Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Long Năm 2011 - 2012 - Môn toán pptx

www.vnmath.com

1

{
2 2
0
0
x y x
x ay a
+ − =
+ − =
Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Long 2011-2012

Buổi sáng:
Bài 1: (5đ) Cho hàm số
2 2
2
( ) ( ) ( ) , ,
2
x y
f xy f x y x y
+
= + − ∀ ∈

2
(2 1)
1
m x m
y
x

− −
=
−
(1), v
ớ
i m là tham s
ố
.
a)

Tìm m
để

đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng y=x.
b)

Khi m =2, tìm trên

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
(1) hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
nhau qua
đườ
ng th
ẳ
ng (d):
1
2
4
y x
= +

.
Bài 2:
(3
đ
) Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng th
ẳ
ng
( ) : 5 0
x y
− + =

và hai elip
2 2
1
( ) : 1
25 16
x y
E
+ =
,

2 2
2
2 2
( ) : 1
x y
E
a b
+ =
(a>b>0) có cùng tiêu
đ
i
ể
m. Bi
ế
t r
ằ
ng (E
2
)
đ
i qua
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ

ng
∆
. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M sao cho elip (E
2
) có
độ
dài tr
ụ
c l
ớ
n
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 3:
(4
đ
) Cho h
ệ
ph

ươ
ng trình ,v
ớ
i a là tham s
ố

a)

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ớ
i a=1.
b)

Tìm a
để
h
ệ
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t (x
1
,y

1
), (x
2
,y
2
). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2
1 2 2 1
( ) ( ) 1
x x y y
− + − ≤

Bài 4
: (4
đ
) L
ớ
p 12A c
ủ
a tr
ườ
ng trung h
ọ
c ph
ổ
thông chuyên có 33 h

ọ
c sinh trong
đ
ó
có 7 h
ọ
c sinh n
ữ
. Trong m
ộ
t chuy
ế
n tham quan th
ự
c t
ế
, theo yêu c
ầ
u c
ủ
a ban t
ổ
ch
ứ
c,
c
ầ
n chia l
ớ
p thành 3 t

ổ
, t
ổ
1 có 10 h
ọ
c sinh, t
ổ
2 có 11 h
ọ
c sinh, t
ổ
3 có 12 h
ọ
c sinh
trong
đ
ó m
ỗ
i t
ổ
có ít nh
ấ
t 2 h
ọ
c sinh n
ữ
. H
ỏ
i có bao nhiêu cách chia nh
ư

v
ậ
y?
Bài 5:
(2
đ
) Tìm nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
4y
3
– 4x
2
y
2
– 4xy
2
+ x
2
y + 5x
2
+4y
2
+ 4xy + 8x =0
Bài 6:
(2

đ
) Cho hàm s
ố
f:
→
 
th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n

( ) ( )
( ) ; , , 0
f x f y
f xy x y x y
x y
+
= ∀ ∈ + ≠
+


Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng f là hàm h
ằ
ng trên

.
www.vnmath.com

2

Buổi chiều :
Bài 1
: (4,5
đ
) Cho tam giác ABC có ba góc nh
ọ
n. T
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c mi
ề
n trong tam
giác v
ẽ

các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng IH, IK, IL l
ầ
n l
ượ
t vuông góc v
ớ
i BC,CA, AB. Tìm v
ị
trí c
ủ
a
đ
i
ể
m I sao cho AL
2
+ BH
2
+ CK
2
nh
ỏ
nh
ấ

t.
Bài 2
: (4,5
đ
) Cho a, b, c là
độ
dài ba c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác có chu vi b
ằ
ng 2. Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng
a
2
+ b
2
+ c
2
+2abc < 2
Bài 3
: (4,5
đ

) Xét ph
ươ
ng trình
x
n
– x
2
– x – 1 = 0, n
∈

, n>2
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
t
ự
nhiên n>2 thì ph
ươ
ng trình trên có m
ộ
t
nghi
ệ

m d
ươ
ng duy nh
ấ
t. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
lim 1
n
n
x
→+∞
=
, trong
đ
ó x
n
là nghi
ệ
m d
ươ
ng
c
ủ
a ph
ươ
ng trình trên.
Bài 4

:(4,5
đ
) Cho dãy s
ố
(u
n
) xác
đị
nh b
ở
i
1
2
1
3
1
( 4); 1,2,3,
5
n n n
u
u u u n
+
=
= + + =




a)

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng (u
n
) là dãy t
ă
ng nh
ư
ng không b
ị
ch
ặ
n trên.
b)
Đặ
t
1
1
, 1,2,3,
3
n
n
k
k
v n
u
=
= =

+
∑
. Tính
lim
n
n
v
→+∞
.
Bài 5
: (2
đ
) Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
liên t
ụ
c f :
→
 
th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki

ệ
n
2 2
2
( ) ( ) ( ) , ,
2
x y
f xy f x y x y
+
= + − ∀ ∈
