Phân tích bất khả quy trong lý thuyết đồ thị và nghiên cứu hệ số hilbert

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2022

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY TRONG

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ NGHIÊN CỨU HỆ SỐ HILBERT

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Cho R là vành giao hốn Noether và M là R-mơđun hữu hạn sinh chiều d. Khi R là vành địa phương, ta ký hiệu m là iđêan cực đại duy nhất. Khi R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m cho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.

Luận án tập trung nghiên cứu về chỉ số khả quy của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương và phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị đơn hữu hạn. Về chỉ số khả quy, trước hết chúng tơi đặc trưng tính Cohen-Macaulay của mơđun hữu hạn sinhM trên vành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy ir_M(qM ) và số bội bất khả quy f₀(q; M ) với q là iđêan tham số của M. Sau đó, chúng tơi đặc trưng tính Cohen-Macaulay cho vành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy ir_R(q) và các hệ số Hilbert e₁(q), e₁(q : m) với q là iđêan tham số của R. Về phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh I_G^s thông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G. Sau đó, chúng tơi xác định được một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G. Hơn nữa, chúng tôi đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G.

Luận án được chia thành 3 chương. Chương 1 dành để nhắc lại những kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án ở những chương sau, gồm: môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng,

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

hệ số Hilbert và một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị.

Trong Chương 2, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và khái niệm hệ g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra một điều kiện cần cho M/U<small>M</small>(0)là Cohen-Macaulay, trong đóU<small>M</small>(0) là mơđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dim<small>R</small>(M ). Sau đó, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời chứng minh hai tính chất mới của chỉ số khả quy và số bội bất khả quy ứng với iđêan g-tham số. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra hai đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay của các vành Noether địa phương (R,m) và các R-môđun hữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ.

Trong Chương 3, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức m^a là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh I_G^s thông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G, trong đó m^a là iđêan (x^a<small>i</small>

<small>i</small> | a_i > 0)R của R với a = {1, 2}ⁿ. Áp dụng kết quả trên với s = 2, chúng tôi thu được Định lý chính trong bài báo của J. Herzog - T. Hibi [32] hoặc N. Terai - N.V. Trung [56] về điều kiện cần và đủ để depth_R(R/I_G²) = 0. Sau đó, chúng tơi xác định được một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của G. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của G.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một cơng trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Tâm

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ nhất của tôi - PGS. TS. Hồng Lê Trường. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi từ những ngày đầu tiên tập làm nghiên cứu khoa học. Thầy đã dạy tôi từ cách phát hiện vấn đề đến cách giải quyết vấn đề nghiên cứu trong Toán học. Mặc dù phần lớn thời gian Thầy ở nước ngồi, nhưng Thầy đã ln quan tâm, động viên, khích lệ và đồng hành cùng tơi trong suốt q trình tơi học nghiên cứu sinh.

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới cơ giáo hướng dẫn thứ hai của tôi - GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều tâm sức để truyền thụ cho tôi không chỉ về tri thức tốn học mà cịn về phương pháp nghiên cứu và cách trình bày một đề tài nghiên cứu khoa học. Cơ đã tổ chức nhiều hội nghị, khóa học ngắn hạn để bồi dưỡng năng lực Toán học (đặc biệt là Đại số giao hoán) cũng như tạo điều kiện để nghiên cứu sinh chúng tôi được gặp gỡ, giao lưu với nhiều nhà Toán học trong nước và trên thế giới. Cô là tấm gương sáng cho lớp học trị chúng tơi phấn đấu noi theo về lịng say mê nghiên cứu khoa học cũng như sự nỗ lực vượt qua khó khăn để đạt tới thành cơng.

Tơi thực sự là người may mắn vì đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của hai người Thầy: PGS. TS. Hoàng Lê Trường và GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Thầy Cơ khơng những hết lịng dạy bảo, hướng dẫn tơi hồn thành khóa học nghiên cứu sinh mà cịn trao cho tôi nhiều cơ hội để được làm việc với các nhà khoa học uy tín trong nước và trên thế giới. Một lần nữa, tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cơ và sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao, niềm tin của Thầy Cô đã dành cho tôi.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện cho tôi học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Hùng Vương đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Lãnh đạo khoa Khoa học Tự nhiên, các thầy cơ giáo và đồng nghiệp trong Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hùng Vương đã quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi học nghiên cứu sinh.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Quỹ đổi mới sáng tạo Vingroup đã tài trợ cho tôi học bổng Tiến số - mã số 2020.TS.82 với số tiền là 150 triệu đồng. Tôi xin cảm ơn GS. TS. Nguyễn Tự Cường, GS. Marcel Morales, PGS. TS. Nguyễn Thị Dung, PGS. TS. Đoàn Trung Cường, PGS. TS. Phạm Hùng Quý cùng các anh chị em trong nhóm seminar Đại số giao hốn của Đại học Thái Ngun và Viện Tốn học đã ln đồng hành cùng tôi, động viên, chia sẻ với tôi trong học tập cũng như trong cuộc sống.

Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình của mình, đặc biệt là Bố Mẹ hai bên, Chồng và hai con u q, đã ln khích lệ, hỗ trợ, chia sẻ khó khăn và ln mong mỏi tơi thành cơng. Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp tơi vượt qua khó khăn để tơi có thể hoàn thành luận án này.

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Tâm

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Mục lục

Mở đầu. . . . 7

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . 17

1.1. Môđun đối đồng điều địa phương. . . . 17

1.2. Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 20

2.2. Chỉ số khả quy và số bội bất khả quy . . . . 36

2.3. Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và môđun Cohen-Macaulay. . . 44

Chương 3. Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 59 3.1. Phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức . . . . 60

3.2. Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh . . . . 63

3.3. Mối quan hệ giữa tập cặp trội tới hạn và thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh. . . . 73

Kết luận. . . . 82

Tài liệu tham khảo. . . . 84

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Trong suốt luận án, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Trong trường hợp R là vành địa phương, ta ký hiệu m là iđêan cực đại duy nhất của R. Trong trường hợp R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m cho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.

Một môđun con thực sự N của M là bất khả quy nếu nó không thể viết thành giao của hai môđun con thực sự chứaN. Định lý nổi tiếng trong lý thuyết vành và môđun (chứng minh bởi E. Noether [66] năm 1921 cho trường hợp M = R) phát biểu rằng mọi mơđun con thực sự N của M đều phân tích được thành giao của hữu hạn môđun con bất khả quy và số môđun con bất khả quy xuất hiện trong phân tích bất khả quy thu gọn của N là một bất biến khơng phụ thuộc vào phân tích mà chỉ phụ thuộc vào N và M. Bất biến này được gọi là chỉ số khả quy của N trong M và được ký hiệu làir_M(N ). Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến chỉ số khả quy của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương và phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị đơn hữu hạn.

Khi vành cơ sở (R,m) là địa phương với trường thặng dư R/m, chỉ số khả quy cung cấp nhiều thông tin quan trọng về cấu trúc của R và M. Năm 1954, D.G. Northcott và D. Rees [46] đã chứng minh rằng R là vành Gorenstein nếu và chỉ nếu ir_R(q) = 1 với mọi iđêan tham số q của R. Hơn nữa,M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi ir_M(qM ) = dim_R/m(0 :_H<small>d</small>

<small>m(M )</small> m) với mọi iđêan tham số q của M (xem [47, Định lý 3], [11, Định lý 5.2]). Chú ý rằng, S. Endo và M. Narita [18] đã xây dựng một vành Noether

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

địa phương không Cohen-Macaulay R thỏa mãn ir_R(q) = 2 với mọi iđêan tham số q của R. Điều này chứng tỏ rằng tính chất hằng số của ir_R(q) khơng đặc trưng vành Cohen-Macaulay. Khi M là môđun Buchsbaum, ir<small>M</small>(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong m² (xem [27, 25]). Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup

ir<small>M</small>(qM ) < ∞, trong đó q chạy trên tập các iđêan tham số của M (xem [27]), hơn nữa tồn tại n ∈ _N sao cho ir_M(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong mⁿ (xem [13, 10]). Năm 2013, H.L. Trường đã chứng minh rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì tồn tại n ∈ _{N sao cho} ir<small>M</small>(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số tách q chứa trong mⁿ [58]. Gần đây, N.T. Cường và P.H. Quý [12] đã chứng tỏ rằng ir_M(qM ) là hằng số với mọi iđêan C-tham số q của M.

Mục đích thứ nhất của luận án là đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy ir_M(qM ) và số bội bất khả quy f<small>0</small>(q; M ) với q là iđêan tham số của M. Ở đây, theo [11, Bổ đề 4.2], hàm ir_M(qⁿ⁺¹M ) là đa thức bậcd − 1 khi nđủ lớn và được biểu diễn dưới dạng

trong đó f_i(q; M ) là các số nguyên với mọi i. Theo H.L. Trường [59], số nguyên dương f₀(q; M ) được gọi là số bội bất khả quy củaM ứng với iđêan tham số q. Năm 2015, N.T. Cường, P.H. Quý và H.L. Trường [11, Định lý 5.2] đã chứng minh rằng M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

với mọi iđêan tham số q của M. Vì vậy, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là nếu ir_M(qM ) = f₀(q; M ) với mọi iđêan tham số q của M thì M có là Cohen-Macaulay khơng? Trong [59, Định lý 1.1], H.L. Trường đã chứng minh rằng nếu R là vành Noether địa phương không trộn lẫn với trường thặng dư vơ hạn, thìR là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi ir<small>R</small>(q) = f<small>0</small>(q; R) với mọi iđêan tham số q của R. Kết quả chính thứ nhất của luận án là mở rộng kết quả trên của H.L. Trường [59, Định lý 1.1] từ vành lên môđun hữu hạn sinh bất kỳ (không cần giả thiết về tính khơng trộn lẫn). Kết quả này được cơng bố trong [55, Định lý 1.2].

Mục đích thứ hai của luận án là đặc trưng tính Cohen-Macaulay cho vành Noether địa phương (R,m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy ir<small>R</small>(q) và các hệ số Hilbert e<small>1</small>(q), e<small>1</small>(q : m) với q là iđêan tham số của R. Nhắc lại rằng, với I là một iđêan của R sao cho`<sub>R</sub>(M/IM ) < ∞, hàm `_R(M/Iⁿ⁺¹M ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn, được biểu

trong đó e_i(I; M ) là số nguyên với mọi i. Ta gọi e_i(I; M ) là hệ số Hilbert của M ứng với I, số nguyên dương e₀(I; M ) được gọi là số bội (Hilbert-Samuel) của M ứng với I. Ta ký hiệu e_i(I) := e_i(I; R).

Lý thuyết bội đã phát triển nhanh chóng và trở thành cơng cụ quan trọng trong Hình học đại số và Đại số giao hốn. Một số lớp mơđun đóng vai trị trung tâm trong Đại số giao hốn (Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng) đều được đặc trưng hoặc định nghĩa thông qua số bội ứng với iđêan tham số. Cấu trúc của môđun M cũng được làm rõ thơng qua tính chất của hệ số Hilbert khác, đặc biệt là hệ số Chern e₁(q; M ). Nhìn chung, ta ln có e₁(q; M ) ≤ 0 với mọi iđêan tham số q của M (xem [43, Định lý 3.6]). Theo [41, Định lý 17.3], nếu M là Cohen-Macaulay thìM là khơng trộn lẫn và e<small>i</small>(q; M ) = 0 với mọi (với một) iđêan

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

tham số q của M, i = 1, 2, . . . d. Ký hiệu U_M(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Chú ý rằng U_M(0) là giao của các thành phần nguyên sơ N (p) của môđun con 0 của M sao cho dim(R/p) = d. Năm 2008, W.V. Vasconcelos [62, 19] đã gọi e<small>1</small>(q; M ) là hệ số Chern của M ứng với q và đặt ra Giả thuyết triệt tiêu của hệ số Chern: Nếu R khơng trộn lẫn, thì R là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e₁(q) = 0 với một iđêan tham số q của R. Năm 2010, L. Ghezzi, S. Goto, J.Y. Hong. K. Ozeki, T.T. Phuong, và W.V. Vasconcelos [20] đã chứng minh giả thuyết trên là đúng. Khi R là trộn lẫn, e₁(q) = 0 với một iđêan tham số q của R nếu và đó bR là đầy đủ m-adic của R (xem [21, Định lý 1.13]). Năm 2010, S. Goto và K. Ozeki [22, Định lý 1.1] đã chứng minh rằng vành không trộn lẫn chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là Buchsbaum khi và chỉ khi hệ số Chern e₁(q) là hằng số không phụ thuộc vào iđêan tham số q. Khi R là trộn lẫn, e₁(q) là hằng số không phụ thuộc iđêan tham số q nếu và chỉ nếu bR/U 2011, S. Goto và K. Ozeki [24, Định lý 1.1] đã chứng minh rằng vành R chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tập {e_i(q) | q là iđêan tham số của R} là hữu hạn, với mọi 1 ≤ i ≤ dim(R). Cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay dãy chiều 2 cũng được đặc trưng thông qua hệ số Chern [8, Định lý 4.2]. Với chiều lớn hơn 2, tính Cohen-Macaulay dãy của các môđun được đặc trưng thông qua các hệ số Hilbert [8, Định lý 4.5].

Mối quan hệ mật thiết giữa tính Cohen-Macaulay và hệ số Chern của iđêan tham số đã được thể hiện trong lịch sử phát triển của nó. Năm 1960, D.G. Northcott [48] đã chứng minh rằng nếu R là vành Cohen-Macaulay thì

e₀(I) − `_R(R/I) ≤ e₁(I)

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

với mọi iđêan m-nguyên sơ I của R. Sau đó, S. Goto và K. Nishida trong [26, Định lý 3.1] đã mở rộng bất đẳng thức trên của D.G. Northcott cho vành R bất kỳ không nhất thiết Cohen-Macaulay. Họ chỉ ra rằng

e₀(I) − `_R(R/I) ≤ e₁(I) − e₁(q),

trong đó q là một iđêan rút gọn tối tiểu của I. Gần đây, H.L. Trường [60] đã chứng minh rằng nếu R là vành Cohen-Macaulay có trường thặng dư vơ hạn thì

ir_R(q) = e₀(I) − `_R(R/I) = e₁(I) − e₁(q)

với mọi iđêan tham số q của R, trong đó I = q : m. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là nếu ir_R(q) = e₁(q : m) − e₁(q) với một iđêan tham số q của R thì R có là vành Cohen-Macaulay hay khơng? Câu hỏi trên đã được trả lời một phần trong [60, Định lý 1.1], ở đó H.L. Trường đã chứng minh rằng nếu R không trộn lẫn với chiều d ≥ 2 và có trường thặng dư vơ hạn, thì R là vành Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu ir<small>R</small>(q) = e<small>1</small>(q : m) − e<small>1</small>(q) với mọi iđêan tham số q của R. Kết quả chính thứ hai của luận án là mở rộng kết quả của H.L. Trường [60, Định lý 1.1] cho vành bất kỳ (không cần giả thiết về tính khơng trộn lẫn). Kết quả này được cơng bố trong [55].

Mục đích thứ ba của luận án là xác định một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G. Ta biết rằng mỗi iđêan bất khả quy là một iđêan nguyên sơ, do đó mỗi phân tích bất khả quy là một phân tích nguyên sơ. Trong khi vấn đề phân tích nguyên sơ và dáng điệu tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh đã được nhiều nhà toán học quan tâm và đạt được những kết quả quan trọng, thì phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh lần đầu tiên được chúng tơi nghiên cứu trong [14] và sau đó được M. Morales và N.T. Dung xem xét trong [15].

Với I là iđêan bất kỳ trong vành Noether R, M. Brodmann [3] đã chỉ ra rằng tồn tại số nguyên dương s<small>0</small> để Ass<small>R</small>(R/I^s) = Ass<small>R</small>(R/I^s+1)

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

với mọi s ≥ s₀. Ký hiệu astab(I) là số s₀ nhỏ nhất có tính chất này và đặt Ass^∞_R(I) := Ass_R(R/I^s<small>0</small>). Khi I là iđêan đơn thức trong vành đa thức R := K[x₁, x₂, . . . , x_n] của n biến trên trường K, L.T. Hoa [36] đã đưa ra một chặn trên cho số astab(I). Với I là iđêan đơn thức khơng chứa bình phương, N. Terai và N.V. Trung [56] đã xác định các iđêan nguyên tố liên kết củaR/I². Độc lập với kết quả trên trong [56], J. Herzog và T. Hibi [33] đã đưa ra điều kiện cần và đủ để m là iđêan nguyên tố liên kết của R/I², trong đó m là iđêan cực đại thuần nhất của R. Cho I_G là iđêan cạnh của một đồ thị đơn G = (V, E) với tập đỉnh V = {x₁, x₂, . . . , x_n} và tập cạnh E, tức là

I<small>G</small> = ({x<small>i</small>x<small>j</small> | {x_i, x<small>j</small>} ∈ E})R.

Năm 2002, J. Chen, S. Morey và A. Sung [5] đã tìm ra cấu trúc số học của Ass^∞_R(I<small>G</small>) và một chặn trên của astab(I<small>G</small>). Năm 2012, J. Martinez-Bernal, S. Morey và R. Villarreal [42] đã chỉ ra rằng Ass<small>R</small>(R/I_G^s) ⊆ Ass<small>R</small>(R/I_G^s+1) với mọis ≥ 1(kết quả này chỉ đúng cho iđêan cạnh, không đúng cho trường hợp iđêan đơn thức bất kỳ [44,32]). Với bài toán xác định tập iđêan nguyên tố liên kết của R/I_G^s, trong trường hợp s = 3, 4, tập Ass_R(R/I_G^s) đã được phân loại hoàn toàn bởi H.T.T. Hien, H.M. Lam, N.V. Trung [35, 34]. Kết quả đáng chú ý nhất được chứng minh bởi H.M. Lam và N.V. Trung [38, Định lý 4.4], ở đó họ đã mơ tả tập Ass_R(R/I_G^s) theo đồ thị G với mọi s ≥ 1.

Để xác định thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, chúng tôi giới thiệu trong [14] khái niệm tập cặp trội tới hạn. Một ghép cặp (matching) của G là một tập cạnh độc lập. Một ghép cặp được gọi là tối đại nếu nó có số cạnh lớn nhất trong các ghép cặp của G. Số ghép cặp của đồ thị G, ký hiệu bởi ν(G), là số cạnh trong ghép cặp tối đại của G (xem [63]). Một tập cặp trội tới hạn của G là một tập con S của V sao cho mỗi đỉnh của V đều kề với ít nhất một đỉnh của S và ν(G − v) = ν(G) với

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

mọi đỉnh v của G. Đặt m = (x₁, x₂, . . . , x_n)R là iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.Với mỗi a = (a₁, a₂, . . . , a_n) ∈_Nⁿ, ký hiệu x^a là đơn thức x^a<small>1</small>

<small>1</small> x^a<small>2</small>

<small>2</small> . . . x^a<small>n</small>

<small>n</small> và m^a là iđêan (x^a<small>i</small>

<small>i</small> | a_i > 0)R củaR. Ta biết rằng, mỗi iđêan đơn thức I đều có phân tích bất khả quy đơn thức thu gọn (duy nhất, sai khác thứ tự các nhân tử) I = T<small>r</small>

<small>i=1</small>m^b<small>i</small>, trong đó b<small>i</small> ∈ _N<small>n</small> với mọi i. Đặt Irr(I) := {m^b<small>1</small>, . . . ,m^b<small>r</small>} là tập các thành phần bất khả quy của I và

Irr_m(I) := {m^b<small>i</small> ∈ Irr(I) | rad(m^b<small>i</small>) =m}.

Kết quả chính thứ ba của luận án phát biểu rằng tồn tại a ∈ {1, 2}ⁿ sao cho m^a ∈ S

Irr_m(I_G^s) nếu và chỉ nếu đồ thị G có một tập cặp trội tới hạn. Hơn nữa, chúng tôi đã đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G. Kết quả này được công bố trong bài báo [14].

Về phương pháp tiếp cận, để chứng minh kết quả chính thứ nhất (đặc trưng tính Cohen-Macaulay của M thơng qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy và số bội bất khả quy khi tính khơng trộn lẫn của M không được giả thiết trước), chúng tôi khai thác sâu các tính chất của lọc chiều (xem [51, 9, 8]) và các hệ tham số tương thích với lọc chiều (hệ tham số tách giới thiệu bởi P. Schenzel [51], d-dãy định nghĩa bởi Huneke [37] và hệ g-tham số giới thiệu bởi H.L. Trường [61]), sử dụng mối quan hệ giữa số bội bất khả quy của M và môđun thương trong [59], đồng thời áp dụng các kết quả đã biết về chỉ số khả quy [27, 13, 11, 12]. Để thu được kết quả chính thứ hai về đặc trưng vành Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ chỉ số khả quy và hệ số Chern, ngoài việc sử dụng lọc chiều và hệ g-tham số, chúng tơi cần đến cơng thức tính hệ số Hilbert trong [7, Bổ đề 3.4] và áp dụng kết quả chính thứ nhất. Đối với kết quả chính thứ ba về xác định thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, trước hết chúng tơi nghiên cứu tính chất đặc trưng của thành phần bất khả quy của iđêan đơn thức. Sau đó, chúng tơi chuyển một bài tốn thuần túy đại số sang ngôn

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

ngữ tổ hợp và giải quyết vấn đề trong bài toán tổ hợp. Đặc biệt, chúng tôi cần đến Định lý cấu trúc Gallai-Edmonds (xem [63, Định lý 1.5.4]) để xác định một số thành phần bất khả quy thông qua sự tồn tại tập cặp trội tới hạn và đặc trưng đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia thành 3 chương. Chương 1 nhắc lại những kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án ở những chương sau, gồm: môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, hệ số Hilbert và một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị.

Chương 2 được trình bày dựa theo bài báo [55]. Trong chương này, chúng tôi đưa ra hai đặc trưng mới cho tính Cohen-Macaulay của các vành Noether địa phương (R,m) và các R-môđun hữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ. Trong Mục 2.1, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và khái niệm hệ g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra một điều kiện cần cho M/U<small>M</small>(0) là Cohen-Macaulay. Trong Mục 2.2, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời đưa ra hai tính chất bổ trợ (Bổ đề 2.2.5, Bổ đề 2.2.10) phục vụ chứng minh kết quả chính trong Mục 2.3. Đặt

r(M ) := sup{ir<small>M</small>(qM ) |q là iđêan tham số của M }.

Theo S. Goto và N. Suzuki [27], r(M ) được gọi là kiểu của M. Nhìn chung, kiểu của M là số vơ hạn [27, Ví dụ 3.9] và nếu M là mơđun Cohen-Macaulay suy rộng thì kiểu của M là hữu hạn [27, Định lý 2.1]. Kết quả chính thứ nhất của luận án, được trình bày trong phần đầu của Mục 2.3, đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun M thông qua mối quan hệ

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

giữa chỉ số khả quy và số bội bất khả quy ứng với iđêan tham số q của M. Kết quả này là một mở rộng của [59, Định lý 1.1], ở đó H.L. Trường đã chứng minh cho trường hợp M = R với giả thiết R không trộn lẫn.

Đinh lý 2.3.3. Cho d ≥ 2. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay.

(ii) r(M ) ≤ f<small>0</small>(q; M ) với mọi iđêan tham số q của M. (iii) r(M ) ≤ f₀(q; M ) với một iđêan tham số q của M.

Kết quả chính thứ hai của luận án được trình bày ở phần cuối của Mục 2.3. Chúng tôi đặc trưng vành Cohen-Macaulay thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy và hệ số Chern ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ. Kết quả này là một mở rộng của [60, Định lý 1.1], ở đó H.L. Trường đã chứng minh cho trường hợp R không trộn lẫn.

Định lý 2.3.6. Cho dim(R) ≥ 2. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) R là Cohen-Macaulay.

(ii) r(R) ≤ e<small>1</small>(q :m) − e<small>1</small>(q) với mọi iđêan tham số q của R.

(iii) r(R) ≤ e₁(q :m) − e₁(q) với một iđêan g-tham số q ⊆ m² của R. Chương 3 được trình bày dựa theo bài báo [14]. Trong chương này, chúng tôi xác định một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G. Trước hết, chúng tôi xét iđêan đơn thức I và đưa ra trong Bổ đề 3.1.2 một tiêu chuẩn kỹ thuật để m^a ∈ Irr_m(I) (với a ∈ _Nⁿ). Sử dụng tiêu chuẩn kỹ thuật trên, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức m^a (với a = {1, 2}ⁿ) là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh I_G^s thông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G (xem Định lý 3.2.8). Áp dụng Định

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

N. Terai - N.V. Trung [56] hoặc J. Herzog - T. Hibi [32] về điều kiện cần và đủ để depth_R(R/I_G²) = 0. Dựa vào Định lý 3.2.8 và Định lý cấu trúc Gallai-Edmonds (xem [63, Định lý 1.5.4], chúng tôi xác định thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G.

Định lý 3.3.7. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Tồn tại a ∈ {1, 2}ⁿ thỏa mãn m^a ∈ S

Irr_m(I_G^s). (ii) Tồn tại tập cặp trội tới hạn S của G.

Hơn nữa, chúng tôi đã đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G.

Hệ quả 3.3.9. Cho G là đồ thị liên thông sao cho n = 2s + 1. Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) x^V ∈ mSoc(I_G^s+1) và x^V/x_i ∈ mSoc(I/ <small>s</small>

<small>G</small>) với mọi i = 1, . . . , n. (ii) m^[2] ∈ Irr_m(I_G^s+1) và m_i ∈ Irr/ _m(I_G^s) với mọi i = 1, . . . , n.

(iii) G là đồ thị nhân tử tới hạn,

trong đó mSoc(I) := {x^a ∈ I | x/ _ix^a ∈ I với mọi i}, m^[2] := (x²₁, ..., x²_n)R và m_i := (x²₁, ..., x²_i−1, x_i, x²_i+1, ..., x²_n)R với mọi 1 ≤ i ≤ n.

Khi điều này xảy ra, ta có các khẳng định sau. (1) m = I_G^s+1 : x^V.

(2) m ∈ Ass_R(R/I_G^t) với mọi t > s + 1. (3) depth_R(R/I_G^t) = 0 với mọi t > s + 1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt Chương1, luôn giả thiếtRlà một vành giao hốn Noether và M là R-mơđun hữu hạn sinh với dim_R(M ) = d. Chúng tôi ký hiệu L cho những R-môđun không nhất thiết hữu hạn sinh.

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về môđun đối đồng điều địa phương, môđun Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, hệ số Hilbert (đặc biệt là số bội và hệ số Chern) và một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các chương sau.

1.1. Môđun đối đồng điều địa phương

Mục này dành để nhắc lại một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương phục vụ cho chứng minh kết quả chính của Chương 2. Khái niệm đối đồng điều địa phương được phát triển bởi A. Grothendieck vào những năm 1960 (xem [28]). Lý thuyết đối đồng điều địa phương ngày càng được quan tâm nghiên cứu và trở thành một công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, đặc biệt là trong Đại số giao hoán.

Cho I là một iđêan của R. Hàm tử I-xoắn cho ứng mỗi R-môđun L với môđun con Γ<small>I</small>(L) := S

(0 :<small>L</small> Iⁿ) của L; và cho ứng mỗi đồng cấu f : L → L⁰ giữa các R-môđun L, L⁰ với đồng cấu Γ_I(f ) : Γ_I(L) → Γ_I(L⁰)

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

xác định bởi Γ_I(f )(x) = f (x) với mọi x ∈ Γ_I(L). Với mỗi số tự nhiên n, môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ứng với L được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n của L với giá I và được ký hiệu là H_Iⁿ(L).

Lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương được quan tâm nghiên cứu theo nhiều chủ đề khác nhau với những thành tựu nổi bật trong suốt quá trình phát triển hơn 50 năm qua. Mặc dù vậy, cấu trúc của môđun đối đồng điều địa phương vẫn là yếu tố trừu tượng và bí ẩn. Nhìn chung, mơđun đối đồng điều địa phương của một mơđun hữu hạn sinh khơng cịn là mơđun hữu hạn sinh nữa. Nó cũng khơng nhất thiết là mơđun Artin. Thậm chí chúng ta cịn khơng biết khi nào nó triệt tiêu. Trong luận án này, chúng tôi không đề cập đến những thành tựu nêu trên mà chỉ nhắc lại một số kết quả cơ bản về tính triệt tiêu, khơng triệt tiêu và tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương liên quan đến luận án (xem [4]). Với mỗi R-môđun L, chiều của giá của L, ký hiệu là dim(Supp_R(L)), được định nghĩa là cận trên của các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong Supp_R(L). Chú ý rằng, nếu M là hữu hạn sinh thì dim(Supp_R(M )) = dim<small>R</small>(R/ Ann<small>R</small>(M )) = dim<small>R</small>(M ). Khi môđun là Artin và khác 0 thì chiều của giá của nó ln bằng 0.

Định lý 1.1.1. (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) (xem [2, Định lý 6.1.2]). ChoI là một iđêan củaR vàL là một R-mơđun. Khi đóH_Iⁿ(L) = 0 với mọi n > dim(Supp_R(L)).

Cho L là R-môđun và I là một iđêan của R. Một dãy x₁, x₂, . . . , x_r các phần tử của I được gọi là một dãy chính quy độ dài r đối với L (hay một L-dãy chính quy) nếu L 6= (x₁, x₂, . . . , x_r)L và x_i không là ước của không đối với môđun L/(x<small>1</small>, x<small>2</small>, . . . , x<small>i−1</small>)L với mọi i = 1, 2, . . . , r. Một L-dãy x<small>1</small>, x<small>2</small>, . . . , x<small>r</small> các phần tử trong I được gọi là một L-dãy chính quy cực đại trongI nếu khơng tồn tại phần tử y ∈ I sao cho x₁, x₂, . . . , x_r, y là

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

một L-dãy chính quy. Với R-mơđun hữu hạn sinh M, mỗi dãy chính quy trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy cực đại trong I và các dãy chính quy cực đại trong I đều có độ dài bằng nhau. Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M trong I và được ký hiệu là depth_R(I, M ). Khi (R,m) là vành địa phương, ta ký hiệu depth_R(M ) là độ sâu của M trong iđêan cực đại m. Định lý sau đây đặc trưng độ sâu và chiều của môđun hữu hạn sinh thông qua tính khơng triệt tiêu của mơđun đối đồng điều địa phương.

Định lý 1.1.2. (xem [2, Định lý 6.1.4]). Cho I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó

depth_R(I, M ) = min{n | H_Iⁿ(M ) 6= 0}. Nếu giả thiết thêm (R,m) là vành địa phương thì

dim_R(M ) = max{n | H_mⁿ(M ) 6= 0}. depth_R(M ) = min{n | H_mⁿ(M ) 6= 0}.

Cho I là một iđêan của R. Hạng số học của I, ký hiệu là ara(I), được định nghĩa như sau

ara(I) := min{r ∈ _N₀ | ∃x₁, x₂, . . . , x_r ∈ R : rad(x₁, x₂, . . . , x_r) = rad(I)}. Chú ý rằng, hạng số học là một khái niệm quan trọng trong Hình học Đại số, nó xác định số siêu mặt tối thiểu để định nghĩa một đa tạp đại số. Định lý sau đây, được gọi là Định lý triệt tiêu của Hartshorne, cung cấp một kết quả quan trọng liên quan đến hạng số học của iđêan thơng qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.

Định lý 1.1.3. (xem [2, Định lý 8.2.1]). Cho I là iđêan của R và M là R-mơđun hữu hạn sinh. Khi đó

H_Iⁿ(M ) = 0 với mọi n > ara(I).

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Tiếp theo, chúng tơi quan tâm đến tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương.

Định lý 1.1.4. (xem [2, Định lý 7.1.3]). Giả sử (R,m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim_R(M ) = d. Khi đó

(i) H_mⁿ(M ) là Artin với mọi n ∈ _N.

(ii) H_I^d(M ) là Artin với mọi iđêan I của R.

1.2. Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Trong mục này, luôn giả sử (R,m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Ký hiệu bR và cM lần lượt là đầy đủ m-adic của R và M.

Lớp vành và mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm trong Đại số giao hốn và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của Toán học như Lý thuyết bất biến, Đại số Tổ hợp, Hình học Đại số. Cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay được làm rõ thơng qua địa phương hóa, đầy đủ hóa, lý thuyết bội, lý thuyết đối đồng điều địa phương,... Ta luôn có bất đẳng thức depth_R(M ) ≤ d (xem [4, Mệnh đề 1.2.12]). Khi M = 0 hoặc M 6= 0 và depth_R(M ) = d thì ta nói M là mơđun Cohen-Macaulay. Nếu R là mơđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay. Sau đây là một số tính chất cơ bản của mơđun Cohen-Macaulay.

Bổ đề 1.2.1. ([41, Định lý 17.3, Định lý 17.5]). Các khẳng định sau là đúng.

(i) Nếu M là Cohen-Macaulay thì dim(R/p) = d với mọi p∈ Ass_R(M ). (ii) Cho x₁, x₂, . . . , x_i ∈ m là M-dãy chính quy. Khi đó M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M/(x<small>1</small>, x<small>2</small>, . . . , x<small>i</small>)M là Cohen-Macaulay.

(iii)M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếuM_p làR_p-môđun Cohen-Macaulay với mọi p ∈ Supp_R(M ).

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

(iv) M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu cM là Cohen-Macaulay.

Theo M. Nagata [45], M được gọi không trộn lẫn nếu dim(R/b p) = d với mọi p ∈ Ass

<small>R</small>(M )c . Theo Bổ đề1.2.1(i), (iv), nếuM là Cohen-Macaulay thì M là không trộn lẫn.

Cho I là một iđêan của R sao cho `<sub>R</sub>(M/IM ) < ∞. Khi đó hàm `_R(M/Iⁿ⁺¹M ) trở thành một đa thức khi n đủ lớn, ký hiệu là P_M,I(n). Đa thức này cũng được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M ứng với I. Do đó, tồn tại các số nguyên e₀(I; M ) > 0, e₁(I; M ), . . . , e_d(I; M ) sao cho

Hệ số e₀(I; M ) được gọi là số bội của M ứng với iđêan I. Số bội e₀(I; M ) thường được viết là e(I; M ). Chú ý rằng

dim<small>R</small>(M ) = deg P<small>M,I</small>(n)

= inf{r | x₁, . . . , x_r ∈ m sao cho `_R(M/(x₁, . . . , x_r)M ) < ∞}. Do đó, tồn tại hệ d phần tử (x₁, x₂, . . . , x_d) của m sao cho

`_R(M/(x₁, x₂, . . . , x_d)M ) < ∞.

Một hệ như thế được gọi là một hệ tham số của M. Một hệ gồm i phần tử (x₁, x₂, . . . , x_i) trong m với i < d được gọi là một phần hệ tham số nếu tồn tại x_i+1, . . . , x_d ∈ m sao cho (x₁, x₂, . . . , x_d) là hệ tham số của M. Chú ý rằng hệ (x<small>1</small>, x<small>2</small>, . . . , x<small>i</small>) các phần tử trong m là một phần hệ tham số của M nếu và chỉ nếu

dim_R(M/(x₁, x₂, . . . , x_i)M ) = d − i.

Đặc biệt, phần tử x ∈ m là phần tử tham số của M nếu và chỉ nếu dim_R(M/xM ) = d − 1, nếu và chỉ nếu x /∈ p với mọi p ∈ Assh_R(M ), trong đó Assh<small>R</small>(M ) = {p ∈ Ass_R(M ) | dim(R/p) = d}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Một iđêan q của R được gọi là iđêan tham số của M nếu q sinh bởi một hệ tham số của M. Cho x = (x₁, x₂, . . . , x_d) là một hệ tham số của M và q = (x₁, x₂, . . . , x_d)R là iđêan tham số sinh bởi x. Khi đó ta ln có 0 < e(q; M ) ≤ `<small>R</small>(M/qM ). Bổ đề sau đây cung cấp một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thông qua hệ tham số.

Bổ đề 1.2.2. (xem [41, Định lý 17.11]). Các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay.

(ii) e(q; M ) = `<sub>R</sub>(M/qM ) với mọi iđêan tham số q của M. (iii) e(q; M ) = `_R(M/qM ) với một iđêan tham số q của M. (iv) Mọi hệ tham số của M là M-dãy chính quy.

(v) Tồn tại hệ tham số của M là M-dãy chính quy.

Mơđun Cohen-Macaulay được đặc trưng thơng qua tính triệt tiêu của mơđun đối đồng điều địa phương như sau.

Bổ đề 1.2.3. (xem [2, Hệ quả 6.2.4]). Các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay.

(ii) H_mⁱ(M ) = 0 với mọi i < d.

Với mỗi iđêan tham số q của M, đặt

I(q; M ) = `_R(M/qM ) − e(q; M ).

Khi đó I(q; M ) ≥ 0. Theo Bổ đề 1.2.2, M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi I(q; M ) = 0 với mọi iđêan tham số q của M. Vì thế năm 1965, D.A. Buchsbaum đã giả thuyết I(q; M ) là hằng số không phụ thuộc vào iđêan tham số q của M. Giả thuyết này ngay sau ú c W. Vogel v J. Stăuckrad ch ra là không đúng (xem [53]). Họ đã nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết trên và gọi đó là mơđun Buchsbaum. Tiếp tục phát triển ý tưởng nghiên cứu trên, N.T. Cường, P. Schenzel và N.V. Trung [64] đã chỉ rằng nhìn chung sup I(q; M ) là vơ hạn, trong đó

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

q chạy trên các iđêan tham số của M. Từ đó họ nghiên cứu lớp mơđun có tính chất sup I(q; M ) < ∞ và gọi nó là mơđun Cohen-Macaulay suy rộng. Ngày nay lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành quen biết trong Đại số giao hoán và cấu trúc của nó cũng được làm rõ qua địa phương hóa, đầy đủ m-adic, đối đồng điều địa phương,...

Định lý 1.2.4. (xem [57, Bổ đề 1.2, Bổ đề 1.6, Bổ đề 1.7]). Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng. (ii) cM là Cohen-Macaulay suy rộng.

(iii) M_p là Cohen-Macaulay suy rộng với mọi p ∈ Supp_R(M ). (iv) `_R(H_mⁱ(M )) < ∞ với mọi i < d.

Trong phát biểu Định lý 1.2.4 (iii), chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì M_p là Cohen-Macaulay với mọi p ∈ Supp_R(M ) \ {m}.

Theo N.V. Trung [57], một hệ tham số x = (x₁, x₂, . . . , x_d) của M được gọi là hệ tham số chuẩn tắc nếu I(q; M ) = I(q⁰; M ), trong đó q = (x₁, x₂, . . . , x_d)R và q⁰ = (x²₁, x²₂, . . . , x²_d)R. Theo N.T. Cường, P. Schenzel và N.V. Trung [64], một hệ (x₁, x₂, . . . , x_m) các phần tử trong m được gọi là một dãy lọc chính quy của M nếu `_R(0 :_M/(x₁_,...,x_i−1_)M x_i) < ∞ với mọi i = 1, 2, . . . m. Rõ ràng, mỗi dãy chính quy là một dãy lọc chính quy của M. Sau đây là đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

Định lý 1.2.5. (xem [57]). M là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi M có một hệ tham số chuẩn tắc. Nếu thêm điều kiện R là vành thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là dãy lọc chính quy.

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

1.3. Hệ số Hilbert

Trong mục này, luôn giả sử (R,m) là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m vàM là một R-môđun hữu hạn sinh với dim_R(M ) = d. Mục này dành để nhắc lại khái niệm và một số tính chất về hệ số Hilbert, đặc biệt là số bội và hệ số Chern.

Cho I là một iđêan của R sao cho `<small>R</small>(M/IM ) < ∞. Khi đó đa thức Hilbert-Samuel P_M,I(n) của M ứng với I được biểu diễn dưới dạng

trong đó e_i(I; M ) là số nguyên với mọi i. Ta gọi e_i(I; M ) là hệ số Hilbert của M ứng với I. Theo W. Vasconcelos [62, 19], hệ số e₁(I; M ) được gọi là hệ số Chern của M ứng với I. Ta ký hiệu e_i(I) := e_i(I; R) với i = 0, 1, . . . , d.

Như đã trình bày trong Mục 1.2, các lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đều được đặc trưng hoặc định nghĩa thông qua số bội ứng với iđêan tham số. Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về mô tả cấu trúc của vành Noether địa phương trong mối liên hệ với tính triệt tiêu, tính chất hằng số, tính chất bị chặn dưới... của các hệ số Hilbert, đặc biệt là hệ số Chern. Nhìn chung, ta ln có e₁(q; M ) ≤ 0 với mọi iđêan tham số q của M (xem [43, Định lý 3.6]). Theo Bổ đề 1.2.1 (i), (iv) nếu M là Cohen-Macaulay thì M là khơng trộn lẫn. Hơn nữa, M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi

`<sub>R</sub>(M/q<sup>n+1</sup>M ) = `_R(M/qM ) ^{n + d} d

với mọi (với một) iđêan tham số q củaM (xem [41, Định lý 17.3]), khi và chỉ khi e_i(q; M ) = 0 với mọi (với một) iđêan tham số q của M, i = 1, 2, . . . d. Ký hiệu U_M(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Chú ý

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

rằng U_M(0) là giao của các thành phần nguyên sơ N (p) của môđun con 0 của M sao cho dim(R/p) = d. Năm 2008, W.V. Vasconcelos [62, 19] đã đưa ra Giả thuyết triệt tiêu của hệ số Chern: Nếu R khơng trộn lẫn, thì R là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e<small>1</small>(q) = 0 với một iđêan tham số q của R. Năm 2010, L. Ghezzi, S. Goto, J.Y. Hong. K. Ozeki, T.T. Phuong, và W.V. Vasconcelos [20] đã chứng minh giả thuyết trên là đúng. Khi R là không trộn lẫn, vành Buchsbaum cũng được đặc trưng bởi tính chất của e₁(q). Chúng ta nhắc lại các đặc trưng này trong mệnh đề dưới đây (xem [20, Mệnh đề 4.2], [22, Định lý 1.1]).

Mệnh đề 1.3.1. Cho R là không trộn lẫn với dim(R) ≥ 2. Khi đó

(i) Vành R là Cohen-Macaualay nếu và chỉ nếu e₁(q) = 0 với một iđêan tham số q của R.

(ii) Vành R là Buchsbaum khi và chỉ khi e₁(q) là hằng số không phụ thuộc vào iđêan tham số q của R.

(iii) Vành R là Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tập {e₁(q) | q là iđêan tham số của R} là hữu hạn.

Khi R là trộn lẫn, tính chất triệt tiêu (tính chất hằng số, tính chất bị chặn dưới) của e₁(q) khơng đặc trưng cho vành Cohen-Macaulay (vành Buchsbaum, vành Cohen-Macaulay suy rộng). Lưu ý rằng, vành R thỏa mãne<small>1</small>(q) = 0 với một iđêan tham số q củaRđược gọi là vành Vasconcelos (xem [21]). Khi đó chúng ta có kết quả sau (xem [21, Định lý 1.13], [21, Định lý 3.10] và [24, Định lý 1.1]).

Mệnh đề 1.3.2. Cho R là trộn lẫn với dim(R) ≥ 2. Khi đó (i) VànhR là Vasconcelos nếu và chỉ nếu bR/U

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

(iii) Tập {e₁(q) | q là iđêan tham số của R} là hữu hạn nếu và chỉ nếu chuỗi lũy thừa hình thức trên trường K và I = XR ∩ (Y, Z, W )R. Khi đó R khơng là Cohen-Macaulay (do R là trộn lẫn). Chú ý rằng

dim(R) = 3, R =R, Ub <small>R</small>(0) = XR/I, R/U<small>R</small>(0) ∼= K[[X, Y, Z, W ]]/XR. Hơn nữa, R/U_R(0) là Cohen-Macaulay và dim_R(U_R(0)) = 1. Do đó, theo Mệnh đề 1.3.2 (i) R là vành Vasconcelos, tức là e₁(q) = 0 với một iđêan tham số q của R.

Năm 2013, N.T. Cường. S. Goto, H.L. Trường [8, Định lý 4.2] cũng mô tả cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay dãy chiều 2 thông qua hệ số Chern. Với chiều lớn hơn2, tính Cohen-Macaulay dãy của các môđun được đặc trưng thông qua các hệ số Hilbert [8, Định lý 4.5].

Hai bổ đề sau liên quan đến hệ số Hilbert được chúng tôi sử dụng để chứng minh kết quả của luận án.

Bổ đề 1.3.3. ([7, Bổ đề 3.4]). Cho N là một môđun con của M với

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị được dùng trong luận án.

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Cho G = (V, E) là một đồ thị với tập đỉnh V và tập cạnh E. Một cạnh {u, v} ∈ E thường được viết uv (hay vu), ta nói u kề với v (hay v kề với u) và u kề với cạnh uv (hay v kề với cạnh uv). Cho S ⊆ V, ký hiệu N (S) là tập các đỉnh của V kề với một đỉnh của S. Bậc của một đỉnh v trong đồ thị G, ký hiệu bởi deg(v), là số cạnh của G kề với v. Khuyên (loop) là một cạnh nối một đỉnh với chính nó. Đồ thị đơn là một đồ thị khơng có khuyên hoặc cạnh bội. Một đỉnh bậc không (bậc một) được gọi là đỉnh cô lập (lá). Đồ thị G là liên thông nếu hai đỉnh bất kỳ u, v ∈ V luôn tồn tại một đường từ u đến v, nghĩa là tồn tại x₁, x₂, . . . , x_n ∈ V thỏa mãn ux₁, x₁x₂, . . . , x_nv ∈ E. Đồ thị con cảm sinh của G trên S, ký hiệu bởi G[S], là một đồ thị với tập đỉnh S và tập cạnh E(G[S]) = {uv ∈ E | u, v ∈ S}. Chúng tôi ký hiệu G − S = G[V \ S]. Khi S = {v}, đồ thị G − {v} = G[V \ {v}] được viết tắt thành G − v, đó là đồ thị con của G trong đó v và tất cả các cạnh chứa v đều được bỏ đi (xem [63]).

Vớin ≥ 3, chu trìnhC_n là đồ thị với tập đỉnh {v₁, v₂, . . . , v_n} và tập cạnh {v₁v₂, v₂v₃, . . . , v_n−1v_n, v_nv₁}. Với n ≥ 2,đồ thị đầy đủ trênnđỉnh là đồ thị K<small>n</small> với tập đỉnh {v₁, v<small>2</small>, . . . , v<small>n</small>} và tập cạnh {v_iv<small>j</small> | 1 ≤ i < j ≤ n}. Một đồ thị hai phần (bipartite graph) là một đồ thị có các đỉnh có thể được chia thành hai tập không giao nhau và thỏa mãn điều kiện mỗi cạnh của đồ thị được nối bởi một đỉnh từ tập này đến một đỉnh thuộc tập kia. Ta thường ký hiệu đồ thị hai phần là B_m,n nếu đồ thị có tập đỉnh chia thành hai tập khơng giao nhau, một tập có m phần tử, một tập có n phần tử, với m, n > 1.

Trong luận án này, chúng tôi luôn xét G = (V, E) là đồ thị đơn hữu hạn.

Một ghép cặp (matching) M của đồ thị G là một tập con của E sao cho hai cạnh bất kỳ củaM đều khơng có đỉnh chung. Ghép cặp gồmscạnh

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<small>Hình 1.1: C</small>₄<small>, K</small>₄ <small>và B</small>_2,3<small>.</small>

được gọi làs-ghép cặp. Ký hiệuM<small>s</small>

<small>G</small> = {M | M là một s-ghép cặp của G} là tập tất cả các s-ghép cặp. Ghép cặp tối đại của G là một ghép cặp chứa số cạnh lớn nhất của G. Số ghép cặp của đồ thị G, ký hiệu bởi ν(G), là số cạnh trong ghép cặp tối đại của G. Một ghép cặp được gọi là hoàn hảo (perfect matching) nếu mọi đỉnh của G đều kề với một cạnh của ghép cặp. Khái niệm đồ thị nhân tử tới hạn (factor-critical) được giới thiệu bởi T. Gallai [65] cho đồ thị liên thơng G thỏa mãn G − v có ghép cặp hoàn hảo với mọi v ∈ V. Một tập trội (dominating set) của đồ thị G là một tập con S ⊆ V thỏa mãn với mọi đỉnh của G khơng nằm trong S đều kề với ít nhất một đỉnh của S. Một tập trội hoàn toàn (total dominating set) của đồ thị G khơng có đỉnh cơ lập là một tập S ⊆ V thỏa mãn mọi đỉnh của G đều kề với một đỉnh trong S (xem [29]). Tập con S ⊆ V được gọi là tập cặp trội (paired dominating set) của G, nếu nó là tập trội của G và đồ thị cảm sinh G[S] có ghép cặp hồn hảo. Kiểu trội này được giới thiệu bởi T.W. Haynes và P.J. Slater trong [30], [31] và được nghiên cứu trong [50], [52]. Một đồ thị G được gọi là ghép cặp tới hạn (matching-critical), nếu với mọi đỉnh v ∈ V ta có ν(G) = ν(G − v) (xem [65]). Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một kiểu khác của tập cặp trội. Ta nói rằng tập S ⊆ V là một tập cặp trội tới hạn (critical paired dominating set) của G nếu nó là tập trội hồn tồn của G và đồ thị cảm sinh G[S] là ghép cặp

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

tới hạn.

Lưu ý rằng, nếu đồ thị G có ghép cặp hồn hảo thì G phải có số đỉnh là chẵn và mọi đỉnh của G đều thuộc vào cạnh nào đó của ghép cặp hồn hảo. Nếu G là đồ thị nhân tử tới hạn thì G ln có số đỉnh là lẻ. Theo T. Gallai [65], đồ thị G là nhân tử tới hạn nếu và chỉ nếu mọi đỉnh Tập {1, 3}, {1, 3, 5} là những tập trội hoàn toàn của G nhưng tập {1, 4} khơng là trội hồn tồn của G.

<small>Hình 1.2: Đồ thị nhân tử tới hạn</small>

(ii) Đồ thị G là nhân tử tới hạn và cũng là ghép cặp tới hạn, vì G là liên thơng và ν(G) = ν(G − i) với mọi i = 1, . . . 5.

(iii) Tập cặp trội tới hạn của G là tập {1, 3, 5}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Chương 2

Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và môđun Cohen - Macaulay

Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R,m) là vành thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương với trường thặng dư vô hạn R/m và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d.

Mục đích chính của chương là đưa ra hai đặc trưng mới cho tính Cohen-Macaulay của các vành Noether địa phương(R,m)và các R-môđun hữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ.

Trong Mục 2.1, chúng tơi trình bày một số kết quả về lọc chiều và hệ g-tham số, đồng thời thông qua hệ g-tham số để đưa ra một điều kiện cần cho M/U_M(0) là Cohen-Macaulay. Mục 2.2 dành để nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời đưa ra hai tính chất bổ trợ (Bổ đề 2.2.5, Bổ đề 2.2.10) về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy. Cuối cùng, chúng tôi chứng minh kết quả chính của Chương trong Mục 2.3. Nội dung Chương này được trình bày dựa theo bài báo [55].

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

2.1. Lọc chiều và hệ g-tham số

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và hệ g-tham số. Khái niệm lọc chiều được giới thiệu bởi P. Schenzel [51]. Sau đó N.T. Cường - L.T. Nhàn [9] và N.T. Cường - S. Goto - H.L. Trường [8] đã điều chỉnh lại đôi chút định nghĩa này bằng cách bỏ đi những thành phần lặp để thuận tiện hơn cho việc sử dụng. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng khái niệm lọc chiều được giới thiệu trong [8].

Đặt Λ(M ) = {dim(R/p) | p ∈ Ass_R(M )} và t := |Λ(M )|. Sắp xếp Λ(M ) = {d₁, . . . , d_t | 0 ≤ d₁ < d₂ < · · · < d_t = d}.

Vì M là Noether nên tồn tại môđun con lớn nhất D_i của M thỏa mãn dim_R(D_i) = d_i với mọi 1 ≤ i ≤ t. Khi đó lọc các mơđun con của M

là phân tích ngun sơ thu gọn của mơđun con 0 của M, trong đó N (p) là mơđun con p-nguyên sơ của M. Khi đó theo [51, Mệnh đề 2.2] ta có

là mơđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Nếu Ass_R(M ) = Assh_R(M ) thì t = 1 và 0 ₍ M là lọc chiều của M. Nếu Ass_R(M ) = Assh_R(M ) ∪ {m} thì t = 2 và 0 ₍ H_m⁰(M ) ₍ M là lọc chiều của M. Đặc

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

biệt, nếu M là Cohen-Macaulay thì 0 ₍ M là lọc chiều của M. Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì 0 ₍ M hoặc 0 ₍ H_m⁰(M ) ₍ M là lọc chiều của M.

Cho D : D₀ = 0 ₍ D<small>1</small> ( D<small>2</small> ( · · · ₍ D_t = M là lọc chiều của M. Với mọi 1 ≤ i ≤ t, ta đặt C<small>i</small> = D<small>i</small>/D<small>i−1</small>. Khi đó ta có mệnh đề sau đây. Mệnh đề 2.1.1. (xem [51, Hệ quả 2.3]). Các phát biểu sau là đúng với mọi 1 ≤ i ≤ t.

(i) Ass_R(M/D_i) = {p ∈ Ass_R(M ) | dim(R/p) ≥ d_i+1}. (ii) Ass_R(D_i) = {p ∈ Ass_R(M ) | dim(R/p) ≤ d_i}.

(iii) Ass_R(C_i) = {p ∈ Ass_R(M ) | dim(R/p) = d_i}.

Dựa vào khái niệm lọc chiều ở trên, chúng tôi nhắc lại định nghĩa môđun Cohen-Macaulay dãy. Lớp môđun Cohen-Macaulay dãy xuất hiện tự nhiên trong các ứng dụng của Đại số giao hoán vào các bài toán tổ hợp và được giới thiệu đầu tiên bởi R.P. Stanley cho trường hợp phân bậc nhằm nghiên cứu vành Stanley-Reisner (các vành này nói chung là trộn lẫn). Sau đó, N.T. Cường - L.T. Nhàn [9] và P. Schenzel [51] nghiên cứu trong trường hợp địa phương.

Định nghĩa 2.1.2. Cho D : D₀ = 0 ₍ D₁ ₍ D₂ ₍ · · · ₍ D_t = M là lọc chiều của M. Ta nói M là Cohen-Macaulay dãy nếu D_i/D_i−1 là môđun Cohen-Macaulay với mọi i = 1, 2, . . . ,t.

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của iđêan tham số tách và iđêan g-tham số. Giả sử D : D₀ = 0 ₍ D<small>1</small> ( D<small>2</small> ( · · · ₍ D_t = M là lọc chiều của M. Khái niệm iđêan tham số tách ứng với lọc chiều D được định nghĩa như sau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Định nghĩa 2.1.3. (xem [51]). Một hệ tham số (x<small>1</small>, x<small>2</small>, . . . , x<small>d</small>) của M được gọi là tách, nếu

(x_j | d_i < j ≤ d)D_i = 0

với mọi 1 ≤ i ≤ t. Iđêan tham số q của M được gọi là tách nếu nó sinh bởi một hệ tham số tách.

Nhận xét 2.1.4. (i) Hệ tham số tách luôn tồn tại (xem [51, Bổ đề 2.6]). (ii) Nếu (x₁, x₂, . . . , x_d) là hệ tham số tách của M thì (xⁿ<small>1</small>

<small>1</small> , xⁿ<small>2</small>

<small>2</small> , . . . , xⁿ<small>d</small>

<small>d</small> ) là tách với mọi số nguyên n₁, n₂, . . . , n_d ≥ 1 (xem [58, Bổ đề 2.3]).

(iii) Nếu M là mơđun Cohen-Macaulay thì M có lọc chiều 0 ₍ M và do đó mọi iđêan tham số của M đều là iđêan tham số tách.

Cho x₁, x₂, . . . , x_m là các phần tử của m. Ta ký hiệu q_i là iđêan (x₁, x₂, . . . , x_i)R với i = 1, . . . , d và quy ước rằng q₀ là iđêan khơng của R. Khi đó dãy x₁, x₂, . . . , x_m ∈ m được gọi là d-dãy trên M nếu

q_iM :_M x_i+1x_j = q_iM :_M x_j

với mọi 0 ≤ i < j ≤ m (khái niệm d-dãy được giới thiệu bởi C. Huneke [37]). Dựa trên khái niệm iđêan tham số tách và d-dãy, H.L. Trường [61] đã giới thiệu khái niệm iđêan g-tham số. Iđêan này đóng vai trị chìa khóa để chứng minh một trong những kết quả chính của luận án.

Định nghĩa 2.1.5. Hệ tham số tách (x₁, x₂, . . . , x_d) của M được gọi là hệ g-tham số trên M, nếu nó là d-dãy và

Ass(C_i/q_jC_i) ⊆ Assh(C_i/q_jC_i) ∪ {m}

với mọi 0 ≤ j ≤ d − 1 và 0 ≤ i ≤ t. Iđêan tham số q của M được gọi là iđêan g-tham số nếu nó sinh bởi một hệ g-tham số của M.

Chú ý rằng hệ g-tham số luôn tồn tại [61, Hệ quả 2.8].

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Ví dụ 2.1.6. (i) ChoR = K[[X<small>1</small>, X<small>2</small>, . . . , X<small>d</small>]]là vành chuỗi lũy thừa hình thức trên trườngK. Ta có X = (X₁, X₂, . . . , X_d) là một hệ tham số củaR. VìR là Cohen-Macaulay nênX là một hệ g-tham số và (X₁, X₂, . . . , X_d)R là iđêan g-tham số của R.

(ii) Cho A = R/I, trong đó R = K[[X, Y, Z]] là vành chuỗi lũy thừa hình thức trên trường K và I = XR ∩ (Y, Z)R. Ta có dim_R(A) = 2 và depth_R(A) = 1 nên A khơng là Cohen-Macaulay. Hơn nữa, A có lọc chiều là

0₍ XR/I ₍ A.

Do đó A là Cohen-Maccaulay dãy nhưng A không là Cohen-Macaulay suy rộng. Hệ (X − Y, Z) là g-tham số của A. Do đó (X − Y, Z)R là iđêan g-tham số của A.

(iii) Cho A = R/I, trong đó R = K[[X, Y, Z]]là vành chuỗi lũy thừa hình thức trên trường K và I = XR ∩ (X², Y, Z)R. Ta có dim_R(A) = 2 và depth_R(A) = 0. Do đó A không là vành Cohen-Macaulay. Hơn nữa, lọc chiều của A là

D : 0 ₍ XR/I ₍ A.

Do đó A là vành Cohen-Macaulay dãy và A là Cohen-Macaulay suy rộng. Hệ (Y, Z) là g-tham số của A. Do đó (Y, Z)R là iđêan g-tham số của A.

Cho D : D₀ = 0 ₍ D<small>1</small> ( D<small>2</small> ( · · · ₍ D_t = M là lọc chiều của M. Bổ đề sau đây cho ta một điều kiện cần để môđun C_t = M/D_t−1 là Cohen-Macaulay.

Bổ đề 2.1.7. Giả sử (x₁, x₂, . . . , x_d) là một hệ g-tham số trên M với d ≥ 2. Cho 0 ≤ j ≤ d − 2, ký hiệu N<small>j</small>/q_jM là mơđun con U_M/q_j_M(0) của M/q_jM. Nếu M/N_j là Cohen-Macaulay thì C_t = M/D_t−1 là Cohen-Macaulay.

Chứng minh. Nếu d = 2 thì N₀ = D_t−1. Khi đó C_t = M/N₀ là môđun Cohen-Macaulay. Giả sử d ≥ 3. Dựa vào tính chất của hệ g-tham số, ta

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

thấy rằng nếu Bổ đề đúng với j − 1 thì Bổ đề cũng đúng với j. Do đó ta chỉ cần chứng minh Bổ đề đúng với j = 1 là đủ. Với môđun con L của M, ký hiệu L = (L + xM )/xM với x := x₁ và N := N₁. Theo định nghĩa của hệ g-tham số, ta có Ass<small>R</small>(C_t/xC_t) ⊆ Assh<small>R</small>(C_t/xC_t) ∪ {m}. Vì x là phần tử tham số của M nên x /∈ p với mọi p ∈ Assh_R(M ). Theo Mệnh đề 2.1.1

ta có

Ass_R(C_t) = {p ∈ Ass_R(M ) | dim(R/p) = d}.

Từ đó Ass_R(C_t) = Assh_R(M ). Do đó x là C_t-chính quy. Vì thế để chứng minh C_t là Cohen-Macaulay, ta chỉ cần chứng minh C_t/xC_t là Cohen-Macaulay. Chú ý rằng C_t/xC_t ∼_{= M/(D}

<small>t−1</small> + xM ) và M/N là mơđun Cohen-Macaulay. Do đó ta chỉ cần chứng minh N = D_t−1 + xM. Ta có N = (N + xM )/xM là môđun con U_M/xM(0) của M/xM. Do vậy H_m⁰(M /D_t−1) = N /D_t−1. Vì vậy N /D_t−1 có độ dài hữu hạn. Suy ra H_mⁱ(N /D_t−1) = 0 với mọi i > 0. Mặt khác, vì M /N là Cohen-Macaulay chiều d − 1 nên từ dãy khớp

Từ đóxH_m¹(C_t) = H_m¹(C_t). DoAss_R(C_t) = Assh_R(M )vàRlà vành thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương nênC_t là không trộn lẫn. Theo

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

[23, Bổ đề 3.1], H_m¹(C_t) là hữu hạn sinh. Áp dụng Bổ đề Nakayama ta có

2.2. Chỉ số khả quy và số bội bất khả quy

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, trước hết là một số kết quả về chỉ số khả quy được chứng minh bởi N.T. Cường, P.H. Quý và H.L. Trường trong [11], sau đó chúng tơi chứng minh những tính chất về chỉ số khả quy, số bội bất khả quy được dùng trong luận án.

Một môđun con thực sự N của M là bất khả quy nếu N không thể viết thành giao của hai môđun con của M thực sự chứa N. Nhắc lại rằng, mọi môđun con thực sự N của M đều phân tích được thành giao của hữu hạn môđun con bất khả quy (xem [66]) và số môđun con bất khả quy xuất hiện trong phân tích bất khả quy thu gọn của N là một bất biến khơng phụ thuộc vào phân tích mà chỉ phụ thuộc vào N và M. Ở đây, một phân tíchN = T<small>n</small>

<small>i=1</small>N_i với các N_i bất khả quy được gọi là phân tích bất khả quy thu gọn của N nếu mỗi N_i là không thừa. Bất biến này được gọi là chỉ số khả quy của N trong M và được ký hiệu là ir_M(N ).

Từ khái niệm chỉ số khả quy, bài toán được quan tâm là xác định cơng thức tính chỉ số khả quy. Khi (R,m) là vành địa phương, ta ký hiệu Soc(M ) = (0 :<small>M</small> m) là đế của M. Nếu N là môđun con của M sao cho `<small>R</small>(M/N ) < ∞ thì ir<small>M</small>(N ) = `<small>R</small>((N :<small>M</small> m)/N ) = dim_R/mSoc(M/N ) (xem [11, Nhận xét 2.2]). Đặc biệt, nếu q là iđêan tham số của M thì chỉ số khả quy của môđun con qM của M được cho bởi công thức

ir<small>M</small>(qM ) = dim_R/m(Hom<small>R</small>(R/m, M/qM )) = dim_R/mSoc(M/qM ).

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Bổ đề sau đây cho ta cơng thức tính chỉ số khả quy ir_M(N ) trong trường hợp R không nhất thiết là địa phương và M/N khơng nhất thiết

trong đó k(p) = R_p/pR_p là trường thặng dư của R_p.

Ngoài ra, với bất kỳ p ∈ Ass_R(M/N ), tồn tại môđun con p-nguyên sơ N (p) của M với ir<small>M</small>(N (p)) = dim_k(p)Soc(M/N )_p sao cho

<small>p∈Ass</small>_R<small>(M/N )</small>

N (p)

là phân tích nguyên sơ thu gọn của N.

Gần đây, T.N. An, T.D. Dung, S. Kumasiro và L.T. Nhan đã xác định được cơng thức tính ir<small>M</small>(N ) qua chuyển phẳng [1]. Cấu trúc của M cũng có thể mơ tả thơng qua tính chất của chỉ số khả quy. Năm 1954, D.G. Northcott và D. Rees [46] đã chứng minh rằng R là vành Gorenstein nếu và chỉ nếu ir_R(q) = 1 với mọi iđêan tham số q của R. Hơn nữa, M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi ir_M(qM ) = dim_R/m(0 :_H<small>d</small>

<small>m(M )</small> m) với mọi iđêan tham số q của M (xem [47, Định lý 3], [11, Định lý 5.2]). Giá trị r<small>d</small>(M ) := dim_R/m(0 :_H<small>d</small>

<small>m(M )</small> m) được gọi là kiểu Cohen-Macaulay của M. Chú ý rằng, S. Endo và M. Narita [18] đã xây dựng một vành Noether địa phương không Cohen-MacaulayRthỏa mãn ir_R(q) = 2với mọi iđêan tham số q của R. Điều này chứng tỏ rằng tính chất hằng số của ir_R(q) không đặc trưng vành Cohen-Macaulay. Khi M là môđun Buchsbaum, ir_M(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong m² (xem [27, 25]) của M. Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì tồn tại n ∈ _{N sao cho} ir_M(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số q chứa trong mⁿ của M (xem [13, 10]).

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Năm 2013, H.L. Trường [58] đã chứng minh rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì tồn tại n ∈_{N sao cho} ir_M(qM ) là hằng số với mọi iđêan tham số tách q chứa trong mⁿ của M. Năm 2019, N.T. Cường và P.H. Quý [12] đã chứng tỏ rằng chỉ số khả quy của mọi iđêan C-tham số của M là hằng số. Sau đây là một ví dụ về một vành không là Cohen-Macaulay suy rộng nhưng chỉ số khả quyir_R(q)là hằng số với mọi iđêan tham số q ⊆ m². Ví dụ 2.2.2. Chon ≥ 2và Rlà vành địa phương chính quy chiềun+1 với iđêan cực đại(X, Y₁, Y₂, . . . , Y_n)R. Giả sử A = R/[XR∩(Y₁, Y₂, . . . , Y_n)R] và m = (X, Y₁, Y₂, . . . , Y_n)A là iđêan cực đại của A. Ta có A là vành Noether địa phương chiều n và depth_R(A) = 1. Do đó A không là vành Cohen-Macaulay và A không là Cohen-Macaulay suy rộng. Tuy nhiên ta ln có ir<small>A</small>(q) = 2 với mọi iđêan tham số q ⊆ m².

Thật vậy, đặt p = (Y₁, Y₂, . . . , Y_n)A. Ta có dim_R(A/XA) = n và dim_R(A/p) = 1. Do đó vành A khơng là Cohen-Macaulay suy rộng vì iđêan ngun tố liên kết XA và p có chiều khác nhau [53, Mệnh đề 16]. Giả sử q là iđêan tham số củaAchứa trong m².Xét dãy khớp cácA-môđun sau:

0 → A/p → A → A/XA → 0.^.X

Chú ý rằng A/XA ∼= R/XR là A-môđun Cohen-Macaulay chiều n. Do q cũng là iđêan tham số củaA/XA nên theo Bổ đề 1.2.2, q sinh bởi một dãy A/XA-chính quy. Do đó Tor¹_A(A/q, A/XA) = 0. Tenxơ dãy khớp trên với A/q ta được dãy khớp

0 → A/p⊗ A/q → A ⊗ A/q → A/XA ⊗ A/q → 0. Bằng cách sử dụng đẳng cấu cơ bản ta thu được dãy khớp

0 → A/(p+q) → A/q → A/(XA +q) → 0.

Tiếp theo, tác động hàm tử Hom_A(A/m, •) ta thu được dãy khớp 0 → (0 :_A/(p+q) m) → (0 :_A/q m) → (0 :_A/(XA+q) m).

</div>