Giải toán lớp 11 kết nối tri thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.1 MB, 108 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20381

Câu 1.24: Biểu diễn các góc lượng giác 5 , , 25 , 17

α = − β = γ = δ = trên đường trịn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?

Do đó, hai góc

β

và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.

Câu 1.25: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. sin

(

π α−

)

=sinα . B. cos

(

π α−

)

=cosα.

C. sin

(

π α+

)

= −sinα . D. cos

(

π α+

)

= −cosα.

Câu 1.26: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. cos

(

a−b

)

=cos cosab−sin sinab. B. sin

(

a−b

)

=sin cosab−cos sinab.

C. cos

(

a+b

)

=cos cosab−sin sinab. D. sin

(

a+b

)

=sin cosab+cos sinab.

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Câu 1.27: Rút gọn biểu thức M =cos

(

a+b

)

cos

(

a−b

)

−sin

(

a+b

) (

sin a−b

)

, ta được

A. M =sin4a. B.

M= −1 2cos

2

a

. C.

M= −1 2sin

2

a

. D. M =cos4a.

cos2a2cosa1 1 2sina

==− = −

(áp dụng công thức nhân đôi)

Câu 1.28: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số y=cosx có tập xác định là . B. Hàm số y=cosxcó tập giá trị là

[

−1;1

]

C. Hàm số y=cosx là hàm số lẻ. D. Hàm số y=cosx tuần hồn chu kì 2π .

Lời giải Chọn C

Hàm số y=cosx:

 Có tập xác định là  và tập giá trị là

[− 1; 1 ;]

 Là hàm số chẵn và tuần hồn với chu kì2π .

Câu 1.29: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A. y=tanx+x. B. y=x2+1. C. y =cotx. D. ysinxx

Lời giải Chọn C

Hàm số y=cotx tuần hoàn với chu kì

π

Câu 1.30: Đồ thị của các hàm số

y=sinx

và y=cosx cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hồnh độ thuộc đoạn

Hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

y sinx=

và y=cosx là nghiệm của phương trình sinx=cosx⇔tanx=1do tan sin

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

(sinα+cos )α = +1 sin2α. b)

cos

4

α−sin

4

α=cos2α

. .

Lời giải

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: 22

sinα+cosα=1

và công thức nhân đơi: sin2α=2sin cosαα.

Ta có: VT =(sina+cos )a 2 =sin2a+cos2a+2sin cosaa= +1 sin2a=VP (đpcm). b) Áp dụng hệ thức Iượng giác cơ bản: 22

sina+cosα=1

và công thức nhân đôi: 22

cos2α=cosα−sinα

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20385 Vậy tập giá trị của hàm số 2cos 2 1

Vậy tập giá trị của hàm số

y sinx cosx=+

là − 2; 2 .

Bài 1.35. Giải các phương trình sau:

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Bài 1.36. Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mơ hình hố bởi hàm số

trong đó p t

( )

. là huyết áp tính theo đơn vị

mmHg

. (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo phút.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Bài 1.37. Khi một tia sáng truyền từ ơng khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ

r

bởi Định luật khúc xạ

Ở đây, n và 1 n 2 tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (khơng khí) và mơi trường 2 (nước). Cho biết góc tới

i=50

, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của khơng khí bằng 1 cịn chiết suất của nước là

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Theo định nghĩa 1 rađian là số đo của cung có độ dài bằng bán kính.

Câu 4: Trên đường trịn bán kính bằng 4, cung có số đo

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20389 Điểm M thỏa mãn

(

Ox OM,

)

=500° thì nằm ở góc phần tư thứ II vì 500° −360° =140°∈

(

90 ;180°°

)

Câu 7: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây. Hỏi trong 1 giây, bánh xe quay được một góc bao nhiêu độ?

A. 144°. B. 288°. C. 36°. D. 72°.

Lời giảiChọn A

Ta có: trong 5 giây quay được 2 360×° =720°. Vậy trong 1 giây quay được: 720 144

π α< < . Khẳng định nào sau đây sai?

A. tanα<0. B. cotα>0. C. sinα>0. D. cosα>0.

π α< < ta có sinα>0, cosα>0, tanα>0, cotα>0.

Câu 9: Cho biết tan 1

Câu 10: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?

A. tan 45°<tan 60°. B. cos 45° ≤sin 45°. C. sin 60°<sin 80°. D. cos 35° >cos10°.

Lời giảiChọn D

Khi α∈

(

0°; 90°

)

hàm cos

α

là hàm giảm nên cos 35° <cos10° suy ra D sai.

Câu 11: Cho sin 1

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Câu 13: Với mọi góc a và số nguyên k, chọn đẳng thức sai?

A. sin

(

a+k2π

)

=sina. B. cos

(

a+kπ

)

=cosa.

C. tan

(

a+kπ

)

=tana. D. cot

(

a−kπ

)

=cota.

Lời giảiChọn B

Câu 14: Chọn khẳng định đúng?

A. tan

(

π α−

)

=tanα. B. sin

(

π α−

)

= −sinα.

C. cot

(

π α−

)

=cotα. D. cos

(

π α−

)

= −cosα.

cos 90° +α = −sinα ⇒cos90° +α =sin α.

Suy ra

A=cos 10° cos 20° ... cos 180°

2

+

2

+ +

2

(

22

)(

22

)

1 ... 19

⇔= + + = .

Câu 16: Trong tam giác ABC, đẳng thức nào dưới đây luôn đúng?

A. sin

(

A+B

)

=cosC. B. cosA=sinB.

Câu 17: Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Đặt M =cos 2

(

A+ +BC

)

thì:

A. M = −cosA. B. M =cosA. C. M =sinA. D. M = −sinA.

Lời giải

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.203811

Chọn A

Ta có A, B, C là 3 góc của một tam giác

⇒ + + =A B C180° ⇒⇒2A B C+ + =180° +A

. Từ đó ta có M =cos 2

(

A+ +BC

)

⇔M =cos

(

A+180°

)

⇔M = −cosA.

Câu 19: Khẳng định nào dưới đây sai?

A. cos 2a=2 cosa−1. B.

2sin

2

a= −1 cos 2a

C. sin

(

a+b

)

=sinacosb+sin cosba. D. sin 2a=2 sinacosa.

Lời giảiChọn B

Ta có:

cos 2a=2 cos

2

a−1

nên A sai.

Và:

cos 2a= −1 2sin

2

a⇔2sin

2

a= −1 cos 2a

nên B đúng.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Hàm số

y=sin 2x

tuần hoàn với chu kỳ T =2π nên hàm số

y=sin 2x

tuần hoàn với chu kỳ T =π.

Câu 24: Khẳng định nào dưới đây là sai?

Câu 26: Phương trình nào dưới đây vơ nghiệm:

A. sinx+ =30. B.

2 cos

2

x−cosx− =1 0.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Ta có − ≤1s inx≤1 nên đáp án A là đáp án cần tìm vì s inx= −3.

Câu 27: Cho hai phương trình cos 3x− =10; cos 2 1 2

x= − . Tập các nghiệm của phương trình đồng thời là nghiệm của phương trình là

Biểu diễn các nghiệm trên đường trịn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình đồng thời là nghiệm của phương trình là 2

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Câu 35: Chứng minh biểu thức 2222

sinx.tanx+4sinx−tanx+3cosx

không phụ thuộc vào x

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Vậy ∆ABC cân tại C.

Câu 39: Số nghiệm của phương trình

(

0

)

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

ÔN TẬP CHƯƠNG 2

GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG SÁCH GIÁO KHOA A. TRẮC NGHIỆM

Câu 2.22: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới. B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm. D. Một dãy số khơng đổi thì bị chặn. Lời giải

Chọn D

Câu 2.23: Cho dãy số 1, , , ,1 1 1

2 4 8 … (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó). Cơng thức tồng qt của dãy số đã cho là

Câu 2.24: Cho dãy số

( )

un với un =3n+ . Khẳng định nào sau đây là đúng? 6

A. Dãy số

( )

un là cấp số cộng với công sai d =3.

B. Dãy số

( )

un . là cấp số cộng với công sai d=6.

C. Dãy số

( )

un là cấp số nhân với công bội q=3.

D. Dãy số

( )

un là cấp số nhân với cộng bội q=6.

Suy ra dãy số (u ) là cn ấp số cộng với công sai d = 3

Câu 2.25: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Bài 2.27. Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Lời giải

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông. Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông. ...

Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chng.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

1 2 3 ... 11 12+ + + + + 1 2 3 ... 11 12+ + + + +

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu u1 =1, công sai d =1.

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 giờ đến 12 giờ truqa là:

Bài 2.28. Tế bào E. Coli trong điều kiện ni cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Lời giải

Số tế bào phân chia sau mỗi 20 phút tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu là 2, công bội là 2.

Sau 24 giờ ( tức n=(24.60) : 20=72) tế bào ban đầu phân chia thành số tế bào là:7121

a) Trong một cấp số cộng

( )

un , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Bài 2.30. Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tồng bằng 21 , và nếu lần lượt cộng thêm các số 2;3;9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Lời giải

Gọi ba số cần tìm lần lượt là x y z, , .

Theo tính chất của cấp số cộng ta có x+ =z 2y

Kết hợp với giả thiết x+ + =y z 21, ta suy ra 3y=21⇔ =y

Gọi d là cơng sai của cấp số cộng thì x= − = −y d 7 d và z= + = +yd 7 d

Sau khi thêm các số 2;3;9 vào ba số x y z, , ta được ba số là x+2,y+3,z+9 hay 9 d,10,16 d− +

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

()()

22

9−d 16+d =10 ⇔d +7d−44=0

Giải phương trình ta được d= −11 hoặc d =4

Suy ra ba số cần tìm là 18, 7, 4− hoặc 3, 7,11

Bài 2.31. Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0, 5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mổi bậc cao 16 cm.

a) Viết cơng thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân. b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Bài 2.32. Một hình vng màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vng nhỏ hơn và hình vng ở chính giữa được tơ màu xanh như Hình 2.1 Mỗi hình vng màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vng con, và mỗi hình vng con ở chính giữa lại được tơ màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tồng diện tích các hình vng được tơ màu xanh bao nhiêu?

Lời giải

Diện tích ơ vng màu xanh sau lần phân chia thứ nhất là: 1

9, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 0

Diện tích ơ vng màu xanh sau lần phân chia thứ hai là: 12

9 , số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 1

...

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20384 Diện tích ơ vng màu xanh sau lần phân chia thứ năm là: 15

9 , số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 4

Câu 2: Cho dãy số

( )

un với un =2n−1. Dãy số

( )

un là dãy số

A. Bị chặn trên bởi 1. B. Giảm. C. Bị chặn dưới bởi 2. D. Tăng.

Lời giải Chọn D

∀ ∈  ta có: un+1−un =2

(

n+ − −1

)

(

2n− = > nên 1

)

2 0 un+1>un vậy dãy số

( )

un tăng.

Câu 3: Cho cấp số cộng

( )

un có u1= và công sai 3 d =7. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của

( )

un đều lớn hơn 2018?

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Do đó dãy số

( )

un là một cấp số nhân với u1 =3, công bội q= . 3 Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là: 1

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là a b c, , ⇒ + =ac 2b

( )

* . a) Theo bài ra, ta có 15

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

a + bc− b c+ = ⇔a + bc= b c+ → điều phải chứng minh.

Câu 16: Cho dãy số

( )

un xác định bởi

a) Chứng minh dãy số

( )

vn với vn =un+3, n≥1 là một cấp số nhân. b) Tìm công thức tổng quát của dãy số

( )

un .

a) Tìm số hạng đầu tiên và cơng bội b) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên.

c) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 765. d) Số 12288 là số hạng thứ mấy?

Lời giải

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

a) Vậy số hạng đầu u1=3 và công bội q= 2.

b) Tổng của 10 số hạng đầu tiên 10 1.1 10 3.1 210 3069

− − . Vậy tổng của 8 số hạng đầu tiên bằng 765.

d) Giả sử un =12288. Theo công thức tổng quát của cấp số nhân, ta có

Câu 18: Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp sống nhân  un , biết

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.203810

Lấy  2 chia  1 , ta được q 2. Vậy 11

Câu 20: Tìm ba số khác nhau tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hốn đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân. Với u 1 2, suy ra d 0: không thỏa mãn.

Với u  1 4, suy ra d 6. Vậy ba số cần tìm là 4, 2, 8.

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20381

Vì đây là mẫu số liệu ghép nhóm và tần số các nhóm khác nhau nên có 1 mốt

Câu 3.10: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là

A. [20; 40) . B. [40; 60) . C. [60;80) . D. [80;100) Lời giải

Chọn B

Tần số của nhóm [40;60) lớn nhất (=12) nên mốt thuộc nhóm [40;60)

Câu 3.11: Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là

Do x11,x 12 đều thuộc nhóm [20;40) nên nhóm này chứa Q 1

Câu 3.12: Nhóm chứa trung vị là

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20382 Chọn 80 là giá trị đại diện cho nhóm trên 65 tuổi. Tính tuổi trung bình của người Việt Nam năm 2020.

Bài 3.14. Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả như sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu. Giải thích ý nghĩa của giá trị nhận được.

Ý nghĩa: Đa số các con ong có tuổi thọ là 76 ngày

Bài 3.15. Một bảng xếp hạng đã tính điềm chuần hố cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở

Việt Nam và thu được kết quả sau:

Xác định điểm ngưỡng đề đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam.

Lời giải

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20383 Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là tứ phân

Vậy để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam ta lấy các trường có điểm chuẩn hóa trên 35.42

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

1

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20381

GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ÔN TẬP CHƯƠNG IV PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM

Câu 4.35: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng

( )

P . Mặt phẳng

( )

Q chứa đường thẳng a và cắt mặt phẳng

( )

P theo giao tuyến là đường thẳng b . Vị tri trương đối của hai đường thẳng avà b

là:

A. chéo nhau. B. cắt nhau. C. song song. D. trùng nhau. Lời giải

Chọn C

Câu 4.36: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi Mlà trung điểm của cạnh SD . Đường thẳng SB song song với mặt phẳng

A.

(

CDM

)

. B.

(

ACM

)

. C.

(

ADM

)

. D.

(

ACD

)

Câu 4.38: Cho ba mặt phẳng

( ) ( ) ( )

P , Q , R đôi một song song với nhau. Đường thẳng a cắt các mặt phẳng

( ) ( ) ( )

P , Q , R lần lượt tại , ,A B C sao cho 2

Câu 4.39: Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,SB SD K ; là giao điểm của mặt phẳng

(

AMN

)

và đường thẳng SC . Tỉ số SK

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

2

Lời giải Chọn B

Gọi O là giao điểm AC và BD, gọi P là trung điểm MN .

Ta có MN là đường trung bình tam giác SBD suy ra S,P,O thẳng hàng và P là trung điểm của SO .

Do đó P thuộc SO hay P thuộc mp SAC

()

Trong mp SAC

()

, nối AP kéo dài cắt SC tại K suy ra K là giao điểm của SC và

Câu 4.40: Cho hình hộp ABCD A B C D⋅ ′ ′ ′ ′. Gọi ,M M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC B C, ′ ′. Hình chiếu của B DM′ qua phép chiếu song song trên

(

A B C D′ ′ ′ ′

)

theo phương chiếu AA′ là

A. B A M′ ′ ′. B. ΔC D M′ ′ ′ . C. DMM ′. D. ΔB D M′ ′ ′.

Lời giải Chọn D

PHẦN 2: TỰ LUẬN

Bài 4.41. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình thang, AB/ /CD và AB<CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng sau:

(

SAD

)

và

(

SBC

)

; b)

(

SAB

)

và

(

SCD

)

; c)

(

SAC

)

và

(

SBD

)

Lời giải

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20383

a) Gọi giao điểm của AD và BC là K. Ta có: SK cùng thuộc mp SAD

()

và

(

SBC

)

. Vậy SK là giao tuyến của (SAD) và (DBC).

(

SAB

)

và

(

SCD

)

có AB/ /CD chung nên giao tuyến là đường thẳng Sx đi qua x và song song với

AB vàCD .

c) Gọi O là giao điểm cuae AC và BD suy ra O thuộc giao tuyến của

(

SAC

)

và

(

SBC

)

. Suy ra SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

Bài 4.42. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C⋅ ′ ′ ′ . Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh ,

AB BC và AA′.

a) Xác định giao điêm của mặt phẳng

(

MNP

)

với đường thẳng B C′ .

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng

(

MNP

)

với đường thẳng B C′ . Tính tỉ số KB

′ .

Lời giải

a) Ta có

(

MNP

) (

∩ ABC

)

=MN,

(

ABC

) (

∩ ACC A′ ′ =

)

AC AC, / /MN (do MN là đường trung bình của tam giác ABC ) suy ra giao tuyến của

(

MNP

)

và

(

ACC A' '

)

song song với MN và AC.

Qua P kẻ đường thẳng song song với AC cắt CC' tại H. PH là giao tuyến của

(

MNP

)

và

(

ACC A' '

)

Nối H với N cắt B C' tại K .

Vậy K là giao điểm của

(

MNP

)

và B C' . b) Gọi giao điểm B C' và BC'là O.

Ta có ACC A' 'là hình bình hành, Plà trung điểm AA PH', / /AC suy ra H là trung điểm CC'.

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Bài 4.43. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM =2SM và BN =2AN.

a) Xác định giao điểmK của mặt phẳng

(

ABM

)

với đường thẳng SD . Tính tỉ số SK

SD.

b) Chứng minh rằng MN/ /

(

SAD

)

Lời giải

a) Ta có: mp ABM

()

∩mp ABCD

()

= AB mp ABCD,

()

∩mp SCD

()

=CD AB, / /CDsuy ra giao tuyến của

(

ABM

)

và (SCD) là đường thẳng qua M song song với AB và CD .

Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD). Vậy, K là giao điểm của

(

AMN

)

và SD .

Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra 1

Bài 4.44. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ,G K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD SCD . ,

a) Chứng minh rằng GK/ /

(

ABCD

)

b) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng

(

ABCD

)

cắt các cạnh , ,SA SB SC SD , lần lượt tại , , ,M N E F . Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.

Lời giải

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

5

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20385

a) Xét tam giác HAC ta có: GH=2GA, HK=2KC suy ra GK / /AC hay GK / / ABCD

()

. b)

(

MNEF / / ABCD

) ()

do đó MN / /AB, NE / /BC,EF / /CD,MF / /AD .

b) Xét tứ giác A C OA′ ′ ta có: A C′ ′/ /AO A C, ′ ′ =2AO suy ra A G′ =2GO mà O là trung điểm BD suy ra

G là trọng tâm tam giác A BD′ .

Như vậy AC ' đi qua trọng tâm Gcủa tam giác A BD′ .

Bài 4.46. Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM =3AM . Mặt phẳng

( )

P đi qua

M song song với hai đường thẳng AD và BC .

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng

( )

P với đường thẳng CD .

b) Tính tỉ số KC

CD.

Lời giải

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

6

a) Qua M kẻ MH / /BC,Ml / /AD .

( )

mp P đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC suy ra mp P

( )

chứa MH và MI.

Ta có:

(

ABC

) ( )

∩ P =MH,

(

ABC

) (

∩ BCD

)

=BC MH, / /BC suy ra giao tuyến của

( )

P và

(

BCD

)

song song với BC và MH.

Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD). Vậy giao điểm của

( )

P và CD là K.

b) Ta có:

( ) (

P ∩ ABD

)

=MI,

(

ABD

) (

∩ ACD

)

=AD P,

( ) (

∩ ACD

)

=HK MI, / /AD

suy ra HK / /MI .

Tứ giác MHKI có: MH / /KI, MI / /HK suy ra MHKI là hình bình hành do đó MH=KI.

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

7

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20387

BÀI TẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG IV

Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp.

Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến.

Hình chóp tứ giác .S ABCD có 5 mặt nên thiết diện của

( )

α với .S ABCD có khơng qua 5 cạnh, khơng thể là hình lục giác 6 cạnh.

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.

B. Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

C. Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.

D. Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Lời giải

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

8

Chọn C

 A sai. Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một mặt phẳng xác định. Có vơ số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho.

 B sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có vơ số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

 D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vơ số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng khơng đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Câu 5: Trong không gian, cho 4 điểm khơng đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?

Lời giải Chọn B

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định. Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa 3

C = mặt phẳng.

Câu 6: Trong mặt phẳng

( )

α , cho 4 điểm , , ,A B C D trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Điểm

S khơng thuộc mặt phẳng

( )

α . Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên?

C cách chọn 2 trong 4 điểm , , ,A B C D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định. Vậy số mặt phẳng tạo được là 6.

Câu 7: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A. Ba điểm phân biệt. B. Một điểm và một đường thẳng.

C. Hai đường thẳng cắt nhau. D. Bốn điểm phân biệt.

Lời giải Chọn C

 A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vơ số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

 B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vơ số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

9

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.20389

Câu 8: Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Nếu 3 điểm , ,A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng

( )

P và

( )

Q thì A B C th, , ẳng hàng.

B. Nếu , ,A B C thẳng hàng và

( )

P ,

( )

Q có điểm chung là A thì B C , cũng là 2 điểm chung

Hai mặt phẳng phân biệt khơng song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.  A sai. Nếu

( )

P và

( )

Q trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vơ số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận , ,A B C thẳng hàng.

 B sai. Có vơ số đường thẳng đi qua A, khi đó ,B C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của

( )

P

và

( )

Q .

 C sai. Hai mặt phẳng

( )

P và

( )

Q phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm , ,

A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì , ,A B C cùng thuộc giao tuyết.

Câu 10: Cho bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng

MNP là giao điểm của

A. CD và NP. B. CD và MN. C. CD và MP. D. CD và AP.

Lời giải Chọn A

</div>

Giải toán lớp 11 kết nối tri thức

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

<i><b>Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023 </b></i>

β

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

<i>M</i>= −1 2cos

<i>a</i>

<i>M</i>= −1 2sin

<i>a</i>

cos2<i>a</i>2cos<i>a</i>1 1 2sin<i>a</i>

==− = −

[

]

[− 1; 1 ;]

π

<i>y</i>=sin<i>x</i>

y sinx=

cos

α−sin

α=cos2α

sinα+cosα=1

sin<i>a</i>+cosα=1

cos2α=cosα−sinα

y sinx cosx=+

( )

mmHg

<i>r</i>

<i>i</i>=50

(

)

(

)

(

)

α

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<i>A</i>=cos 10° cos 20° ... cos 180°

+

+ +

(

)(

)

(