HOJAS DE PROBLEMAS – ESTADÍSTICA VII

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<b>264.- La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la </b>

<b>1º) Esperanza matemática o valor medio probable de la variable. 2º) Límite de la esperanza cuando n tiende a infinito. </b>

Observando que el valor obtenido es menor que 1, se confirma que la distribución dada no es una distribución de probabilidad puesto que el valor de la esperanza cae siempre dentro del recorrido de la variable.

<b>265.- Se dispone de una urna que contiene cinco bolas rojas y cuatro bolas blancas. Se extraen de su interior cinco bolas y estamos interesados en definir la variable aleatoria X = número de bolas blancas extraídas. Completar la adjunta tabla en los dos casos siguientes: </b>

<b>a) Las cinco bolas se extraen de una en una, devolviéndolas cada vez a la urna. b) Las cinco bolas se extraen de una sola vez. </b>

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<i><b>c) Calcular en cada uno de los casos X y </b></i> <small>2</small>

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En el caso b) estamos en una distribución hipergeométrica, luego, siendo el número de bolas N = 9, el de bolas blancas n = 4 y el número de bolas extraídas M = 5, se tiene

<b>266.- Disponemos de dos urnas con N bolas cada una, numeradas de 1 a N en ambas. Se extrae simultáneamente una bola de cada urna y sin devolverlas repetimos esta operación, hasta vaciar las urnas. </b>

<b>a) Hallar la probabilidad de que en ninguna de las extracciones los números de las bolas coincidan. </b>

<b>b) Hallar el límite de dicha probabilidad cuando N tiende a infinito. </b>

RESOLUCIĨN.-

Puesto que las N! ordenaciones que resultan al extraer las N bolas de la primera urna son equiprobables, el problema queda simplificado en su notación si suponemos fijada la ordenación que resulta de las extracciones en la primera urna.

Así pues, sea <i>A_i</i>(1≤<i>i</i> ≤<i>N</i>) es suceso que consiste en que haya coincidencia en la

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Sea <i>H</i> = <i>A</i>₁∪<i>A</i>₂ ∪...∪<i>A_N</i>. Evidentemente H es el suceso que consiste en que al menos haya una coincidencia.

<b>267.- Dos personas A y B, juegan una competición de ajedrez, la cual será ganada por el primero de los dos jugadores que gane dos partidas. Las probabilidades que tiene A de ganar, hacer tablas o perder en una partida son a, b, c, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que A venza en la competición?. </b>

RESOLUCIĨN.-

Para que A gane la competición se ha n de celebrar n + 2 partidas con n = 0, 1, 2,… La probabilidad de que gane A la competición en la partida n + 2 exactamente, es:

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<b>268.- Dado un segmento cualquiera, hallar la probabilidad de obtener, por trisección, los tres lados de un triángulo. </b>

RESOLUCIĨN.-

Entenderemos por trisección la elección de dos puntos al azar del interior del segmento. Es evidente que no supone restricción alguna identificar al segmento con el intervalo [0, 1]. La elección de dos puntos en el segmento es entonces la elección de dos números <i>x</i>∈(0,1), <i>y</i>∈(0,1), <i>x</i> ≠ <i>y</i>.

La condición necesaria y suficiente para que con tres segmentos se pueda formar un triángulo es que la longitud de cada uno de los segmentos sea menor que la suma de los otros dos. Refiriendo estas condiciones a los números x e y obtenemos:

Interpretando geométricamente estas condiciones, identificando (x , y) con un punto del plano, resulta que los puntos que verifican la condic ión pertenecen a la parte rayada de la figura. La probabilidad es por tanto:

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<b>269.- En el interior de un cuadrado OABC cuyo lado es igual a L = 10 cm. Se elige un punto P(x, y) al azar. Hallar la probabilidad de que se pueda formar un triángulo cuyos lados tengan longitudes 4, x, y. </b>

Geométricamente la probabilidad equivale a la de elegir en el cuadrado OABC un punto situado en la zona no rayada.

Dicha probabilidad es: <b>a) Determinar k para que f(x) sea una función de densidad. b) Hallar la función de distribución. </b>

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<b>271.- Disponemos de dos urnas con N bolas cada una, numeradas de 1 a N en ambas. Se extrae simultáneamente una bola de cada urna y sin devolverlas repetimos esta operación, hasta vaciar las urnas. </b>

<b>a) Hallar la probabilidad de que en ninguna de las extracciones los números de las bolas coincidan. </b>

<b>b) Hallar el límite de dicha probabilidad cuando N tiende a infinito. </b>

RESOLUCIĨN.-

Puesto que las N! ordenaciones que resultan al extraer las N bolas de la primera urna son equiprobables, el problema queda simplificado en su notación si suponemos fijada la ordenación que resulta de las extracciones en la primera urna.

Así pues, sea <i>A_i</i> (1≤<i>i</i>≤<i>N</i>) el suceso que consiste en que haya coincidencia en la

Sea <i>H</i> = <i>A</i>₁U<i>A</i>₂ U...U<i>A_N</i>. Evidentemente H es el suceso que consiste en que al menos haya una coincidencia.

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<b>272.- Obtener la probabilidad de que un cartero que lleva tres cartas con distintos destinatarios entregue al menos una de ellas correctamente al efectuar dicha entrega al azar sin mirar dirección alguna. </b>

RESOLUCIĨN.-

Usaremos el método general para resolver este tipo de problemas.

Sea A<small>i</small> el suceso que consiste en que el destinatario i recibe su carta. Habrá que

<b>273.- Se dispone de dos urnas, blanca y negra, conteniendo cada una de ellas bolas blancas y negras en las proporciones siguientes: </b>

<b>Urna blanca: 1-r bolas blancas y r bolas negras. </b>

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<b>Urna negra: s bolas blancas y 1-s bolas negras. </b>

<b>Cuando en una extracción se saca bola blanca, la extracción siguiente se efectúa en la urna blanca, y en la urna negra en el caso contrario. Después de cada tirada se repone la bola. </b>

<b>La primera extracción se realiza en la urna blanca. ¿Cuál es la probabilidad p<small>n</small></b>

<b>para que la n-ésima bola sacada sea blanca?. Calcular </b> <i>_n</i>

Sea p<small>n</small> la probabilidad de que la n-ésima bola sacada sea blanca. ¿Cuál es la probabilidad p<small>n</small> para que la n-ésima bola sacada sea blanca y q<small>n</small> la probabilidad de que sea negra. Se verirfica:

Como la primera extracción se realiza en la urna blanca, ello equivale a suponer una extracción 0 en la que se hubiera sacado bola blanca; así:

Los valores propios de la matriz _^¹⁻<i>_r^r</i> ₁₋<i>^s_s</i>_^ son 1 y 1-r-s; los correspondientes vectores propios filas son [1, 1], [r, -s], suponiendo <i>r</i> ≠0ó<i>s</i>≠0. Así:

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