Bổ đề về dãy số VMO
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (640.88 KB, 23 trang )
<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">
<i><b>Người thực hiện: Trần Nam </b></i>
<i><b>I) 3 bổ đề quen thuộc về giới hạn dãy </b></i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2"><i>Chop q </i>, 0 và <i>p</i>+ <i>q</i> 1<i>. Xét dãy số không âm </i>
( )
<i>x<small>n</small><sub>n</sub></i><sub></sub><sub>1</sub> thỏa mãn<i>Cho dãy dương </i>
( )
<i>x<small>n</small><sub>n</sub></i><sub></sub><sub>1</sub><i> và thỏa x<sub>n m</sub></i><sub>+</sub> <i><sub>n</sub>x<sub>n</sub></i>+<i><sub>n</sub></i><sub>+</sub><sub>1</sub><i>x<sub>n</sub></i><sub>+</sub><sub>1</sub>+ +... <i><sub>n m</sub></i><sub>+ −</sub><sub>1</sub><i>x<sub>n m</sub></i><sub>+ −</sub><sub>1</sub>, <i>n</i> 1<i>. Trong đó </i> <i><sub>n</sub></i>, <i><sub>n</sub></i><sub>+</sub><sub>1</sub>,...,<i><sub>n m</sub></i><sub>+ −</sub><sub>1</sub><i> là các số thực dương có tổng bé hơn 1. </i><i>Khi ấy, </i>lim <i><sub>n</sub></i> 0
</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3"><i><b>II) Một số tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số </b></i>
<b>1. Tiêu chuẩn D’alembert </b>
<i>Cho chuỗi số dương </i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5"><b>2. Tiêu chuẩn Cauchy </b>
<i>Cho chuỗi số dương </i>
</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6"><b>3.Tiêu chuẩn Leibniz </b>
<i>Cho </i>
<i>a<small>n</small></i> là dãy số dương, giảm và lim <i><sub>n</sub></i> 0</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7"><i>Cho chuỗi số dương </i>
<i>2. Tiêu chuẩn Bertrand Cho chuỗi số dương </i>
<b>1. Định lí về chuỗi hội tụ tuyệt đối </b>
Cho dãy số
( )
<i>a<small>n</small></i> thỏa mãnNếu <i>k</i> mà <i>a <sub>k</sub></i> 0 thì quy ước <i>S<sub>n</sub></i><sup>−</sup> = 0
Ta thấy
( ) ( )
<i>S<sub>n</sub></i><sup>+</sup> , <i>S<sub>n</sub></i><sup>−</sup> không giảm, bị chặn dưới bởi 0 </div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">Theo tiêu chuẩn Weierstrass ta được
( ) ( )
<i>S<sub>n</sub></i><sup>+</sup> , <i>S<sub>n</sub></i><sup>−</sup> hội tụ </div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9"><b>3.Bổ đề về giới hạn của lũy thừa </b>
Cho dãy
( )
<i>u<small>n</small></i> dương. Khi đó ta có: lim( )
<i><sub>n</sub><sup>n</sup></i> lim(
<i><sub>n</sub></i> 1)
ln</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">Theo định lí kẹp ta được lim ln
(
<i><sub>n</sub></i>)
0</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">Cho
<i>a<small>n</small></i> là dãy số dương. Khi đó tích vơ hạn()
</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">a) Chứng minh rằng dãy
( )
<i>a<small>n</small></i> xác định duy nhất và có giới hạn hữu hạn b) Cho dãy số( )
<i>b<small>n</small></i> xác định bởi()(
<small>2</small>) ()
</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14"><i>Lời giải câu b có thể kết hợp bổ đề 5 và tiêu chuẩn D’alembert </i>
Theo kết quả câu a) ta có
( )
<i>a<small>n</small></i> có giới hạn hữu hạn. </div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15"><i>Theo tiêu chuẩn D’alembert ta có </i>
<b>Bài 3 ( Trải nghiệm VMO 2023 lần 1) </b>
Cho dãy số
( )
<i>x<small>n</small></i> xác định bởi <i>x</i><sub>1</sub>= <i>a</i> 0 và <i>x<sub>n</sub></i><sub>+</sub><sub>1</sub> = −3 9 6− <i>x<sub>n</sub></i> với mọi số nguyên dương </div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">Theo tiêu chuẩn Cauchy ta có <i>y<sub>n</sub></i> = +<i>x</i><sub>1</sub> 2<i>x<sub>n</sub></i> + +... <i>nx<sub>n</sub></i> có giới hạn hữu hạn
<b>Bài 5 ( Trải nghiệm Trường Đông VMO- Vinh lần 1) </b>
Với mỗi số nguyên dương n, đặt
</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">Tính giới hạn của dãy số đã cho
<b>Bài 2 (Trường Đơng Tốn học Bắc-Trung Bộ lần 6)</b>
</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22"><b>Bài 3 (Trường Đơng Tốn học Bắc-Trung Bộ lần 4) </b>
Cho
( )
<i>x<small>n</small><sub>n</sub></i><sub></sub> là một dãy số thực tăng ngặt và thỏa mãn:<b>Bài 7 (Bài kiểm tra Viện Toán học 2019) </b>
Cho dãy số
( )
<i>u<small>n</small></i> <small> thỏa mãn tính chất </small><i>u</i><sub>0</sub> 0,<i>u</i><sub>1</sub>0<small> và 1</small></div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23"><i><b>Tài liệu tham khảo : </b></i>
<i><b>- Bài giảng ĐHBK, Viện Toán Ứng dụng và Tin học - Bài giảng đội tuyển </b></i>
<i><b>- Nhóm hướng tới Olympic Toán VN
