Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bến Tre Năm 2011 - 2012 - Môn toán doc

Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 1
www.vnmath.com
Câu I
Giải hệ phương trình



x
2
+ y
2
− 2x − 2y + 1 = 0
x(x − 2y + 2) = −1.
Câu II
Tìm hệ số của số hạng x
10
trong khai triển của (1 + x + x
2
+ x
3
)
15
.
Câu III
Cho đa giác bảy cạnh đều ABCDEFG. Chứng minh:
1
AB
=
1

AC
+
1
AD
.
Câu IV
Cho các số thực x, y, z ∈ [0, 1]. Chứng minh: x
2
+y
2
+z
2
≤ x
2
y+y
2
z +z
2
x+1.
Câu V
Cho phương trình x
2n
− 3x + 2 = 0 (1) trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1.
1. Chứng minh rằng ứng với mỗi n, (1) có đúng một nghiệm x
n
∈ [0, 1].
2. Gọi (x
n
) với n = 2, 3, 4, là dãy số có được theo trên. Chứng minh rằng
dãy số đơn điệu và bị chặn.

Câu VI
Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng 1; M là điểm di động
trên đường chéo BD
1
của hình lập phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của MA +
MD.
1
www.VNMATH.com
Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 2
www.vnmath.com
Câu I
Ngũ giác đều ABCDE có cạnh bằng 1 có tâm là O. Phép quay tâm O với
góc quay ϕ biến ngũ giác ABCDE thành ngũ giác A
1
B
1
C
1
D
1

E
1
. Tính diện
tích phần chung S của hai ngũ giác theo ϕ. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
Câu II
Giải hệ phương trình:









(x + y)
3
= z
(y + z)
3
= x
(z + x)
3
= y.
Câu III
Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Chứng minh:
1 + x
2
1 + y + z
2

+
1 + y
2
1 + z + x
2
+
1 + z
2
1 + x + y
2
≥ 2.
Câu IV
Cho các dãy số {a
n
}, {b
n
} với n = 0, 1, 2, 3 thỏa các điều kiện sau:
(i) (i) a
0
= b
0
= 1;
(ii) a
n+1
= a
n
+ b
n
với mọi n ∈ N;
(iii) b

n+1
= 3a
n
+ b
n
với mọi n ∈ N.
1. Tìm công thức tổng quát của a
n
, b
n
.
2. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số thực k sao cho n|k.a
b
− b
n
| < 2
với mọi n.
Câu V
Tìm tất cả các hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa f(f(x)) + 7f(x) = 18x
với mọi x ≥ 0.
2
www.VNMATH.com