Giải Tích 3 Vô Hạn Và Vi Phân.pdf

TRUONG DAI HOC BACH KHOA HA NOI
VIEN TOAN UNG DUNG VA TIN HOC

NGUYỄN THIỆU HUY, BÙI XUÂN DIỆU, ĐÀO TUẦN ANH

GIẢI TÍCH II

CHUOI VO HAN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài giảng dành cho sinh uiên các ngành kỹ thuật

NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA HÀ NỘI

GIAI TICH III

(CHŨI VƠ HẠN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN)

NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA HÀ NỘI

Ngõ 17 Tạ Quang Bửu - Hai Bà Trưng - Hà Nội

DT: 024. 38684569; Fax: 024. 38684570



Chịu trách nhiệm xuất bản:
Giám đốc - Tổng Biên tập: TS. BÙI ĐỨC HÙNG

Biên tập: TRẤN THỊ PHƯƠNG
Sửa bán in: — NGUYÊN THIỆU HUY
Trình bày bìa: DƯƠNG HOÀNG ANH

In 3.000 cuốn khổ (16 x 24) cm tại Công ty In Giao thông, Chỉ nhánh Công ty TNHH

MTV Giao thông vận tải, số 80B Trần Hưng Đạo, quận Hoàn Kiếm, Hà Nội.
Số xuất bản: 539 — 2022/CXBIPH/01 — 11/BKHN; ISBN: 978-604-316-621-7.
Số QĐXB: 07/QĐ - ĐHBK - BKHN ngày 7/3/2022.

In xong và nộp lưu chiểu quý I nam 2022.

Biên mục trên xuất bản phẩm của Thư viện Quốc gia Việt Nam

Nguyễn Thiệu Huy trình vi phân / Nguyễn

Giải tích II : Chuỗi vô hạn và phương H. : Bách khoa Hà Nội,

Thiệu Huy, Bùi Xuân Diệu, Đào Tuấn Anh. -
2022. - 152 tr. : hình vẽ, bảng ; 24 cm

Thư mục : tr. 143

1. Giải tích 2. Phương trình vi phân 3. Chuỗi vô hạn
515.243 - dc23

BKH0128p-CIP

LOI MO DAU

Cuốn sách này dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật và những bạn đọc cần đến

kiến thức về phương trình vi phân và chuỗi vơ hạn để áp dụng trong các chuyên

ngành của mình. Cuốn sách bao gồm kỹ thuật giải và ứng dụng của phương trình vi
phân và chuỗi vơ hạn. Nhiều định luật và các vấn đề của khoa học kỹ thuật và đời
sống tự nhiên xuất hiện trong toán học dưới dang phương trình vi phân, các phương,
trình như vậy có tầm quan trọng mang tính nền tảng trong khoa học kỹ thuật và ứng

dụng thực tế. Vì vậy, mục tiêu chính của cuốn sách này là giúp sinh viên làm quen
với các mơ hình vật lý và ứng dụng khác nhau dẫn đến một số lớp phương trình vi
phân và cung cấp cho sinh viên các phương pháp tiêu chuẩn quan trọng để giải các
phương trình vi phân đó. Cùng với đó, cuốn sách cũng cung cấp những kiến thức
cơ bản và kỹ năng tính tốn đánh giá tính hội tụ hay phân kỳ đối với các chuỗi số
và chuỗi hàm số và ứng dụng trong các vấn đẻ liên quan đến xấp xỉ hàm va phân rã
hàm thành phổ rời rac (Fourier), vén dong vai tro quan trong trong các bài toán kỹ

thuật.

Trong quá trình biên soạn, nhóm tác giả đã tích hợp đầy đủ các modules kiến

thức trong đề cương mơn Giải tích III đã thống nhất của Viện Toán ứng dụng và Tin
học. Ngoài ra, để mở rộng và nâng cao một số kỹ năng và làm phong phú thêm kiến
thức của người đọc, chúng tôi đã đưa thêm một số nội dung kiến thức nằm ngoài đề
cương, các kiến thức này được đưa vào phần đọc thêm. Chúng tôi quan niệm rằng,
người học ln cần có sự tị mị khoa học để hồn thiện và phát triển các kiến thức
của mình trong một thế giới rộng lớn, không thuần nhất và đầy biến động như hiện

nay.

Để giúp người học thực hành và củng có các kiến thức lý thuyết và kỹ năng tính
tốn của mình, sau mỗi chương, chúng tơi đưa ra các bài tập luyện tập ‹có đáp số và
hướng dẫn giải ở cuối sách. Hơn nữa, chúng tôi cũng cung cấp một số đề thi mơn
Giải tích II các năm qua của Viện Toán ứng dụng và Tin học để người học có thé lam

quen với dạng thức đề thi giữa kỳ và cuối kỳ của mơn học theo từng nhóm ngành.
Nhóm tác giả rất mong muốn nhận được các góp ý quý giá từ bạn đọc để cuốn

sách ngày càng được hoàn thiện hơn trong các lần xuất bản sau. Các nhận xét và góp
ý xin gửi về email:

Các tác giả:
Nguyễn Thiệu Huy e Bùi Xuân Diệu s Đào Tuấn Anh

ii

CAC KY HIEU

Tập các số tự nhiên
Tập các số tự nhiên khác 0

Tập các số nguyên

Tập các số hữu tỉ

Tập các số thực

Ry Tập các số thực khơng âm

PTVP Phương trình vi phân

TPSR Tích phân suy rộng

VCB Vơ cùng bé

VCL Vô cùng lớn

Chuỗi lũy thừa đối với biến x

Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace ngược

Muc luc

Loimo dau 2. ee i
Cackyhigu ..................................... ii
Muelle. 23 cus eeiws ces EHS OHA CHEK S EW ESAS EH Ew; s 11

1 Chuỗi số 1
1 Các kháiniệm cơbản về chuỗisố .....................- 1
2 Chuỗisốdương................e.ee 4
12:1 Céetiéwehuan sosanh fs sed da eg dda Palle oh bea 4
122 TiêuchuẩnDAIembert........................ 10
1243. TiêuchuẩnCauchy........................ 12
12⁄4. TiêuchuẩnHChphẩn; :øz:; ;s r:: si sẽ c3 62 23/22 13

3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất KẾT ke ke wows bee ale bon ke 15

13.1 Hội tụ tuyệt đối,bánhộitụ ....................- 15

132 Chuỗổiđandấu .....................Ặee 17
1.3.3. Tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối hoặc bán hội tụ ...... 18
134. Phépnhanchudi. <2: ses eee es ee ewe ee eae EE Ee ES 19

1.3.5 Phan doc thém: Cac tiéu chuan Dirichlet, Abel, Raabe, Bertrand 20

Ấ BàItDCHƯƠNE Ï:az g2: bố b8: E205 S6 1186 06 62xš 0š 6k gõ 24

2_ Chuỗi hàm số 28
1 Khái niệm cơ bản về chuỗi hàm số, sự hội tụ, hội tụ đều......... 28
21.1 Chuỗi hàm số và miền hộitụ ...................- 28
21.2 Chuỗi hàm số hội tụđều....................... 29
2.1.3. Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụđều ............ 31
2 Chuỗilũy thừa ....Q. .2...... xa 34
2.2.1. Các khái niệm cơ bản về chuỗi lũy thừa .............. 34

2.2.2. Bán kính hội tụ và khoảng hội tụ.................. 34

2.2.3. Các tính chất của chuỗi lũy thừa .................. 36

2.2.4 Khai triển hàm thành chuỗi THY LHỪẤG § suy (61 Bớ ý B ý BH 38

2.2.5. Một số khai triển thành chuỗi Maclaurin của hàm sơ cấp cơbản 40

2.2.6 Áp dụng: Tính gần đúng giá trị của hàm và tích phân ...... 40
3 _ Chuỗi Lượng giác và Chuỗi Fourier ...................- 41

2.3.1 Hàm tuần hoàn, hàm liên tục từng khúc, chuối lượng giác... 41

2.3.2 Khai triển hàm thành chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier........ 43

11

iv MUC LUC

2.3.3 Khai triển Fourier của hàm xác định trên (a,b)........... 47
4 Baitapchuong2.. 2... eee 49

3 Dẫn nhập về phương trình vi phân, phương trình vi phân cấp một 51
1 Bài toán thực tế và một số khái niệm cơ bản của phương trình vi phân 51
311 Bàitoánvậtrơi..Q.Q.Q . Q S.H.....Ặee 51
S12 KMACHỞIỂH:; ro su mg su (Hi 2C: PHÙ E08 PP SA B87 6288 2 52
3.13. Mơ hình quần thểthú mỗi ..................-- 52
B18 KHIHIỆBCUUĐẨN, : rỉ ví cối gà cổ 62 l1 6 bà bat €0 7 53

2 _ Phương trình viphân cấpmột...................... 55

3.2.1. Dạng tiêu chuẩn và dạng vi phân của phương trình vi phân

cấp MOt a« sec g2 S2 ewes ow ams we Ewe BH EEE RS 55
3.2.2 Các phương trình vi phân khuyết ...............-- 57
3.23. Phương trình vi phân biến số phânly ............... 58
3.2.4 Phương trình vi phân thuần nhất (đẳng cấp) ...........- 58
3.2.5 Phương trình vi phân tuyến tính .................- 59
3.2.6 Phương trình vi phân Bernoulli.................-- 60
3⁄27 Phuong trình vi phân tồnphần .................- 61
3/28. Thừa số tíchphân.............. SỐ SẺ 61
3.2.9 Phan doc thêm: Ứng dụng vào mơ hình thú — mỗi .......... 63
8 Baitaptchwongs «ss ome pad peers aga mi one Me se ee 64

4_ Phương trình vi phân cấp hai 66

1 Đại cương về phương trình vi phân cấphai................ 66

2 Cácphương trìnhkhuyết...........................- 68
42.1 Phương trình khuyết: F(x,y,y”)=0.............. 68
42.2 Phương trình khuyết y và ': F(x,y”)=0...........- 69
4.2.3. Phương trình khuyếtx: F(w,y,y”)=0.............- 69
3 _ Phương trình vi phân tuyến tính cấphai.................- 70
43.1 Phương trìnhthuầnnhất ...................... 70
4.3.2 Phương trình khơng thuầnnhất .................. 73
4 _ Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng .......... 74
4.41 Phương trìnhthuầnnhất .....................- 74
4.42 Phương trình khơng thuầnnhất .................. 75
443 Phwongtrinh Buler...«. 00.00 ca cme ee wee ee eee 78
5 _ Hệ phương trình vi phân cấp một....................-- 79
4.5.1 Đại cương vẻ hệ phương trình vi phân cấp một........... 79
4.5.2 Phương pháp khử giải hệ phương trình vi phân cấp một .... 80
6 Baitapchuong4... 0... ee 81

5 Phuong phap toan tu Laplace 83
1 Phép biến đổi Laplace và biến đổi ngược.................- 83
5.1.1 PhépbiếnđổiLaplae ................-.---ee.e 83
512 Biến đổi Laplaceengược ................---s. 86

MUC LUC v

2 _ Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu..............- 87

5.2.1 Biến đổi Laplacecủađạohàm ...................- 87
5.2.2 Áp dụng giải bài toán với giá trịbanđầu ............. 88
5.23. Biến đổi Laplace của tíchphân ..................- 89
3 Phéptinh tiến và phân thức đơn Gia ss seis TRESS SHIR Fes 91
5.3.1 Phép tinh tién theobiéns .. 0.0e. e ..ee 591

5.3.2 _ Biến đổi phân thức đơn giản a cu gu v1 v2 91

5.3.3 Ap dung giai phuong trinh vi phan tuyến tính cấp cao với hệ
7 A... HH. ẶẶ 92
5.34 Phép tịnh tiến theobiến! ...............c.. 93
4 Đạohàm, tích phân và tchchập ...............-.----- 94

5.4.1 Tích chập của hai hàm SO Lee 94
5.4.2 Đạo hàm, tích phân của biến đổi Laplaee............. 95
5.43. Bảng tóm tắt các tính chất của phép biến đổi Laplace....... 98

5.4.4. Phần đọc thêm: Các kỹ thuật biến đổi Laplace bổ sung_...... 98

5 Baitap-chuong5: sass peewee oe SHE e BMT He tia n BS 101
Mot s6 dé thitham khao . 2... ee 103
Goi y-vadap anvcho cae baitap . << ec as em ewe emis sue ee ems 129
Tài liệu tham khảo............. ee 144

7 . ˆ

Vị tab, TẾ M04! bá) BW iia, tet! patE _

a) my} " ayo wud ober 1 2
Het
2 PES ad es Hy ee at 1g gngl- qh ir

ˆ ' 7 Melby £Í 3 mà» 34M0 [ <95apảJ £ S7

i eo. - ' nis ti lạt siviaks Panty antethyy £ edt reals 780%

rul tiwJt dỗ rhút hy) d,,Ã

[ý l; fe inet re nấihg to nh ”S#2?

oe! Sy men Ân tầm? t2” [teff 6) đưa tát 268 aan qà. Te

oe 4 / : - - MU i2
¬................
- ........ Gb
ky fale] nary pets rat t.Ẽ
ĐH +, kiện đi 125 tỡNJ vờ hd ?húi marcel BF
sứ Nes : u23Èi* đalfnsey324 sa quấn Sài
2 weft ora +' ft) 0 ạt ru. te

au. - - c ¬.......

“ .. ˆ as : „ +3uf6i: ffê1)| 1 SB tee (nt
eff (Red no cata sa Băng tối
ath otint tin fal rãi

CHUONG 1

Chuỗi sô

Những nhà sáng lập đầu tiên của phép tính vi phân, bao gồm Newton và Leibniz,

đã nhận thức rõ tầm quan trọng của chuỗi vô hạn. Các giá trị chính xác của nhiều
hàm như sin và cosin chỉ có thể đạt được trong những trường hợp đặc biệt. Các chuỗi
vô hạn cung cấp một công cụ để tính xắp xỉ bắt kỳ một giá trị nào của các hàm đó

với độ sai số bé tùy ý. Trong chương này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng các khái niệm về
chuỗi vô hạn của các số thực, sự hội tụ hay phân kỳ, tổng của chuỗi số. Sau đó, các

tiêu chuẩn kiểm tra tính hội tụ và phân kỳ của các chuỗi số, cùng với một số tính

chất khác của chúng sẽ được trình bày.

§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ

Định nghĩa 1.1. Cho {a„}? + là một dãy só. Tổng v6 hạn

đi +8ạ+- +a- n +----

ik ba 4 # ¿
được gọi là một chuỗi sô 0à được ký hiệu là }` a„, trong đó a„ được gọi là sơ hạng tổng quát
n=1
0à Sụ = 8 + 8a + -- - + a„ được gọi là tổng riêng thứ ni.

4 Lộ x ˆ ` a
i) Nếu dãy số {S„} là hội tụ vdi lim S, = S, thi ta noi chudisé Y a„ là hội tụ 0à có
n—-0o n=1
tong bang S va viét

Yan =S.

n=1

ii) Ngược lại, nếu dãy số {S„} là phân kù, thì ta nói chuỗi số } a„ là phân kỳ.

n=1

Ví dụ 1.2. Xét chuỗi số sau:

1+2+-:-tn+ec

1

2: Chuỗi số

Chuỗi số này có S„ = n(n +1)/2 nén Jim, $„ = co (phan ky). Kết luận, chuỗi số là

phan ky.

Ví dụ 1.3. Xét sự hội tụ và tính tong (nếu có) của chuỗi hình học

3 an” =a+ + ña đˆ +g- -- ,a # 08)

n=0

Ta có ¬..-.¬
qSn = aq+ a2 + --- + ng"
Do đó S„ =aTT „ (g1) và

lim S; = iy néu|q| <1
noo co nếu |q| >1.

s Trường hop q = 1 dé thay chudi số đã cho phân kỳ vì S„ = an nên lim Sn = ©.

s Trường hợp j = — ta có %„ = { 0, nế hẳn, „ ^ À v1

a, liêu i iz os nên không tôn tại lim, Sn.
néunle
Chuỗi đã cho là phân kỳ.

Kết luận: chuỗi hình học đã cho hội tụ và có tổng bằng 74; néu |q| < 1 và phân kỳ
nếu |q| > 1.

Ví dụ 1.4. Viết số thực 2.317 = 2.3171717... dưới dạng phân số.

= 17, 17, 17
2.33 17 =2334++—1554++ -4514†+5 -15g? †

Sau số hạng đầu tiên thì chuỗi đã cho là một chuỗi hình học với ø = j5 Và q = 1z:

Do đó a ed đỡ
103 1147
2317 = =+ —IU1_=——.
10 1—¡Ð 495

Ví dụ 1.5. Chứng minh rằng 1.9999... = 2.

Chứng miỉnh. Ta có

”” ö 9,9 a9 o 2/1c\a: "
2=1† 1g T 1pg
dã ...==19 —=1-+—::-—+‹‹:= 14-5 (ap)

Sau số hạng đầu tiên thì tổng đã cho là một chuỗi hình học với ø = 1g và q = 18:

Do đó 5

19999.1.ð .=1=+ —lÖ_ =2.
l-g a

econ gọi là chuỗi của cấp só nhân.

1 Cac khdi niém co ban vé chudi sb 3

Nếu chỉ nhìn thống qua thì có vẻ nhu 1a 1.9999... < 2. Chính vì vậy, nếu chưa được
học khái niệm về giới hạn hoặc chuỗi s6, dang thức này có lẽ sẽ gây bói rồi cho người

đọc.

Ví dụ 1.6. Chứng minh rằng chuỗi số }` aid) hội tụ và tính tổng.yxz

n=1
Trước hết ta phân tích am) =a et Ta có

ấn"1m:g2 tệ2:3 hư đen n{E+m1)
¿ nổi, ⁄0321 E2, #1 cý cã
~\1 2 2 3 no ontl

_,__!1

esl

Do đó lim S„ = 1. Kết luận: Chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1.

Ví du 1.7. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi điều hòa } 3.

„=il

Với 1 < mm € N bắt kỳ, chọn ú > 21 ta được

11 1

etter a ya,

=14+54+(5 +5~~ +545 1 ee — `. 2m+1
Tạ ø ng S„ = e, 2m-+1 cho phân kỳ.
1 ñ 1 chuỗi đã
Kim nu

= [4 m+1

T2
Dãy các tổng riêng S„ có thể lớn tùy ý nên lim

n—-co

Dinh lý 1.8 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ).

Nếu chuỗi số x a„ là hội tụ, thì jim ay = 0.

n=1

oO

Ching minh. Dat Sy = a, + a2 +--+ + an, tacd an = Sy — Sy. Vi X ay hdi tu nén

n=1

dãy số {S„}?®_¡ có giới hạn hữu hạn. Đặt lim S„ = §. Vì m— 1 => eo khi ø —> e nên
lim S„_+ = S. Do đó H3

noo

ease = (Se —Sua) = ie,Su — Ftp Sa = 8— § =0 .

Chú ý1.9. 1. Mệnh đề đảo của Định lý 1.8 là không đúng. Chẳng hạn như chuỗi
điều hòa sau đây DĐ có Jim ; „ — 0 khi ¡ä —> œ, nhưng chuỗi này là phân kỳ

(Xem Ví dụ 1.34 (tr. 14) dưới. đây).

4 Chuỗi sô

2. Định lý 1.8 cho chúng ta một điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ.
Cụ thể, nêu Jim ay, khong tồn tại hoặc Jim an # 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ.
Chẳng hạn như chuỗi số sau đây ° 2m11 CÓ jimDTT = } nén chudi da cho
n= 1
là phân ky. Tuy nhiên lưu ý rằng nếu jim ay = 0 thì chúng ta chưa có kết luận

gì về tính hội tụ của chuỗi }` đ„.

n=1

3. Thay đổi một số số hạng đầu tiên của một chuỗi thì khơng làm ảnh hưởng đến

# # A BR `
tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đó. Chẳng hạn như hai chuỗi số }” z„ và
n=1

oo £ > 1).

Yan sẽ có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ (với mọi M

n=M

Ví dụ 1.10. Chuỗi y in(1+ 5 ) là phân kỳ bởi vì lliinmn mn(1+ *) =1 0,

n=

Định lý 1.11 (Các phép toán trên chuỗi số hội tụ). Nếu y Ay va ¥ bạ, là các chuỗi số
n=1 n=1

hội tụ, thì chuỗi số „ (aan + Bbn) v6i w, B € R cũng là một chuỗi số hội tụ nà
„=1

L( aay + Bbn) = 0 Fs n+ BY De
n= n=

Vi du 1.12. Chttng minh rang chudi 5 (25; + 3) hội tụ và tính tổng.

n=1

Ta có chuỗi x 2n(0n1+16) hội tụ và có tổng 8 bằng 8 2016, chuỗi 1y 2017 hoi tu va có tổn 8

bằng 2017 nên chuỗi ề (aes + 3) cũng hội tụ và có tổng bằng 4033.

§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG

Định nghĩa 1.13. Chuỗi số }` a„ v6i an > 0 duoc gọi là một là chuỗi số dương.

n=1

Nhận xét rằng dãy các tổng riêng S„ là một dãy số tăng, nên một chuỗi số dương
là hội tụ khi và chỉ khi S„ là bị chặn. Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu các tiêu
chuẩn để một chuỗi số dương là hội tụ.

1.2.1 Các tiêu chuẩn so sánh

; - oo oo
Định lý 1.14 (Tiêu chuẩn so sánh 1). Cho hai chuỗi số dương }) aạ 0à }„ bạ có a„ €
n=1 n=1
bạ voi moi n hodc ké tir m6t s6 n nao dé. Khi đó

2 Chuỗi số dương 5

j Nếu E bạ là hội tu thì i a„ cũng là hội tụ.
n=1 ‘fat

¬- °
ñ) Nêu }` a„ là phân kỳ thì }` b„ cũng là phân kỳ.
n=1 n=1

Chứng mình. Từ giả thiết suy ra

An = 41 +02 + +++ + an Š bị + bạ + --- + bạ = Bạ, 1)

ÿ Nếu „ b„ hội tụ, nghĩa là tồn tại dim, B, = Bva By < B véi moin. Bat dang

n=1

thức (1.1) chứng tỏ dãy tổng riêng A„ là một dãy số bị chặn trên, hơn nữa nó

tăng do tính chất của chuỗi số dương, nên tổn tại Jim Ay = A. Vi vay, chudi
os
¥ ay hi tu.

n=1

ii) Ban doc cé thé tu chứng minh một cách đơn giản cũng dựa vào bắt đẳng thức
(1.1):
a

Ví dụ 1.15. Xét sự hội tụ của chuỗi số nghịch dao binh phuong 4

n=1

Ta có ma? < awa) mà chuỗi số La mmm1)) hội tụ theo Ví dụ 1.6 (tr. 3) nên chuỗi số

Ly way va do đó La 72 cung hdi tu.

n=1

Ví dụ 1.16. Xét sự hội tụ của chuỗi © Pptaa
n=1

Chứng minh. Ta có mm < $.Mà }` ay la hội tụ theo Ví dụ 1.15, nên chuỗiœ x

œ n=l

» Pat cũng là hội tụ. =

n=]

„ ` s8
Ví dụ 1.17. Xét sự hội tụ của chuỗi } ¡1..

Chứng mình. Ta có Inn < n với mọin > 2. Do đó 0 < † < ma Mà chuỗi h Tà

phân kỳ theo Ví dụ 1.7 (tr. 3), nên chuỗi Li 7 1a phan ky. a

Ví . dụ 1.18. x sự oe tụ % Ki KÐ fin1 n)
Xét hội của chuỗi &

6 Chuỗi số

Ta có 1 / 1 1

8 (in(In(n + 1))]"" E Tnlntn@r+D))}" — annmlinfngr‡l))] — lalla)_1_

Vì limIn [In(In( + 1))] = +œ nên tổn tai No > 0 sao cho In[In(In(n +1))] >

2, in >No

> Un < avn > Nọ = }_ u„ hội tụ.

n=2

Định ly 1.19 (Tiêu chuẩn so sánh 2). Cho hai chuỗi số đương 3` an 0à b,, théa man & 2

n =1 n=1

„8 &
lim =c>0vic#o.
n—>œ bị

Khi đó È- aạ ồ }_ bụ có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.
n=1 n=1

Chitng minh. Vi lim Et = cnén với mọi € > 0, tồn tại số N € N
neo

c-e< = H

Lấy tổng từ N đến œ ta được

(c—€) co bn < ‘ an < (c +e) F bn. (1.2)

n= N n=N n=N

Ta chọn e đủ nhỏ sao cho c — € > 0. Theo tiéu chuẩn so sánh 1,

s về phải của bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ rằng nếu chuỗi }_ b„ hội tụ thì chuỗi

n=1

}; an cũng hội tụ.

n=1

3 > £ ze (& x ` x.
© vé trai ctia bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ rằng nếu chuỗi }” z„ hội tụ thì chudi
n=1

n =1 bạ cũng hội tụ.

Chú ý 1.20.

a) Các trường hợp đặc biệt

e Néu Jim g =Ovachudi Y by hdi tu thi L ap cing hdi tu. Diéu nay dé
mạn n=1 n=1
hiéu vi lim # = 0 suy ra với ø đủ lớn thì ÿ“ < 1 hay a„ < bạ với mọi
n—>eo Pn bn
n > N nao do.

2 Chuỗi số dương Z

+ Nếu nl—i>meo ÿO*n = 00 va chudi 1J" by phan ky thi n=1 ay cing phan ky. Didu
này cũng dễ hiểu vì lim # = œ suy ra với 0 đủ lớn thì ƒ" > 1 hay ay > by
n—oo “n n
với mọi > N nào đó.

b) Cũng giống như TPSR, khi xét sự hội tụ của chuỗi số người ta chỉ quan tâm đến
"dáng điệu" của số hạng tổng quát z„ tại vô cùng. Tiêu chuẩn so sánh thường
được sử dụng để so sánh chuỗi số đã cho với một trong hai chuỗi số sau đây:

+ Chuỗi hình học ¥ 4” hội tụ nếu |q| < 1,

n=1 phân kỳ nếu |4| > 1.

s Chuỗi hàm zeta @() = „ 4n hội tụ nếu ø > 1,
phan ky néu a < 1.
n=1

Vií dụ 1.2211.. Xé aa 1 ~ oo Tna2ênt.

ỗi
Xét sự hội tụ của chuỗi h

Chứng mình. Số hạng trội (chiếm ưu thế) của tử số là ø? và số hạng trội của mẫu
số là VñŠ = ø⁄2. Điều đó gợi ý chúng ta so sánh chuỗi số đã cho với chuỗi số
Š JFFẺ == Ð —Tcủ;. . lTaacóCƠ
nai VP ia

— wWtn b, a= Fe

1Ï.

Hợt 25 edhg EE: 2 TƯ! 1/2 cunaoo. CO 1+1EE " 2,

noo by n=›œ Ww +1 fy

n

©0

Mà chuỗi }ˆ -3; là phân kỳ theo Ví dụ 1.34 (tr. 14) nên chuỗi đã cho cũng phan kya

n= 1

Ví , dụ 1.22. z As + Ke oS 2n+a3"
Xét sự hội tụ của chuỗi }` aren
n=1

Chứng mình. Số hạng trội (chiếm ưu thế) của tử số là 3" và số hạng trội của mẫu số
là 5". Điều này gợi ý chúng ta so sánh chuỗi số đã cho với chuỗi } (3)”. Ta có

n=1

24s | | 3)"

t= gry ge On = (5

ayy, (2h 43")5" (3)“+1 = 1.
im — = lim ——————— = lim “34.
n00co b,Dy n=>e co (4" (4" ++ 5")5"3) m n> ° (4) " 41

Mà chuỗi hình hoc Y (3)” 1a hdi tu theo Ví dụ 1.3 (tr. 1), do đó chuỗi số đã cho cũng
n=1
là hội tụ.
a

8 Chuỗi số

Chú ý 1.23. Tiêu chuẩn so sánh thường được sử dụng để xét sự hội tụ của các chuỗi
số có dạng sau:

1. Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu số đều là
các đa thức của ø hoặc là các lũy thừa của n, chang han

5 ao +ayn™ 4 agn®? +++» + amn*

by + bynBt + banbe +--+ + dynBe ’

vớ0 i< &† < w<¿--- < &m,<0Bi < a < --- < Bw,am # 0,b¿ # 0.

Khi đó số hạng trội của tử số là ø„w*” và số hạng tri của mẫu là Bà Điều
này gợi ý chúng ta so sánh chuỗi đã cho với chuỗi Ss a = r Tra . Theo

Ví dụ 1.34, chuỗi đã cho là hội tụ nếu By — #„ > 1 vàphản kỳ Tê k — &m € 1.

2. Chuỗi có số hạng tổng quát là một phân thức, trong đó tử số và mẫu số đều là
tổng của các lũy thừa với số md 1a 1, chẳng hạn

ẽ aay + aah + +++ + main

iy Bibl + Bobs +--+ + Bebe’

vớÙ i< ø < 8a < --- < am,<0bị < bạ < --- < bụ,&m # 0,B#¿0.

Khi đó số hạng trội của tử số là a,„z/, và số hạng trội của! mau sé la Bb. Điều

này gợi ý chúng ta so sánh chuỗi số đã cho với chuỗi x (#)" . Theo Ví dụ

1.3, chuỗi đã cho hội tụ nêu T- < 1 và phân kỳ nếu {it > 1.

3. Một dạng chuỗi khác cũng sử dụng tiêu chuẩn so sánh, đó là các chuỗi số có

sử dụng đến các VCB tương đương hoặc khai triển Maclaurin (trong học phần
Giải tích ]). Chẳng hạn như, xét sự hội tụ của chuỗi số

b( mm) ys (—-sin— }.
mS \n n

Xuất phát từ công thức khai triển Maclaurin của hàm số sỉn x:

Biữi# = #— z tole 3 i

& d6 0(x3) 1a ky hiệu VCB bậc cao hơn 3Ÿ, ta có
x—sinx = a 3 toe) ~ 7% 3 khix +0.

Kh>ioonthi } — 0, do đó

1nô SH 1 1
Gs Rhino

2 Chuỗi số dương 9

Mà chuỗi nã „z hội tụ, nên theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi số đã cho cũng hội
tụ. Một ack TưữNg tự, xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

i cos = ° #2—1 1 2 men“ =TT]
n=1 nj’ n=1
nj’ men + 1

Một số khai triển Maclaurin

LỆ Hit eet x + 0(x")

x=1—#x++x2—:--+(_—1)*x"+o(x")
e
x=1+#z++z2+---+x"+o(x")
+ tr

° SLAs dl tops afar

° si* nx =x—4Hp + a et2n+1 (x2"+1)
ate +(-) Ga) y " tle

° cosx =1 Š + ấy +-::+ (—1)" EF + 0(ø° a)

* I1+z+ )Š += : +x (—1)z ® HỆ—+o(e")

Một số VCB tương đương hay dùng khi x > 0

° x~sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ e* —1~ In(1+x),

WT+axz—1~In Tay = —1 In(1+ax)~ =,

¢ 1——cosx Wi z
2

Ví dụ 1.24. Xét sự hội tụ của chuỗi số E | arctan =

sma Ấ: oR . ⁄ 7U Te suy x 2
Đây là một chuỗi so duong, khi n — oo, ta cé arctan 5m “ 2m Mà chuôi >} PIN

0 1n - 3 7L

ay (5) là hội tụ, nên chudi sé ¥ arctan 7 cũng hội tụ.
n=1

Vi du 1.25. Xét su hdi tu ciia chud.isé. — 5&° Vn— Fi- Vaal
n=1

Khin + 00, WEEI= Vad _ 2 ste,
nữ (Vn+1+vdn-—1)n* „t3

Nếu ø > ; thì chuỗi số là hội tu; néu a < ; thì chuỗi số là phân kỳ.

co
Ví dụ 1.26. Xét sự hội tụ của chuỗi số }) e-V”,

n=1

10 Chuỗi số

Để sử dụng tiêu chuẩn so sánh đối với các chuỗi số kiểu này, chúng ta ghỉ nhớ hai

giới hạn quan trọng sau.

HỆ

i) lim TC — e,(ø > 1,Va), hay „* < e" khi n là đủ lớn.
noo Nl

Ce đc oo, (VB), 8 < n ¬ la đủ lớn.
ii) lim, tiến hay In’ n khin

Nói một cách khác thì khi n — 00, ham sé mi, ham da thie va ham s6 logarit cua n
đều là các VCL. Tuy nhiên, hàm số mũ tiến ra vô cùng "nhanh hơn” hàm đa thức, và
hàm đa thức "nhanh hơn" hàm số logarit.
Chúng ta sẽ dùng giới hạn đầu tiên: (/)# < ev” khi œ đủ lớn, tức là, e~V* <
dể ae fo. ass iene 3 a
n~Š, với n đủ lớn và véi moi «. Chon a = 4, ta thấy }„ -z là hội tụ, nên chuỗi số
n=1 φ

# e—V” cũng là hội tụ.

n=1

1.2.2 Tiêu chuẩn D'Alembert

Định lý 1.27. Giả sử tồn tai lim, “ut — L, Khi đó

¡) Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.

ii) Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
iii) Nêu L = 1 thì chưa kết luận được gì (tiêu chuẩn D'Alembert không áp dụng được

trong truong hop nay).

Ching minh. i) Vi lim wath = Lnén véi moie > 0 ton tại số N sao cho
no
a
tl <{L+e,Vn>N.

an

Chọenđủ nhỏ sao cho L + e < 1. Ta có

an <(L+€)8p—1 < (L+€)Êãn—; < --- “grexŒ+®”
Vn >N.

Chuỗi hình hoc ¥ (L +e)" héi tu (L +€ < 1) nén theo tiéu chuan so sanh,

=1

chuỗi }) z„ cũng hội tụ.

n=1

ii) Néu L > 1 thì „„yi > un voi n da lén, chang han với mọi n > N. Khi đó,
Jim an 2 an > 0. Chuỗi đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn điều kiện cần.

2 Chuỗi số dương 11

ii) Nếu L = 1 thì khơng kết luận được ‘2 vé sui hội tụ hay phân kỳ của chuỗi đã

cho. Chẳng hạn như cả hai chuỗi t1 z3 và a as đều thỏa mãn L = 1 nhưng
n=1
chuỗi số đầu tiên phân kỳ còn chuỗi số sau hội tụ. "

TP DigỤ Chú ý 1.28. Trong các bài tốn có dùng tiêu chuẩn D/Alembert, giới hạn sau đây

thường hay được sử dụng

Chứng tỉnh. Giới hạn trên có thể được chứng minh bằng cách chuyển qua giới hạn

của hàm số như sau.

Ta có x a

lim In(1+“) = lim —{—* = lim 7 =«4.
X++00 & =

x- Do đó E>m+oo (14+ 2)" =e

Ví dụ 1.29. Xét sự hội tụ của các chuỗi số

® ¿n c3: Si co + 5

ara b) } TP k x 3”
n=" ) vi a

Chứng mình. a) Ta có

My BÊ n+1 2n

n+ An gu a Oe Be

n>0(n+1)! nl! noon+1

Theo tiéu chuan D’Alembert, chudi da cho héi tu.

b) Ta có

+ đuyi — y, 201+ ) 2m
jim, an =, jim, (n+1)"+1 ` mm

= m2 ( = ) H
noo n+1

1 n+1
= lim 2 l(-zn)
n—0o n+1

= Se ai

Theo tiéu chuan D’Alembert, chudi da cho hdi tụ.

12 Chuỗi sô
"
c) Ta có e(tnecsh , M(wEn+E1)2I+T5E 1
poe Un Sey
He, 3(n2 +5) 2e 3Š

Theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi đã cho hội tụ.

1.2.3 Tiêu chuẩn Cauchy

Định lý 1.30. Giả sử tồn tại Jim, 4/än = L. Khi đó

i) Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
ii) Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
iii) Nếu L = 1 thì chưa kết luận được sì (tiêu chuẩn Cauchụ khơng áp dụng được trong

trường hợp này).

Ching minh. i) Vi lim #/2„ = L nên với mọie > 0, tồn tại sốN € IN sao cho

4m
c

Chọn e đủ nhỏ sao cho L + e < 1 ta có chuỗi hình học }› (L + e)” hội tụ. Theo
00 n=1

tiêu chuẩn so sánh, chuỗi }} z„ cũng hội tu.

n=1

ii) Vi jim œ #⁄ã„ = L nên với mọi e > 0, tồn tại số N € IÑ sao cho
Yan > L—€ Say > (L—€)", Vn >N.

Chọne > 0 đủ nhỏ sao cho L — e > 1 ta có chuỗi hình học „ (L— e)” phân

n=1

kỳ. Theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi ¥ a„ cũng phân kỳ.

n=1

ii) Nếu L = 1 thì khơng kết luận được Bi vé su HỘI tụ hay phân kỳ của chuỗi
đã cho. Chẳng hạn như cả hai chuỗi =A = va fshd thỏa mãn Jim n Vi =

jim, Ÿ 4 = 1 nhưng chuỗi số đầu tiên phân kỳ còn chuỗi số sau hội tụ. "

Chú ý1.31. 1. Trong các bài tốn có dùng tiêu chuẩn Cauchy, các giới hạn sau

đây thường hay được sử dụng

lim ÿ#=1, lim Ya=1, Va>0.

H—œ ñ—œ