Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bình Định Năm 2011 - 2012 - Môn toán docx

Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 tỉnh Bình Định 2011-2012
Môn: TOÁN
www.vnmath.com
Câu I
1. Giải phương trình
√
x − 2 +
√
4 − x = 2x
2
− 5x − 1.
2. Giải hệ phương trình



x
3
− y
3
+ 3y
2
− 3x − 2 = 0
x
2
+
√
1 − x
2
− 3

2y −y

2
+ 2 = 0.
Câu II
Xét tất cả các tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c với a > 0, a, b, c ∈ Z sao
cho f(x) có hai nghiệm phân biệt trong (0; 1). Trong các tam thức như thế
tìm tam thức có hệ số a nhỏ nhất?
Câu III
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC luôn có:
l
a
+ l
b
+ l
c
≤
3
2
√
ab + bc + ca
trong đó l
a
, l
b
, l
c
là độ dài 3 đường phân giác xuất phát từ 3 đỉnh A, B, C và
a, b, c là độ dài các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
Câu IV

Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi



u
1
=
√
3 +
√
2
u
n+1
= (
√
3 −
√
2)u
2
n
+ (2
√
6 − 5)u
n
+ 3
√
3 − 3
√

2.
Đặt v
n
=
n

k=1
1
u
k
+
√
2
với n = 1, 2, 3 . . . Tìm lim
n→∞
v
n
.
Câu V
Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. M là trung
điểm BC, EF cắt BC tại I. Chứng minh rằng IH vuông góc với AM.
1
www.VNMATH.com