Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Thái Nguyên Năm 2011 - 2012 - Môn toán docx

S
Ở GIÁO DỤC
-
ĐÀO T
ẠO

THÁI NGUYÊN
K
Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT – NĂM HỌC 2011 - 2012

ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút – không kể thời gian giao đề
Bài 1: (4 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

 
2cos 6 sin
2
x
f x x
 
trêm đoạn


0;

.
b) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:

5 10
sin sin 6 sin
4
A B C  
Bài 2: (4 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và hai điểm P, Q cố định. P nằm ngoài (O), còn Q là điểm nằm trong (O). Dây
cung di động AB của (O) luôn qua Q. PA, PB lần lượt giao lần thứ hai với (O) tại C và D.
Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua 1 điểm cố định.

Bài 3: (4 điểm)
Giải hệ phương trình
 
 
2 2
2
5
8 4 13
1
2 1
x y xy
x y
x
x y

   






 




Bài 4: (4 điểm)
a) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các
chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau?
b) Tính tổng:
1 2 2 3 3
2 2 .2 2 .3 2 .
n n
n n n n
S C C C nC
    

Bài 5: (4 điểm)
Giải phương trình:
sin 2011
cos2011
x
x



Hết

Họ và tên thí sinh: SBD:


ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012

Bài 1: (4 điểm)
a) Đặt
 
sin 0;1
2
x
t t   ta có hàm số
 


2
2 1 1 6
f t t t
  

Khảo sát hàm số trên đoạn


0;1
ta được
     
6 5 10
min 0; max arcsin
4 4

f x f f x f

 
   
 
 
 

b) Ta có
sin sin 6 sin 2 os os 6 sin 2 os 6 sin
2 2 2
C A B C
A B C c c C c C

     


2 2 2
1 3 5 10
10 os sin 10 os os
2 2 2 2 2 2 4
C C C C
c c c
   
      
   
   
. Đẳng thức khi A = B,…
Bài 2: (4 điểm)
Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua

I PQ CD
 
điểm cố định.

Bài 3: (4 điểm)
Hệ phương trình viết thành
   
 
2 2
2
5
5 3 13
1
1
x y x y
x y
x y x y
x y

    





    



Đặt

a x y
b x y
 


 

và đặt
1
, 2
a u u
a
   
Ta được hệ
2 2
5 3 23
1
u b
u b

 

 

Ta tìm được
2 1 1
u b a
     
.
Từ đó hệ có nghiệm duy nhất





, 0,1
x y 

Bài 4: (4 điểm)
a) Số có dạng
01
ab cd
với giao hoán các chữ số theo giả thiết là
5 4
2
P P

số.
Vậy số các chữ số phải tìm là


6 5 5 4
( ) 2
P P P P
  
số.
b) Xét khai triển
 
1 1
n
x 

 
 
và đạo hàm hai vế của nó, ta có được
         
1 2
1 2
2 1 1 2 1 . 1
n n
n
n n n
n x x x C x C n x C

        
, từ đó có
1
2 .3
n
S n



Bài 5: (4 điểm)
Từ
sin 2011
1, os2011 1
x
c x

 
và

;
k Z Q

 
ta được nghiệm duy nhất
0
x

.
Hết
PTDT NT.