ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA: LÝ – HÓA – SINH
----------
VÕ THỊ HUỲNH TRANG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI
MỢT ŚƠ BÀI TỐN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trı̀nh nghiên ćưu được hoàn thành dứơi sự cố
gắng và nỗ lực của riêng tôi. Những nội dung và kết quả nghiên ćưu nêu trong khóa
luận này là trung thực, được các đồng tác giả cho phép s̉ư dụng và chưa từng được
công bố trong bất kı̀ một công trı̀nh nào khác.

Tam Kỳ, tháng 05 năm 2016
Sinh viên thực hiện
Võ Thị Huỳnh Trang

i

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến cô giáo TS. Võ Thị
Hoa – ngừơi đã tận tı̀nh hướng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực hiện và
hoàn chı̉nh bài khóa luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng quý thầy cô giáo tổ Vật lý,
khoa Lý-Hóa-Sinh, trường Đại học Quảng Nam đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi
hoàn thành tốt bài khóa luận này cũng như đã giúp đỡ tơi trong suốt q trình học

tập.
Bên cạnh đó, tôi cũng xin g̉ưi l̀ơi cảm ơn t́ơi các bạn học cùng ĺơp Đại học Sư
phạm Vật lý K12 đã ủng hộ và đóng góp những ý kiến hữu ı́ch cho tôi trong quá
trı̀nh hồn thành khóa luận.
Cuối cùng tôi xin g̉ưi l̀ơi cảm ơn đến những thành viên trong gia đình, ngừơi
thân đã ln bên cạnh, giúp đỡ và động viên tơi trong śt q trình học tập và thực
hiện đề tài.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn !

Tam Kỳ, tháng 05 năm 2016
Sinh viên thực hiện

Võ Thị Huỳnh Trang

ii

MỤC LỤC

Phần 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 1

1. Lý do chọn đề tài..................................................................................................... 1
2. Mục tiêu của đề tài .................................................................................................. 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu........................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................................... 2
6. Lịch sử nghiên cứu .................................................................................................. 2
7. Giả thuyết khoa học ................................................................................................ 3
8. Cấu trúc của đề tài................................................................................................... 3
Phần 2. NỘI DUNG ................................................................................................................... 4
Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT V̀Ê CƠ HỌC LƯỢNG TỬ........................ 4

1.1. NHỮNG CƠ S̉Ơ VẬT ĹY C̉UA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ................................... 4
1.1.1. Giả thuyết De Broglie ....................................................................................... 4
1.1.2. Lý thuyết về nguyên tử của Borh ...................................................................... 4
1.1.3. Hàm sóng của hạt vi mô.................................................................................... 5
1.1.4. Toán t̉ư .............................................................................................................. 5
1.2. ĆAC TÓAN T̉Ư THỪƠNG GẶP........................................................................ 7
1.2.1. Toán tử tọa độ ................................................................................................... 7
1.2.2. Toán tử xung lượng ........................................................................................... 7
1.2.3. Toán tử năng lượng ........................................................................................... 8
1.2.4. Toán tử momen xung lượng .............................................................................. 8
1.3. TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PH́EP ĐO ĆAC BÍÊN ŚÔ ĐỘNG LỰC.............. 9
1.3.1. Theo cơ học cổ điển .......................................................................................... 9
1.3.2. Theo cơ học lượng tử ........................................................................................ 9
1.4. HỆ TH́ƯC B́ÂT ĐỊNH ...................................................................................... 10
1.4.1. Sai số của phép đo........................................................................................... 10
1.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch.......................................................... 10

iii

1.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg........................................................................... 10
1.5. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ................................................................ 11
1.5.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ............................................... 11
1.5.2. Phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian .................................... 11
1.5.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn........................... 12
1.5.4. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vơ hạn ............................. 13
1.5.5. Dao động tử điều hịa ...................................................................................... 15
1.6. PHƯƠNG TRÌNH CHỦN ĐỢNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG T̉Ư........... 15
1.6.1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian ................................................................ 15
1.6.2. Phương trình chuyển động đối với x............................................................... 15
1.6.3. Phương trình chuyển động đối với Px ............................................................. 16

1.6.4. Tích phân chuyển động ................................................................................... 16
1.7. ĹY THUYẾT BỈÊU DIỄN................................................................................. 16
1.7.1. Khái niệm ........................................................................................................ 16
1.7.2. Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn) ............................................................. 17
1.7.3. Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn) ............................................................. 17
1.7.4. Biểu diễn momen xung lượng (Lz – Biểu diễn) .............................................. 18
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ....................................................................................................... 18
Chương 2. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA ....... 19
2.1. GÍƠI THIỆU SƠ BỘ V̀Ê NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA....... 19
2.1.1. Giới thiệu......................................................................................................... 19
2.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica............................................................. 20
2.1.3. Khai thác thư viện của Mathematica............................................................... 20
2.1.4. Các tính năng của Mathematica ...................................................................... 21
2.2. ĆAC QUY T́ĂC CƠ B̉AN C̉UA MATHEMATICA V̀Ê NGỮ PH́AP............. 21
2.2.1. Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica ............................................... 22
2.2.2. Các phép toán cơ bản trong biểu thức............................................................. 22
2.2.3. Sử dụng các kí hiệu đặc biệt trong Mathematica ............................................ 25

iv

2.3. TÍNH TÓAN CƠ B̉AN TRONG MATHEMATICA ........................................ 26
2.3.1. Tính giới hạn ................................................................................................... 26
2.3.2. Tính đạo hàm của hàm số................................................................................ 26
2.3.3. Tính tích phân ................................................................................................. 26
2.3.4. Giải phương trình và hệ phương trình............................................................. 27
2.4. ĆAC KỈÊU ŚƠ TRONG MATHEMATICA ..................................................... 28
2.5. ĆAC PH́EP TÍNH TÓAN ŚÔ HỌC .................................................................. 28
2.5.1. Số nguyên ........................................................................................................ 28
2.5.2. Số hữu tỷ ......................................................................................................... 28
2.5.3. Số vô tỷ ........................................................................................................... 29

2.5.4. Số phức............................................................................................................ 29
2.6. Đ̀Ô HỌA V́ƠI MATHEMATICA ..................................................................... 29
2.6.1. Đồ họa hai chiều.............................................................................................. 29
2.6.2. Đồ họa ba chiều............................................................................................... 32
2.6.3. Các tùy chọn quan trọng chung cho các lệnh vẽ đồ thị................................... 34
2.7. MỘT ŚÔ LƯÚ Y KHI S̉Ư DỤNG PH̀ÂN M̀ÊM MATHEMATICA............... 35
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ....................................................................................................... 35
Chương 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN V̀Ê CƠ HỌC LƯỢNG TỬ....................................................................................... 37
3.1. B̀AI TÓAN VỀ H̀AM ŚONG C̉UA HẠT VẬT CH́ÂT .................................... 37
3.2. B̀AI TÓAN TÌM H̀AM RIÊNG, TRỊ RIÊNG C̉UA TÓAN T̉Ư....................... 39
3.3. B̀AI TÓAN V̀Ê GÍA TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PH́EP ĐO ĆAC BÍÊN ŚÔ
ĐỘNG LỰC .............................................................................................................. 39
3.4. B̀AI TÓAN TÌM NĂNG LƯỢNG C̉UA DAO ĐỘNG T̉Ư ĐIỀU H̀OA .......... 41
3.5. B̀AI TÓAN VỀ ĹY THUÝÊT BỈÊU DIỄN ...................................................... 42
3.6. B̀AI TÓAN V̀Ê PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC TH̀ƠI
GIAN ......................................................................................................................... 45

v

3.7. B̀AI TÓAN V̀Ê PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER KHÔNG PHỤ THUỘC
TH̀ƠI GIAN .............................................................................................................. 46
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ....................................................................................................... 49
Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 50
1. KẾT LUẬN ........................................................................................................... 50
2. KIẾN NGHỊ .......................................................................................................... 50
Phần 4. HƯỚNG PHÁT TRIỂN .......................................................................................... 51
Phần 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................... 52
PHỤ LỤC...................................................................................................................................P1

vi

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn ............................ 12
Hình 1.2. Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng................................................. 13
Hình 1.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế khơng đối xứng ..................................... 14
Hình 2.1. Biểu tượng phần mềm Mathematica 8.0............................................................ 20
Hình 2.2. Bảng Basic Math Input trong giao diện c̉ua phần mềm Mathematica 8.0 ..... 24

vii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Một số hàm cơ bản trong Mathematica ............................................................. 24
Bảng 2.2. Một số lệnh vẽ đ̀ô thị trong Mathematica.......................................................... 34

viii

DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ
Đ̀ô thị 2.1. Đ̀ô thị hai chiều c̉ua hàm f(x)............................................................................ 29
Đ̀ô thị 2.2. Đ̀ô thị hai chiều c̉ua ba hàm f1, f2, f3................................................................. 31
Đ̀ô thị 2.3. Đ̀ô thị hai chiều c̉ua một hàm 2 tham śô.......................................................... 31
Đ̀ô thị 2.4. Đ̀ô thị ba chiều c̉ua một hàm f(x,y) .................................................................. 32
Đ̀ô thị 2.5. Đ̀ô thị ba chiều c̉ua hai hàm f1, f2...................................................................... 33
Đ̀ô thị 2.6. Đ̀ô thị ba chiều c̉ua một hàm 3 tham śô........................................................... 33
Đ̀ô thị 3.1. Trạng thái hạt trong h́ô thế v́ơi b́ưc từơng cao vô hạn tại x =L. .................... 46
Đ̀ô thị 3.2. Trạng thái hạt trong h́ô thế dịch chuyển t́ơi vị trı́ x = 2L................................ 47

ix

Phần 1. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học, chúng ta có thể dần
khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên. Một trong những
ngành khoa học ngày càng phát triển đó là Vật lý. Trong q trình học tập và lĩnh
hội kiến thức về lý thuyết nói chung và lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài
tập giữ một vai trị khá quan trọng. Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc
hơn về phần lý thuyết đã học.

Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở đại học,
cao đẳng đó là Cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hình thành vào đầu
những năm 30 của thế kỷ XX. Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ
bản của Vật lý học. Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý
như Vật lý chất rắn, Vật lý hạt…Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học
Newton vì nó cho phép mơ tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật
lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. Các tiên đốn của Cơ học lượng
tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau thế kỷ. Như vậy, Cơ học
lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu Cơ học lượng tử là rất
quan trọng đối với sinh viên vật lý. Thế nhưng đa số sinh viên vật lý lại gặp
khơng ít khó khăn trong việc học tập mơn học này do có hệ thống bài tập tương
đối nhiều và đa dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các
bài tập về chúng thì lại khá phức tạp, tốn nhiều thời gian và công sức.

Hiện nay, trên thế giới đã có những phần mềm được sử dụng như là một
cơng cụ mạnh trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật cũng như trong lĩnh vực giáo dục,
đào tạo và mang tính thực tiễn cao, Mathematica là một trong những phần mềm
đó. Với những ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả năng vẽ đồ thị
siêu việt và khả năng xử lý số liệu nhanh sẽ giúp cho việc xử lý các bài tốn vật
lý được nhanh chóng và thuận tiện.

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng
dụng phần mềm Mathematica giải mợt śơ bài tốn về Cơ học lượng tử”.

1

2. Mục tiêu của đề tài
- Nghiên cứu khai thác và sử dụng phần mềm Mathematica để giải các bài

toán về Cơ học lượng tử.
- Làm rõ được ưu điểm của việc sử dụng phần mềm Mathematica.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các dạng bài tập trong Cơ học lượng tử.
- Ngôn ngữ lập trình Mathematica với các tính năng tính tốn.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục tiêu đề ra, đề tài có những nhiệm vụ chính sau:
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về Cơ học lượng tử.
- Khai thác các tính năng tính tốn của phần mềm Mathematica.
- Nghiên cứu sử dụng cú pháp, cấu trúc câu lệnh của phần mềm Mathematica

để giải các bài toán về Cơ học lượng tử.
5. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết .
- Phương pháp giải bài tập.
- Phương pháp phân tích tổng hợp.
- Sử dụng phần mềm Mathematica.
6. Lịch sử nghiên cứu
Trong những năm qua có nhiều người đã ứng dụng phần mềm toán học

Mathematica vào dạy giải bài tập vật lý phổ thông trung học ở các chương, các
phần chẳng hạn như:
- Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để giải bài tốn chương “ Dịng
điện xoay chiều” vật lý 12 nâng cao. (Luận văn thạc sĩ chuyên ngành lý luận và
phương pháp dạy học bộ môn Vật lý – Nguyễn Thị Diệu Ly ).
- Sử dụng phần mềm toán học Mathematica trong dạy học phần “Dao động
và sóng điện từ” chương trình vật lý 12 trung học phổ thông. (Luận văn thạc sĩ
chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Vật lý – Hồng Việt
Hưng ).

2

- Sử dụng phần mềm tốn học Mathematica để vẽ đồ thị. (Khóa luận tốt
nghiệp Phạm Thị Hạnh Thảo).
7. Giả thuyết khoa học

Đề tài được hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên
chuyên ngành Vật lý nói chung và đồng thời xây dựng được cách học mới, đó là
ứng dụng cơng nghệ thơng tin trong việc giải quyết các bài toán vật lý khó và
phức tạp.
8. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo khóa luận gồm
có 3 chương :

Chương 1: Tổng quan lý thuyết về Cơ học lượng tử.
Chương 2: Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathemetica.
Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ
học lượng tử.

3

Phần 2. NỘI DUNG
Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT V̀Ê CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
1.1. NHỮNG CƠ S̉Ơ VẬT ĹY C̉UA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
1.1.1. Giả thuyết De Broglie
Theo giả thuyết phơtơn thì bức xạ điện từ có tính chất như những dịng hạt.
De Broglie đã nêu lên một giả thuyết về vấn đề này (năm 1924): một hạt tự

do có năng lượng và xung lượng tương ứng với một sóng phẳng có tần số

góc và véc tơ sóng ; và thỏa mãn hệ thức sau đây:
ħ

ħ
Với ħ =h/2π ; trong đó h là hằng số Planck, hằng số này chung cho mọi loại
hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý.
Nhiều thí nghiệm kiểm chứng lại giả thuyết De Broglie đã chứng tỏ rằng:
không những một chùm nhiều electron có tính chất sóng mà ngay cả từng
electron chuyển động cũng có tính chất sóng.
Theo giả thuyết về phôtôn và giả thuyết De Broglie thì ánh sáng cũng như
các hạt vi mơ vừa có tính chất sóng,vừa có tính chất hạt, người ta nói rằng chúng
có lưỡng tính sóng hạt.

Bước sóng λ của sóng De Broglie tương ứng là :
ħ (1.1)

Trong đó : v là vận tốc chuyển động của hạt

là véc tơ sóng của hạt có độ lớn ħħ

1.1.2. Lý thuyết về nguyên tử của Borh

Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ gián đoạn

của nguyên tử khi bị kích thích, Borh dã đưa ra một giả thuyết lượng tử: Năng

lượng E của nguyên tử chỉ có thể có những giá trị gián đoạn.

E E ,E ,E ,…E ,…

Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có

năng lượng Em thì nguyên tử phát ra bức xạ, lượng tử năng lượng của bức xạ

4

bằng hiệu năng lượng của trạng thái đầu En và năng lượng của trạng thái cuối Em.

Nếu gọi ωmn là tần số góc của bức xạ phát ra thì ta sẽ có :

ħωmn En – Em (1.2)

1.1.3. Hàm śong c̉ua hạt vi mô

a. Biểu diễn trạng thái của hạt bằng hàm sóng

Trạng thái bất kì của một hạt vi mơ vào thời điểm t có thể biểu diễn bởi một

hàm , gọi là hàm sóng của hạt:

,ħ (1.3)

b. Xác suất tìm thấy hạt trong một miền khơng gian

Gọi là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm M, theo ý nghĩa thống kê của

hàm sóng ta có: | , | . Để đơn giản, chọn C=1 → | , |

Xác suất tìm thấy hạt trong tồn bộ khơng gian:

, | ,| (1.4)

Vậy điều kiện chuẩn hóa hàm sóng được xác định bởi công thức:

| ,| 1 (1.5)

Với: | , | ∗, ,

Hàm sóng thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm sóng đã chuẩn hóa.

Đối với hàm sóng đã chuẩn hóa thì xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV

bao quanh điểm M có vectơ tia r là: | ,|

Đối với hàm sóng chưa được chuẩn hóa thì: | ,|

Trong đó C thỏa mãn điều kiện (1.5) → | , | 1

Nếu một hạt chuyển động theo trục x thì hàm sóng có dạng , . Xác

suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x + dx là:

Nếu hàm sóng đã chuẩn hóa: | ,|

Nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa: | ,|
| ,|

1.1.4. Tóan t̉ư
a. Khái niệm

Toán tử là một thực thể toán học tác dụng lên một hàm bất kì (của x chẳng

hạn) chuyển nó thành một hàm khác:

5

(1.6)

Với là toán tử tác dụng lên hàm và biến hàm này thành hàm .

Nếu tác dụng của toán tử lên hàm chỉ đơn giản là phép nhân hàm

này cho một số a:

(1.7)

Lúc đó ta nói rằng là hàm riêng của toán tử , a gọi là trị riêng của .

Tập hợp các trị riêng của được gọi là phổ trị riêng. Phương trình (1.7) được gọi

là phương trình cho trị riêng và hàm riêng của tốn tử hay gọi tắt là phương trình

trị riêng.

b. Các phép tính tốn tử

- Phép cộng (trừ) tốn tử:

- Phép nhân toán tử:

- Giao hoán tử: ,

- Phản giao hoán tử: ,

c. Toán tử tự liên hợp Hermite

Toán tử được gọi là toán tử tự liên hợp hermite (toán tử hermite) khi và

chỉ khi hệ thức sau được thỏa mãn:

∗. .∗ (1.8)

Trong đó: ∗ là một toán tử sao cho ∗. ∗ ∗

là một hàm bất kì

Các trị riêng của toán tử hermite là số thực:

(1.9)

Các hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của toán tử hermite là

trực chuẩn:

∗. , (1.10)

Với , là kí hiệu Kronecker

Khi m = n → , 1 : hệ chuẩn hóa

Khi m ≠ n → , 1 : hệ trực giao

6

Các hàm riêng của toán tử hermite hợp thành một hệ đầy đủ: (1.11)
∑

Với: là hàm riêng của toán tử

là hệ số phân tích, hệ số khai triển.

Xác suất để tốn tử có giá trị : | ||

1.2. ĆAC TÓAN T̉Ư THỪƠNG GẶP
1.2.1. Toán tử tọa độ

Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mơ tả bởi

hàm sóng . Giả sử đã được chuẩn hóa.

Phương trình trị riêng của tốn tử tọa độ là:

(1.12)
Trong biểu diễn tọa độ thì tọa độ và hàm của tọa độ là phép nhân thông

thường nên: và

Dựa vào tính chất hàm Delta: 0

Ta có: hay

Lúc này người ta nói tốn tử có hàm riêng ứng với giá trị .

Trường hợp tổng quát, trong khơng gian 3 chiều tốn tử tọa độ có:

- Dạng : →
- Trị riêng : ̂

- Hàm riêng : với là hàm Delta-Dirac ba chiều.

1.2.2. Toán tử xung lượng

Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mơ tả bởi

hàm sóng . Trong biểu diễn tọa độ theo trục x, toán tử xung lượng có:

- Dạng : ħ

- Trị riêng : liên tục

- Hàm riêng : ħ.
√ħ

Trường hợp tổng quát trong không gian 3 chiều, xung lượng có:

7

ħ

- Dạng : ħ → ħ

ħ

- Trị riêng : có giá trị liên tục

- Hàm riêng : ħ. ħ.
√ ħ/ √ ħ/

Các toán tử xung lượng cũng là các toán tử hermite.

1.2.3. Toán tử năng lượng

Hàm năng lượng tương ứng với toán tử năng lượng có:

- Dạng : ħ∆ )

- Phương trình trị riêng:

(1.13)

hay ∆ ħ 0 (1.14)

Với ∆ là toán tử Laplace.

- Trường hợp hạt chuyển động một chiều theo trục x thì phương trình trị

riêng có dạng:

ħ 0 (1.15)

1.2.4. Tốn tử momen xung lượng

Tốn tử momen xung lượng có dạng : .

Trong đó : , lần lượt là vec tơ định vị và vec tơ xung lượng của hạt.

Các thành phần của toán tử mơmen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes

có dạng :

ħ

ħ (1.16)

ħ

Với là toán tử hermite.

8

Khi khảo sát momen xung lượng người ta thường xét hai toán tử đó là
tốn tử hình chiếu momen xung lượng trên trục z ( ) và tốn tử momen xung
lượng tồn phần hay gọi là tốn tử bình phương momen .

* Toán tử
Trong tọa độ Descartes tốn tử có:

- Dạng : ħ∅ 0ħ, 1ħ, 2 ħ …
- Trị riêng : ħ có giá trị gián đoạn:

- Hàm riêng : ∅ ∅ √

* Tốn tử bình phương momen xung lượng

Trong tọa độ cầu tốn tử này có:

- Dạng : ħ ∆ ,∅

Với ∆ ,∅ là phần góc của tốn tử Laplace trong hệ tọa độ cầu và có dạng

như sau :

∆ ,∅ ∅ (1.17)
(1.18)
- Phương trình trị riêng:

ħ ∆ ,∅ , ∅ ,∅

Trong đó : ħ 1 hay ħ 1 , với nhận các giá trị khả

dĩ 0,1,2,…

- Hàm riêng : , ∅ ,∅ ∅

1.3. TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PH́EP ĐO ĆAC BÍÊN ŚÔ ĐỘNG LỰC

1.3.1. Theo cơ học cổ điển

Nếu trong phổ gián đoạn thì:̅ ∑

Với: giá trị đo được ở lần thứ i.

xác suất tại i.

Nếu trong phổ liên tục thì:̅ .

1.3.2. Theo cơ học lượng tử

Xét đại lượng vật lý L có giá trị trung bình (1.19)
∗. . .

Chú ý: phải là hàm sóng chuẩn hóa.

9

1.4. HỆ TH́ƯC B́ÂT ĐỊNH

1.4.1. Sai số của phép đo

Độ lệch ∆ cho biết độ chính xác của q trình đo:

∆ (1.20)
(1.21)
⇒∆ 0

Với: ∆ ∞: độ bất định.

∆ 0: độ chính xác cao.

1.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch

∆ 2

2 2

⇒∆ #0

Với: ∆ : trị tồn phương trung bình

∆ : thăng giáng hoặc là độ bất định của phép đo đại lượng L.

1.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg

Toán tử và được đo chính xác đồng thời khi và chỉ khi:

, 0 , (1.22)

Với: là toán t̉ư hermite (1.23)
Hệ thức bất định Heisenberg:

∆ .∆̅

Hay .̅ (1.24)

a. Hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng (1.25)
.ħ

Nếu tọa độ được xác định một cách chính xác thì xung lượng sẽ hồn tồn
bất định và ngược lại, hay nói cách khác tọa độ và xung lượng của hạt vi mơ
khơng đồng thời đo được chính xác. Chính vì thế khơng thể xác định được quỹ
đạo chính xác của hạt, đây chính là ý nghĩa quan trọng của hệ thức bất định
Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng.

10