Ứng dụng công thức viète trong toán sơ cấp

DAI HOC DA NANG

TRUONG DAI HOC SU PHAM

NGUYEN THI HONG NHAN

UNG DUNG CONG THUC VIETE

TRONG TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

QUẢNG BÌNH - NĂM 2020

DAI HOC DA NANG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYEN THI HONG NHAN

UNG DUNG CONG THUC VIETE

TRONG TOAN SO CAP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Nguyễn Ngọc Châu

QUẢNG BÌNH - NĂM 2020

LOI CAM ON

Trước hết, tôi xin bày tổ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Ngọc

Châu, người đã tận tình hướng dẫn để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tiếp theo tôi xin chân thành cảm ơn tồn thể các giảng viên trong khoa
Tốn, Trường Dại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy
trong suốt q trình tơi học tập tại khoa.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt là
các thành viên trong lớp Thạc sỹ Phương pháp Toán sơ cấp K36 Quảng
Bình đã động viên, khích lệ tơi trong suốt quá trình học tập và thực hiện

luận văn này.

Quảng Hình, ngày 29 tháng 4 năm 2020

Min Học viên

Nguyễn Thị Hồng Nhạn

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các khái
niệm và kết quả nêu trong luận văn được tham khảo từ các tài liệu khoa
học đáng tin cậy và được chỉ rõ nguồn gốc trích dẫn.

Quảng Hình, ngày 29 tháng4 năm 2020
Học viên

— Nhạn

Nguyễn Thị Hồng

TRANG THONG TIN LUAN VAN THAC Si
Tén dé tai: UNG DUNG CONG THUC VIETE TRONG TOAN SO CAP

Ngành: — Phuong phép toán sơcấp

Họ và tên hoc vién: NGUYEN THI HONG NHAN
Nguoi huéng din khoahoc: TS. Nguyễn Ngọc Châu

Cơ sở đào tạo: Trường ĐHSP- Đại học Đà Nẵng.

Luận văn: “Ứng dụng cơng thức Viète trong tốn sơ cấp” đã đạt được mục đích và nhiệ m vụ đề ra,
cụ thể luận văn đã thực hiện được các vấn dé sau: i

1. Hệ thống và phân loại một số lớp bài tốn sơ cấp có thể giải được bằng công thức Viète,
2. Ứng dụng công thức Viète để giải những lớp bài toán đại số, số học, giải tích, và hình học
chương trình tốn bậc phổ thông. thuộc

3. Đối với mỗi lớp bài tốn đều có đề xuất phương pháp giải và nhiều ví dụ minh họa.
bài tốn có liên quan đến nghiệm của phương trình đại số một cách Cơng thức Viète và các ứng dụng của nó có vai trò quan trọng, mở p r h a o hướng giải quyết cho nhiều
toán liên quan đến hàm số, số học, giải thích, lượng giác, hình học ... ng phú và đa dạng như các bài

quan hệ định tính, định định lượng giữa các nghiệm số với các hệ số của một phương trình đại số, Giúp

học sinh nhìn nhận các bài tốn trong mối quan hệ sinh động của sự rằng buộc giữa biến số và tham sd,

giữa hằng và biến, nhằm góp phần nâng cao chất lượng học tập mơn tốn.

nhằm chứng tỏ sự ứng dụng đa dạng và hiệu quả Hy vọng trong thời gian tới, nội dung của luận vă c n ủa cò c n ông tiếp thứ t c ục V đ i ư è ợ te c t b r ổ ong sun t g oán và họ h c o . àn thiện hơn
Từ khóa: Cơng thức Viète, tìm nghiệm, chứng minh, đa thức, tính giá trị.
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn
Người thực hiện đề tài

Bie ee a

TS Nguyén Ngoc Chau Nguyén Thi Hong Nhan

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: THE APPLICATION OF VIETE FORMULA IN ELEMENTARY
MATHEMATICS

Major: Elementary Mathematics Methods

Full name of Master student: NGUYEN THI HON G NHAN

Supervisors: PhD. Nguyen Ngoc Chau

Training institution: The University of Da Nang - University of Science and

Education

required goals and missions. Specifically, it has done the following: The thesis “The application of Vidte formula in elementary mathematics” has achieved all

Viéte formula. 1. Systematizing and classifying some of the elementary math problems which can be solved by

high school program. 2. Applying Vitte formula to solve problems of algebra, arithmetics, analytics and geometry in

3. For each type of problem, there are some solving methods as well as examples. for solving
mathematical
Viéte formula and its applications play important roles in Opening up the way
mathematical problems, which is related to solutions of algebraic equations such as

function, arithmetics, analytics, trigonometry, geometry,...

helps st u u n d d en e t r s stan to d m d o e r ep e ly abo u u n t de t r h s e ta p n r d obl a e b m o s ut in t t h h e e r s e olutions of algebraic equations. B Teaching “Viéte formula and its application in mathematical equations” in high school esides, programs
they can
lationship between variables and parameters, constant and
variables. Therefore, the quality of studying mathematics can be improved.

Hopefilly, in the future, the content of this thesis will continue to be supplemented and improved

to demonstrate the diverse and effective application of the Viéte formula in mathematics, mathematical
Key v w a o l r ue d , s: Viéte formula, find solutions, mathematical proof, polynomial, calculate

Supervior’s confirmation Student

1 ee? ..

PhD. Nguyên Ngoc Chau Nguyen Thi Hong Nhan

MUC LUC

MG DAU 1

1 Các kiến thức chuẩn bị 3

11 Dathứcmộtẩn ........... ee 3

1.1.1 Xây dựng vành đa thức mộtẩn............ 3

1.1.2 Bậc của đa thức mộtẩn................ 5

113 Phép cha ecódư......... co 5

1.1.4 Nghiệm của đa thứcmộtẩn ............. 6

1.2 Đathứcnhiềuẩn ...........c.ố.V. 7

1.2.1 Xây dựng vành đathứcnẩn ............. ĩ

1.2.2 Bậc của đa thức nhềuẩn............... 8

123 Đathức đốixứng «2226e5 e e2 as2 e b5ees 8

1.2.4 Cong thtic Viete. 2 2, 10

1.3. Một số định lí về hàm liên tục ................. 10

1.44 Day truy hồi và đa thức đặc trưng ............... 11

1.5 Một số công thức lượng giác và các bất đẳng thức quen biết 11

1.5.1 Công thức lượng giác ................. 11

1.5.2 Các bất đẳng thức quenbiết ............. 12

2 _ Những ứng dụng của công thức Viète 14

2.1 Ứng dụng công thức Viète trong đại số và số học ........ 14

2.1.1 Các bài toán về đa thức, phương trình đại số ......

2.1.2 Các bài toán về đathức.................

21.3. Giải hệ phương trình .................

2.1.4 Chứng minh bất đẳng thức..............
2.1.5 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

2.1.6 Ứng dụng công thức Viète trong số học ..........

2.2 Ứng dụng công thức Viète trong giải tích ..........
2.2.1 Các bài toán liên quan đến giao điểm của đồ thị hàm

số với một đường thẳng.................

2.2.2 Các bài toán cực trị của hàm số ...........

2.23. Các bài toán về tiếp tuyến ................

2.3 Ứng dụng công thức Viète trong lượng giác và hình học

KÊT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO)

MO DAU

1. Ly do chon dé tai

Đa thức là một trong các khái niệm cơ bản của đại số nói riêng và của

tốn học nói chung. Bài tốn tìm nghiệm của đa thức, của phương trình
đại số bằng căn thức đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong

nhiều thế kỷ. Trong q trình tìm lời giải cho bài tốn này, nhiều tính chất

về nghiệm của đa thức đã được phát hiện. Một trong những tính chất đó
là mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ tử của đa thức, nó được thể hiện

bằng một cơng thức nổi tiếng - Công thức Viètc.

Ung dụng của công thức Vièềte khá phong phú và hiệu quả. Trong

chương trình tốn bậc phổ thơng, học sinh được học cơng thức Viète đối

với phương trình bậc hai. Với các trường chuyên lớp chọn, học sinh cịn

được học cơng thức Viète đối với phương trình bậc ba, tuy nhiên thời

lượng khơng nhiều và chỉ ở một mức độ nhất định. Với mục đích tìm hiểu

và hệ thống hóa những ứng dụng của cơng thức Viète trong chương trình
tốn phổ thơng, chúng tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là:

“ Ứng dựng cơng thức Viète trong tốn sơ cắp”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu, nghiên cứu các ứng dụng của cơng thức Viète trong giải

toán sơ cấp.
- Hệ thống và phân loại các dạng toán sơ cấp có thể giải được bằng

cơng thức Viète.

- Dịnh hướng việc ứng dụng công thức Viète cho từng lớp bài toán.

3. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

- Đa thức, phương trình đại số.

- Công thức Viète và các ứng dụng trong toán sơ cấp.

- Các dạng tốn bậc phổ thơng được giải bằng cơng thức Viète.
4. Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu có nội dung liên quan đến

1

đề tài luận văn, đặc biệt là các tài liệu về cơng thức Viète.

- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện đề tài

luận văn.

- Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, của
chuyên gia và của các đồng nghiệp.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Cơng thức Viète và các ứng dụng của nó có vai trị quan trọng, mở ra

hướng giải quyết cho nhiều bài tốn có liên quan đến nghiệm của phương

trình đại số một cách phong phú và đa dạng, như các bài toán liên quan

đến hàm số, số học, giải tích, lượng giác, hình học ...

Việc dạy cơng thức Viète và các ứng dụng của nó trong chương trình

tốn bậc phổ thơng có ý nghĩa đặc biệt là làm cho học sinh hiểu sâu sắc

hơn về các nghiệm của một phương trình đại số, nêu được quan hệ định
tính, định lượng giữa các nghiệm số với các hệ số của một phương trình
đại số, giúp học sinh nhìn nhận các bài tốn trong mối quan hệ sinh động

của sự ràng buộc giữa biến số và tham số, giữa hằng và biến, nhằm góp

phần nâng cao chất lượng học tập mơn tốn.
6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận
văn được chia thành hai chương:

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về đại số, giải tích và lượng

giác đủ để làm tiền đề cho chương sau.

Chương 2. Những ứng dụng của công thức Viète

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng
của cơng thức Viète trong giải toán sơ cấp.

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về đại số, giải tích và lượng
giác đủ để làm cơ sở cho chương sau. Các chỉ tiết liên quan có thể xem

trong (5), [9], (12).

1.1 Da thức một an

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một an

Giả sử A là một vành giao hốn, có đơn vị ký hiệu là 1. Ta gọi P là tập

hợp các day (ao, a1, ...,@n, -..) trong d6 a; € A, véi moi i € N va a; = 0 tất
cả trừ một số hữu hạn.

Trên ?P ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:

(đo, Q1, +++; On, ++) + (Bo, O1, «25 Dạ, ...) = (đọ + 0, a1 + 1, 4) Qn + Ùạ, ...)

(00;đ1soidngaa) X (8 Duy y se Duy) (G6 ũsyan) (1.2)

Với Cy = đgÖy + đ1Öy—1 +... + dạ = > ajb;, k= 01,2, vee

¿17k

Vì các ø; và b¡ bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên các ø¿ + b; và các

c¡ cũng bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn. Vậy (1.1) và (1.2) xác định hai

phép toán trong tập ?.

Tập cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên là một vành giao
hốn có đơn vị. Phần tử không của phép cộng là dãy (0,0,...), phần tử

3

đơn vị của phép nhan 1a (1, 0,...).

Xét day « = (0,1,0,...,0,...) € P.

Theo quy tac ctta phép nhan trong P, ta cé:

+? = (0,0,1,0,...,0,...)
+3 = (0,0,0,1,0,...,0,...)

x” = (0,...,0,1,0,...,0,...),n € N*

Ta quy ude x° = (1,0,0, ¬

Mặt khác, xét ánh xạ:

A—P

at— (a,0,0,...)

Dé dang kiểm chứng được ánh xạ này là một đơn cấu vành, do đó ta

đồng nhất phần tử a € A với dãy (a,0,0,...) € P và xem 4 là một

vành con của vành P. Vi mỗi phần tử của P là một dãy (đo, ai, ..., đạ, ...),
với œ; = 0 tất cả trừ một số hữu hạn, nên mỗi phần tử của P có dạng

(ao, ứi,..., a„,0,0,...), trong đó đo,ứ,...,a„ € A (không nhất thiết khác
0).

Việc đồng nhất ø với (œ,0,0,...) và việc đưa vào dãy # cho phép ta viết

(a9, @1, +; Any 0,0, «..) = (a9, 0,0, -..) + (0, a1, 0,0, ...) +... + (0, 50, dn, Ú,...

= (ao0,,0, ...) + (a1,0, 0, ...)(0, 1, 0,...) +...

+(a,,0,0,...)(0,...0, 1,0, ..,0, ..)

n

= apr? + az + age? +... + az”.

Dinh nghia 1.1.1. Vanh P duoc định nghĩa như trên được gọi la vanh

đa thúc của ẩn + lấu hệ tử trong A, gọi tắt là uành đa thúc ẩn x trén A,
ký hiệu là 4lz]. Các phần tử của A[z] được gọi là các đa thức của ẩn z
lấy hệ tử trong 4 và thường ký hiệu là ƒ(z), ø(+),...

Trong một đa thức ƒ(#) = ag#°+ai#-+as#2-+...-++au+", các a¡,¡ = ,n

4

được gọi là các hệ tử của đa thức, cdc aja’ dude gọi là các hạng tử của đa
thức và đặc biệt aạ = øo#9 được gọi là các hạng tử tự do của đa thức.

Trên Alz] lay

f(x) =agx® + aya + aga? +... + ann”
g(x) =bu#9 + bya + boa? +... + bn”,

vay f(x) = g(x) khi va chi khi a; = b;,Vi = 0,n.

1.1.2 Bậc của đa thức một ẩn

Dinh nghia 1.1.2. Cho da thite f(x) = agr° + av + aga? +... + aya”

khác 0, với ø„ # 0. Ta gọi bậc của ƒ(+) là n, ký hiệu deg ƒ(+) = n. Hệ tử
a, được gọi là hệ tử cao nhất của ƒ(z).

Quy ước: Da thức 0 khơng có bậc.

Dinh li 1.1.1. [12] Gid si f(x) va g(x) la hai da thức khác 0

1. Néu deg f(x) 4 deg g(x) thi f(x) + g(x) 40 va

deg (f(x) + g(@)) = max (deg f(x), deg g()) .

2. Néu deg f(x) = deg g(x) va f(x) + g(x) £0 thi

deg (f(x) + 9(x)) < deg f(x).

3. Néu f(x).g(x) #0 thi deg (f(x).g(x)) < deg f(x) + deg g(x).
Hé qua 1.1.1. [12]

1. Nếu A là một mién nguyén, f(x) va g(x) la hai da thúc khác 0 của uành
Ala], thà f(x).g(x) 40 va

deg (f(x).9(a)) = deg f(x) + deg g(2).

2. Nếu A là một miền nguyên thà Alz| cũng là một miền nguyên.

1.1.3 Phép chia có dư

Dinh li 1.1.2. [12] Gid st A la mot trudng, f(x) va g(x) la hai da
thúc khác 0 ctia vanh Ala], thế thà bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất

5

q(x), r(x) € Ala] sao cho"ml"

f(x) = g(x)q(x) + r(x) vdi deg r(x) < deg g(x) néu r(x) # 0.

Da thtic q(x), r(x) ở trên được gọi tương ứng là thương va du trong

phép chia ƒ(z) cho ø(z).

1.1.4 Nghiệm của đa thức một ẩn

Định nghĩa 1.1.3. Giả sử e là một phần tử tùy ý của vành A va

f(x) = agx” + aya?! +... + Gynt + an

1a mot da thite bat ky cia vanh Ala]. Phan tit

flo) = age” Haye? +... + anc +a, €A

có được bằng cách thay # bởi e được gọi là giá trị của f(x) tai c. Néu
ƒ(c) =0 thì e được gọi là nghiệm của đa thúc ƒ(2).

Tìm nghiệm của đa thức ƒ(+) bậc œ # 0 trong 4 tức là giải phương
trình đại số bậc m0: ag#”" + ax#"~! +... + a„ 1# + a„y = 0,a„ # 0, trong A.

Dinh li 1.1.3. [5] Gid st A la mot trudng, c € A, f(x) € Ala]. Du trong
phép chia ctia f(x) cho (a —c) la f(c).

Hệ quả 1.1.2. c la mét nghiém cia f(x) khi va chi khi f(x)ia —c.

Dinh li 1.1.4. [10] Cho da thitc f(x) € Z[x],degf =n,

f(a) = aga” + aya?! +... +. Gn 1 + Gn, ao # 0-

Noghiém hitu ti ctia f(x) néu c6 x = ,(p,g) = 1, thàp là ước của hệ số tự

do dn 0à q là ước của hệ số cao nhất dạ.

Định lí 1.1.5. (Tiêu chuẩn Eisenstein) [5] Cho da thức uới hệ số nguyên

bac n: f(x) = apa” + aya"! +... + dn 12 + an, a9 #0. Gia stk ton tai sd

nguyên tố p thỏa mãn những điều kiện sau:

6

1. ag khéng chia hét cho p. của f(x) chia hét cho p.

2. Tat cả các hệ số khác ao

3. dn khong chia hét cho p?.

Khi đó da thức f(x) bat kha quy trong Q{z].

1.2 Đa thức nhiều ẩn

1.2.1 Xây dựng vành đa thức ø ẩn

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử 4 là một vành giao hoán có đơn vị. Ta đặt:

Ay = Ai], 4a = Aiaal,..., » = Aa-il#a].

Vanh A, = Az_ilza] được ký hiệu Alz, za,..., #„| và được gọi là vành đa
thức của n ẩn #,#a,...,=„ lấy hệ tử trong A. Mỗi phan tử của A„ được

gọi là một đa thức m ẩn #1, #a,..., #„ lấy hệ tử trong 4 và thường được ký

hiệu là ƒ(#1,#s,..., #„), 0(1, Va, +, Un),

'Từ định nghĩa trên ta có 4;_¡ là vành con của vành A;,i = I,n.

Ao= AC AiC 4a¿C...ACạ.

Từ đó với mọi ƒ(#I,#a,....#„) € A|zi,#a,....„] ta đều có thể viết dưới

dang:

ƒ(đ1, #a,..., Tu) =C181)1))2..gnnn + ca112122...00n +...
ACE ni Dy„n2 đựng 00

với c¡ € A; aj, aia, «.., din, i = 1,m 1a cdc 86 tu nhién va

(đại, địa, mở din) # (aj1, QjQ, v5 jn) Khi ¿ # J.

Cac c dude SgIoi 1a cdc hé ttt, } eœ;+azƒ"z29?...z#n“ được 8 gọi là các hạng 6 tử của

đa thức f (224;4a) rn)

Da thức ƒ(#1,#a,..., #„) = 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ tử của nó bằng 0.
ĩ

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử ƒ(zq,zs,...,#„) € Alzi,zs,....#„] là đa thức

khác không,

f(@1,a, 052m) = C121đị0t 409„.41.: .xpnh ) + Ca11đ2ại 112„74 2..00" on +...

+ Cty Gots 8P,

với c; € Ajai, Gi2,..., Qin, i = 1,1m là các số tự nhiên và

(đi, G2; sssiđặn ) z (đj, đ72, . jn) khi ¿ x pe

Ta gọi bậc của đa thức ƒ(#1,#a,...,#„) đối với ẩn x; 1A s6 mii cao nhat ma
#;¡ có được trong các hạng tử của đa thức.

Bậc của hạng tử œ;2{†"z§'°...z”“ là tổng các số mũ của các ẩn. Hạng tử

có số mũ lớn nhất được gọi là hạng tử cao nhất của ƒ(,#a,..., #n).

Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các bậc

của hạng tử.

Một đa thức mà các hạng tử của nó đều có cùng bậc k được gọi là đẳng

cấp bậc k hay một dạng bậc k. Đặc biệt một dạng bậc nhất được gọi là

dang tuyến tính, một dạng bậc 2 được gọi là dạng toàn phương, một dạng
bậc 3 được gọi là dạng lập phương.

1.2.3. Đa thức đối xứng

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử A là một vành giao hốn có đơn vị, ƒ(#, #a,..., #„)

là một đa thức của vành A[z,#a,..., ø„]. Ta nói ƒ(#1, #a,..., #„) là một đa

thức đối xứng của ø ẩn nếu ƒ(#\,#a,...,#u) = ƒ(#zq)› #z@); ---› ®z(n)), với

mọi phép thế 7

trong đó ƒ(#z(); #z(a); -:-› #z(u)) có được từ ƒ(#ì, #a,..., #„) bằng cách trong

ƒ(I,2,..., #n) thay œ¿ bởi #;(),ý = 1,n.

Ta có thể nói một đa thức là đối xứng nếu nó khơng thay đổi khi thay

đổi vai trò của các biến cho nhau trong dạng khai triển của nó. Ví dụ đa

thức sau đây là đa thức đối xứng

ƒ(đi +32 +4) = (m1 + #2)(@1 + 23)(02 + 24).

Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra được

ƒ(Œ,#2, #3) = (1,3, 82) = f (x2, 01,23) = (6a, #a, #1)

= ƒ(13,1,2) = ƒ(đ3, #a, 1).

Định nghĩa 1.2.4. Các đa thức
ổi =#I+a+...+#„

ða = #182 + 13 +... + Znu_1n

On = > ®ìy/tgyseyk S1n

i
On = 11 X9...Ly.

là các đa thức đối xứng và được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản đối với

T OD Dis Cesc hye

Giả sử g(zi,za,....z„) là một đa thức của A[zi,za,....#„|], phần tử
của Al#,#a,...,#n| có được bằng cách trong Ø(#,#s,...,#„) thay #¡ bởi

ổ;,¿ = 1,n, được gọi là đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản, ký hiệu

g(ðn, ð,..., ôn).

Vi 61, 6a, ..., dn là các đa thức đối xứng nên g(ổi, ổa,..., „) cũng là một

đa thức đối xứng.

Định lí 1.2.1. [5] Mọi da thúc đối xitng f (x1, 22, ...,2n) € Alzi, £2, ..., Zn]

đều có thể biểu dién duy nhat dudi dang f (a1, 22, ..-, tn) = h(d1, 59, ---, 5n)
vdi h(.) là một đa thức n ẩn.

1.2.4 Công thức Viète

Cho đa thức bậc n: ƒ(#) = qg#" + ax#"~} +... + an qø + an lấy hệ tử

trong trường . Khi đó #\,#a,....„ là n nghiệm của đa thúc khi va chi

khi chúng thỏa mãn các hệ thúc sau n ay

Op =a +ag+..+2) = Daj =-—
i=l ao ay

bg = 2M + 12s... 4n 12,= Yo xj, =—
1
" _ a k Ak 1.3)
OK = YD #u#¿,..„ =(TU“C— ( .

?
an

bn — Z12...2u = (—1)"—.
ao

Các hệ thúc nàu gọi la cong thitc Viete doi vdi da thite f(x) uà các tế trái

là các đa thức đối xứng cơ bản tới các biến #\, #a,..., #ạ.

1.3 Một số định lí về hàm liên tục

Dinh li 1.3.1. [15] (Dinh li Lagrange) Néu ham s6 f(x) liên tục trên đoạn
[a,b] va c6 dao ham trong khodng (a,b) thi tồn tại số e € (a,b) sao cho

f0=b) — 10)f(x _ ju; e)

-4

Định lí 1.3.2. [15](Định lí Rolle) Néu ham sé f liên tục trên đoạn [a, ÙÌ
tà có đạo hầm trơng khoảng (a,b). Nếu ƒ(a) = ƒ(b) thà tồn tại số c € (a,b)
sao cho f'(c) =0.

Khi ƒ(z) là hàm đa thức, trong trường hợp đặc biệt, nếu ø = 6, ta

phát biểu Định lí Rolle dưới dạng bổ đề sau: Nếu xp là nghiệm bội bậc

s(s € N*) của da thúc ƒ(z) € Rlz] thà zạ cũng là nghiệm bậc s— 1 của đa
thức ƒf(z).

10

1.4 Dãy truy hồi và da thức đặc trưng

Định nghĩa 1.4.1. Dãy số (u„)„ được gọi là dãy truy hồi cấp 2 tuyến

tính nếu được cho như sau: uy = a, ug = b, Uy) = AUn—1 + Buạ_¿, trong đó

A, B khong dong thdi bang 0, n > 3.

Với dãy truy hồi như trên thi phương trình z?— 4z — B = 0 được gọi

là phương trình đặc trưng của dãy.

Định lí 1.4.1. [17] Nếu phương trình đặc trưng ở trên có hai nghiệm phân

biét 21,22 thi day số có số hạng tổng quát là uy = pay! + quy vdt p,q

là các nghiệm của hệ sinh ra khi thay cdc gid tri uy, ug vao Un.

1.5 Một số công thức lượng giác và các bất
đẳng thức quen biết

1.5.1 Công thức lượng giác

V6i x,y,z ER, ta co:

Công thúc cộng:

cos( :E ) = cosø. cos4/ sin #.sing tan # + tan #/
sin(z :E ) = sin #. cos#/ + sỉn #/ cOs#
tan(a+y) = ĩEEianz.bang

an ø. tan

Công thúc nhân đôi, nhân ba:

sin 2# = 2s#i . cn Os 4 sin 3# = 3si— n 4sizn? x

cos 2” = cos? x — sin? x cos 3a = 4cos* a — 3cosx
Qtana 3tan z — tan”

tan 2x = ———,— tan 3x = ——__,—_
1—tan* x 1—3tan“ˆz

Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos x + cosy = 2 cos +1 cos xzZ-y

cos x — cosy = —2sin sin 2
11

sinz + siny = 2sin EY pag Q2 2? 9

sina — siny = 2cos #+9U_.. #ø—U
sin 22

v4 z
sinx + siny + sin z = 4008 5 cos $ cos =,Va-+y = 2+ 2km,

cosxz + cosy +cosz = 1+ 4sinzsinyszi, nVx + y = z + 2km.
x

Cong thitc tinh sinx,cos x, tana theo tan 3

x

Dat t = tan 5 ta có

.sinz = 2t 5, COoSx= 1-?® 5, tanxr= 2t
+P? 1+#' —†2

Hệ thúc lượng trong tam giác:

Dinh li 1.5.1. (Dinh lé ham cosin) Cho tam giác ABC, tương ứng uới các

canh a,b,c. Theo dinh li ham cosin ta có

a2 =bÙ?+c?—2becosA

bP =a?+c?— 2aecos B.

eC =P +a? — 2WbacosC

Dinh lí 1.5.2. (Định lí hàm sin) Cho tam giác ABC, có các cạnh tương

ứng là a,b,ec tà bán kính đường tròn ngoại tiép la R. Theo dinh li ham sin

ta co:

a b e sinA sinŸ? sinC 2R.

Công thức Heron: Cho tam giác A BƠ, tương ứng với các cạnh a, b,c.
Diện tích tam giác ABC là 9 = w/p(p — a)(p — b)(p — c) với p là nửa chủ
vi tam gidc ABC.

1.5.2 Các bất đẳng thức quen biết

Bất đẳng thức Cauchy

Nếu at, øạ,...,ø„ > 0 thì

12