Một vài ứng dụng của nguyên lý bao hàm và loại trừ

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC </b>

<b>LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC </b>

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

<b>TS. ĐỖ TRỌNG HOÀNG</b>

<b>THÁI NGUYÊN - 2023</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đỗ Trọng Hoàng. Các kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.

Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Hà Nội, ngày 1 tháng 4 năm 2023 Người cam đoan

Nguyễn Văn Vũ

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán Tin -ĐH Khoa học Thái Nguyên đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Đỗ Trọng Hoàng. Thầy là người đã tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tơi vượt qua nhiều khó khăn trong q trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn đến những giảng viên đã giảng dạy, đồng hành cùng mình tại Khoa Tốn Tin. Tơi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học của ĐH Khoa học Thái Nguyên đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học cao học tại Trường.

Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tồn thể bạn bè, gia đình tơi, những người đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua.

Nguyễn Văn Vũ

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Lời mở đầu 1

1.1 Các nguyên lý cơ bản của phép đếm . . . . 3

1.2 Nguyên lý bao hàm và loại trừ . . . . 7

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

LỜI MỞ ĐẦU

Nguyên lý bao hàm và loại trừ là một công thức đếm rất cơ bản trong các bài toán đếm. Giả sử các tập A₁, A₂, . . . , A_n là các tập hợp bất kỳ. Khi đó, lực lượng của hợp các tập A_i, với 1 ≤ i ≤ n, được tính bởi cơng thức sau:

Cơng thức này được gọi là nguyên lý bao hàm và loại trừ. Luận văn sẽ trình bày các tính chất của ngun lý này và dạng tổng quát của nó. Đồng thời, luận văn cũng trình bày một số ứng dụng trong các bài toán cụ thể, chẳng hạn bài toán đếm số các toàn ánh từ tập [n] đến tập [m], số mất thứ tự và dạng tổng quát của nó, tức là đa thức quân xe của các bảng, đặc biệt bảng Ferrers, và một số ứng dụng khác.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung của luận văn được chia làm hai Chương. Trong Chương 1, chúng tơi trình bày và chứng minh ngun lý bao hàm và loại trừ dạng kinh điển và dạng tổng quát. Chương 2 sẽ trình bày một số ứng dụng của nguyên lý bao hàm và loại trừ. Chẳng hạn như việc tìm các số ngun tố khơng vượt q một số tự nhiên cho trước (sàng

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Eratosthenes), hay ứng dụng tính hàm Euler và bài tốn tìm nghiệm ngun của một dạng phương trình tuyến tính. Một ứng dụng trong lý thuyết trò chơi là bài tốn về số mất thứ tự cũng sẽ được trình bày. Tổng quát của số mất thứ tự, hàm sinh rất quan trọng liên quan là đa thức quân xe sẽ được nghiên cứu. Chúng tơi sẽ nêu cách tính đa thức quân xe của các bảng Ferrers. Các vấn đề này được tham khảo trong nhiều tài liệu khác nhau, chẳng hạn [1, 2, 3, 4].

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Nguyên lý bao hàm và loại trừ

Trong Chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm về quy tắc đếm cơ bản, trình bày các tính chất và dạng tổng quát của nguyên lý bao hàm và loại trừ. Kí hiệu [n] = {1, 2, . . . , n}. Các kết quả Chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 4].

1.1Các nguyên lý cơ bản của phép đếm

Mục này trình bày một số quy tắc đếm cơ bản như quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Định nghĩa 1.1.1.

1. Một tập hợp A được gọi là hữu hạn có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập hợp [n]. Ta viết |A| = n.

2. Nếu tập A khơng hữu hạn thì ta nói A là vơ hạn.

Trong suốt luận văn này, tập hợp chúng tôi đề cập là tập hữu hạn.

Mệnh đề 1.1.2 (Quy tắc cộng). Nếu A và B là hai tập hợp rời

<small>3</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

nhau, thì

|A ∪ B| = |A| + |B|.

Một cách tổng quát, nếu A<small>1</small>, A<small>2</small>, . . . , A<small>n</small> là các tập hữu hạn đôi một rời nhau, tức là A_i ∩ A_j = ∅ với mọi i 6= j, thì

|A₁ ∪ A₂ ∪ . . . ∪ A_n| = |A₁| + |A₂| + · · · + |A_n|.

Quy tắc cộng cịn có thể phát biểu theo một cách khác như sau: Nếu một cơng việc có thể thực hiện bằng một trong hai phương án loại trừ lẫn nhau. Phương án thứ nhất có m cách thực hiện và phương án thứ hai có n cách thực hiện. Khi đó, sẽ có m + n cách thực hiện công việc đã cho.

Bổ đề 1.1.3 (Nguyên lý bù trừ). Cho B là một tập con của A. Gọi C_A(B) là phần bù của B trong A. Khi đó,

|A| = |B| + |C_A(B)|.

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A₁, A₂, . . . , A_n là các tập hữu hạn bất kỳ. Tích Đề-các của các tập A₁, A₂, . . . , A_n, kí hiệu là A₁×A₂×· · ·×A_n,

Ta có thể hiểu quy tắc nhân theo một cách như sau: Nếu một q trình có thể thực hiện qua n cơng đoạn: cơng đoạn 1 có m₁ cách

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

thực hiện, công đoạn 2 (sau khi thực hiện cơng đoạn 1) có m<small>2</small> cách thực hiện,..., cơng đoạn n có m_n cách thực hiện. Khi đó, để thực hiện cơng việc đã cho thì cần m₁m₂· · · m_n cách thực hiện.

Định nghĩa 1.1.6 (Tổ hợp chập k của n phần tử). Cho A = của T có k cách chọn đứng ở vị trí đầu tiên. Sau đó chọn một phần tử khác của T có k − 1 cách ở vị trí thứ hai, . . .. Vậy, số A^k_n được tính theo cơng thức sau:

• Hai là, ta có thể chọn phần tử bất kỳ của A trong n cách đầu tiên trong thứ tự, sau đó chọn một phần tử khác theo n − 1 cách để đưa vào vị trí thứ hai, cứ tiếp tục quá trình trên ta được

A^k_n = n(n − 1) · · · (n − k + 1) = ^n! (n − k)!^.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Định nghĩa 1.1.8 (Hoán vị). Cho A = {a₁, . . . , a_n}. Một hoán vị của A là một cách xếp các phần tử của A theo một thứ tự nào đó. Nói cách khác, hốn vị là chỉnh hợp chập n của n phần tử. Kí hiệu P_n là số các hốn vị của A, và ta có

P_n = Aⁿ_n = n!.

Định nghĩa 1.1.9 (Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử). Cho A = {a₁, . . . , a_n}. Một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử (a_i₁, . . . , a_i_k), trong đó cho cho phép lấy lặp lại, gọi là chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Theo quy tắc nhân, số các chỉnh hợp lặp chập k của n

Định nghĩa 1.1.12 (Hoán vị lặp). Hoán vị lặp là một cách xếp mỗi phần tử được ấn định một số lần lặp lại cho trước. Ký hiệu P (m₁, . . . , m_n) là số các hoán vị lặp của các phần tử a₁, . . . , a_n với tham số lặp m₁, . . . , m_n, và ta có

P (m<small>1</small>, . . . , m<small>n</small>) = ^n! m₁! · · · m_n!^.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

1.2Nguyên lý bao hàm và loại trừ

Nguyên lý bao hàm và loại trừ là một trong những công cụ cơ bản trong toán học tổ hợp và được ứng dụng rộng rãi, chẳng hạn: số phần tử của hợp của hai tập A và B bằng tổng các phần tử trong các tập hợp trừ đi số phần tử trong giao của chúng. Đó là,

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Ví dụ 1.2.1. Trong một lớp Tốn rời rạc, tất cả các sinh viên đều học chuyên ngành tin học hoặc toán học, hoặc học cả hai. Số sinh viên học chuyên ngành tin học (có thể cùng với toán học) là 25; số sinh viên học chuyên ngành tốn học (có thể cùng với tin học) là 13 và số sinh viên học cả hai môn tin học và tốn học là 8. Hỏi lớp này có bao nhiêu sinh viên?

Giải. Gọi A là tập hợp các sinh viên học lớp chuyên ngành tin học và B là tập hợp các sinh viên học lớp chuyên ngành tốn học. Khi đó A ∩ B là tập hợp các sinh viên trong lớp học chung chuyên ngành toán học và tin học. Vì mỗi sinh viên trong lớp học chuyên ngành tin học hoặc toán học (hoặc cả hai), nên số sinh viên trong lớp là

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>A</small> _{A ∩ B} <small>B</small>

<small>|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 25 + 13 − 8 = 30</small>

<small>Hình 1.1: Tập sinh viên trong lớp Tốn rời rạc.</small>

Ví dụ 1.2.2. Có bao nhiêu số ngun dương không quá 1000 chia hết cho 7 hoặc 11?

Giải. Gọi A là tập hợp các số nguyên dương không quá 1000 chia hết cho 7 và gọi B là tập hợp các số nguyên dương không vượt quá 1000 chia hết cho 11. Khi đó A ∪ B là tập hợp các số nguyên không vượt quá 1000 chia hết cho 7 hoặc 11 và A ∩ B là tập hợp các số nguyên không vượt quá 1000 chia hết cho cả 7 và 11. Ta biết rằng trong số các số ngun dương khơng vượt q 1000 có b1000/7c số nguyên chia hết cho 7 và b1000/11c chia hết cho 11. Vì 7 và 11 là hai số nguyên tố cùng nhau nên những số chia hết cho cả 7 và 11 là những số chia hết cho 7 · 11. Do đó, có b1000/(11 · 7)c số nguyên dương không vượt quá 1000 chia hết cho cả 7 và 11. Suy ra, ta có

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Ví dụ sau cho ta cách tìm số phần tử trong một tập phổ quát hữu hạn nằm ngoài giao của hai tập hợp.

Ví dụ 1.2.3. Giả sử một trường học có 1807 sinh viên năm nhất. Trong số sinh viên này có 453 người đang tham gia khóa học về khoa học máy tính, 567 người đang tham gia khóa học về tốn học và 299 người đang tham gia các khóa học về cả khoa học máy tính và tốn học. Hỏi có bao nhiêu người khơng tham gia một khóa học về khoa học máy tính hoặc tốn học?

Giải. Để tìm số sinh viên năm nhất khơng tham gia khóa học về tốn học hoặc khoa học máy tính, ta lấy tổng số sinh viên năm nhất trừ đi số đang tham gia khóa học ở một trong hai môn này. Gọi A là tập hợp tất cả sinh viên năm nhất tham gia khóa học về khoa học máy tính và gọi B là tập hợp tất cả sinh viên năm nhất tham gia khóa học về tốn học. Khi đó |A| = 453, |B| = 567 và |A ∩ B| = 299. Số sinh viên năm nhất tham gia một khóa học về khoa học máy tính hoặc tốn học là

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 453 + 567 − 299 = 721.

Do đó, có 1807 − 721 = 1086 sinh viên năm nhất khơng tham gia khóa học về khoa học máy tính hoặc tốn học.

Tiếp theo chúng ta sẽ bắt đầu phát triển cơng thức tính số phần tử trong hợp của một số hữu hạn các tập hợp. Công thức này được gọi là nguyên lý bao hàm và loại trừ. Xét n tập hợp, trong đó n là số nguyên dương bất kỳ, chúng ta sẽ rút ra một cơng thức tính số phần tử trong hợp của ba tập hợp A, B và C. Ta có |A| + |B| + |C|

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

đếm số phần tử thuộc một trong ba tập hợp một lần, các phần tử thuộc hai trong số các tập hợp hai lần và các phần tử thuộc cả ba tập hợp ba lần.

Để loại bỏ số phần tử thừa trong nhiều tập hợp, chúng ta trừ đi số các phần tử trong giao của từng cặp tập hợp trong ba tập hợp đó. Ta được

|A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Biểu thức này đếm các phần tử xuất hiện ở một trong các tập hợp một lần. Một phần tử xuất hiện trong hai tập hợp cũng được tính một lần, bởi vì phần tử này sẽ xuất hiện ở một trong ba giao điểm của hai tập hợp được lấy cùng một lúc. Tuy nhiên, những phần tử xuất hiện trong cả ba tập hợp sẽ được tính 0 lần, bởi vì chúng xuất hiện trong ba giao điểm của các tập hợp được lấy hai lần tại một thời điểm.

Để khắc phục điều này, chúng ta thêm số phần tử vào giao của cả ba tập hợp. Biểu thức cuối cùng này đếm mỗi phần tử một lần, cho dù nó nằm trong một, hai hay ba tập hợp. Như vậy, ta có |A∪B ∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B ∩C|+|A∩B ∩C|. Ví dụ sau đây minh họa cho cơng thức trên.

Ví dụ 1.2.4. Tổng cộng có 1232 sinh viên đã tham gia một khóa học bằng tiếng Tây Ban Nha, 879 sinh viên đã tham gia một khóa học bằng tiếng Pháp và 114 sinh viên đã tham gia một khóa học bằng tiếng Nga. Ngồi ra, có 103 người đã tham gia các khóa học

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

bằng cả tiếng Tây Ban Nha và tiếng Pháp, 23 người đã tham gia các khóa học bằng cả tiếng Tây Ban Nha và tiếng Nga và 14 người đã tham gia các khóa học bằng cả hai ngơn ngữ Pháp và Nga. Nếu có 2092 học sinh đã học ít nhất một trong ba thứ tiếng Tây Ban Nha, Pháp và Nga thì có bao nhiêu học sinh đã học cả ba thứ tiếng? Giải. Gọi S là tập hợp các sinh viên đã học một khóa học bằng tiếng Tây Ban Nha, F là tập hợp các sinh viên đã học một khóa học bằng tiếng Pháp và R là tập hợp các sinh viên đã học một khóa học bằng tiếng Nga. Khi đó đó |S ∩ F ∩ R| = 7. Vậy có 7 sinh viên đã học các khóa học tiếng Tây Ban Nha, tiếng Pháp và tiếng Nga. Điều này được minh họa trong Hình 1.2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Bây giờ chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh nguyên lý bao hàm và loại trừ cho n tập hợp, trong đó n là một số nguyên dương.

Định lý 1.2.5 (Nguyên lý bao hàm và loại trừ). Giả sử A₁, A₂, . . . , A_n

Chứng minh. Ta chứng minh công thức trên bằng quy nạp theo n. Với n = 1, công thức trên hiển nhiên đúng. Ta chứng tỏ rằng nó

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Từ các đẳng thức trên ta thu được |A₁∪A₂| = |A₁|+|A₂|−|A₁∩A₂|. Bây giờ giả sử công thức trong định lý đúng đến bước thứ m và A₁, A₂, . . ., A_m, A_m+1 là m + 1 tập hữu hạn bất kỳ đã cho. Vì cơng thức đã được chứng minh cho trường hợp 2 tập hợp, nên

|(A₁∪. . .∪A_m)∪A<small>m+1</small>| = |A₁∪. . .∪A_m|+|A_m+1|−|(A₁∪. . .∪A_m)∩A<small>m+1</small>|.

Theo giả thiết quy nạp ta suy ra

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Hệ quả 1.2.6 (Công thức Sieve). Cho S là tập hữu hạn. Với mỗi 1 ≤ i ≤ n, kí hiệu phần bù của A<small>i</small> trong S là A<small>i</small>. Khi đó,

Ví dụ 1.2.7. Có bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7?

Giải. Ký hiệu A = {1, 2, 3, . . . , 1000}, A₂ = {a ∈ A | a chia hết cho 2}, A₃ = {a ∈ A | a chia hết cho 3}, A₇ = {a ∈ A | a chia hết cho 7}. Khi đó A \ (A<small>2</small> ∪ A₃ ∪ A₇) là tập tất cả các số từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

cho 7. Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có

Ví dụ 1.2.8 (Đề thi tư duy ĐHBKHN 2022). Viện Tốn Ứng Dụng và Tin học, ĐHBKHN, cơng bố điểm thi ba mơn Đại số, Giải Tích 1, Giải Tích 2 của một lớp sinh viên, có 108 sinh viên đạt điểm A.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Biết rằng:

• Có 43 sinh viên đạt điểm A mơn Giải Tích 1 • Có 32 sinh viên đạt điểm A mơn Giải Tích 2 • Có 54 sinh viên đạt điểm A mơn Đại số

• Có 09 sinh viên đạt điểm A hai mơn Giải Tích 1 và Đại số • Có 08 sinh viên đạt điểm A hai mơn Giải Tích 2 và Đại số • Có 03 sinh viên đạt điểm A cả ba môn.

Hãy xác định:

(a) Số sinh viên đạt điểm A hai mơn Đại số và Giải Tích 1, nhưng khơng đạt điểm A mơn Giải Tích 2

(b) Số sinh viên chỉ đạt điểm A môn Đại số

(c) Số sinh viên đạt điểm A hai mơn Giải Tích 1 và Giải Tích 2. Giải. Gọi X, Y, Z lần lượt là tập hợp các sinh viên đạt điểm A mơn Giải tích 1, Giải tích 2 và Đại số. Theo đề bài, ta có:

n(X) = 43, n(Y ) = 32, n(Z) = 54,

n (X ∩ Z) = 9; n (Y ∩ Z) = 8; n (X ∩ Y ∩ Z) = 3.

a) Số sinh viên đạt điểm A hai mơn Đại số và Giải tích 1 nhưng khơng đạt điểm A mơn Giải tích 2:

n (X ∩ Z \ Y ) = n (X ∩ Z) − n (X ∩ Y ∩ Z) = 9 − 3 = 6.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

b) Số sinh viên chỉ đạt điểm A môn Đại số:

Nguyên lý bao hàm và loại trừ có thể tổng quát hóa như sau. Xét m vật a<small>1</small>, a<small>2</small>, . . . , a<small>m</small>. Các vật này tương ứng được gắn với các trọng lượng ω(a₁), ω(a₂), . . . , ω(a_m), các phần tử của một vành giao hốn K nào đó. Mỗi vật a_i đã cho có thể có hay khơng các tính chất

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

trong đó M (P<small>i</small>₁, P<small>i</small>₂, . . . , P<small>i</small>_k) là tổng trọng lượng của tất cả các vật có các tính chất P_i₁, P_i₂, . . . , P_i_k, k = 1, 2, . . . , n.

Gọi M (r) là tổng trọng lượng của tất cả các vật có đúng r tính chất, và M<small>r</small> là tổng trọng lượng của tất cả các vật có khơng ít hơn

Chứng minh. Trọng lượng của các vật có đúng r tính chất được tính đúng một lần trong tổng S<small>r</small> và khơng tham gia vào việc tính các tổng S_r+1, . . . , S_n. Vì vậy, trọng lượng của các vật đó tham gia trong

Trọng lượng của các vật có t > r tính chất tính _k^t
lần trong tổng S_k với k ≥ r. Vì vậy, trọng lượng của các vật đó tham gia trong

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Trọng lượng của các vật có t < r tính chất khơng tham gia vào việc tính tổng S<small>r</small>, . . . , S_n. Vì vậy, trọng lượng của các vật đó cũng tham

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Nếu ω(a₁) = . . . = ω(a_m) = 1 thì M (r) bằng số các vật có đúng r tính chất trong số các tính chất P<small>1</small>, P<small>2</small>, . . . , P<small>n</small> đã cho. Ký hiệu

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Một số ứng dụng

Chương này trình bày một số ứng dụng của nguyên lý bao hàm và loại trừ cho một số vấn đề liên quan đến sàng Eratosthenes, đa thức quân xe của bảng Ferrers.

2.1Về số các số nguyên tố

Sử dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ, chúng ta có thể tìm số các số ngun tố khơng vượt quá một số nguyên dương xác định với cách lập luận như được sử dụng trong sàng của Eratosthenes. Ta có một số nguyên là hợp số khi nó chia hết cho một số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của nó. Vì vậy, để tìm số các số nguyên tố không vượt quá, chẳng hạn 100. Trước tiên lưu ý rằng các số nguyên tố vượt quá 100 khơng có thừa số ngun tố khơng vượt q 10. Vì các số ngun tố duy nhất khơng vượt quá 10 là 2, 3, 5 và 7, các số nguyên tố không vượt quá 100 là bốn số nguyên tố này và các số nguyên dương lớn hơn 1 và không vượt quá 100 không chia hết cho 2, 3, 5 hoặc 7. Để áp dụng nguyên lý bao hàm - loại trừ, ta đặt

• P<small>1</small> là tính chất mà một số nguyên là chia hết cho 2,

<small>22</small>

</div>