song song với BC’. Tính MN với N=(P)∩A’C’.
KB 2007: Cho (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x+4y+2z-3=0, (P): 2x-y+2z-14=0.
1-Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
2-Tìm điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất.
KD 2008: Cho A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D.
2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
KA 2009: 1. Trong không gian cho (P): 2x-2y-x-4=0 và mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x-4y-6z-11=0. Chứng

minh rằng (P) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn đó.
V. BÀI TOÁN CỰC TRỊ
2
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
KA 2002: Cho ∆
1
:
1
2 4 0
, : 2
2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t

= +

− + − =
 
∆ = +
 
+ − + =



= +


.
1-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆
1
và // ∆
2
. 2-Cho M(2;1;4). Tìm H∈∆
2
sao cho MH nhỏ
nhất
KD 2007: Chung: Cho A(1;4;2), B(-1;2;4),
1 2
:
1 1 2
x y z− +
∆ = =
−
.
1-Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với (OAB).
2-Tìm M thuộc ∆ sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
KA 2008: Cho A(2;5;3) và d:
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
.

1- Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
2- Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (α) lớn nhất.
KB 2009: 2. Cho (P): x-2y+2z-5=0, A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song
với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà có khoảng cách từ B đến đường thẳng đó nhỏ nhất.
KA 2010: Cho
1 2
:
2 1 1
x y z− +
∆ = =
−
và (P):x-2y+x=0. Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), M∈∆. Tính khoảng
cách từ M đến (P) biết
6MC =
.
KA 2010: Cho A(0;0;-2) và
2 2 3
:
2 3 2
x y z+ − +
∆ = =
. Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình
mặt cầu tâm A cắt ∆ tại B, C sao cho BC=8.
KB 2010: 1. Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó b,c>0 và (P): y-z+1=0. Xác định b, c biết
(ABC)⊥(P) và d(O;(ABC))=1/3.
2. Cho
1
:
2 1 2
x y z−

∆ = =
. Xác định M∈Ox: d(M,∆)=OM.
KD 2010: 1. Cho (P): x+y+z-3=0 , (Q):x-y+z-1=0. Viết (R) vuông góc với (P) , (Q) sao cho d(O,(R))=2.
2. Cho ∆
1
: x=3+t; y=t; z=t;
2
2 1
:
2 1 2
x y z− −
∆ = =
. Xác định M∈∆
1
sao cho d(M,∆
2
)=1.
KA 2011: 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng (P):
2x-y-z+4=0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x-4y-4z=0 và điểm A(4;4;0) . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
CĐ KA 2011: 1. Cho A(-1;2;3), B(1;0;-5) và (P): 2x+y-3z+4=0. Tìm M∈(P) sao cho A, B, M thẳng hàng.
2. Cho
1 1 1

:
4 3 1
x y z− + −
∆ = =
−
. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;2;-3) và cắt ∆ tại hai điểm A, B thỏa
mãn AB=
26
KB 2011: 1. Cho
2 1
:
1 2 1
x y z− +
∆ = =
− −
và (P): x+y+z-3=0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm M∈(P)
sao cho IM⊥∆ và
4 14MI =
2. Cho
2 1 5
:
1 3 2
x y z− − +
∆ = =
−
và A(-2;1;1), B(-3;-1;2). Tìm M∈∆ sao cho ∆MAB có diện tích bằng
3 5
KD 2011: 1. Cho A(1;2;3) và
1 3
:

2 1 2
x y z+ −
∆ = =
−
. Viết d qua A ⊥∆ và cắt Ox.
2. Cho
1 3
:
2 4 1
x y z− −
∆ = =
và (P): 2x-y+2z=0 . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ∆, bán kính 1 và
tiếp xúc với (P).
DB1 KA 2002: Cho ∆:
2 2 1 0
2 2 4 0
x y z
x y z
− − + =


+ − − =

và (S): x
2
+y
2
+z
2
+4x-6y+m=0 . Tìm m để ∆∩(S)={M,N}:

MN=8.
3
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
DB2 KA 2002: Cho
1 2
0 3 3 0
: ; :
1 0 3 6 0
x az a ax y
d d
y z x z
− − = + − =
 
 
− + = + − =
 
1. Tìm a để d
1
và d
2
chéo nhau. 2. Với a=2, viết (P) chứa d
2
và song song d
1
. Tính khoảng cách giữa
d
1
và d
2
.

DB1 KB 2002: Cho ∆:
2 1 0
2 0
x y z
x y z
+ + + =


+ + + =

và (P): 4x-2y+z-1=0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc
của ∆ trên (P).
DB2 KB 2002: Cho (P): x-y+z-3=0 , A(-1;-3;-2), B(-5; 7; 12).
1. Tím C đối xứng A qua (P). 2. Tìm M∈(P): MA+MB nhỏ nhất.
DB1 KA 2003: Cho hai đường thẳng
1 2
3 1 0
1
: ; d :
2 1 0
1 2 1
x z
x y x
d
y z
− + =

+
= =


+ − =

1. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau 2. Viết d cắt cả d
1
, d
2
biết d song song với ∆:
4 7 3
1 4 2
x y z− − −
= =
−
DB2 KA 2003: Cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3), D(1;6;-5). Tính góc giữa AB và
CD. Tìm M∈CD sao cho ∆ABM có chu vi nhỏ nhất.
DB1 KB 2003: Cho tứ diện OABC với
(0;0; 3) , B(a;0;0), C( 0; 3,0)A a a
. Gọi M là trung điểm của
BC. Tính khoảng cách giữa AB và OM.
DB2 KB 2003: Cho I(0;0;1), K(3;0;0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua I, K và tạo với mặt phẳng Oxy
góc 30
0
.
DB1 KD 2003: Cho (P): 2x+2y+z-m
2
-3m=0 và mặt cầu (S): (x-1)
2

+(y+1)
2
+(z-1)
2
=9. Tìm m để (P) tiếp xúc
(S). Với m tìm được ở trên hãy xác định tọa độ tiếp điểm.
DB2 KD 2003: Cho A(2;1;1), B(0;-1;3) và d:
3 2 11 0
3 8 0
x y
y z
− − =


+ − =

.
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao
điểm của d với (P). Chưng sminh d ⊥ IK.
2. Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng có phương trình : x+y-z+1=0.
DB1 KA 2004: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
với A ≡O , B(1;0;0), D(0;1;0), A
1

(0;0;
2
)
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B, C và phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
B
1
D
1
lên (P).
2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A
1
C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A
1
.ABCD
với (Q).
DB2 KA 2004: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật , AC∩BD =O – gốc tọa độ, biết
( 2; 1;0), ( 2; 1;0), (0;0;3)A B S− − −
.
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua trung điểm M của AB, song song với hai đường thẳng AD và SC.
2. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt mới (P).
DB1 KB 2004: Cho A(4;2;2), B(0;0;7) và
3 6 1
:
2 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
. Chứng minh d và AB cùng thuộc một

mặt phẳng. Tìm C∈d sao cho ∆ABC cân tại A.
DB2 KB 2004: Cho A(2;0;0), M(1;1;1).
1. Tìm O’ đối xứng O qua AM.
2. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn qua AM, cắt Oy, Oz tại B, C. Giả sử B(0;b;0), C(0;0;c), b>0, c>0.
CMR:
2
bc
b c+ =
. Xác định b,c sao cho diện tích ∆ABC nhỏ nhất.
DB1 KD 2004: Cho A(2;0;0), B(2;2;0), C(0;0;2).
1. Tìm O’ đối xứng với O qua (ABC).
2. Cho S thay đổi trên Oz, gọi H là hình chiếu của O trên SA. CMR : S
OBH
<4.
DB2 KD 2004: Cho A(0;1;1),
0
:
2 2 0
x y
d
x z
+ =


− − =

. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc
với d. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc B’ của B(1;1;2) qua (P).
DB1 KA 2005: Cho A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4).
4

Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
1. Tìm tọa độ A
1
đối xứng với A qua SC.
2. Tìm tọa độ B ∈Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật . Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B,
C.
DB2 KA 2005: Cho lăng trụ đứng OAB.O
1
A
1
B
1
với O(0;0;0), A(2;0;0), B(0;4;0), O
1
(0;0;4).
1. Tim tọa độ các điểm A
1
, B
1
. Viết phương trình mặt cầu đi qua O, O
1
, A
1
, B
1
.
2. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) đi qua M ⊥O
1
A và cắt OA, A
1

A lần lượt tại K, N. Tính KN.
DB1 KB 2005: Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có A≡O, B(2;0;0), D
1
(0;2;2).
1. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của lập phương. Gọi M là trung điểm của BC. CMR:
(AB
1
D
1
)⊥(AMB
1
).
2. Chứng minh tỉ số khoảng cách từ N thuộc đường thẳng AC
1
(N≠A) đến hai mặt phẳng (AB
1
D
1
) và
(AMB
1
) không phụ thuộc vị trí N.

DB2 KB 2005: Cho A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phương trình (P) qua O và vuông góc BC. Tìm tọa độ giao điểm của AC với (P).
2. Chứng minh ∆ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
DB1 KD 2005: Cho hai đường thẳng
1 2
1 2
: , d :
1 1 2
1
x t
x y z
d y t
z t
= − −


= = =


= +

.
1. Xét vị trí tương đối của d
1
và d
2
. 2. Tìm M∈d
1
, N∈d
2

: MN//(P):x-y+z=2 và MN=
2
DB2 KD 2005: Cho M(5;2;-3) và (P): 2x+2y-z+1=0 .
1. Gọi M
1
là hình chếu của M trên (P). Tìm M
1
và tính MM
1
.
2. Viết phương trình (Q) qua M và chứa
1 1 5
:
2 1 6
x y z− − −
∆ = =
−
DB1 KA 2006: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A≡O, B(2;0;0), C(0;2;0), A’(0;0;2).
1. Chứng minh A’C ⊥ BC’. Viết phương trình (ABC’).
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B’C’ lên (ABC’).
DB2 KA 2006: Cho (α): 3x+2y-z+4=0 và A(4;0;0), B(0;4;0). Gọi I là trung điểm của AB.
1. Tìm tọa độ giao điểm của AB với (α).
2. Xác định tọa độ K sao cho KI⊥(α), đồng thới K cách đều O và (α).
DB1 KB 2006: Cho hai đường thẳng
1 2
1
3 1
: 1 , :
1 2 1
2

x t
x y z
y t
z
= +

− −

∆ = − − ∆ = =

−

=

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆
1
và song song với ∆
2
.
2. Xác định A∈∆
1
, B∈∆
2
: AB có độ dài nhỏ nhất.
DB2 KB 2006: Cho (P): 2x-y+2z+5=0 , A(0;0;4), B(2;0;0).
1. Viết phương trình hình chiếu ⊥ của AB trên (P).
2. Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với (P).
DB1 KD 2006: Cho (P): 4x-3y+11z-26=0 và
1 2
3 1 4 3

: , :
1 2 3 1 1 2
x y z x y z
d d
− + − −
= = = =
−
.
1. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau 2. Viết phương trình ∆ nằm trên (P) đồng thời ∆ cắt d
1
và d
2
.
DB2 KD 2006: Cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3).
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua O ⊥ (ABC).
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA sao cho d(B,(P))=d(C,(P)).
DB1 KA 2007: Cho A(-1;3;-2), B(-3;7;-18) và (P): 2x-y+z+1=0 .
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và ⊥(P). 2. Tìm M∈(P): MA+MB nhỏ nhất.
DB2 KA 2007: Cho A(2;0;0), B(0;4;0), C(2;4;6) và
6 3 2 0
:
6 3 2 24 0
x y
d
x y z
− + =



+ + − =

.
1. Chứng minh AB và OC chéo nhau. 2. Viết d’ sao cho d’//d và cắt các đường AB, OC.
DB1 KB 2007: Cho A(-3;5;-5), B(5; -3;7) và (P): x+y+z=0.
1. Tính sin của góc giữa AB và (P). 2. Tìm M∈(P): MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
DB2 KB 2007: Cho A(2;0;0), M(0;-3;6).
1. Chứng minh mặt phẳng (P):x+2y-9=0 tiếp xúc mặt cầu tâm M bán kính MO. Tìm tọa độ tiếp điểm.
5
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AM và cắt Oy, Oz tại B, C sao cho V
OABC
=3.
DB1 KD 2007: Cho (P): x+y+z+2=0 và
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d
− + +
= =
−
.
1. Tìm tọa độ giao điểm M của d và (P).

2. Viết phương trình ∆ nằm trên (P), vuông góc với d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng
42
DB2 KD 2007: Cho (P): x-2y+2z-1=0 và
1 2
1 3 5 5
: , :
2 3 2 6 4 5
x y z x y z
d d
− − − +
= = = =
− −
.
1. Viết phương trình (Q) chứa d
1
và vuông góc với (P).
2. Tìm M∈d
1
, N∈d
2
: MN//(P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
DB1 KA 2008: Cho
1 2
5x-6y-6z+13=0
3 3 3
: , d :
x-6y+6z-7=0
2 2 1
x y z
d


− − −
= =


1. Chứng minh d
1
và d
2
cắt nhau. 2. Gọi I là giao điểm của d
1
và d
2
. Tìm A∈d
1
, B∈d
2
: S
IAB
=
41
42
DB2 KA 2008: Cho (P): 2x+3y-3z+1=0 và
3 5
:
2 9 1
x y z
d
− +
= =

và A(4;0;3), B(-1;-1;3), C(3;2;6).
1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm ∈(P).
2. Viết phương trình (Q) chứa d và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất.
DB1 KB 2008: Cho A(5;4;3), B(6;7;2) và
1
1 2 3
:
2 3 1
x y z
d
− − −
= =
.
1. Viết d
2
qua A, B. CMR d
1
và d
2
chéo nhau. 2. Tìm C∈d
1
: S
ABC
lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
DB2 KB 2008: Cho A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) và
1 0
:
4 0
x y
d

x y z
− + =


+ + − =

1. Tìm tọa độ D∈d: V
ABCD
=1. 2. Viết phương trình tham số của ∆ đi qua trực tâm H của ∆ABC và
⊥(ABC).
DB1 KD 2008: Cho (α): 2x-y+2z+1=0 và
1 1
:
1 2 2
x y z
d
− −
= =
−
.
1. Tìm tọa độ giao điểm của d và (α); tính sin góc giữa d và (α).
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I∈d và tiếp xúc với (α) và (Oxy).
DB2 KD 2008: Cho A(5;5;0) và
1 1 7
:
2 3 4
x y z
d
+ + −
= =

−
.
1. Tìm A’ đối xứng A qua d. 2. Tìm B, C∈d: ∆ABC vuông tại C và BC=
29
.
ĐỀ THI TRÊN TẠP CHÍ TOÁN HỌC TUỔI TRẺ.
THTTNăm 2003: Đề số 1
Cho hai đường thẳng
2 1 0 3 3 0
: , ':
1 0 2 1 0
x y x y z
x y z x y
+ + = + − + =
 
∆ ∆
 
− + − = − + =
 
1. Chứng minh ∆ và ∆’ cắt nhau. 2. Viết phương trình chính tắc của căp đường phân giác của các góc
tạo bởi ∆ và ∆’.
THTTNăm 2003: Đề số 3. Cho (P): x-2y+2z+2=0 và A( 4;1;3), B(2;-3;-1). Tìm M∈(P): MA
2
+MB
2
nhỏ
nhất.
THTTNăm 2004: Đề số 2. Cho (S): x
2
+y

2
+z
2
-2x+4y-6z-11=0 và (P): 2x+2y-z+17=0. Lập (α) song song
với (P) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
THTTNăm 2005: Đề số 3. Cho
1 2
1 1 1 1 3
: , :
1 2 2 1 2 2
x y z x y z
d d
− − − + −
= = = =
− −
.
1. Tìm tọa độ I của d
1
và d
2
và viết phương trình mặt phẳng (Q) qua d
1
, d
2
.
2. Lập phương trình đường thẳng d
3
qua P(0;-1;2) cắt d
1
, d

2
lần lượt tại A và B khác I sao cho AB=AB.
3. Xác định a,b để M(0;a;b)∈(Q) và nằm trong miền góc nhọn tạo bởi d
1
, d
2
.
6
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
THTTNăm 2006: Đề số 2. Cho A(1;-1;1) và
1 2
3 3 0
: 1 2 , d :
2 1 0
3
x t
x y z
d y t
x y
z t
= −

+ − + =


= − +
 
− + =



=

. CMR d
1
, d
2
và A
đồng phẳng.
THTTNăm 2006: Đề số 3. Cho
1 2
2 4 8 6 10
: , :
1 1 1 2 1 1
x y z x y z
d d
− + + − −
= = = =
− − −
. Lập đường thẳng d cắt
d
1
, d
2
và d song song với Ox.
THTTNăm 2007: Đề số 1. Cho ∆ABC với A(-1;-3;-2) ; đường cao BK và trung tuyến CM lần lượt có
phương trình là
1 2
1 1 4 1 2 5
: , :
2 3 4 2 3 1

x y z x y z
d d
+ − − − + −
= = = =
−
. Lập phương trình đường thẳng chứa
các cạnh AB, AC của ∆ABC.
THTTNăm 2007: Đề số 3. Cho (P):x+y+z+3=0, A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2).
1. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC).
2. Tìm M ∈(P):
| 2 3 |MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất.
THTTNăm 2007: Đề số 4. Cho A(1;-1;2), B(3;1;0) và (P): x-2y-4z+8=0.
1. Lập phương trình đường thẳng d: d⊂(P), d⊥AB và d đi qua giao điểm của đường thẳng AB với (P).
2. Tìm C∈(P): CA=CB và mặt phẳng (ABC)⊥(P).
THTTNăm 2008: Đề số 1. Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6). CMR AB và CD chéo nhau. Tính
khoảng cách giữa AB và CD và viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
THTTNăm 2008: Đề số 2. Cho (P): 2x+y+z-1=0 ,
2 2 0
:
2 2 0
x y
d
y z
− − =


+ + =


.
1. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Tìm số đo góc tạo bởi d và (P).
2. Viết phương trình ∆ đi qua A, ∆⊂(P) sao cho góc tạo bởi hai đường thẳng ∆ và d bằng 45
0
.
THTTNăm 2008: Đề số 3. Cho tứ diện ABCD với A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
1. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AD trên (ABC).
2. Tìm K∈AC và H∈BD: KH có độ dài nhỏ nhất.
THTTNăm 2008: Đề số 4. Cho
1 2
2 4 0 0
: , :
3 0 1 0
x y y z
d d
z x
+ − = + =
 
 
− = − =
 
. Lập mặt cầu có bán kính nhỏ nhất
tiếp xúc với cả hai đường thẳng nói trên.
THTTNăm 2009: Đề số 2. Cho ∆: x=2+3t; y=-2t; z=4+2t và A(1;2;-1), B(7;-2;3). Tìm M∈∆: MA +MB
nhỏ nhất.
THTTNăm 2009: Đề số 3. Cho (α): 3x+2y-z+4=0 và A(4;0;0), B(0;4;0). Gọi I là trung điểm của AB. Tìm
tọa độ giao điểm của AB với (α) và xác định tọa độ điểm K sao cho KI⊥(α) đồng thời K cách đều gốc tọa
độ và (α).
40 ĐỀ TỰ LUYỆN 2012
40.01 a) Cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a,b,c>0)thỏa mãn a

2
+b
2
+c
2
=3. Tìm a,b,c sao cho d(O;(ABC))
lớn nhất.
b) Cho A(1;5;0), B(3;3;6) và
1 1
:
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
. Tìm C∈d để S
ABC
nhỏ nhất.
40.02 a) Cho
1 2
:
1 2 2
x y z
d
− +
= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho (P) tạo với (Oxy) góc
nhỏ nhất.

b) Cho A(2;0;0), J(1;1;1) . Gọi (α) là mặt phẳng thay đổi luôn qua AJ và cắt Oy, Oz lần lượt tại B(0;b;0),
C(0;0;c) với b,c>0. CMR:
2
bc
b c+ =
, tìm b, c sao cho S
ABC
nhỏ nhất.
40.03. a) Cho A(5;5;0) và
1 1 7
:
2 3 4
x y z
d
+ + −
= =
−
. Tìm B, C∈d: ∆ABC⊥ cân tại A và
2 17BC =
b) Cho M(0;0;-3), N(2;0;-1) và (α): 3x-8y+7z-1=0 . Tìm P∈(α):∆MNP đều.
40.04 a) Cho A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2) và (P): x+y+z+3=0. Tìm M∈(P):
| 2 3 |MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất
7
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
b) Cho ∆ABC có A(1;2;5) và hai đường trung tuyến là:
1 2
3 6 1 4 2 2
: ; :

2 2 1 1 4 1
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
− −
.
Viết phương trình các cạnh của tam giác.
40.05. a) Cho A(2;3;0),
(0; 2;0)B −
và ∆: x=t; y=0, z=2-t. Tìm C∈∆: chu vi ∆ABC nhỏ nhất
b) Cho A(2;0;0), M(0;-3;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, M và cắt Oy, Oz tại B, C: V
OABC
=3.
40.06. a) Cho
1 2
2 2
2 1
: , d : 3
2 1 2
x t
x y z
d y
z t
= −

− −

= = =


−

=

. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau. Viết phương trình
mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
.
b) Cho (α): 2x-y+2z-3=0 , (S): (x-1)
2
+(y+2)
2
+(z-4)
2
=25. Xét vị trí tương đối giữa (S) và (α). Viết phương
trình mặt cầu (V) đối xứng với (S) qua (α)
40.07. Cho (S):x
2
+y
2
+z
2
-2x+2z-2=0 , A(0;1;1), B(-1;-2;-3), C(1;0;-3). Tìm D∈(S):V
ABCD

lớn nhất.
40.08. Cho H(4;5;6). Viết phương trình (P) cắt các trục tọa độ tại A,B,C sao cho H là trực tâm ∆ABC,.
40.09. a) Cho
1 2
1 1
: , d :
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
d
+ −
= = = =
−
. Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau. Tìm A∈d
1
, B∈d
2
: A//
(P):x-y+z=0 và AB=
2
b) Cho A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) và
1 3
:
1 1 2
x y z
d
− −

= =
−
. Tìm D∈d: V
ABCD
=1. Viết phương trình
tham số của ∆ đi qua trực tâm H của ∆ABC và vuông góc với ABC.
40.10. a) Cho (P):2x-y+z-1=0 và
1 2
1 2 3 1 1 2
: , d :
2 1 3 2 3 2
x y z x y z
d
− + − + − −
= = = =
. Viết ∆ //(P) , ⊥d
1
và
cắt d
2
tại C có hoành độ bằng 3.
b) Cho (P):2x+2y-z+16=0, (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x+2y6z+5=0 . Điểm M∈(S), N∈(P). Xác định vị trí của M, N
để MN ngắn nhất (lớn nhất).
40.11. a) Cho

1 2
8 6 10
: , d : 2
2 1 1
4 2
x t
x y z
d y t
z t
=

+ − −

= = = −

−

= − +

. Viết phương trình d song song Ox và cắt d
1
tại
A, cắt d
2
tại B. Tính AB.
b) Cho hình thang cân ABCD có A(3;-1;-2), B(1;5;1), C(2;3;3). Tìm tọa độ D biết AB là đáy lớn, CD là
đáy nhỏ.
40.12. a) Cho (S):x
2
+y

2
+z
2
-2x+4y-6z-11=0 và (α): 2x+2y-z+17=0. Viết phương trình (β)//(α) cắt (S) theo
giao tuyến là đường tròn có chu vi 6π.
b) Cho (α) chứa
1
:
1 1 2
x y z−
∆ = =
− −
và tạo với (β) : 2x-2y-z+1=0 góc 60
0
. Tìm tọa độ giao điểm M của (α)
với Oz.
40.13. a) Cho M(2;1;4) và
1 2 1
:
1 1 2
x y z
d
− − −
= =
. Tìm H∈d:S
HMO
=
33
2
, x

H
>-4.
b) Cho d
m
:
1
1 1
x y z
m m
−
= =
− −
(m≠0, 1). CMR d
m
luôn nằm trong một mặt phẳng cố định.
40.14. a) Cho I(1;0;3),
1 1 1
:
2 1 2
x y z
d
− + −
= =
. Viết (S) tâm I và cắt d tại A, B:∆IAB vuông tại I.
b) Cho A(4;0;0), B(0;4;0) và (P): 3x+2y-z+4=0. Gọi I là trung điểm của AB. Tìm K sao cho KI⊥(P) đồng
thời K các đều gốc tọa độ O và (P).
40.15. a) Cho A(0;0;4), B(2;0;0) và (P): 2x+y-z+5=0. Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B có
khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng
5
6

8
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
b) Cho A(0;1;1),
1 2
1
1 2
: , d :
3 1 1
1
x
x y z
d y t
z t
= −

− +

= = =


= +

. Viết phương trình d đi qua A, vuông góc d
1
và cắt
d
2
.
40.16 a) Cho (P): 2x+2y-m
2

-3m=0, (S): (x-1)
2
+(y+1)
2
+(z-1)
2
=9. Tìm m để (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ
tiếp điểm với m tương ứng.
b) Cho (S
1
):x
2
+y
2
+z
2
-2x-4y+2z-30=0 , (S
2
): x
2
+y
2
+z
2
-6x-8y+16=0. Chứng tỏ rằng (S
1
) tiếp xúc với (S
2
).
Viết phương trình tiếp diện chung của chúng.

40.17. Cho A(2;0;0), B(2;2;0), S(0;0;m). Gọi H là hình chiếu ⊥ của O trên SA. CMR ∀ m>0, S
OBH
<3.
40.18. a) Cho tứ diện ABCD có A(0;0;2), B(0;2;0), C(2;0;0), D(2;2;2). Tìm các điểm có tọa độ nguyên
nằm trong tứ diện.
b) Cho (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x+4y-2z-7=0 và đường thẳng d
m
là giao tuyến của (α):x+(1-2m)y+4mz-4=0 và
(β):2x+my-(2m+1)z-8=0 . Chứng minh rằng các giao điểm của d
m
và (S) nằm trên một đường tròn cố định
khi m thay đổi. Tìm tâm và bán kính đường tròn đó.
40.19. Cho A(3;2;3),
1 2
2 3 3 1 4 3
: , :
1 1 2 1 2 1
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
− −
. Chứng minh d
1

, d
2
, A đồng
phẳng. Xác định tọa độ đỉnh B, C của ∆ABC biết d
1
chứa đường cao BH, d
2
chứa đường trung tuyến CM.
40.20. Cho (P):x+y-2z+4=0, (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x+4y+2z-3=0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d
tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với (P).
40.21. a) Lập (P) qua M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với (Oxy) góc π/3.
b) Cho d: x=(y-2)/-1=z; d’: (x-2)/2=y-3=(z+5)/-1. Viết phương trình (P) đi qua d và tạo với d’ góc 30
0
.
40.22. Cho tứ diện ABCD với A(0;0;2), B(-2;2;0), C(2;0;2), DH⊥(ABC) và HD=3 với H là trực tâm
∆ABC. Tính tan của góc giữa (DAB) và (ABC).
40.23. a) Cho tứ diện ABCD với A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;6), D(2;4;6). Tìm tập hợ điểm M:
| | 40MA MB MC MD+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur
b) Cho A(3;0;2), B(1;2;1) và
1 1
:
3 2 2
x y z

d
− +
= =
−
. Kẻ AA’, BB’⊥d. Tính A’B’.
40.24. a) Cho A(10;2;-1) và d:x=1+2t;y=t;z=1+3t. Lập (P) qua A, song song d và cách d một khoảng lớn
nhất.
b) Cho các mặt phẳng (P):xcost+ysinht+zsint-6sint-5cost=0 ; (Q): xsint-ycost+zcost-2cost+5sint=0;
(R):xsin2t-ycos2t+z-1=0. CMR giao tuyến của (P) và (Q) song song với (R).
40.25 a) Cho d
1
:x=1-t;y=2t;z=-2+t; d
2
: x/1=(y-1)/3=(z-1)/-1. Lập phương trình mặt phẳng song song và
cách đều hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
b) Cho
1 2
1 1 1 1 3
: , :
1 2 2 1 2 2
x y z x y z
d d
− − − + −
= = = =
− −
. Gọi I là giao của d

1
và d
2
. Lập phương trình d qua
P(0;-1;2) cắt d
1
, d
2
tại A, B (B,A≠I) sao cho AI=AB.
40.26. a) Cho
1 2 3
1 2 2 1 1
: , : ; d :
1 2 2 2 2 1 2 1 1
x y z x y z x y z
d d
− − − − −
= = = = = =
− −
. Tìm M∈d
1
, N∈d
2
, P∈d
3
: M,
N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.
b) Cho (S): x
2
+y

2
+z
2
-2x+2z-2=0, (P): 2x-2y+z+6=0. Tìm M∈(S): d(M;(P)) lớn nhất.
40.27. a) Cho A(1;0;0), B(2;-1;2), C(-1;1;3) và
1 2
:
1 2 2
x y z− −
∆ = =
−
. Viết mặt cầu có tâm thuộc ∆, đi qua
A và cắt (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
b) Cho M(1;2;3). Viết phương trình mặt cầu tâm M và cắt (Oxy) theo thiết diện là đường tròn có chu vi 8π.
40.28 a) Cho
1 2
1 2
: ; :
1 1 1 1 1 2
x y x x y z
d d
− −
= = = =
−
và A(-1;0;1). Xác định M∈d
1
, N∈d
2
:
6; . 3MN AM AM= =

uuuur uuuur
b) Cho A(1;0;0), B(0;1;0), C(1;1;0), D(0;0;m) (m>0). Gọi E, F là hình chiếu của O trên AD, BD. Viết (P)
chứa OE và OF. Tìm m để ∠EOF=45
0
.
40.29. a) Cho hình thoi ABCD có diện tích bằng
12 2
, A∈Oz, C∈(Oxy), B, D ∈∆:x/1=y/1=(z+1)/2 và B
có hoành độ dương. Tìm A, B, C, D.
9
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
b) Cho (P): 2x-y+2z-9=0, A(3;-1;2), B(1;-5;0). Tìm M∈(P):
.MA MB
uuur uuur
nhỏ nhất.
40.30. a) Cho
1 1 1 2 3 4
: , :
2 1 2 1 2 3
x y z x y z
d
− − − − − −
= = ∆ = =
. Biết ∆ cắt d. Hãy viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa ∆ sao cho góc giữa d và (P) lớn nhất.
b) Cho
1 2
2
1 2 1
: , d :

4 1 2 1
x y z x m y z
d
m n
− − − −
= = = =
− −
. Tìm m, n để d
1
//d
2
. Khi đó tính d(d
1
;d
2
).
40.31. a) Cho (P):x+y+z+2=0,
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d
− + +
= =
−
. Lập ∆ cắt d, nằm trong (P) và tạo với d góc lớn
nhất.
b) Cho (P
a,b,c
):ax+by+cz-1=0 (a,b,c>0) thỏa mãn

1 1 1
1
2 3a b c
+ + =
. Tìm a,b,c để (P
a,b,c
) cắt các trục tọa Ox,
Oy, Oz tại A, B, C sao cho V
OABC

lớn nhất.
40.32. a) Cho A(1;2;-1), B(-1;1;2), C(2;-1;-2), D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD . Tìm S∈Oz:
V
S.BCD
=4.
b) Cho A(5;3;1), B(4;-1;3), C(-6;2;4), D(2;1;7). Tìm tập hợp M:
| 3 3 | | |MA MB MC MD MA MB− + + = −
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
40.33. a) Cho A(0;2;0), B(0;0;-1), C∈Ox. Viết (ABC) biết d(C;(P))=d(C;∆) với (P):2x+2y-z=0;
1 2
:
1 2 2
x y z− +
∆ = =
b) Cho A(1;-2;5/2), B(4;2;5/2). Tìm tọa độ M∈(Oxy) sao cho ∆ABM⊥ tại M và có diện tích nhỏ nhất.
40.34. a) Cho B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;2a). Gọi N là trung điểm của SD. Tìm a nguyên dương
lớn nhất để d(SB,CN)>a
2
/7.
b) Cho

1 4
d:
2 1 2
x y z+ −
= =
−
và A(1;2;7), B(1;5;2), C(3;2;4). Tìm M∈d: MA
2
-MB
2
-MC
2
đạt giá trị lớn nhất.
40.35. a) Cho bốn đường thẳng
1 2 3 4
1 2 2 2 1 2 1
d : ;d : ;d : ;d :
1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1
x y z x y z x y z x y z− − − − − − −
= = = = = = = =
− − −
Chứng minh d
1
, d
2
cùng thuộc (P). Viết phương trình mặt phẳng (P) đó và chứng minh có một đường thẳng
∆ cắt cả bốn đường thẳn trên. Viết phương trình đường thẳng đó.
b) Cho hình vuông ABCD có C(1;1;-2) và đường chéo
1 1 1
BD:

4 1 1
x y z+ − +
= =
−
. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông.
40.36. a) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z-12= 0 và hai điểm A(1;1;3),B(2;1;4). Tìm
tập hợp tất cả các điểm C∈(P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
b) Cho ∆: x=-3+2t;y=-1+t;z=3+t và (α): x+2y-z+5=0. Gọi A là giao điểm của ∆ và (α). Tìm M∈∆, C∈(α):
AB=2BC=
6
và
·
0
60ABC =
.
40.37. a) Cho ∆ABC vuông cân tại A có trọng tâm G(3;6;1) và M(4;8;-1) là trung điểm của BC. Đường
thẳng BC nằm trong mặt phẳng 2x+y+2z-14=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
b) Cho
1
3 3 3
:
2 2 1
x y z
d
− − −
= =
; d
2
là giao của hai mặt phẳng : 5x-6y-6z+13=0 và x-6y+6z-7=0. Chứng

minh rằng d
1
và d
2
cắt nhau. Gọi I là giao điểm của d
1
và d
2
. Tìm tọa độ các điểm A∈d
1
; B∈d
2
: ∆IAB
vuông cân tại I và
41
42
IAB
S =
40.38. a) Cho M(4;3;-2) và hai đường thẳng
1 2
2 3 1 2 1 2
: , :
1 2 2 1 2 1
x y z x y z
d d
− − + − + −
= = = =
− − −
. Viết
phương trình đường thẳng d qua M cắt d

1
, d
2
tại A, B sao cho MA=2MB.
b) Cho d: x=2+t;y=2+3t;z=-3-2t và (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x+4y-8z-1=0. Chứng minh rằng d cắt (S) tại hai điểm
phân biệt A, B. Khi đó hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một
đường tròn lớn nhất.
40.39. a) Cho A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4). Tìm tọa độ điểm B∈(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ
nhật. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, B, C, S. Tìm tọa độ A
1
đối xứng A qua SC.
10
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
b) Cho (S):x
2
+y
2
+z
2
-10x-2y-6z+10=0 và (P):x+2y+2z+5=0. Từ một điểm M∈(P) kẻ một đường thẳng ∆
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại N. Tìm vị trí của M để MN=
11
40.40. Cho (α):2x+3y+6z-18=0. Gọi A, B, C lần lượt là giao của (α) với Ox, Oy, Oz và gọi H là trực tâm
của ∆ABC. Chứng minh rằng ∀ M∈(α) ( M≠A,B,C,H) ta có:

2 2 2 2
2 2 2 2
2
MA MB MC MH
OA OB OC OH
+ + = +
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI 1: Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho OA =
a;OB = b;OC = c
a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định vị trí B,C sao
cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương)
BÀI 2: Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố định cắt
Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC và khoảng cách từ N đến các
mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c .
BÀI 3: Cho tứ diện SABC có
2 ; SC (ABC)SC CA AB a
= = = ⊥
,tam giác ABC vuông tại A ,các
điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất
b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC
(ĐH Đà Nẳng 2001)
BÀI 4: Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM
2
+ BM
2
+ CM
2
+ DM

2
nhỏ nhất
BÀI 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm M ,trên
cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ nhất của MN
BÀI 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo và tìm
diện tích nhỏ nhất của nó theo a
BÀI 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có :
; 2 ;AA'=a 2AB a AD a
= =
.Trên AD
lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M để thể tích khối
tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001)
BÀI 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm M,N
sao cho BM = B’N = t , gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A
a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất
b) Chứng minh rằng :
2 2
1
cos cos
2
α β
+ =
c) Tính α , β khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001)
BÀI 9: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x . Tìm x để
góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất
BÀI 10: Cho khối cầu có bán kính R .Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể tích khối
trụ đó
BÀI 11: Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình chóp
đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất
BÀI 12: Cho hình nón có bán kính đáy R ,chiều cao h. Tìm hình trụ nội tiếp hình nón có thể tích lớn nhất

BÀI 13: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ở C và
SA ⊥ mp(ABC) ,SC = a.Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
BÀI 14:: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a.Với giá trị
nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy khối chóp thì thể tích khối chóp nhỏ nhất.
BÀI 15: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC .Mặt phẳng
(P) đi qua AM nhưng luôn luôn cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’
a) Chứng minh :
3
' '
SB SD
SB SD
+ =
B) Gọi V = V
S.ABCD
và V
1
= V
S.AB’MD’
.Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số V
1
/V
11
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
BÀI 16:Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC vng góc với nhau từng đơi .Biết rằng SA = a ;
SB +SC = k (khơng đổi) .Xác định SB,SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất
BÀI 17.Cho tam giác OAB đều cạnh a.Trên đường thẳng d đi qua O và vng góc với mp(OAB) ta lấy
điểm M với OM = x.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A lên MB ,OB .Đường thẳng EF cắt d tại N
.Chứng minh AN⊥ BM và định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất
BÀI 18.Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ,các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tìm x để diện tích tồn phần lớn nhất

BÀI 19 Cho tứ diện ABCD có AB = 2x ; CD = 2y ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x ,y để diện tích tồn
phần lớn nhất
BÀI 20 .Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt
phẳng qua C’ và khơng cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD kéo dài tại E,F,G .
a) Chứng minh :
1
AF
a b c
AE AG
+ + =
b) Xác định mp(P) sao cho thể tích tứ diện AEFG nhỏ nhất .
II. CÁC BÀI TỐN TỌA ĐỘ THƠNG THƯỜNG
Bài 1ï: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng






=
+−=
−=
t2z
t2y
t1x
:d
. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng
)(∆
có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:

3z1y
2
1x
−=+=
+
và mặt phẳng
(P):x+2y-z+5=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất.
Bài 3ï Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng





=
+−=
−=
t2z
t2y
t1x
:)d(
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
(d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất.
Bài 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho (P) có phương trình Ax+By+Cz+D=0 và hai điểm M(x-
1
;y
1
;z
1
), N(x
2

;y
2
;z
2
). Tìm I ∈ (P) sao cho:
a) IM+IN nhỏ nhất.
b) |IM-IN| lớn nhất.
Chẳng hạn:
1. Cho M(1;2;3), N(4;4;5). Tìm I ∈ Oxy sao cho IM+IN nhỏ nhất.
Đáp số:
17 11
; ;0
8 4
I
 
 ÷
 
.
2. Cho (P): 2x-y+x+1=0, M(3;1;0), N(-9;4;9). Tìm I∈(P): |IM-IN| lớn nhất.
Đáp số:
(7;3; 13)I −
Bài 5: Trong khơng gian cho đường thẳng d và M(x
1
;y
1
;z
1
), N(x
2
;y

2
;z
2
) khơng thuộc d. Tìm I∈d sao cho
IM+IN nhỏ nhất.
Chẳng hạn:
1. Cho M(1;2;-1); N(7;-2;3) , d:
1 2 2
3 2 2
x y z+ − −
= =
−
. Tìm I ∈ d : IM+IN nhỏ nhất.
Đáp số: MN//d ⇒ I(2;0;4).
2. Cho M(3;1;1), N(4;3;4), d:
7 3 9
1 2 1
x y z− − −
= =
−
. Tìm I ∈ d : IM+IN nhỏ nhất.
Đáp số: MN⊥d ⇒
17 17 23
; ;
3 3 3
I
 
 ÷
 
Bài 6.KA 2002: Cho ∆

1
:
1
2 4 0
, : 2
2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t

= +

− + − =
 
∆ = +
 
+ − + =



= +

.
12
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
1-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆

1
và // ∆
2
. 2-Cho M(2;1;4). Tìm H∈∆
2
sao cho MH nhỏ
nhất
Bài 7.KB 2007: Cho (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x+4y+2z-3=0, (P): 2x-y+2z-14=0.
1-Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
2-Tìm điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất.
Bài 8.KA 2002: Cho ∆
1
:
1
2 4 0
, : 2
2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t


= +

− + − =
 
∆ = +
 
+ − + =



= +

.
1-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆
1
và // ∆
2
. 2-Cho M(2;1;4). Tìm H∈∆
2
sao cho MH nhỏ
nhất
Bài 9.KD 2007: Chung: Cho A(1;4;2), B(-1;2;4),
1 2
:
1 1 2
x y z− +
∆ = =
−
.

1-Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với (OAB).
2-Tìm M thuộc ∆ sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
Bài 10. KA 2008: Cho A(2;5;3) và d:
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
.
1- Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
2- Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (α) lớn nhất.
Bài 11.KB 2009: 2. Cho (P): x-2y+2z-5=0, A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song
song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà có khoảng cách từ B đến đường thẳng đó nhỏ nhất.
Bài 12.THTTNăm 2003: Đề số 3. Cho (P): x-2y+2z+2=0 và A( 4;1;3), B(2;-3;-1). Tìm M∈(P):
MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
Bài 13.THTTNăm 2007: Đề số 3. Cho (P):x+y+z+3=0, A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2).
1. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC).
2. Tìm M ∈(P):
| 2 3 |MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất.
Bài 14.THTTNăm 2008: Đề số 3. Cho tứ diện ABCD với A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
1. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AD trên (ABC).

2. Tìm K∈AC và H∈BD: KH có độ dài nhỏ nhất.
Bài 15.THTTNăm 2009: Đề số 2. Cho ∆: x=2+3t; y=-2t; z=4+2t và A(1;2;-1), B(7;-2;3). Tìm M∈∆: MA
+MB nhỏ nhất.
Bài 16. a) Cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a,b,c>0)thỏa mãn a
2
+b
2
+c
2
=3. Tìm a,b,c sao cho d(O;(ABC))
lớn nhất.
b) Cho A(1;5;0), B(3;3;6) và
1 1
:
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
. Tìm C∈d để S
ABC
nhỏ nhất.
Bài 17. a) Cho
1 2
:
1 2 2
x y z
d
− +

= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho (P) tạo với (Oxy)
góc nhỏ nhất.
b) Cho A(2;0;0), J(1;1;1) . Gọi (α) là mặt phẳng thay đổi luôn qua AJ và cắt Oy, Oz lần lượt tại B(0;b;0),
C(0;0;c) với b,c>0. CMR:
2
bc
b c+ =
, tìm b, c sao cho S
ABC
nhỏ nhất.
Bài 18. a) Cho A(2;3;0),
(0; 2;0)B −
và ∆: x=t; y=0, z=2-t. Tìm C∈∆: chu vi ∆ABC nhỏ nhất
b) Cho A(2;0;0), M(0;-3;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A, M và cắt Oy, Oz tại B, C: V
OABC
=3.
Bài 19. Cho (S):x
2
+y
2
+z
2
-2x+2z-2=0 , A(0;1;1), B(-1;-2;-3), C(1;0;-3). Tìm D∈(S):V
ABCD
lớn nhất.
Bài 20. a) Cho (P):2x-y+z-1=0 và
1 2
1 2 3 1 1 2

: , d :
2 1 3 2 3 2
x y z x y z
d
− + − + − −
= = = =
. Viết ∆ //(P) , ⊥d
1
và
cắt d
2
tại C có hoành độ bằng 3.
b) Cho (P):2x+2y-z+16=0, (S): x
2
+y
2
+z
2
-4x+2y6z+5=0 . Điểm M∈(S), N∈(P). Xác định vị trí của M, N
để MN ngắn nhất (lớn nhất).
Bài 21. Cho A(2;0;0), B(2;2;0), S(0;0;m). Gọi H là hình chiếu ⊥ của O trên SA. CMR ∀ m>0, S
OBH
<3.
13
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số 1 . Website: bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1
Bài 22. a) Cho
1 2 3
1 2 2 1 1
: , : ; d :
1 2 2 2 2 1 2 1 1

x y z x y z x y z
d d
− − − − −
= = = = = =
− −
. Tìm M∈d
1
, N∈d
2
, P∈d
3
:
M, N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.
b) Cho (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x+2z-2=0, (P): 2x-2y+z+6=0. Tìm M∈(S): d(M;(P)) lớn nhất.
Bài 23. a) Cho A(1;0;0), B(2;-1;2), C(-1;1;3) và
1 2
:
1 2 2
x y z− −
∆ = =
−
. Viết mặt cầu có tâm thuộc ∆, đi qua
A và cắt (ABC) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
b) Cho M(1;2;3). Viết phương trình mặt cầu tâm M và cắt (Oxy) theo thiết diện là đường tròn có chu vi 8π.

Bài 24. a) Cho hình thoi ABCD có diện tích bằng
12 2
, A∈Oz, C∈(Oxy), B, D ∈∆:x/1=y/1=(z+1)/2 và B
có hoành độ dương. Tìm A, B, C, D.
b) Cho (P): 2x-y+2z-9=0, A(3;-1;2), B(1;-5;0). Tìm M∈(P):
.MA MB
uuur uuur
nhỏ nhất.
Bài 25. a) Cho
1 1 1 2 3 4
: , :
2 1 2 1 2 3
x y z x y z
d
− − − − − −
= = ∆ = =
. Biết ∆ cắt d. Hãy viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa ∆ sao cho góc giữa d và (P) lớn nhất.
b) Cho
1 2
2
1 2 1
: , d :
4 1 2 1
x y z x m y z
d
m n
− − − −
= = = =
− −

. Tìm m, n để d
1
//d
2
. Khi đó tính d(d
1
;d
2
).
Bài 26. a) Cho (P):x+y+z+2=0,
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d
− + +
= =
−
. Lập ∆ cắt d, nằm trong (P) và tạo với d góc lớn
nhất.
b) Cho (P
a,b,c
):ax+by+cz-1=0 (a,b,c>0) thỏa mãn
1 1 1
1
2 3a b c
+ + =
. Tìm a,b,c để (P
a,b,c
) cắt các trục tọa Ox,

Oy, Oz tại A, B, C sao cho V
OABC

lớn nhất.
Bài 27. a) Cho B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;2a). Gọi N là trung điểm của SD. Tìm a nguyên dương
lớn nhất để d(SB,CN)>a
2
/7.
b) Cho
1 4
d:
2 1 2
x y z+ −
= =
−
và A(1;2;7), B(1;5;2), C(3;2;4). Tìm M∈d: MA
2
-MB
2
-MC
2
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 28. a) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z-12= 0 và hai điểm A(1;1;3),B(2;1;4).
Tìm tập hợp tất cả các điểm C∈(P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
b) Cho ∆: x=-3+2t;y=-1+t;z=3+t và (α): x+2y-z+5=0. Gọi A là giao điểm của ∆ và (α). Tìm M∈∆, C∈(α):
AB=2BC=
6
và
·
0

60ABC =
.
14