ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN TÊN HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 09 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 21/12/2017 Loại đề thi: Tự luận

3 2
Câu I (1.5 điểm) Cho các ma trận A    1 2 0 , B   0 1 .

3 1 1
 4 2

1. (1.0 đ) Tính AB, BA .

2. (0.5 đ) Tính det(BA) .

Câu II (2.0 điểm) Tìm điều kiện của tham số a để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:

x  4y  5z  0

. 2x  ay  z  1

ax  32y  4z  6

Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập W  v   x, y, z 3 |2y  4x  z .

1. (0.5 đ) Hãy chỉ ra một vectơ của W khác vectơ không.
2. (1.0 đ) Chứng minh rằng W là một không gian vectơ con của 3 .
3. (1.5 đ) Tìm một cơ sở và tính số chiều của W.

1 3

Câu IV (3.5 điểm) Cho ma trận A    .

 2 0
1. (1.0 đ) Tính det(A  I ) , từ đó suy ra các giá trị riêng của A .

2. (2.5 đ) Giả sử A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : 2  2 trong cở sở chính tắc

U  e1  (1,0),e2  (0,1) của 2 .

a) Chứng tỏ rằng ánh xạ f được xác định bởi công thức f (x, y)  (x  3y, 2x) với

(x, y) tùy ý thuộc 2 .

b) Tìm tọa độ của vectơ f (2,1) trong cơ sở B  u1  (1,1),u2  (0, 1) của 2 .

c) Vectơ v  (0, 3) có thuộc ker f không? Tại sao?

Chú ý: nếu chưa làm được ý a) thì vẫn được sử dụng kết quả của ý a) để làm các ý b)

và c).

................................... HẾT ...................................

Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Hoàng Thị Thanh Giang Trưởng Bộ môn

Phạm Việt Nga

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 10 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 21/12/2017 Loại đề thi: Tự luận

 4 1
Câu I (1.5 điểm) Cho các ma trận X    1 3 0  , Y   1 0 .

 2 1 1
2 2

1. (1.0đ) Tính XY,Y X .

2. (0.5đ) Tính det(Y X )

Câu II (2.0 điểm) Tìm điều kiện của tham số a để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm:

x  3y  2z  0

.  3x  ay  z  1

 a x  27 y  z4


Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập W  v   x, y, z 3 |2x  y  4z .

1. (0.5 đ) Hãy chỉ ra một vectơ của W khác vectơ không.
2. (1.0 đ) Chứng minh rằng W là một không gian vec tơ con của 3 .
3. (1.5 đ) Tìm một cơ sở và tính số chiều của W.

0 2
Câu IV (3.5 điểm) Cho ma trận A    .

3 1

1. (1.0 đ) Tính det(A  I ) , từ đó suy ra các giá trị riêng của A .

2. (2.5 đ) Giả sử A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : 2  2 trong cở sở chính tắc

U  e1  (1,0),e2  (0,1) của 2 .

a) Chứng tỏ rằng ánh xạ f được xác định bởi công thức f (x, y)  (2y,3x  y) với

(x, y) tùy ý thuộc 2 .

b) Tìm tọa độ của vectơ f (1, 2) trong cơ sở B  u1  (1,1),u2  (0, 1) của 2 .

c) Vectơ v  (2,0) có thuộc ker f khơng? Tại sao?

Chú ý: nếu chưa làm được ý a) thì vẫn được sử dụng kết quả của ý a) để làm các ý b)
và c).

................................... HẾT ...................................

Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Hoàng Thị Thanh Giang Trưởng Bộ môn

Phạm Việt Nga

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 04 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 07/01/2018 Loại đề thi: Tự luận

0 0 2
Câu I (3.0 điểm) Cho ma trận A  2 1 0 và I là ma trận đơn vị cấp 3.

0 1 1

1. (1.0đ) Tìm ma trận X thỏa mãn AAt  2X  3I .

2. (2.0đ) Tính det(A  I ) theo  . Từ đó tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận

A.

 1 2 3 1

Câu II (1.5 điểm) Tìm hạng của ma trận: A  1 1 2 1

 2 0 12 0

 
 3 2 9 1

Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập hợp:

V  v   x, y, z 3 | x  3y  z  0

1) (1.0 đ) Chứng minh V là một không gian vectơ con của 3 .
2) (1.5 đ) Hãy tìm một cơ sở cho V và tìm tọa độ của véc tơ u  (7,2,1) trong cơ sở đó.

Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi:

u   x, y, z 3, f (u)  (x  2z, z  2y).

1) (0.75 đ) Cho u,v  3 thỏa mãn f (u)  (2, 3) và f (v)  (2, 1) . Tìm f (2u  3v) .
2) (0.5 đ) Vectơ w  (2,0) có thuộc Im f khơng ? vì sao?

3) (1.75 đ) Tìm ma trận của f trong cơ sở U  u1  (1,1,0),u2  (1,0,1),u3  (1,1,1) của
3 và cơ sở V  v1  (1,1), v2  (1, 2) của 2.

................................... HẾT ...................................

Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Đỗ Thị Huệ Trưởng Bộ môn

Phạm Việt Nga

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 05 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 07/01/2018 Loại đề thi: Tự luận

0 0 4
Câu I (3.0 điểm) Cho ma trận A  3 1 0 và I là ma trận đơn vị cấp 3.

0 1 1

1. (1.0đ) Tìm ma trận X thỏa mãn At A  3X  2I .

2. (2.0đ) Tính det(A  I ) theo  . Từ đó tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận

A.

 1 2 1 3

 Câu II (1.5 điểm) Tìm hạng của ma trận A   2 3 0 10 .
3 4 4 11
 
2 2 5 8

Câu III (2.5 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập hợp:

V  v   x, y, z 3 | x  y  4z  0

1. (1.0 đ) Chứng minh V là một không gian vectơ con của 3 .
2. (1.5 đ) Hãy tìm một cơ sở cho V và tìm tọa độ của véc tơ u  (7,3,1) trong cơ sở đó.

Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi:

u   x, y, z 3, f (u)  (x  2y, y  2z).

1. (0.75 đ) Cho u, v  3 thỏa mãn f (u)  (2, 3) và f (v)  (2, 1) . Tìm f (3u  2v) .
2. (0.5 đ) Véctơ w  (1,0) có thuộc Im f khơng ? vì sao?

3. (1.75 đ) Tìm ma trận của f trong cơ sở U  u1  (1,1,0),u2  (1,0,1),u3  (1,1,1) của
3 và cơ sở V  v1  (1,1), v2  (1, 2) của 2.

................................... HẾT ...................................

Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Đỗ Thị Huệ Trưởng Bộ môn

Phạm Việt Nga

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính
Đề số: 02 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 07/01/2018 Loại đề thi: Tự luận

 0 2 0 1

 Câu I (2.0 điểm) Cho ma trận A   2 0 1 0 .
 0 1 0 2
 
1 0 2 0

1. (1.0 đ) Chứng minh ma trận A khả nghịch.

2. (1.0 đ) Giả sử ma trận nghịch đảo của A là A1 . Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

B  4A1 .

 1 3 3
Câu II (2.0 điểm) Cho biết ma trận B  3 5 3 có hai giá trị riêng là 1  4, 2  2 .

6 6 4

1
1. (0.75 đ) Vectơ u  1 có phải là một véctơ riêng của ma trận B khơng? Vì sao?

0

2. (1.25 đ) Tìm tất cả các véctơ riêng ứng với giá trị riêng 1  4 của ma trận B .

Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập hợp V  u   x, y, z x  3y  2z  0

và hệ véctơ S  v1  2,1, 1, v2  1, 2, 3, v3  3,3,0.

1. (1.0 đ) Chứng minh S là một cơ sở của 3 .

2. (0.5 đ) Cho biết tọa độ của véctơ v  3 trong cơ sở S là 4, 2,1 . Tìm v.

3. (1.5 đ) Chứng minh V là không gian véctơ con sinh bởi một hệ véctơ của 3 .
Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi:

u   x, y, z f u   x  2y  z, y  z .

1. (1.5 đ) Tìm ker f và chỉ ra một cơ sở của ker f .

2. (1.5 đ) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 3 và cơ sở

S  v1  (2,3), v2  (1, 2) của 2 .

................................... HẾT ...................................

Ghi chú: + Cán bộ coi thi khơng phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Nguyễn Hà Thanh Trưởng Bộ môn

Phạm Việt Nga

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
BỘ MƠN TỐN
Tên Học phần: Đại số tuyến tính

Đề số: 03 Thời gian làm bài: 75 phút
Ngày thi: 07/01/2018 Loại đề thi: Tự luận

1 0 2 0

 Câu I (2.0 điểm) Cho ma trận A  0 1 0 2 .
2 0 1 0
 
0 2 0 1

1. (1.0 đ) Chứng minh ma trận A khả nghịch

2. (1.0 đ) Giả sử ma trận nghịch đảo của A là A1 . Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

B  8A1 .

3 1 1
Câu II (2.0 điểm) Cho biết ma trận B  7 5 1 có hai giá trị riêng là 1  4, 2  2 .

6 6 2

0
1. (0.75 đ) Vectơ u  1 có phải là một véctơ riêng của ma trận B khơng? Vì sao?

1

2. (1.25 đ) Tìm tất cả các véctơ riêng ứng với giá trị riêng 2  2 của ma trận B .

Câu III (3.0 điểm) Trong không gian vectơ 3 cho tập hợp V  u   x, y, z 2x  y  3z  0

và hệ véctơ S  v1  1,1, 2, v2  2,0, 3, v3  1,1, 4.

1. (1.0 đ) Chứng minh S là một cơ sở của 3 .

2. (0.5 đ) Cho biết tọa độ của véctơ v  3 trong cơ sở S là 2,3,1 . Tìm v.

3. (1.5 đ) Chứng minh V là không gian véctơ con sinh bởi một hệ véctơ của 3 .
Câu IV (3.0 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định bởi:

u   x, y, z f u  x  y  3z, y  z .

1. (1.5 đ) Tìm ker f và chỉ ra một cơ sở của ker f .

2. (1.5 đ) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 3 và cơ sở

S  v1  (3, 2), v2  (1, 2)của 2 .

................................... HẾT ...................................

Ghi chú: + Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm

+ Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Cán bộ ra đề Duyệt đề

Nguyễn Hà Thanh Trưởng Bộ môn

Phạm Việt Nga

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC  v  x(1,0,4)  y(0,1,2) | x, y  

BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN W  spanu1  (1,0,4),u2  (0,1,2) 0.25
Tên học phần: Đại số tuyến tính 0.25
Suy ra W là 1 kgvt con của 3 .
Đáp án đề số : 09 Cách 2: Sử dụng ĐN (0.25đ)
+) W   do vectơ 0  (0,0,0)W
(Ngày thi: 21/12/2017)

Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm.

Câu Đáp án vắn tắt Điểm +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) W ,  
I 1 0.5
1.5đ  3 4 2 0.5 v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1)
BA   3 1 1 0.5
2 3 0 0.25 Viết đúng đk ứng với v1,v2  W (0.25đ)
AB   10 10 2
II 5 7  0.25 +) Kt W đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ)
2.0đ
det(BA)  ...  0 0.25 +) Kt W đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vơ
1
III 0.25 hướng (0.25đ)
3.0đ 2 0.25
1 4 5 0 0.25 U  u1  (1,0,4),u2  (0,1,2) là 1 hệ sinh của W 0.5
Abs   2 a 1 1 0.25
0.25 3 C/m U đltt  u1,u2 là cơ sở của W 0.5
 a 32 4 6 0.5
0.25  dimW=2 0.5
0.25
1 4 5 0 A  I  ()(1 )  6  2    6 0.5
a8 11 1 1 A  I  0    3   2 . Mt A có 2 gtr là 3 và 2 0.5

2H1 H2  32  4a 4  5a 6
 0 C1: f (e1)  e1  2e2; f (e2 )  3e1 (0.25đ)

aH1 H3 
 0

1 4 5 0 u  (x, y)  xe1  ye2  f (u)  xf (e1)  yf (e2 ) (0.25đ)
4H2 H3  a8 11 1   A' b'  C
 0 5a  40 10 IV f (u)  (x  3y)e1  (2x)e2  (x  3y,2x) (0.5đ)
0
 3.5đ x
 0 C2: u  (x, y)  u[U ]    (0.25đ) 1.0

* a  8 : từ hàng 2 và 3 của mt C có 2 y

11z  1 z  1 / 11 1 3  x x  3y (0.5đ)
  Hệ VN  f (u)[U ]    
80z  40 z  1 / 2  2 0  y  2x

* a  8 : hàng 3 của mt C cho ta: 0z 10  hệ VN  f (u)  (x  3y,2x) (0.25đ)

* a  8 : hệ có nghiệm vì f (2,1)  (1,4)  u1  3u2 (0.5đ)  f (2,1)B  (1,3) 0.75

r(A)  r  A'  3  r(C)  r(Abs ) f (v)  (9,0)  (0,0) (0.5đ)  v ker f 0.75

KL: Vậy hệ có nghiệm khi a  8 . Cán bộ ra đề: Hoàng Thị Thanh Giang
Cho x 1, z  2 thì đk 2y  4x  z cho ta y  2 . Cán bộ soạn đáp án

Suy ra vectơ u  (1,2,2)W Lê Thị Hạnh Duyệt đáp án
Phạm Việt Nga

Cách 1: Đk 2y  4x  z  z  4x  2y

 W  v  (x, y,4x  2y) | x, y  

W  v  (x,0,4x)  (0, y,2y) | x, y  

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC +) W   do vectơ 0  (0,0,0)W (0.25đ)

BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) W ,  
Tên học phần: Đại số tuyến tính
v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1)
Đáp án đề số : 10
Viết đúng đk ứng với v1,v2  W (0.25đ)
(Ngày thi: 21/12/2017)

Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. +) Kt W đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ)

Câu Đáp án vắn tắt Điểm +) Kt W đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô
I 1 0.5
1.5đ 2 13 1 0.5 hướng (0.25đ)
YX   1 3 0 0.5
2 1 1 U  u1  (1,2,0),u2  (0,4,1) là 1 hệ sinh của W 0.5
 6 4 2 0.25
II XY  11 0  0.25 3 C/m U đltt  u1,u2 là cơ sở của W 0.5
2.0đ
0.25  dimW=2 0.5
1
III det(YX )  ...  0 0.25 A  I  ()(1 )  6  2    6 0.5
3.0đ 2 0.25
1 3 2 0 1 3 2 0 0.25 1 A  I  0    3   2 . Mt A có 2 gtr là 3 và 2 0.5

0.25
Abs   3 a 1 1 3H1 H2  0 a9 5 1 0.25
 0.5
 aH1H3   C1: f (e1)  3e2; f (e2 )  2e1  e2 (0.25đ)
 a 27 1 4 0.25
 0 27  3a 1 2a 4 u  (x, y)  xe1  ye2  f (u)  xf (e1)  yf (e2 ) (0.25đ)
0.25
1 3 2 0 IV f (u)  (2y)e1  (3x  y)e2  (2y,3x  y) (0.5đ)
3H2 H3  a9 5 1   A' b'  C 0.25 (0.25đ) 1.0
 0 16  2a 1 0.25 3.5đ x
0 C2: u  (x, y)  u[U ]   
 2 y
 0

5z  1 0 2 x  2y (0.5đ)
* a  9 : từ hàng 2 và 3 của mt C có   hệ VN  f (u)[U ]       
34z  1 3 1  y 3x  y 

* a  8 : hàng 3 của mt C cho ta: 0z 1 hệ VN  f (u)  (2y,3x  y) (0.25đ)

* a  9, a  8: hệ có nghiệm vì f (1,2)  (4,5)  4u1  u2 (0.5đ)  f (1,2)B  (4,1) 0.75

r(A)  r  A'  3  r(C)  r(Abs ) f (v)  (0,6)  (0,0) (0.5đ)  v ker f 0.75

KL: Vậy hệ có nghiệm khi a  9 và a  8. Cán bộ ra đề: Hoàng Thị Thanh Giang Duyệt đáp án
Cho y  0, z 1 thì từ đk 2x  y  4z có x  2 . Cán bộ soạn đáp án Phạm Việt Nga
Suy ra vectơ u  (2,0,1)W
Cách 1: Đk 2x  y  4z  y  2x  4z Lê Thị Hạnh

 W  v  (x,2x  4z, z) | x, z  

W  v  (x,2x,0)  (0, 4z, z) | x, z  
 v  x(1,2,0)  z(0,4,1) | x, z  
W  spanu1  (1,2,0),u2  (0,4,1)

Suy ra W là 1 kgvt con của 3 .
Cách 2: Sử dụng ĐN

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC III V  v  x(1,0,1)  y(0,1,3) | x, y   0.25

BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN 2.5đ V  spanu1  (1,0,1),u2  (0,1,3)
Tên học phần: Đại số tuyến tính
0.25
Đáp án đề số : 04 V là 1 kgvt con của 3

(Ngày thi: 07/01/2018) Cách 2: +) V   do vectơ 0  (0,0,0)V (0.25đ)

Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) V ,  

Câu Đáp án vắn tắt Điểm v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1)
1 0.25
 0 2 0  4 0 2 0.25 Viết đúng đk ứng với v1,v2 V (0.25đ)
I At   0 1 1 (0.25đ)  A.At   0 5 1
3.0đ 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ)
2 0 1 2 1 2 0.25
2 +) Kt V đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô
0.25
II 0.5 0 1 0.5 hướng (0.25đ)
1.5đ   0 1 0.5 0.25
X  3 I  1 A.At (0.25đ) 0.25 Một hệ sinh của V là S  u1  (1,0,1),u2  (0,1,3) . 0.5
1 22  1 0.5 0.5

0.25 (Chú ý: nếu c/m câu 1 theo cách 2 thì phải c/m rõ ý này).
 0 2 0.25 2 Hệ S gồm 2 vectơ khác 0 và không tỷ lệ nên đltt.
A  I   2 1  0 , 0.25
Hệ S  u1,u2 là 1 cơ sở của V 0.5
 0 1 1   0.25
0.25 u  7u1  2u2 (0.25đ)  uS  (7,2) 0.5
0.25
1 f (2u  3v)  2 f (u)  3 f (v) (0.25đ)  ...  (2,3) 0.75
0.5
det(A  I )  (1 )2  4 0.25 w  (2,0)Im f  u  (x, y, z) | f (u)  (2,0)

det(A  I )  0    1. Mt A chỉ có 1 gtr là   1. 0.25   x  2z  2 z  2y  0  z  2y 0.25 x  4y  2
0.25
véctơ riêng ứng với gtr   1 của mt A là các vectơ x  2
2 VD chọn  có u  (2,0,0) t/m f (u)  w .
X  x y zt  0 thỏa mãn (A  I )X  0 y  z 0

x  2z  0 x  2z  wIm f 0.25

2x  2y  0    X  2z 2z zt , z  0
 y  2z IV Chú ý: nếu sv chỉ luôn được 1 vectơ u t/m f (u)  w thì

y 2z  0 3.0đ vẫn được đủ 0.5đ

 1 2 3 1 f (u1)  (1, 2), f (u2 )  (3,1), f (u3)  (3, 1) 0.75

H1H2 0 1 5 2 Với (a,b)  2 có: x, y  t/m xv1  yv2  (a,b) khi
2H1  H3  
A  x  y  a, x  2y  b  x  2a  b, y  a  b 0.25
3H1H4 0 4 18 2

 
0 4 18 2 2
(1, 2)  4v1  3v2
 1 2 3 1   4 5 7
 (3,1)  5v1  2v2  A   0.5
4H2 H3 0 1 5 2  3 2 4 

H H B  r(A)  r(B)  3 (3, 1)  7v1  4v2 0.25

34 0 0 2 6

  (Nếu SV viết nhầm thành At thì khơng cho điểm mt A )
0 0 0 0 Cán bộ ra đề: Đỗ Thị Huệ

Cách 1: Đk x  3y  z  0  z  x  3y Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án

V  v  (x, y, x  3y) | x, y   Đỗ Thị Huệ Phạm Việt Nga

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC III V  v  x(1,1,0)  z(0,4,1) | x, z   0.25

BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN 2.5đ V  spanu1  (1,1,0),u2  (0,4,1)
Tên học phần: Đại số tuyến tính
0.25
Đáp án đề số : 05 V là 1 kgvt con của 3

(Ngày thi: 07/01/2018) Cách 2: +) V   do vectơ 0  (0,0,0)V (0.25đ)

Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) V ,  

Câu Đáp án vắn tắt Điểm v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1)

1 0.25
0 3 0 9 3 0 0.25 Viết đúng đk ứng với v1,v2 V (0.25đ)
I At  0 1 1 (0.25đ)  At .A  3 2 1
3.0đ 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ)
4 0 1 0 1 17 0.25
2 +) Kt V đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vơ
0.25
II 7 / 3 1 0 0.5 hướng (0.25đ)
1.5đ X  13 At .A  23 I (0.25đ)   1 0 1 / 3 0.25
0.25 Một hệ sinh của V là S  u1  (1,1,0),u2  (0,4,1) . 0.5
1  0 1 / 3 5
0.5 (Chú ý: nếu c/m câu 1 theo cách 2 thì phải c/m rõ ý này).
 0 4 0.25 2 Hệ S gồm 2 vectơ khác 0 và không tỷ lệ nên đltt.
A  I   3 1  0 , det(A  I ) 12  (1 )2
1   0.25 Hệ S  u1,u2 là 1 cơ sở của V 0.5
 0 1 0.25
0.25 u  7u1  u2 (0.25đ)  uS  (7,1) 0.5

0.5 1 f (3u  2v)  3 f (u)  2 f (v) (0.25đ)  ...  (2,7) 0.75
0.25
det(A  I )  0    3 . Mt A chỉ có 1 gtr là   3 . w  (1,0)Im f  u  (x, y, z) | f (u)  (1,0)
0.25
véctơ riêng ứng với gtr   3 của mt A là các vectơ 0.25   x  2y  1 y  2z  0  y  2z x  4z 1, 0.25

X  x y zt  0 thỏa mãn (A  3I )X  0

3x  4z  0 x  1
2 VD chọn  có u  (1,0,0) t/m f (u)  w .
 x  (4 / 3)z y  z 0
3x  2 y  0  

y  2z  wIm f 0.25
y 2z  0

 X  (4 / 3)z 2z zt , z  0 IV Chú ý: nếu sv chỉ luôn được 1 vectơ u t/m f (u)  w thì

3.0đ vẫn được đủ 0.5đ

 1 2 1 3 f (u1)  (1,1), f (u2 )  (1,2), f (u3)  (1,3) 0.75

2H1H2 0 1 2 4  Với (a,b)  2 có: x, y  t/m xv1  yv2  (a,b) khi
3H1  H3
A  x  y  a, x  2y  b  x  2a  b, y  a  b 0.25
2H1H4 0 2 7 2
 
0 2 7 2 2
(1,1)  3v1  2v2
 3 0 5
 1 2 1 3 (1, 2)  v2  A 0.5

2H2 H3 0 1 2 4  B (1,3)  5v1  4v2  2 1 4 0.25
 0 3 6  r(A)  r(B)  3

H3 H4  (Nếu SV viết nhầm thành At thì khơng cho điểm A )
0 0 0 Cán bộ ra đề: Đỗ Thị Huệ
0

0

Cách 1: Đk x  y  4z  0  y  x  4z Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án

V  v  (x, x  4z, z) | x, z   Đỗ Thị Huệ Phạm Việt Nga

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC của hệ S viết dưới dạng cột: A  ... 0.25

BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN Vì det A 12  0 nên hệ S đltt 0.5
Tên học phần: Đại số tuyến tính
2 v  4v1  2v2 1v3 (0.25đ)  (9,3, 2) 0.5
Đáp án đề số : 02

(Ngày thi: 07/01/2018) Cách 1: Đk x  3y  2z  0  x  3y  2z 0.25

Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. V  v  (3y  2z, y, z) | y, z   0.25

Câu Đáp án vắn tắt Điểm V  v  y(3,1,0)  z(2,0,1) | y, z   0.5
1 2 1 0 2 0 1
0.25 V  spanu1  (3,1,0),u2  (2,0,1) 0.25
I 0.5
2.0đ det A  2 0 0 2  0 1 0 (0.25đ)  ...  9 V là 1 kgvt con của 3 sinh bởi hệ U  u1,u2 0.25
0.25
2 1 2 0 1 0 2 0.25 3 Cách 2: +) V   do vectơ 0  (0,0,0)V (0.25đ)
0.25 +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) V ,  
1 det A  0 suy ra A khả nghịch
0.25
II  1  1 1  0.25 v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1)
2.0đ AA  I4 (0.25đ)   A4A   I4 hay  A B  I41
0.5
2 4  4  0.25 Viết đúng đk ứng với v1,v2 V (0.25đ)

III 1 Suy ra mt nghịch đảo của B là 1 A (0.25đ)  B1  ... 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ)
3.0đ

4 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vơ
0.25
Chú ý: nếu: +) tìm được cụ thể ma trận A1 (0.5đ) 0.25 hướng (0.25đ)
0.25
+) tìm ra ma trận B1 (0.5đ) C/m U  u1,u2 là 1 hệ sinh của V (0.5đ)
0.25
Bu  2 2 0t 0.25 u  (x, y, z)ker f  (x  2y  z, y  z)  0 0.25
 x  2y  z  0, y  z  0  x  z, y  z
Bu  2u  u là 1vtr của mt B ứng với gtr 2  2 0.25 0.5
0.25
véctơ riêng ứng với gtr 1  4 của mt B là các vectơ 1  ker f  (z, z, z) | z   0.25

t ker f  spanv  (1,1,1) 0.25

X  x y z  0 thỏa mãn (B  4I3)X  0

3x  3y  3z  0 6x  3z  0 mà v  0 nên hệ v  (1,1,1) là 1 cơ sở của ker f 0.25

  y  x IV E  e1  (1,0,0),e2  (0,1,0),e3  (0,0,1), f (e1)  (1,0), 0.25
Hệ  3x  9 y  3z  0  6x  3z  0   .
z  2x 3.0đ f (e2 )  (2,1), f (e3)  (1, 1) 0.25
 6x  6y  0 y  x

X  x x 2xt , x  0 Với (a,b)  2 có: x, y  t/m xv1  yv2  (a,b) khi

Số vectơ của hệ S là 3, bằng số chiều của kg 3 nên: hệ 2 2x  y  a,3x  2y  b  x  2a  b, y  3a  2b 0.25
S là một cơ sở của 3 khi và chỉ khi hệ S đltt.
Cách 1: G/s có x1, x2 , x3  để x1v1  x2v2  x3v3  0 (1,0)  2v1  3v2  2 3 1
 0.5
(2,1)  3v1  4v2  A 

3 4 1 0.25
2x1  x2  3x3  0 x1  0 (1, 1)  v1  v2

   S đltt
x1  2x2  3x3  0 (0.25đ)  x2  0 Cán bộ ra đề: Nguyễn Hà Thanh

x1  3x2  0 x  0 Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án
 3
Nguyễn Hữu Hải Phạm Việt Nga
(SV được phép bấm máy tính để giải hệ pttt)

Cách 2: Lập mt vuông A có các cột chính là các vectơ

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KẾT THÚC của hệ S viết dưới dạng cột: A  ... 0.25

BỘ MƠN TỐN HỌC PHẦN Vì det A  6  0 nên hệ S đltt 0.5
Tên học phần: Đại số tuyến tính
2 v  2v1  3v2 1v3 (0.25đ)  (3,1,1) 0.5
Đáp án đề số : 03

(Ngày thi: 07/01/2018) Cách 1: Đk 2x  y  3z  0  y  2x  3z 0.25

Ghi chú : Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều được đủ điểm. V  v  (x,2x  3z, z) | x, z   0.25

Câu Đáp án vắn tắt Điểm V  v  x(1,2,0)  z(0,3,1) | x, z   0.5
1 0 12 0.25
10 2 0.5 V  spanu1  (1,2,0),u2  (0,3,1) 0.25
I
2.0đ det A  0 1 0  2 2 0 0 (0.25đ)  ...  9 0.25 V là 1 kgvt con của 3 sinh bởi hệ U  u1,u2 0.25
0.25

2 201 021 0.25 3 Cách 2: +) V   do vectơ 0  (0,0,0)V (0.25đ)
0.25 +) G/s v1  (x1, y1, z1),v2  (x2, y2, z2 ) V ,  
1 det A  0 suy ra A khả nghịch 0.25

II  1  1 1  0.5 v1  v2  (x1  x2, y1  y2, z1  z2 ) , v1  ( x1, y1, z1)
2.0đ AA  I4 (0.25đ)   A8A   I4 hay  A B  I41 0.25
0.25
2 8  8  Viết đúng đk ứng với v1,v2 V (0.25đ)
0.25
III 1 Suy ra mt nghịch đảo của B là 1 A (0.25đ)  B1  ... 0.5 +) Kt V đóng kín đv phép cộng vectơ của 3 (0.25đ)
3.0đ
8 0.25 +) Kt V đóng kín đv phép nhân vectơ của 3 với vô
hướng (0.25đ)
Chú ý: nếu: +) tìm được cụ thể ma trận A1 (0.5đ) 0.25 (0.5đ)
0.25 C/m U  u1,u2 là 1 hệ sinh của V
+) tìm ra ma trận B1 (0.5đ) 0.25
0.25
Bu  0 4 4t u  (x, y, z)ker f  (x  y  3z, y  z)  0 0.25
 x  y  3z  0, y  z  0  x  4z, y  z
Bu  4u  u là 1vtr của mt B ứng với gtr 1  4 0.5

véctơ riêng ứng với gtr 2  2 của mt B là các vectơ 1  ker f  (4z,z, z) | z   0.25

t ker f  spanv  (4,1,1) 0.25

X  x y z  0 thỏa mãn (B  2I3)X  0

x  y  z  0 mà v  0 nên hệ v  (4,1,1) là 1 cơ sở của ker f 0.25

 z  0 IV E  e1  (1,0,0),e2  (0,1,0),e3  (0,0,1), f (e1)  (1,0), 0.25

Hệ 7x  7 y  z  0   .
y  x
6x  6 y  0 3.0đ f (e2 )  (1,1), f (e3)  (3,1) 0.25

X  x x 0t , x  0 Với (a,b)  2 có: x, y  t/m xv1  yv2  (a,b) khi

Số vectơ của hệ S là 3, bằng số chiều của kg 3 nên: hệ 1 1 13 0.25
S là một cơ sở của 3 khi và chỉ khi hệ S đltt. 2 3x  y  a,2x  2y  b  x  a  b, y   a  b
Cách 1: G/s có x1, x2 , x3  để x1v1  x2v2  x3v3  0 4 8 48

(1,0)  (1 / 4)v1  (1 / 4)v2  1 3  5
  4 8 8 0.5
x1  2x2  x3  0 x1  0 (1,1)  (3 / 8)v1  (1 / 8)v2  A   
   1 1 9 0.25
x1  x3  0 (0.25đ)  x2  0  S đltt (3,1)  (5 / 8)v1  (9 / 8)v2
 4 8 8 
2x1  3x2  4x3  0 x
 3  0 Cán bộ ra đề: Nguyễn Hà Thanh

(SV được phép bấm máy tính giải hệ pttt) Cán bộ soạn đáp án Duyệt đáp án

Cách 2: Lập mt vng A có các cột chính là các vectơ Nguyễn Hữu Hải Phạm Việt Nga