Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co banach trong không gian mêtric

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————————————–

HOÀNG KIM ANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACH

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

THANH HÓA, NĂM 2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————————————–

HOÀNG KIM ANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACH

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Ngành đào tạo: Đại học Sư phạm Toán học
Mã ngành: 7140209

Người hướng dẫn khoa học:
ThS. Nguyễn Hữu Học

THANH HÓA, NĂM 2023

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan khóa luận này khơng trùng lặp với các khóa luận, luận
văn, luận án và các cơng trình nghiên cứu đã cơng bố.

Người cam đoan
Hoàng Kim Anh

i

LỜI CẢM ƠN
Khoá luận được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đức
dưới sự hướng dẫn của thầy Th.S Nguyễn Hữu Học. Em xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã tận tình hướng dẫn và truyền dạy cho em
những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong suốt quá trình nghiên cứu
thời gian vừa qua.
Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Nhà trường, Khoa và
các thầy, cơ giáo đã trực tiếp giảng dạy trong q trình em học tập và rèn luyện
tại trường Đại học Hồng Đức.
Trong quá trình nghiên cứu, do trình độ có hạn nên em khơng tránh khỏi
những thiếu sót và hạn chế. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
các thầy giáo, cơ giáo và bạn đọc để khóa luận được hồn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 4 năm 2023

Hoàng Kim Anh

ii

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Chữ viết tắt và ký hiệu iv

Mở đầu 1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Sự hội tụ và tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Không gian đầy đủ và không gian compact . . . . . . . 5

1.2 Nguyên lí ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Chương 2. Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co Banach trong giải tốn 14

2.1 Ứng dụng ngun lí ánh xạ co Banach chứng minh sự tồn tại

nghiệm của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co Banach chứng minh sự tồn tại

giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Bài toán xấp xỉ nghiệm và sai số phương trình φ(x) = 0. . . . . 35

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

iii

CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU

R: Tập hợp các số thực.
C: Tập hợp các số phức.
Z: Tập hợp các số nguyên.
N: Tập hợp các số tự nhiên.
N∗: Tập hợp các số tự nhiên khác 0.

iv

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Không gian mêtric và sự tồn tại các điểm bất động đối với ánh xạ co trên

không gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu cơ bản của tốn Giải tích.

Điểm bất động là khái niệm xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, là một nhánh của Toán
học. Tiền thân là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ
co Banach. Trong đó, nguyên lý ánh xạ co của Banach được đánh giá là định lý
điểm bất động đơn giản và được sử dụng rộng rãi nhất. Về sau, các kết quả kinh
điển này đã được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian khác nhau, và
được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của tốn học. Một khía
cạnh nhỏ của ứng dụng nguyên lý ánh xạ co của Banach vào giải một số dạng
tốn ở chương trình đại học như: Giải phương trình đại số và siêu việt, bài tốn
xấp xỉ nghiệm, chứng minh sự hội tụ của dãy,... trừ một số trường hợp đặc biệt
có cơng thức giải đúng, nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần
đúng và địi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức liên quan. Từ những
thực tế đó, tơi lựa chọn “Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co Banach
trong khơng gian mêtric” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co Banach để giải quyết một
số bài tốn đại số và giải tích.
3. Đối tượng nghiên cứu

Các dạng tốn có thể sử dụng ngun lí ánh xạ co Banach:
- Chứng minh tồn tại nghiệm.
- Chứng minh sự tồn tại giới hạn của dãy truy hồi.
- Bài toán xấp xỉ nghiệm.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu việc vận dụng nguyên lí ánh xạ co Banach để giải một
số các bài tốn của đại số, giải tích và giải tích số.
5. Phương pháp nghiên cứu

1

Đọc tài liệu, seminar nhóm dưới sự hướng dẫn của người hướng dẫn khoa
học. Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật, kết quả của toán sơ cấp để giải quyết
các bài toán.
6. Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa
luận gồm hai chương

• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày các
khái niệm về cơ bản về không gian mêtric, nguyên lí ánh xạ co Banach và
một số nhận xét có thể xem là hệ quả của nó. Một số ví dụ cũng được đưa
ra để minh hoạ cho các vấn đề được nêu.

• Chương 2. Một số ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co Banach trong không
gian mêtric. Chương này là nội dung chính của khóa luận. Trong chương
này, chúng tơi vận dụng ngun lí ánh xạ co Banach để giải quyết các bài
toán về sự tồn tại nghiệm của phương trình, bài tốn chứng minh sự tồn tại
giới hạn của dãy số truy hồi và bài toán xấp xỉ nghiệm.
Ở chương 2, bên cạnh các bài tốn được trích dẫn từ kỷ yếu "Kỳ thi
Olympic Tốn sinh viên tồn quốc" của các năm và một số bài gặp trong
quá trình học Giải tích 1 và Giải tích 2, tơi sử dụng các bài tập được chia
sẻ trên các diễn đàn toán học, các hội nhóm tốn, vì nhiều lý do khơng thể
tìm được tác giả chính thức.

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Khơng gian mêtric

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập X̸ = ∅. Một ánh xạ d từ X × X → R được gọi là
một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X:

i. d(x, y) ⩾ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất).
ii. d(x, y) = d(y, x) (tiên đề đối xứng).
iii. d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y) (tiên đề tam giác)
Nếu d là mêtric trong X thì cặp (X, d) gọi là một khơng gian mêtric.
Ví dụ 1.1.2. Tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức C là những không
gian mêtric, với mêtric

d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R ( hoặc C),

gọi là mêtric thơng thường.

Ví dụ 1.1.3. Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định bởi

m 1/2

d(x, y) = (xi − yi)2 ,

i=1

với
x = (x1, x2, . . . , xm) , y = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Rm

là một mêtric trên Rm.

Chứng minh. Thật vậy, ta thấy các tiên đề i, ii rõ ràng, chỉ cần kiểm tra tiên đề

iii, tức là chứng minh

m 1/2 m 1/2 m 1/2

(xi − zi)2 ⩽ (xi − yi)2 + (yi − zi)2 .

i=1 i=1 i=1

3

Đặt ai = xi − yi, bi = yi − zi khi đó ai + bi = xi − zi. Ta có :

m m m m

d2(x, z) = (ai + bi)2 = ai2 + bi2 + 2 (aibi) .

i=1 i=1 i=1 i=1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho số hạng sau cùng ta được:

m m m m

d2(x, z) = ai2 + bi2 +2 ai2 1/2 bi2 1/2

i=1 i=1 i=1 i=1

m m bi2 1/2)2.

⩽( ai2 1/2 +

i=1 i=1

Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với các kí hiệu cũ, ta có:

d(x, z) ⩽ d(x, y) + d(y, z).
Vậy (Rm, d) là một không gian mêtric và gọi là mêtric thơng thường của Rm.

Ví dụ 1.1.4. Ký hiệu C[a,b] là tập hợp các hàm số thực liên tục trên khoảng đóng
hữu hạn [a, b]. C[a,b] là một không gian mêtric với mêtric

d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b].

a⩽t⩽b

1.1.2 Sự hội tụ và tính liên tục

Định nghĩa 1.1.5. Ta nói dãy (xn) những phần tử của khơng gian mêtric (X, d)
hội tụ đến phần tử x0 trong không gian X nếu

với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, với ∀n ⩾ n0 thì d(xn, x0) < ε.

Khi đó, ta viết: lim xn = x0, hoặc xn → x0 khi n → ∞.

n→∞

x0 gọi là giới hạn của dãy (xn).
Ta chú ý rằng, các mêtric khác nhau trên cùng tập X sẽ sinh ra các sự hội tụ
khác nhau.

Mệnh đề 1.1.6.

4

1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

2. Nếu dãy (xn) hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x.

3. Nếu lim xn = x, lim yn = y thì lim d (xn, yn) = d(x, y).
n→∞ n→∞ n→∞

Định nghĩa 1.1.7. Cho (X, d), (Y, ρ) là hai không gian mêtric và f : X → Y .

Ta nói:

i. f liên tục tại x ∈ X nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x′ ∈ X, d(x, x′) < δ ⇒ ρ(f (x), f (x′)) < ε.

ii. f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X. Do đó f liên tục trên X nếu
∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x′ ∈ X, d(x, x′) < δ ⇒ ρ(f (x), f (x′)) < ε.

iii. f liên tục đều trên X nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x′ ∈ X, d(x, x′) < δ ⇒ ρ(f (x), f (x′)) < ε.

iv. f là đồng phôi nếu f là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược f −1 là liên tục.

1.1.3 Không gian đầy đủ và không gian compact
Định nghĩa 1.1.8. Cho không gian mêtric (X, d). Dãy (xn) ⊂ X được gọi là
dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu

lim d (xn, xm) = 0,

n,m→∞

hay ∀ε > 0, ∃n0, ∀n, m ⩾ n0 ⇒ d (xn, xm) < ε.
Mệnh đề 1.1.9.

1. Nếu (xn) hội tụ thì nó là dãy Cauchy.
2. Nếu dãy (xn) là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về x thì (xn) cũng hội tụ

về x.

5

Định nghĩa 1.1.10. Không gian mêtric (X, d) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy
trong nó đều là hội tụ tới một điểm thuộc X.

Ví dụ 1.1.11. Khơng gian Rm với mêtric d thông thường là đầy đủ.

Chứng minh. Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy (xn) , xn = (xn1 , . . . , x n ).
m

Vì

 (i = 1, . . . , m)
 d xn, xk ⩾ xin − xik ⇒ lim xin − xik = 0,
 lim d xn, xk = 0
n,k→∞
n,k→∞

nên ta suy ra các dãy (xni )n (i = 1, . . . , m) là dãy Cauchy trong R, do đó chúng

hội tụ vì R đầy đủ.

Đặt
ai = lim xin (i = 1, 2, . . . , m)

n→∞

và xét phần tử a = (a1, . . . , am), ta có lim xn = a trong (Rm, d).

n→∞

Ví dụ 1.1.12. Không gian C[a,b] với mêtric hội tụ đều d là đầy đủ.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử (xn) là dãy Cauchy trong C[a,b], d .
Với mỗi t ∈ [a, b], ta có

|xn(t) − xm(t)| ⩽ d (xn, xm) .

Từ giả thiết
lim d (xn, xm) = 0

n,m→∞

ta cũng có
lim |xn(t) − xm(t)| = 0.

n,m→∞

Vậy với mỗi t ∈ [a, b] thì (xn(t)) là dãy Cauchy trong R, do đó là dãy hội tụ.
Lập hàm x xác định bởi

x(t) = lim xn(t), t ∈ [a, b].

n→∞

Ta cần chứng minh x ∈ C[a,b] và lim d (xn, x) = 0.
Cho ε > 0 tùy ý. Do (xn) là dãy Cauchy, ta tìm được n0 thỏa mãn

∀n, m ⩾ n0 ⇒ d (xn, xm) < ε.

6

Như vậy ta có

|xn(t) − xm(t)| < ε, ∀n ⩾ n0, ∀m ⩾ n0, ∀t ∈ [a, b].
Cố định n, t và cho m → ∞ trong bất đẳng thức trên ta có

|xn(t) − x(t)| < ε, ∀n ⩾ n0, ∀t ∈ [a, b].

Như vậy, ta đã chứng minh rằng

∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ⩾ n0 ⇒ sup |xn(t) − x(t)| < ε.

a⩽t⩽b

Từ đây suy ra:
1. Dãy hàm liên tục (xn(t)) hội tụ đều trên [a, b] về hàm x(t), do đó hàm x(t)
liên tục trên [a, b].

2. lim d (xn, x) = 0.

n→∞

Đây là điều ta cần chứng minh.
Định nghĩa 1.1.13. Tập hợp con A của một không gian mêtric X gọi là một
tập hợp compact nếu một dãy bất kì (xn) những phần tử của A đều có một dãy
con (xnk) hội tụ đến một phần tử của A.
Không gian mêtric X gọi là compact nếu nó là một tập hợp compact.

1.2 Nguyên lí ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.2.1. Cho f là ánh xạ từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó.
Khi đó, ta gọi:

(i) f là ánh xạ co trên X nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:

∀x, y ∈ X, d(f (x), f (y)) ⩽ kd(x, y),
hằng số k trên được gọi là hệ số co.
(ii) f là ánh xạ không giãn trên X nếu:

∀x, y ∈ X, d(f (x), f (y)) ⩽ d(x, y).
7

(iii) f là ánh xạ co yếu hay co chặt (strict contractive) trên X nếu:
∀x, y ∈ X, x̸ = y, d(f (x), f (y)) < d(x, y).

Tổng quát hơn, một ánh xạ co có thể được định nghĩa cho ánh xạ giữa
hai không gian mêtric. Nếu (M, dM ) và (N, dN ) là hai không gian mêtric, và
f : M → N là ánh xạ co, thì có một hằng q ∈ [0, 1) sao cho

dN (f (x), f (y)) ⩽ qdM (x, y)

với mọi x, y ∈ M.
Từ định nghĩa ta thấy mọi ánh xạ co là liên tục đều.
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử f : X → X là một ánh xạ co. Khi đó, f n cũng là ánh
xạ co với mọi n ∈ R.

Chứng minh. Vì f : X → X là một ánh xạ co nên có một hằng số k ∈ (0; 1)
sao cho:

d [f (x), f (y)] ⩽ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Ta chứng minh

d [f n(x), f n(y)] ⩽ knd(x, y), ∀x, y ∈ X, ∀n ∈ N∗. (1.1)

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Cho n = 1, (1.1) thỏa mãn vì f là một ánh xạ co.
Giả sử (1.1) đúng với n = k ⩾ 1, ta chứng minh (1.1) đúng với mọi n = k + 1.
Với x, y ∈ X ta có:

d f k+1(x), f k+1(y) = d f k[f (x)], f k[f (x)]
⩽ kkd[f (x), f (y)]
⩽ kkkd(x, y)
= kk+1d(x, y).

8

Theo ngun lí quy nạp tốn học (1.1) thỏa mãn với bất kỳ n ∈ N∗.

Do với mọi n ta có:

d[f n(x), f n(y)] ⩽ knd(x, y), ∀x, y ∈ X,
và 0 < kn < 1.
Nên f n là ánh xạ co.
Định nghĩa 1.2.3. Cho X là một tập khác rỗng và ánh xạ f : X → X. Ta gọi
x ∈ X là một điểm bất động của f nếu f (x) = x.
Định lý 1.2.4. (Banach) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và f :
X → X là một ánh xạ co, tức là, f thỏa mãn

d[f (x), f (y)] ⩽ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X.

Khi đó tồn tại duy nhất một điểm bất động của f trong X.
Chứng minh. Lấy tùy ý x0 ∈ X. Từ x0 ta xây dựng dãy lặp (xn) xác định bởi

xn = f n(x0) = f (xn−1), với mọi n ∈ N.

Ta chứng minh (xn) là dãy Cauchy.
Thật vậy, ta có
d (x1, x2) = d [f (x0), f (x1)] ⩽ kd (x0, x1) = kd [x0, f (x0)] ,
d (x2, x3) = d [f (x1), f (x2)] ⩽ kd (x1, x2) ⩽ k2d [x0, f (x0)] ,
d (x3, x4) = d [f (x2), f (x3)] ⩽ kd (x2, x3) ⩽ k3d [x0, f (x0)] .

Tổng quát, bằng quy nạp, ta chứng minh được, với mọi số nguyên dương n,
d (xn, xn+1) ⩽ knd [x0, f (x0)] .

Từ đó với số nguyên dương tùy ý p, ta có

d (xn, xn+p) ⩽ d (xn, xn+1) + d (xn+1, xn+2) + · · · + d (xn+p−1, xn+p)
⩽ knd[x, f (x)] + kn+1d[x, f (x)] + · · · + kn+p−1d [x0, f (x0)]

9

= kn + kn+1 + · · · + kn+p−1 d [x0, f (x0)]

kn − kn+p (1.2)
⩽ 1 − k d [x0, f (x0)] (1.3)

kn
⩽ 1 − k d [x0, f (x0)] .

Do 0 < k < 1, nên từ (1.3), ta có, d (xn, xn+p) → 0 khi n → ∞. Do đó (xn)

là dãy Cauchy. Từ giả thiết X là khơng gian mêtric đầy đủ nên dãy (xn) hội tụ.

Giả sử

lim xn = x∗ ∈ X. (1.4)

n→∞

Ta chứng minh x∗ là điểm bất động của f , tức là, f (x∗) = x∗. Ta có

d [x∗, f (x∗)] ⩽ d (x∗, xn) + d [xn, f (x∗)]
= d (x∗, xn) + d [f (xn−1), f (x∗)]
⩽ d (x∗, xn) + kd (xn−1, x∗) .

Kết hợp với (1.4), ta suy ra,
d [x∗, f (x∗)] = 0.

Vậy f (x∗) = x∗. Từ đó, x∗ là điểm bất động của f .

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử y∗ ∈ X sao cho

f (y∗) = y∗̸ = x∗.

Khi đó

d (x∗, y∗) = d [f (x∗), f (y∗)] ⩽ kd (x∗, y∗) . (1.5)

Do d (x∗, y∗) > 0, nên từ (1.5) ta được k ⩾ 1, điều này mâu thuẫn. Vậy, f có
duy nhất điểm bất động trong X. Định lí được chứng minh.

Nhận xét 1.2.5.

1. Từ bất đẳng thức (1.2):
kn − kn+p

d (xn, xn+p) ⩽ 1 − k d (x0, f x0) ,
10

kn
cố định n ∈ N, và cho p → ∞, vế phải ta thu được 1 − k d [x0, f (x0)] (do
k < 1) và vế trái tiến đến d (xn, x∗) bởi vì xn+p → x∗. Do đó

d (xn, x∗) ⩽ kn d [x0, f (x0)] , với mọi n ∈ N. (1.6)
1−k

Công thức (1.6) cho phép ta ước lượng sai số của xấp xỉ thứ n.

2. Khi f thỏa mãn các điều kiện của định lý trên, tức là f có duy nhất điểm
bất động x∗, ta có

f 2(x∗) = f [f (x∗)] = f (x∗) = x∗.

Tổng quát, bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được
f n(x∗) = x∗,

nghĩa là x∗ cũng là điểm bất động của f n.

Điều quan trọng trong chứng minh của định lí Banach là hằng số co
k phải nhỏ hơn 1. Nó cho phép ta điều khiển quá trình hội tụ của dãy lặp
{xn} = {f n(x0)} về điểm bất động, khi kn → 0 khi n → ∞.

Bây giờ, ta xét ví dụ sau.

Ví dụ 1.2.6. Xét không gian mêtric R với mêtric thông thường. Xác định hàm

f : R → R với:

f (x) = x + π − tan−1 x.
2

Với x, y ∈ R, x < y, ta có

f (y) − f (x) = (y − x) − tan−1 y − tan−1 x
y−x

= y − x − 1 + z2,
ở đây x < z < y, theo định lí giá trị trung bình Lagrange. Từ đó

1

f (y) − f (x) = (y − x) 1 − 1 + z2 .

Vì vậy

1
|f (x) − f (y)| = |y − x| 1 − 1 + z2 .

11

Nếu |f (x) − f (y)| ⩾ |y − x|, ta suy ra

1 z2
1 − 1 + z2 ⩾ 1, tức là 1 + z2 ⩾ 1,

điều này hiển nhiên không đúng với bất kỳ z nào. Vậy, ta phải có

|f (x) − f (y)| < |y − x|.

Suy ra,

|f (x) − f (y)| < |y − x|,

với mọi x, y ∈ R, x̸ = y.

Từ đó, ánh xạ f co yếu (chặt) nhưng f khơng có điểm bất động. Thật vậy, giả

sử tồn tại p ∈ R sao cho f (p) = p, khi đó

p + π − tan−1 p = p,
2

suy ra, tan−1 p = π , điều này khơng đúng vì tan−1 x < π với mọi x ∈ X.
2 2

Nhận xét 1.2.7. Ánh xạ f trong ví dụ trên là ánh xạ co yếu, nhưng không phải

ánh xạ co, bởi vì nếu là ánh xạ co thì do R là khơng gian mêtric đầy đủ, f phải

có điểm bất động. Ta xét thêm ví dụ sau đây.

Ví dụ 1.2.8. Xét ánh xạ:

f : [1, +∞) → [1, +∞)
1

x → f (x) = x + .
x

Rõ ràng X = [1, +∞) là không gian đầy đủ và:

1 1
d[f (x), f (y)] = |f (x) − f (y)| = x + − y −
x y

1
= |x − y| 1 −

xy

< |x − y| = d(x, y), ∀x, y ∈ X, x̸ = y.

Do đó, f là ánh xạ co yếu trên X. Tuy nhiên f (x)̸ = x, ∀x ∈ X, chứng tỏ f
khơng có điểm bất động trên X.

12

Như vậy ta có thể thấy rằng, một ánh xạ co yếu có thể ko có điểm bất
động. Edelstein [11] đã chứng minh rằng nếu khơng gian bị giới hạn đáng kể
(compact) thì điểm bất động duy nhất của ánh xạ co yếu vẫn được đảm bảo.

Định lý 1.2.9 (Edelstein). Giả sử (X, d) là không gian mêtric compact và T :
X → X thoả mãn điều kiện

d(T x, T y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X, x̸ = y. (1.7)

Khi đó, T có điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X và {T nx} hội tụ về x∗ với mọi
x ∈ X.

Các bài tốn được trình bày trong khố luận này, chỉ xét minh họa không
gian R với mêtric thông thường. Đồng thời như đã biết, mỗi tập con đóng và bị
chặn X ⊂ R đều là không gian mêtric compact với mêtric cảm sinh bởi mêtric
thông thường trên R.

Nhận xét 1.2.10.

(i) Từ Định lý 1.2.4, bài toán ngược được đưa ra như sau: Giả sử đã biết điểm
bất động x∗ của f . Hãy tìm một dãy xấp xỉ cho x∗, từ đó đánh giá sai số
của dãy xấp xỉ đã xây dựng so với x∗.

(ii) Tiếp tục theo Định lý 1.2.4, một bài toán khác được đặt ra là, với mọi

x0 ∈ X, dãy lặp {f n (x0)}n∈N hội tụ tới điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X
của f . Hãy đánh giá tốc độ hội tụ về x∗ của dãy lặp nói trên. Thêm nữa,

với sai số cho trước, ước lượng n bé nhất có thể hay khơng?

(iv) Trong Định lý 1.2.4, ánh xạ f được giả thiết là ánh xạ co. Tuy nhiên, có
thể thấy (ví dụ Hệ quả 1.5 trong [10]) nếu f m = f ◦ f ◦ · · · ◦ f (với m lần
tích hợp thành) là ánh xạ co trên không gian mêtric đầy X, với m ⩾ 1 nào
đó thì f cũng có điểm bất động duy nhất x∗. Hơn nữa, với mọi a ∈ X thì
f m(a) hội tụ về x∗. Như vậy giả thiết f là ánh xạ co chỉ là điều kiện đủ để
f có điểm bất động.

13

Chương 2. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO
BANACH TRONG GIẢI TỐN

2.1 Ứng dụng ngun lí ánh xạ co Banach chứng minh sự
tồn tại nghiệm của phương trình

Bài tốn 2.1. Chứng minh phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực

2 sin x − 4 cos x − 7x = 0. (2.1)

Chứng minh. Phương trình đã cho tương đương với phương trình

1
x = (2 sin x − 4 cos x). (2.2)
7

Đặt
1

f (x) = (2 sin x − 4 cos x)
7

thì
f ′(x) = 1(2 cos x + 4 sin x).
7

Do đó

|f ′(x)| ⩽ 6 với mọi x ∈ R.
7

Với hai điểm phân biệt x, y ∈ R, nhờ vào việc áp dụng Định lý Lagrange cho

hàm f ta được

|f (x) − f (y)| = |f ′(c)| |x − y|,

trong đó c là một điểm nằm giữa x và y. Như vậy
6

|f (x) − f (y)| ⩽ 7|x − y|, với mọi x, y ∈ R,
nên f là một ánh xạ co. Vì R là khơng gian đầy đủ (với mêtric thơng thường)
nên ánh xạ f có duy nhất một điểm bất động. Do đó phương trình (2.2), và
phương trình tương đương (2.1) có duy nhất một nghiệm thực.

14