Phương pháp nhánh cận trong tối ưu tổ hợp

BË GIO DÖC V€ €O T„O

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

NG CH‡N KHA

PH×ÌNG PHP NHNH CŠN
TRONG TÈI ×U TÊ HÑP

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

B¼nh ành - N«m 2023

BË GIO DÖC V€ €O T„O

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN

NG CH‡N KHA

PH×ÌNG PHP NHNH CŠN
TRONG TÈI ×U TÊ HĐP

Ng nh : Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp
MÂ số : 8460113

Ngữới hữợng dăn: TS. TRN NGC NGUYN

LÍI CAM OAN

Tỉi xin cam oan nởi dung trong luên vôn "Phữỡng phĂp nhĂnh cên
trong tối ữu tờ hủp" l do bÊn thƠn thỹc hiằn theo logic riảng dữợi sỹ

hữợng dăn cừa TS. TrƯn Ngồc Nguyản. CĂc nởi dung v kát quÊ sỷ dửng
trong luên vôn Ãu cõ trẵch dăn v chú thẵch nguỗn gốc ró r ng.

Bẳnh nh, thĂng 10 nôm 2023

Håc vi¶n

°ng Ch§n Kha

i

Möc löc

MÐ †U 1

1 Giỵi thi»u v· b i toĂn quy hoÔch nguyản tuyán tẵnh 5

1.1 B i toĂn quy hoÔch nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 C¡c i·u ki»n tèi ÷u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Mët sè v½ dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Ph÷ìng ph¡p nh¡nh cªn (branch and bound) 23

2.1 Giợi thiằu và phữỡng phĂp nhĂnh cªn . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Mởt số k thuêt ữủc sỷ dửng trong phữỡng phĂp nhĂnh cên 26

2.2.1 Chia  tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Lữủc bợt cƠy liằt kả . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Minh håa cử th cho chián lữủc nhĂnh cên . . . . . . . . . . 31

2.4 Ph÷ìng ph¡p nhĂnh cên dỹa trản LP . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 L÷u trú c¥y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2 Chån mët nót . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Ùng dửng cừa phữỡng phĂp nhĂnh cên trong viằc giÊi quyát

mởt số b i toĂn quy hoÔch nguyản 37

3.1 B i to¡n c¡i tói . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2 Thuªt to¡n nh¡nh cªn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.3 V½ dư minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ii

3.2 B i to¡n ng÷íi giao h ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Thuªt to¡n nh¡nh cªn . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 V½ dư minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 V½ dư kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Kát luên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1

MÐ †U

Tèi ÷u tê hđp (combinatorial optimization) hay cỏn gồi l quy hoÔch
nguyản (integer programming) l mởt lắnh vỹc con cừa tối ữu toĂn hồc,
trong õ tĐt cÊ hoc mởt phƯn cĂc bián cừa b i toĂn ữủc yảu cƯu phÊi
thuởc têp hủp cĂc số nguyản. Tối ữu tê hđp câ nhi·u ùng dưng quan trång
trong mët sè lắnh vỹc nhữ trẵ tuằ nhƠn tÔo, k thuêt phƯn m·m, to¡n håc
ùng dưng v khoa håc m¡y t½nh. Trong ới sống, ta gp rĐt nhiÃu b i toĂn
tối ữu tờ hủp quan trồng nhữ sưp xáp lch trẳnh t u họa, sưp xáp lch cho
cĂc chuyán bay, lêp ká hoÔch sÊn xuĐt cho nh mĂy, quy hoÔch cĂc nh
mĂy ph¡t i»n, . . .

Câ rĐt nhiÃu phữỡng phĂp  giÊi cĂc b i toĂn tối ữu tờ hủp. Mởt trong
nhỳng phữỡng phĂp phờ bián nhĐt trong số õ l phữỡng phĂp nhĂnh cên.
Phữỡng phĂp n y ữủc à xuĐt lƯn Ưu tiản bi Ailsa Land v Alison Doig
v o nôm 1960. Ơy l mởt cỉng cư húu hi»u º gi£i quy¸t c¡c b i toĂn

NP-khõ, chng hÔn nhữ b i toĂn ngữới giao h ng, b i toĂn cĂi túi, . . . Vẳ

thá hồc viản  chồn à t i Phữỡng phĂp nhĂnh cên trong tối ữu
tờ hủp  nghiản cựu cho luên vôn thÔc sắ cừa mẳnh.

Mửc tiảu cừa luên vôn n y l nghiản cựu mổ hẳnh cừa mởt b i toĂn tối
ữu tờ hủp cũng vợi phữỡng phĂp nhĂnh cên  giÊi quyát b i toĂn n y.
Bản cÔnh õ luên vôn s tẳm hiu v· c¡c ùng dưng cõa ph÷ìng ph¡p n y
trong vi»c giÊi quyát mởt số b i toĂn tối ữu tờ hđp ìn gi£n.

2

Ngo i m Ưu, kát luên v t i liằu tham khÊo, nởi dung luên vôn ữủc
chia th nh ba chữỡng nhữ sau:

Chữỡng 1. Giợi thiằu và b i toĂn quy hoÔch nguyản tuyán tẵnh.

Trong chữỡng n y, ta trẳnh b y và b i toĂn quy hoÔch nguyản, cĂc i·u
ki»n tèi ÷u cõa b i to¡n v ÷a ra mởt số vẵ dử minh hồa.

Chữỡng 2. Phữỡng phĂp nhĂnh cên (branch and bound).

Trong chữỡng n y, ta giợi thiằu tờng quĂt và phữỡng phĂp nhĂnh cên
v trẳnh b y mởt số k thuêt ữủc sỷ dửng trong phữỡng phĂp nhĂnh cên.

Chữỡng 3. ng dửng cừa phữỡng phĂp nhĂnh cên trong viằc
giÊi quyát mởt số b i toĂn quy hoÔch nguyản.

Trong chữỡng n y, ta trẳnh b y ựng dửng cừa phữỡng ph¡p nh¡nh cªn
v o gi£i mët sè b i to¡n in hẳnh trong tối ữu tờ hủp chng hÔn nhữ b i
to¡n c¡i tói, b i to¡n ng÷íi giao h ng v vẵ dử khĂc.

Luên vôn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa ThƯy TrƯn
Ngồc Nguyản. Hồc viản xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn th nh án ThƯy  nhên
lới hữợng dăn v cung cĐp nguỗn t i liằu cụng nhữ cĂc kián thực  hồc

viản cõ thảm hiu biát v· · t i. Håc vi¶n cơng xin gûi líi cÊm ỡn án Ban
GiĂm hiằu Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Phỏng  o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa
ToĂn v Thống kả cũng quỵ ThƯy Cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc Phữỡng phĂp
ToĂn sỡ cĐp khõa 23, Â tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt trong suốt thới gian
hồc têp v nghiản cùu thüc hi»n · t i.

Mc dũ bÊn thƠn  nộ lỹc cố gưng hát sực  ho n th nh luên vôn.
Tuy nhiản, do i·u ki»n v· thíi gian, ki¸n thùc v kinh nghi»m nghiản cựu
cỏn hÔn chá nản chưc chưn luên vôn s khổng th trĂnh khọi nhỳng thiáu
sõt nhĐt nh. Hồc viản rĐt mong nhên ữủc nhỳng lới nhên xt, gõp ỵ
cừa quỵ thƯy cổ v cĂc bÔn  luên vôn ữủc ho n thi»n hìn.

Håc vi¶n xin ch¥n th nh c£m ìn!

3

B¼nh ành, th¡ng 10 n«m 2023

Håc vi¶n thüc hi»n

°ng Ch§n Kha

4

CĂc kỵ hiằu, cĂc chỳ viát tưt

LP (Linear Programming): Quy hoÔch tuyán tẵnh.

BI P (Binary Integer Program): Quy hoÔch nguyản nh phƠn.

I P (Integer Program): Quy hoÔch nguyản.

M I P (Mixed Integer Program): Quy hoÔch nguyản hộn hđp.

C OP (Combinatorial Optimization Problem): B i to¡n tèi ÷u tờ hủp.

Rn: khổng gian tuyán tẵnh n chiÃu.

Rmìn: khổng gian cĂc ma trên cĐp m ì n.

x: phữỡng Ăn tối ÷u.

Zn: tªp hđp c¡c vectì trong Rn m méi th nh ph¦n l mët sè nguy¶n.
1n: l vectì [1 1 . . . 1]T trong Rn.

2D: l tªp hđp c¡c tªp con cõa têp D hỳu hÔn.

5

Chữỡng 1
Giợi thiằu và b i toĂn quy hoÔch
nguyản tuyán tẵnh

Trong chữỡng n y, ta giợi thiằu mởt số kián thực cỡ bÊn và b i toĂn
quy hoÔch nguyản tuyán tẵnh v mởt số vẵ dử. Nởi dung cừa chữỡng n y
chừ yáu ữủc tham khÊo tứ cĂc t i li»u [2] v [3].

1.1 B i to¡n quy hoÔch nguyản

Chúng ta xt b i toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh dữợi dÔng

(LP ) max cT x

Ax ≤ b,

trong â c ∈ Rn, b ∈ Rm l x ≥ 0, mët ma trªn.
c¡c vectì ¢ cho v A Rmìn l

BƠy giớ, ta thảm iÃu kiằn mởt số bián nhên giĂ tr nguyản nhữ sau:

• Khi ch¿ câ mët sè (chù khỉng ph£i t§t cÊ) cĂc bián l nguyản thẳ ta

gồi õ l b i toĂn quy hoÔch nguyản hộn hủp (mixed integer programming,

viát t­t l MIP). B i to¡n n y ÷đc miảu tÊ nhữ sau:

(M IP ) max cT x

Ax ≤ b,

x ≥ 0,

x ∈ Zp × Rn−p.

6

°c bi»t, n¸u p = 0 thẳ khổng cõ r ng buởc nguyản n o c£, khi â ta
trð v· b i to¡n quy hoÔch tuyán tẵnh (LP ).

ã Khi tĐt cÊ cĂc bián Ãu l nguyản thẳ ta gồi õ l b i toĂn quy hoÔch

nguyản (integer programming, viát t­t l IP). B i to¡n n y ÷đc cho nh÷

sau:

(IP ) max cT x

Ax ≤ b,

x ≥ 0,

x Zn.

ã Náu trong mởt b i toĂn (I P ) tĐt cÊ cĂc bián ch nhên hai giĂ tr 0

hay 1 (bián 0 1) thẳ ta gồi õ l b i toĂn quy hoÔch nguyản nh phƠn

(binary integer programming, vi¸t t­t l BIP). B i to¡n n y cõ dÔng sau:

(BIP ) max cT x

Ax ≤ b,

x ≥ 0,
x ∈ {0; 1}n.

Xuyản suốt trong luên vôn n y, ta s têp trung án quy hoÔch nguyản

(I P ) v quy hoÔch nguyản nh phƠn (BI P ). Ta lữu ỵ rơng mồi b i toĂn

vợi cĂc bián nguyản b chn Ãu cõ th ữa ữủc và b i toĂn vợi cĂc bián

0 1. iÃu n y cho thĐy b i toĂn quy hoÔch nguyản nh phƠn giỳ vai trỏ

quan trồng trong quy hoÔch nguyản. h m mưc

Cơng nhữ trong quy hoÔch tuyán tẵnh, max cT x ữủc gồi l

tiảu cừa b i toĂn quy hoÔch nguyản. Têp

X = x ∈ Zn : Ax ≤ b, xj ≥ 0, nguy¶n, j = 1, . . . , n

÷đc gåi l mi·n r ng buởc hay miÃn chĐp nhên ữủc cừa b i to¡n (IP ).
iºm x ∈ X ÷đc gồi l mởt nghiằm chĐp nhên ữủc hay mởt phữỡng

Ăn cừa b i toĂn quy hoÔch nguyản.

Mởt phữỡng Ăn Ôt cỹc Ôi (hay cỹc tiu) cừa h m mửc tiảu ữủc gồi

7

l mët ph÷ìng ¡n tèi ÷u hay mët nghi»m tèi ÷u.

X²t mët têp hỳu hÔn N = {1, . . . , n}, trång sè cj vỵi méi j ∈ N v mởt
têp F gỗm cĂc têp con khÊ thi cừa N . B i toĂn i tẳm têp con khÊ thi câ

trång sè tèi thiºu l b i to¡n tèi ÷u tờ hủp (Combinatorial Optimization

Problem, viát tưt l COP), ữủc viát nh÷ sau:

(COP ) min cj : S ∈ F .

S⊆N j∈S

1.2 CĂc iÃu kiằn tối ữu

a) Tẵnh tối ữu v giÊm dữ

Cho trữợc b i toĂn (I P ) hoc (C OP ) phĂt biu dữợi dÔng

z = max cT x : x ∈ X ⊆ Zn

v mët vectì x∗ ∈ X l mởt phữỡng Ăn khÊ thi. CƠu họi t ra li»u câ
c¡ch n o º chùng minh x∗ l tối ữu khổng? Trong lắnh vỹc quy hoÔch

tuyán tẵnh, nh lỵ ối ngău cung cĐp cho ta mởt c trững và tẵnh tối ữu.
Trữợc hát, ta nhưc lÔi nh lỵ ối ngău trong quy hoÔch tuyán tẵnh. Ta

xt b i toĂn gốc, b i toĂn ối ngău nhữ trong bÊng dữợi Ơy:

B i to¡n gèc (P) B i toĂn ối ngău (D)

max z = cT x min w = bT y
Ax ≤ b AT y ≤ c

xi ≥ 0, i = 1, . . . , n. yi ≥ 0, j = 1, . . . , m.

Tứ Ơy, ta cõ cĂc nh lỵ ối ngău trong quy hoÔch tuyán tẵnh nhữ sau:

nh lỵ 1.2.1. ối vỵi c°p b i to¡n gèc (P ), b i toĂn ối ngău (D) bao

giớ cụng ch xÊy ra mởt trong ba tr÷íng hđp sau:

▷ Tr÷íng hđp 1: C£ hai b i toĂn Ãu khổng cõ phữỡng Ăn thẳ cÊ hai b i

to¡n ·u khỉng câ ph÷ìng ¡n tèi ÷u.

▷ Tr÷íng hđp 2: Mët trong hai b i to¡n khỉng câ ph÷ìng ¡n, cán b i to¡n

8

kia câ ph÷ìng ¡n, khi â b i to¡n câ ph÷ìng ¡n s³ khỉng câ ph÷ìng ¡n tèi
÷u.

▷ Tr÷íng hđp 3: C£ hai b i toĂn Ãu cõ phữỡng Ăn thẳ cÊ hai b i to¡n ·u

câ ph÷ìng ¡n tèi ÷u v gi¡ trà cừa h m mửc tiảu ối vợi hai phữỡng Ăn tối
ữu l bơng nhau.

Tữỡng tỹ, nh lỵ bũ yáu rĐt hỳu ẵch cho cĂc b i toĂn quy hoÔch tuyán
tẵnh (liản tửc).

nh lỵ 1.2.2. (ở lằch bũ yáu). GiÊ sỷ x, y tữỡng ựng l phữỡng Ăn
chĐp nhên ữủc cừa b i toĂn gốc v b i toĂn ối ngău. Khi õ x, y tối

ữu khi v ch¿ khi


 yi(ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn − bi) = 0, ∀i = 1, . . . , m
xj(a1jy1 + a2jy2 + . . . + amjym − cj) = 0, ∀j = 1, . . . , n.

Thªt khỉng may, khỉng cõ c im tốt n o nhữ vêy và tẵnh tối ữu cho
cĂc b i toĂn quy hoÔch nguyản tuyán tẵnh. Tuy nhiản, cõ mởt khĂi niằm
ỡn giÊn ổi khi ừ  chựng minh tẵnh tối ữu, õ l khĂi niằm cên vợi sỹ

trủ giúp cừa cên trản v cên dữợi. Cử th náu ta tẳm ra cên dữợi z z,
cên trản z z v biát rơng z − z ≤ ε vỵi mët sè ε > 0, thẳ ta cõ giĂ tr
tối ữu cừa h m số vợi ở chẵnh xĂc l . Hỡn nỳa, náu z = z, thẳ ta Â

tẳm ra mởt nghiằm tối ữu.

°c bi»t, gi£ sû ta câ mët ph÷ìng ¡n kh£ thi x∗. Khi â, z = cT x∗ l
cên dữợi cừa giĂ tr nghiằm tối ữu z. Náu cõ th tẳm thĐy mởt cên trản z
sao cho cT x = z, thẳ ta cụng chựng minh ữủc x l mët nghi»m tèi ÷u.

Trong trữớng hủp cĂc b i toĂn cỹc Ôi hõa (cỹc tiu hõa), cên dữợi

(trản) thữớng ữủc gồi l cên gốc, trong khi cên trản (dữợi) ữủc gồi l
cên ối ngău.

ã Cên gốc (primal bounds)
Mồi ph÷ìng ¡n kh£ thi x∗ ∈ X cho ta mët cên dữợi z = cT x cừa giĂ
tr h m mửc tiảu tối ữu z. Ơy l cĂch duy nhĐt ữủc biát án  thiát lêp

9

cªn gèc. èi vợi mởt số b i toĂn (I P ) tẳm kiám phữỡng Ăn khÊ thi khĂ dạ

d ng v cƠu häi thüc sü l l m th¸ n o º thu ữủc phữỡng Ăn tốt. Tuy
nhiản trong thỹc tá, rĐt khõ  tẳm mởt phữỡng Ăn khÊ thi, cho nản cƯn

tẳm mởt chián lữủc phũ hủp.

ã Cên ối ngău (dual bounds)

 tẳm cên trản cho b i toĂn cỹc Ôi (hoc cên dữợi cho b i toĂn cỹc

tiu) ngữới ta thữớng thay thá b i toĂn (I P ) khõ giÊi bơng mët b i to¡n

tèi ÷u ìn gi£n hìn m gi¡ tr tối ữu ẵt nhĐt l cho ta cên trản/cên dữợi.
 cho b i toĂn dạ d ng hỡn, ngữới ta tối ữu hõa trản mởt têp hủp lợn
hỡn hoc thay thá mởt h m mửc tiảu bơng mởt h m câ cịng gi¡ trà ho°c
gi¡ trà lỵn hìn ð måi nìi.

Kh¡i ni»m húu ½ch nhĐt  chựng minh cên ối ngău l giÊm dữ.

nh nghắa 1.2.3. (GiÊm dữ) Xt hai b i toĂn tối ÷u hâa sau:

(IP ) z = max cT x : x ∈ X ⊆ Rn ,

(RP ) zRP = max f (x) : x ∈ T ⊆ Rn .

B i to¡n (RP ) ÷đc gåi l gi£m d÷ cõa (I P ) n¸u X ⊆ T v f (x) ≥ cT x
vỵi måi x ∈ X.

M»nh · 1.2.4. Náu (RP ) l giÊm dữ cừa (IP ) thẳ zRP z.

Chựng minh. Náu x l mởt phữỡng Ăn tèi ÷u cõa (I P ), khi â x∗ ∈ X ⊆
T v z = cT x∗ ≤ f (x∗) . Vẳ x T , f (x) l cên dữợi cừa zRP , v do õ
z f (x) ≤ zRP .

Mët trong nhúng giÊm dữ hỳu ẵch nhĐt cừa quy hoÔch nguyản l giÊm
dữ quy hoÔch tuyán tẵnh.

b) GiÊm dữ quy hoÔch tuyán tẵnh

nh nghắa 1.2.5. GiÊm dữ quy hoÔch tuyán tẵnh cừa b i toĂn quy hoÔch

nguyản z = max{cT x : x ∈ P ∩ Zn}, vỵi i·u ki»n P = {x : Ax b}, l
b i toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh zLP = max{cT x : x P }.

10

V¼ P ∩ Zn ⊆ P v h m mưc ti¶u l khỉng thay êi, ¥y rã r ng l mët

gi£m dữ.

Vẵ dử 1.2.1. Xt b i toĂn quy hoÔch nguyản sau:

z := max 4x1 − x2
7x1 − 2x2 ≤ 14
x2 ≤ 3
2x1 − 2x2 ≤ 3
x ∈ Z2+.

 cõ ữủc cên gốc (dữợi), bơng cĂch quan sĂt rơng (2, 1) l mởt phữỡng
Ăn khÊ thi, vẳ vêy ta cõ cên dữợi z 7.  cõ ữủc cên ối ngău (trản), ta

xt giÊm dữ quy hoÔch tuyán tẵnh cừa b i toĂn quy hoÔch nguyản. Phữỡng

Ăn tối ữu l x = 20 vỵi gi¡ trà zLP = 59 . Do õ ta thu ữủc cên

,3 7

7

59 sè nguy¶n, ta câ thº l m
trản z . Quan sĂt thĐy giĂ tr tèi ÷u ph£i l

7

trỏn xuống số nguyản gƯn nhĐt v do õ thu ữủc z 8.

Lữu ỵ rơng nh nghắa cừa cĂc mổ tÊ tốt hỡn cõ liản quan mêt thiát

án nh nghắa cừa cĂc php giÊm dữ quy hoÔch tuyán tẵnh. c biằt, cĂc

mổ tÊ tốt hỡn mang lÔi cên (ối ngău) cht ch hỡn.

nh nghắa 1.2.6. Mët khèi a di»n P ⊆ Rn l mët mæ tÊ cho têp
X Zp ì Rnp, náu X = P Zp ì Rnp .

nh nghắa 1.2.7. Cho mởt tªp hđp X ⊆ Rn v hai mỉ t£ P1 v P2 cõa
tªp X , chóng ta nâi P1 l mët mỉ t£ tèt hìn P2 n¸u P1 ⊂ P2.

M»nh · 1.2.8. Gåi P1, P2 l hai mổ tÊ cừa têp X Rn, vợi P1 l mởt
mổ tÊ tốt hỡn P2. Xt quy hoÔch nguyản zLP = max{cT x : x X} v kỵ
hiằu zLP i = max{cT x : x ∈ Pi} (vỵi i = 1, 2) l cĂc giĂ tr giÊm dữ quy

hoÔch tuyán tẵnh, khi õ ta cõ

zLP ≤ z1LP ≤ z2LP

11

vỵi måi vectì c ∈ Rn.

Gi£m d÷ khỉng ch¿ mang lÔi cên ối ngău m ổi khi cỏn cho php
chựng minh tẵnh tối ữu.

Mằnh à 1.2.9. Xt b i toĂn quy hoÔch nguyản (IP ) v b i toĂn giÊm dữ
(RP ). Khi õ,
(i) Náu giÊm dữ (RP ) khổng cõ phữỡng Ăn, thẳ b i toĂn quy hoÔch nguyản
(IP ) cụng khổng cõ phữỡng Ăn.
(ii) GiÊ sỷ x l mởt phữỡng Ăn tối ữu cừa (RP ). Náu x∗ ∈ X v
f (x∗) = cT x∗, th¼ x∗ l mët ph÷ìng ¡n tèi ÷u cõa (IP ).

Chùng minh. (i) Vẳ (RP ) khổng cõ phữỡng Ăn, ta cõ T = ϕ v do â
X = ϕ.
(ii) V¼ x∗ ∈ X n¶n z ≥ cT x∗ = f (x∗) = zRP . Chú ỵ l z zRP , ta thu
ữủc cT x = z = zRP .

Vẵ dử 1.2.2. B i toĂn giÊm dữ quy hoÔch tuyán tẵnh cừa b i toĂn quy

hoÔch nguyản:

max 7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4
3x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 6
x ∈ {0; 1}4

câ nghi»m tèi ÷u x∗ = (1, 1, 0, 0) . Vẳ x l nguyản, nõ cụng l nghiằm cừa

b i toĂn quy hoÔch nguyản.

c) GiÊm dữ Lagrange

Gi£ sû ta câ mët b i toĂn quy hoÔch nguyản (I P ) cõ dÔng
z = max{cT x : Ax ≤ b, x ∈ X ⊆ Zn}.

N¸u b i to¡n qu¡ khâ º gi£i trỹc tiáp, mởt khÊ nông cõ th nghắ án l

"loÔi bä" c¡c r ng buëc Ax ≤ b. Rã r ng k¸t qu£ b i to¡n z′ = max{cT x :
x ∈ X } l mët gi£m d÷ cõa (I P ).

12

M»nh · 1.2.10. Cho z (u) = max{cT x + uT (b − Ax) : x ∈ X}. Khi â
z (u) ≥ z vỵi måi u ≥ 0.

Chùng minh. Gi£ sû x∗ l nghi»m tối ữu cừa (I P ). Vẳ x l phữỡng ¡n
kh£ thi cõa (I P ), n¶n x∗ ∈ X. Mởt lƯn nỳa bi tẵnh khÊ thi nản Ax b,
v do â v¼ u ≥ 0, cT x∗ ≤ cT x∗ + uT (b − Ax∗) ≤ z(u) trong õ bĐt ng
thực cuối cũng l theo nh nghắa cừa z(u).

d) Tẵnh ối ngău

ối vợi cĂc b i toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh, nh lỵ ối ngău l mởt cĂch
thuên tiằn  chựng minh tẵnh tối ữu hoc tờng quĂt hỡn,  chựng minh
cên trản v cên dữợi cho mởt b i toĂn tối ữu hâa.

ành ngh¾a 1.2.11. Hai b i to¡n

(IP ) z = max c(x) : x ∈ X ,
(D) w = min w(y) : y Y

tÔo th nh mởt cp ối ngău yáu náu c(x) w(y) vợi mồi x X v måi
y ∈ Y . Khi z = w, thẳ chúng tÔo th nh mởt cp ối ngău mÔnh.

ìu im chẵnh cừa b i toĂn ối ngău l bĐt ký phữỡng Ăn khÊ thi ối

ngău n o cụng cung cĐp cên trản cho giĂ tr z, trong khi õ  nhên ữủc

cên tữỡng ựng thổng qua giÊm dữ cƯn thiát phÊi giÊi mởt b i to¡n tèi ÷u
phư.

M»nh · 1.2.12. B i to¡n quy hoÔch nguyản

max cT x : Ax ≤ b, x ∈ Zn

v b i toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh

min bT y : AT y ≥ c, y ∈ m

R+

13

tÔo th nh mởt cp ối ngău yáu. Hỡn nỳa, hai b i toĂn quy hoÔch nguyản
tuyán tẵnh

max cT x : Ax ≤ b, x ∈ Zn ,

min bT y : AT y ≥ c, y ∈ m

Z+

tÔo th nh mởt cp ối ngău yáu.

Chựng minh. Ta cõ

max cT x : Ax ≤ b, x ∈ Zn ≤ max cT x : Ax ≤ b, x ∈ Rn

= min bT y : AT y ≥ c, y ∈ m

R+

≤ min bT y : AT y ≥ c, y ∈ m ,

Z+

trong â ¯ng thùc tu¥n theo nh lỵ ối ngău cừa quy hoÔch tuyán tẵnh
(nh lỵ 1.2.1).

Tữỡng tỹ vợi Mằnh à 1.2.9, cĂc b i toĂn ối ngău ổi khi cho php
chúng ta chựng minh tẵnh tối ữu.

Mằnh à 1.2.13. Gi£ sû (IP ) v (D) l mët c°p èi ngău yáu.
(i) Náu (D) khổng b chn, thẳ (IP ) khỉng kh£ thi.
(ii) N¸u x∗ ∈ X v y∗ ∈ Y thọa mÂn c(x) = w(y) thẳ x l nghiằm tèi
÷u cho (IP ) v y∗ l nghi»m tèi ÷u cho (D).

Mët v½ dư v· mởt cp ối ngău cừa cĂc b i toĂn xuĐt hiằn trong lỵ

thuyát ỗ th nhữ sau.

Cho ỗ th G = (V, E), trong õ V = ∅ l tªp c¡c ¿nh v E l tªp c¡c
c°p khổng cõ thự tỹ gỗm hai phƯn tỷ khĂc nhau cừa V gồi l cĂc cÔnh.
Mởt khợp M E l têp hủp cĂc cÔnh rới nhau. Mởt phừ cĂc nót l mët
tªp hđp R ⊆ V cõa c¡c nót sao cho mồi cÔnh cõ ẵt nhĐt mởt Ưu mút
trong R.

14

Hẳnh 1.1: Khợp v mởt phừ bi cĂc nút

Mởt ỗ th tĂm nút ữủc th hiằn nhữ trong Hẳnh 1.1. CĂc cÔnh
(1, 2), (3, 4), (5, 6) v (7, 8) tÔo th nh mët khỵp v c¡c nót {2, 3, 6, 8} tÔo

th nh mởt phừ bi cĂc nút.
M»nh · sau ¥y cho ta mët c°p b i toĂn ối ngău trản ỗ th.

Mằnh à 1.2.14. Xt ỗ th G = (V, E). B i toĂn tẳm kiám mởt ỗ th

bÊn số cỹc Ôi:

max |M | : M l mët khỵp

M E

v b i toĂn tẳm kiám mët b£n sè cüc tiºu mët phõ bði c¡c nót:

min |R| : R l mët phõ bði c¡c nót

RV

tÔo th nh mởt cp ối ngău yáu.

Chựng minh. Náu M l mởt khợp vợi M = (i1, j1), . . . , (ik, jk) , th¼
2k nót {i1, j1, . . . , ik, jk} l ph¥n bi»t, v b§t ký mët phõ bði c¡c nót R
ph£i chựa ẵt nhĐt mởt nút tứ mội cp (is, js) vợi s = 1, . . . , k. Vẳ vªy
|R| ≥ k = |M | .

Ta cụng cõ th thiát lêp kát quÊ n y bơng cĂch sỷ dửng quy hoÔch
tuyán tẵnh ối ngău.

15

ành ngh¾a 1.2.15. Ma trên liản thuởc nút-cÔnh cừa ỗ th G = (V, E)
l mởt ma trên A = (aj,e)nìm vợi n = |V | , m = |E| v


1 náu nút j l mởt Ưu mút cừa cÔnh e,
aj,e =
 0 náu ngữủc lÔi.

B i toĂn ỗ th bÊn số cỹc Ôi bƠy giớ cõ th ữủc xƠy dỹng dữợi dÔng
quy hoÔch nguyản:

z = max 1T x : Ax ≤ 1m, x ∈ m

Z+

v b i to¡n bÊn số cỹc tiu mởt phừ bi cĂc nút dữợi dÔng:

w = min{1T y : AT y ≥ 1n, y ∈ Zm+ }.
Gåi zLP v wLP l cĂc giĂ tr quy hoÔch tuyán tẵnh gi£m d÷ t÷ìng ùng
cõa nâ. Khi â z ≤ zLP = wLP w, v tứ õ ta nhên ữủc tẵnh ối ngău.

Dạ d ng thĐy rơng khổng cõ mởt ối ngău mÔnh giỳa hai b i toĂn. Xt ỗ
th cho trong Hẳnh 1.2.

Hẳnh 1.2: ỗ th ối ngău yáu

Ưu tiản quan sĂt rơng z = 1 v 1
w = 2. Cán núa, xe1 = xe2 = xe3 = 2

l nghi»m kh£ thi cho b i toĂn giÊm dữ quy hoÔch tuyán tuyán tẵnh thự

1
nh§t, v y1 = y2 = y3 = 2 l nghi»m kh£ thi cho b i to¡n gi£m dữ quy
hoÔch tuyán tẵnh thự hai, vẳ vêy zLP = wLP = 3 .

2

Khi õ, ta s thĐy rơng tẵnh ối ngău mÔnh phũ hủp vợi cp b i toĂn

n y khi ỗ th G l hai nhĂnh.