một số phương pháp lặp giải bài toán không điểm chung

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN MINH TRANG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP

GIẢI BÀI TOÁN KHƠNG ĐIỂM CHUNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun – 2022

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN MINH TRANG

PGS.TS. Trương Minh Tuyên PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

Thái Nguyên – 2022

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trương Minh Tuyên và PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Minh Trang

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Trương Minh Tuyên và PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cơ.

Trong q trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, TS. Trịnh Ngọc Hải, TS. Dương Thị Việt An, TS. Nguyễn Song Hà, TS. Trần Xuân Quý, TS. Nguyễn Thanh Sơn, TS. Mai Viết Thuận... Từ đáy lịng mình, tác giả xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến các Thầy và Cơ.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn – Tin, Phịng Đào tạo – bộ phận Đào tạo Sau đại học và Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hồn thành luận án của mình.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo trong Bộ mơn Tốn ứng dụng và Tin học, khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học và các thầy cô giáo trong Khoa Quốc tế, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp cùng toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, seminar và hồn thành luận án.

Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình niềm vinh hạnh này.

Tác giả

Nguyễn Minh Trang

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Mục lục

1.1 Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn . . . . 10

1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . 14

1.3 Phép chiếu mêtric . . . . 15

1.4 Ánh xạ L-liên tục Lipschitz và ánh xạ co . . . . 16

1.5 Toán tử loại đơn điệu . . . . 18

1.6 ε-mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại . . . . 23

1.7 Một số bổ đề bổ trợ . . . . 25

Chương 2 Xấp xỉ khơng điểm chung của các tốn tử loại đơn điệu trong không gian Banach 26 2.1 Xấp xỉ khơng điểm chung của các tốn tử đơn điệu . . . . 26

2.2 Xấp xỉ không điểm chung của toán tử j-đơn điệu . . . . 35

2.2.1 Thuật tốn lặp xoay vịng . . . . 37

2.2.2 Thuật toán lặp song song . . . . 44

2.3 Một số bài toán liên quan . . . . 50

2.3.1 Bài toán điểm cực tiểu chung . . . . 50

2.3.2 Bài toán điểm bất động chung . . . . 52

2.3.3 Bài toán chấp nhận lồi . . . . 52

2.4 Ví dụ số minh họa . . . . 55

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Chương 3 Xấp xỉ nghiệm của bài tốn khơng điểm chung tách

3.1 Thuật tốn và sự hội tụ . . . . 61

3.2 Một số bài toán liên quan . . . . 68

3.2.1 Bài toán điểm cực tiểu tách . . . . 68

3.2.2 Bài toán chấp nhận tách . . . . 70

3.3 Ví dụ số minh họa . . . . 71

Chương 4 Xấp xỉ nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách trong không gian Hilbert 77 4.1 Thuật toán và sự hội tụ . . . . 77

4.2 Một số bài toán liên quan . . . . 93

4.2.1 Bài tốn khơng điểm chung tách . . . . 93

4.2.2 Bài toán chấp nhận tách đa tập . . . . 94

4.3 Ví dụ số minh họa . . . . 94

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

l_p (1 ≤ p < ∞) không gian các dãy số khả tổng bậc p

L_p[a, b] (1 ≤ p < ∞) không gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b]

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

hx, yi tích vơ hướng của x ∈ H và y ∈ H

lim sup

lim inf

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Danh sách bảng

2.1 Kết quả số của Ví dụ 2.4.1 với phương pháp lặp (2.36). . . 56 2.2 Kết quả số của Ví dụ 2.4.2 trong Trường hợp 1 với phương pháp 3.1 Kết quả số của Ví dụ 3.3.1 với Thuật toán 3.2.2. . . . 72 3.2 Kết quả số của Ví dụ 3.3.2 trong Trường hợp 1 với Thuật tốn

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Danh sách hình vẽ

1 Mơ hình chụp ảnh X-quang . . . . 5 2.1 Dáng điệu của x_n(t) trong Ví dụ 2.4.1 khi _n < 10⁻⁴. . . . 56 2.2 Dáng điệu của x_n(t) trong Ví dụ 2.4.1 khi _n < 10⁻⁵. . . . 57 2.3 Biến thiên của _n trong Ví dụ 2.4.2 với phương pháp lặp (2.37) . 58 2.4 Biến thiên của _n trong Ví dụ 2.4.2 với phương pháp lặp (2.38) . 59

3.1 Biến thiên của _n trong Bảng 3.1 khi _n < 10⁻⁴. . . . 72 3.2 Dáng điệu của x<small>n</small>(t) trong Ví dụ 3.3.2 với Thuật toán 3.2.2 khi

_n < 10⁻³. . . . 74 3.3 Dáng điệu của x_n(t) trong Ví dụ 3.3.2 với các thuật toán (3.17),

(3.18) và Thuật toán 3.2.2. . . . 75 4.1 Biến thiên của _n trong Bảng 4.1 khi _n < 10⁻⁵. . . . 96 4.2 Biến thiên của _n trong Bảng 4.2 khi _n < 10⁻⁵. . . . 97

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Mở đầu

Trong không gian Banach E, dạng đơn giản của bài toán xác định khơng điểm được phát biểu như sau:

trong đó A : E −→ 2^X là tốn tử đa trị từ khơng gian Banach E vào khơng gian Banach X. Bài tốn (0.1) được gọi là Bài tốn tìm khơng điểm của toán tử loại đơn điệu nếu A là toán tử đơn điệu (với X = E^∗) hoặc toán tử j-đơn điệu (với X = E) v.v.

Dạng tổng quát của (0.1) là bài tốn tìm khơng điểm chung, cụ thể: Tìm một phần tử x ∈ S,

ở đây S := ∩^N_i=1A⁻¹_i 0 6= ∅, với A<small>i</small> : E −→ 2^X, i = 1, 2, . . . , N , là các tốn tử loại đơn điệu trên E.

Bài tốn khơng điểm là mơ hình tốn học được sử dụng để nghiên cứu nhiều bài toán tối ưu xuất hiện trong tài chính, kinh tế, vận tải và khoa học kỹ thuật. Nhiều bài tốn vật lý quan trọng có thể mơ hình hóa dưới dạng bài tốn giá trị ban đầu

dt ^{+ Au(t) = 0, u(t}⁰^{) = u}⁰^,

trong đó A là tốn tử j-đơn điệu trong khơng gian Banach. Các phương trình tiến hóa như trên có thể xuất hiện trong các phương trình nhiệt, phương trình sóng hay phương trỡnh Schrăodinger.

trng thỏi cõn bng, ^du

dt ^{= 0, thỡ bài tốn trên trở thành} Au = 0.

Do đó, lớp bài tốn tìm khơng điểm của các tốn tử j-đơn điệu có mối liên hệ chặt chẽ với việc tìm trạng thái cân bằng của các phương trình tiến hóa.

Mặt khác, bài tốn xác định khơng điểm của tốn tử loại đơn điệu là một bài toán trung tâm, từ lời giải cho lớp bài tốn này có thể suy ra lời giải cho nhiều lớp bài toán khác. Chẳng hạn, nếu f : E −→ R là một hàm lồi, nửa liên tục dưới, thì tốn tử dưới vi phân ∂f : E −→ 2^E^∗ xác định bởi

∂f (x₀) = {u ∈ E^∗| f (x) − f (x₀) ≥ hx − x₀, ui, ∀x ∈ E}

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

là một toán tử đơn điệu cực đại [42]. Phần tử x ∈ E làm cực tiểu hàm lồi f khi và chỉ khi ∂f (x) 3 0. Như vậy, bài tốn cực tiểu hóa hàm lồi f tương đương với bài tốn xác định khơng điểm của tốn tử đơn điệu cực đại ∂f . Hoặc, nếu T : D(T ) ⊆ E −→ E là một ánh xạ khơng giãn thì A = I^E − T là một toán tử j -đơn điệu (trong trường hợp D(T ) trùng với E thì I^E − T là một tốn tử m-j-đơn điệu). Khi đó, Fix(T ) = A⁻¹0, do đó, bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ T tương đương với bài tốn xác định khơng điểm của toán tử j-đơn điệu A = I^E − T .

Một trong những phương pháp cổ điển để giải bài tốn khơng điểm là thuật tốn điểm gần kề được đề xuất bởi Martinet [36] để tìm điểm cực tiểu của hàm lồi f trong không gian Hilbert H. Martinet đã xây dựng dãy lặp {x_n} hội tụ yếu đến điểm cực tiểu của f , xác định bởi x₁ ∈ H và

Năm 1976, thuật toán này được Rockafellar [43] sử dụng cho bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử đơn điệu cực đại A : H −→ 2^H trong khơng gian Hilbert H. Ơng xây dựng dãy lặp {x<small>n</small>} bởi x₀ ∈ H và

hay x_n+1 = J_c^A_nx_n; trong đó J_c^A_n = (I^H+ c_nA)⁻¹ là tốn tử giải của A với c_n > 0. Thêm nữa, Rockafellar [43] cũng đưa ra một thuật tốn điểm gần kề khơng chính xác với dãy lặp {x_n} được xác định bởi thì dãy {x_n} hội tụ yếu về một không điểm của A.

Năm 1991, Guler [26] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương pháp điểm^.. gần kề không hội tụ mạnh trong trường hợp tổng quát. Một ví dụ gần đây của tác giả Bauschke và cộng sự [6] cũng chỉ ra rằng dãy lặp {x_n} xác định bởi (0.2) chỉ hội tụ yếu.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Nhiều nhà tốn học sau đó đã nghiên cứu cải tiến phương pháp điểm gần kề để đạt được sự hội tụ mạnh cho lớp toán tử loại đơn điệu, chẳng hạn như kết hợp phương pháp điểm gần kề với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Lehdili và Moudafi [32], Xu [59]), với phương pháp lặp Halpern (Aoyama [3], Kamimura và Takahashi [30], Qin và Su [39], Xu [56]), với phương pháp xấp xỉ gắn kết (Chen và Zhu [21, 22], Jung [28, 29]) và với các phương pháp chiếu lai ghép hay chiếu co hẹp (Takahashi và các cộng sự [46, 47]) v.v.

Cho đến nay, bài tốn xác định khơng điểm (chung) của các toán tử loại đơn điệu vẫn là một trong những chủ đề thu hút đông đảo người làm toán trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Một số hướng nghiên cứu hiện nay về lớp bài toán này là: nghiên cứu mở rộng các kết quả đã có từ khơng gian Hilbert sang khơng gian Banach, nghiên cứu tính ổn định, tốc độ hội tụ của các phương pháp và nghiên cứu lớp bài toán tổng quát hơn - bài tốn khơng điểm chung tách.

Bài tốn khơng điểm chung tách (Split Common Null Point Problem) yêu cầu tìm một điểm thuộc tập các khơng điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại sao cho ảnh của nó qua một phép biến đổi tuyến tính (tốn tử chuyển) thuộc tập các khơng điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại khác. Cụ thể, với A_i : H₁ −→ 2<small>H1</small>, i = 1, 2, . . . , N và B_k : H₂ −→ 2<small>H2</small>, k = 1, 2, . . . , M , là các toán tử đơn điệu cực đại tương ứng trong H₁, H₂ và T : H₁ −→ H₂ là một toán tử tuyến tính, bị chặn, giả sử Ω₀ := ∩^N_i=1A⁻¹_i 0 ∩ T⁻¹ ∩<small>M</small>

<small>k=1</small>B_k⁻¹0
6= ∅. Khi đó, bài tốn khơng điểm chung tách là bài tốn:

Như đã đề cập về vai trị trung tâm của bài tốn khơng điểm, các thuật tốn tìm nghiệm của bài tốn khơng điểm chung tách có thể áp dụng để giải quyết nhiều bài toán liên quan như bài toán chấp nhận tách, bài toán điểm bất động chung tách, hay bài toán cực tiểu tách.

Trước tiên, bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) được giới thiệu lần đầu bởi Censor và Elfving [17], yêu cầu tìm một điểm thuộc một tập con lồi, đóng, khác rỗng của khơng gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một tốn tử tuyến tính, bị chặn thuộc một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian ảnh. Cụ thể, cho C và Q tương ứng là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của các không gian Hilbert H₁ và H₂. Cho T : H₁ −→ H₂ là một toán tử tuyến tính, bị chặn sao cho Ω := C ∩ T⁻¹(Q) 6= ∅,

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Bài toán chấp nhận tách đa tập (Multiple-set Split Feasibility Problem) là dạng tổng quát của bài toán chấp nhận tách, được phát biểu như sau: Cho C_i, i = 1, 2, . . . , N và Q<small>k</small>, k = 1, 2, . . . , M , tương ứng là các tập con lồi đóng của H₁, H₂. Cho T : H₁ −→ H₂ là một tốn tử tuyến tính, bị chặn. Giả sử Ω_S:= ∩^N_i=1C_i∩ T⁻¹(∩^M_k=1Q_k) 6= ∅,

Bài toán chấp nhận tách xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, như xử lý tín hiệu, khơi phục hình ảnh và y tế. Ví dụ, mơ hình chụp ảnh X-quang được Qu và Liu [40] giới thiệu như một bài toán chấp nhận tách. Nguyên lý chụp X-quang là khi chiếu chùm tia X qua cơ thể, các tia X được hấp thụ một phần và suy giảm cường độ khác nhau đối với các mô khác nhau, thể hiện trên phim X-quang thành các vùng đen/xám/trắng tùy thuộc vào hệ số hấp thụ. Từ dữ liệu của hàm suy giảm, ta suy ra thông tin về trạng thái sinh lý của cơ thể.

Qu và Liu xét mơ hình trên mặt cắt ngang hai chiều như sau: Đặt một lưới Đề-các gồm các phần tử hình vng, được gọi là pixel, lên toàn bộ mặt cắt. Các pixel được đánh số từ 1 (pixel góc trên cùng bên trái) đến M (pixel góc dưới cùng bên phải) như Hình 1. Nguồn chiếu và bộ thu là các điểm và các tia giữa chúng. Với i = 1, 2, . . . , N và k = 1, 2, . . . , M , x_k là giá trị của hàm suy giảm (được giả sử là không đổi) trên pixel thứ k, y_k là tổng suy giảm của tia thứ i và a_ik là độ lớn của giao giữa tia thứ i với pixel thứ k (biểu diễn cho đóng góp của pixel thứ k vào y<small>i</small>). y<small>i</small> được biểu diễn bằng tích phân đường của hàm suy giảm chưa biết dọc theo đường đi của tia, do đó, được tính bằng một tổng hữu hạn và vì vậy mơ hình được mơ tả bởi một hệ phương trình tuyến tính

với x = (x_k) ∈ R^M, y = (y_i) ∈ R^N, A = (a_ik)_{N ×M}. Như vậy, mơ hình trên là trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận tách ở dạng:

Tìm x ∈ C =x ∈ R<small>M</small> : x ≥ 0 sao cho y = Ax và y ∈ Q =y ∈ R<small>N</small> : y ≥ 0 . Một ví dụ khác về bài tốn chấp nhận tách đa tập là mơ hình của kỹ thuật xạ trị điều biến cường độ IMRT (Intensity Modulated Radiation Therapy), đây

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<small>Hình 1: Mơ hình chụp ảnh X-quang</small>

là kỹ thuật xạ trị tiên tiến sử dụng máy gia tốc tuyến tính để đưa liều bức xạ chính xác tới khối u hoặc thể tích cần điều trị. Các trường chiếu được chia ra nhiều chùm tia nhỏ (beamlet) và điều biến, cường độ của các chùm tia nhỏ này được kiểm sốt để đảm bảo phân bố chính xác theo yêu cầu của thể tích điều trị. Ưu điểm vượt trội của IMRT so với kỹ thuật xạ trị thơng thường là nó cho phép nâng cường độ phù hợp tại khối u trong khi hạn chế cường độ chiếu vào mô lành xung quanh và khả năng kê liều (cường độ) đồng thời vào nhiều thể tích điều trị.

Censor và cộng sự [18] đã xét mơ hình IMRT có U thể tích cần điều trị và V chùm tia xạ. Với i = 1, . . . , U và k = 1, . . . , V , ký hiệu h = (h_i) là vectơ liều hấp thu, D = (d_ik) là ma trận liều ảnh hưởng và x = (x_k) là vectơ cường độ, khi đó h_i = P<small>V</small>

<small>k=1</small>d_ikx_k, hay h = Dx.

Giả sử có M ràng buộc trong không gian liều R^U và N ràng buộc trong không gian cường độ R^V. Gọi C_m, m = 1, . . . , M, là tập các vectơ liều thỏa mãn ràng buộc liều thứ m và Q_n, n = 1, . . . , N , là tập các vectơ cường độ chùm tia thoả

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

mãn ràng buộc cường độ thứ n (các ràng buộc được thiết lập dựa trên tính chất y sinh học của mơ hình, cụ thể xem trong [18]). Ngồi ra, các cường độ phải khơng âm, biểu diễn bằng tập C<small>+</small> = x = (x_k_{) ∈ R}<small>V</small> : x_k ≥ 0, ∀k = 1, 2, . . . , V. Khi đó, mơ hình IMRT là bài tốn chấp nhận tách đa tập ở dạng sau

Tìm ¯x ∈ C₊∩ ∩^N_n=1C_n sao cho ¯h = D¯x và ¯h ∈ ∩^M_m=1Q_m.

Bài tốn (MSFP) có thể coi là một trường hợp đặc biệt của Bài toán (SCNPP). Thật vậy, với i_C là hàm chỉ của một tập con lồi và đóng C trong khơng gian Hilbert H₁, ta biết rằng

argmin_H₁i<small>C</small>(x) = C = (∂i<small>C</small>)⁻¹(0).

Do đó, Bài tốn (MSFP) có thể đưa về dạng Bài toán (SCNPP).

Tiếp theo, ta giới thiệu bài toán điểm bất động chung tách (Split Common Fixed Point Problem) đối với lớp ánh xạ không giãn. Bài toán được phát biểu như sau: Cho T_i : H₁ −→ H₁, i = 1, 2, . . . , N và S_k : H₂ −→ H₂, k = 1, 2, . . . , M, tương ứng là các ánh xạ không giãn trên H₁ và H₂, T : H₁ −→ H₂ là một tốn tử tuyến tính, bị chặn. Giả sử Ω<small>F</small> := ∩^N_i=1Fix(T_i) ∩ T⁻¹ ∩<small>M</small>

<small>k=1</small>Fix(S_k)
6= ∅, khi đó,

Ta biết rằng, nếu A : H₁ −→ H₁ là một toán tử đơn điệu cực đại trong khơng gian H₁, thì tốn tử giải J_r^A = (I^H<small>1</small> + rA)⁻¹ là một ánh xạ không giãn và A⁻¹0 = Fix(J_r^A) với mọi r > 0. Do đó, Bài tốn (SCNPP) có thể đưa về Bài tốn (SCFPP) tương ứng. Ngược lại, với các toán tử đơn điệu cực đại A_i = I^H<small>1</small>− T_i và B_k = I^H<small>2</small> − S_k với mọi i = 1, 2, . . . , N và k = 1, 2, . . . , M , Bài tốn (SCFPP) cũng có thể chuyển về Bài toán (SCNPP).

Như vậy, việc đề ra các phương pháp xấp xỉ nghiệm cho các bài toán (SCNPP), cũng như (MSFP), (SCFPP) và các bài toán liên quan khác là cần thiết và có ý nghĩa, đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn như Byrne [14, 15], Censor và cộng sự [18–20], Chuang [23], Dadashi [25], Kazmi và Rizvi [31], Takahashi và cộng sự [48, 49]; hay các nhà toán học trong nước như Anh [2], Buong [11], Thong [50, 51], Tuyen và cộng sự [54, 55].

Một trong những phương pháp phổ biến để xấp xỉ nghiệm của các bài toán trên là phương pháp CQ được Byrne [14] giới thiệu năm 2002: Với x₀ bất kỳ, dãy lặp {x_n} xác định bởi

x_n+1 = P^H<small>1</small>

<small>C</small> (x_n − γT^∗(I^H<small>2</small>− P^H<small>2</small>

<small>Q</small> )T x_n), n ∈ N,

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

trong đó γ ∈ (0, 2/kT k²). Thuật toán này hội tụ đến một nghiệm của Bài toán (SFP).

Năm 2005, Censor và các cộng sự [19] giới thiệu một thuật toán CQ mở rộng cho Bài toán (MSFP):

Tiếp theo, với Bài toán (SCFPP) trường hợp cho hai toán tử T₁ và S₁, năm 2009 Censor và Segal [20] đã chứng minh sự hội tụ yếu của thuật toán sau:

Năm 2012, với Bài toán (SCNPP) trường hợp chỉ có hai tốn tử A và B, Byrne và các cộng sự [15] đã chứng minh sự hội tụ yếu của dãy {x_n} xác định toán tử giải của A và B.

Như vậy, hầu hết các phương pháp này đều dựa trên phương pháp CQ, trong đó cỡ bước phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển T . Ta biết rằng trong thực tế việc tính tốn chuẩn tốn tử thường khơng đơn giản. Do đó, việc đưa ra những tiêu chuẩn khác để chọn cỡ bước khi không biết thông tin về kT k cũng là vấn đề có ý nghĩa và quan trọng trong thực tiễn tính tốn.

Những năm gần đây, đã có nhiều tác giả nghiên cứu cải tiến phương pháp CQ sao cho cỡ bước khơng phụ thuộc vào chuẩn của tốn tử chuyển, nhưng đa số chỉ đạt được sự hội tụ yếu, chẳng hạn như thuật toán của Cui và cộng sự [24], López và cộng sự [33], Yang [61]. Sau đó, các thuật tốn hội tụ mạnh cho các Bài toán (SFP) và (SCFPP) cũng được đề xuất bởi Boikanyo [7], Tian [52] và Wang [62]. Tuy nhiên, những nghiên cứu tương tự cho Bài toán (SCNPP) trong việc xây dựng thuật tốn khơng u cầu thơng tin về chuẩn của tốn tử hầu như chưa có.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Mục đích của luận án là đề xuất các phương pháp lặp mới giải bài tốn khơng điểm chung (tách) trong không gian Banach hay không gian Hilbert và đưa ra các ứng dụng cho các bài toán liên quan khác. Cụ thể, các mục tiêu nghiên cứu được đặt ra trong luận án như sau:

1. Đề xuất các phương pháp lặp mới cho bài tốn tìm khơng điểm chung của một họ hữu hạn toán tử đơn điệu và j-đơn điệu trong không gian Banach; 2. Đề xuất phương pháp lặp song song mới xấp xỉ nghiệm của bài tốn khơng điểm chung tách trong khơng gian Hilbert khi khơng biết thơng tin về chuẩn của tốn tử chuyển;

3. Đưa ra các phương pháp lặp mới xấp xỉ nghiệm của bài toán điểm bất động chung tách trong khơng gian Hilbert, từ đó ứng dụng cho bài tốn khơng điểm chung tách.

Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong bốn chương. Trong Chương 1, chúng tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày các kết quả chính ở các chương sau. Chương 2 trình bày các cải tiến của phương pháp chiếu co hẹp và phương pháp đường dốc nhất để đưa ra các thuật tốn mới tìm khơng điểm chung của tốn tử loại đơn điệu trong khơng gian Banach. Trong Chương 3, dựa trên phương pháp xấp xỉ gắn kết và một cải tiến của phương pháp CQ, chúng tôi đề xuất một phương pháp lặp song song mới cho bài tốn khơng điểm chung tách trong khơng gian Hilbert, đặc biệt trong phương pháp này, cỡ bước được xây dựng mà không cần đến thông tin về chuẩn của toán tử. Cuối cùng, ở Chương 4, chúng tơi đưa ra các thuật tốn song song để giải quyết bài tốn điểm bất động chung tách trong khơng gian Hilbert. Ở cuối các chương từ Chương 2 đến Chương 4, các thuật toán mới được áp dụng cho các bài toán liên quan và được minh họa bằng các ví dụ số.

Các kết quả của luận án đã được công bố trong các bài báo (1)–(4) trong Danh mục các cơng trình đã cơng bố liên quan đến luận án và được báo cáo tại: • Hội thảo “Những hướng mới trong tối ưu tính tốn và ứng dụng”, Viện

Nghiên cứu cao cấp về Tốn, 26-27/12/2021.

• Hội thảo quốc gia “Ứng dụng công nghệ cao vào thực tiễn” năm 2021, Viện Khoa học Công nghệ Quân sự, Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp -Đại học Thái Nguyên, 31/5-04/6/2021.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

• Seminar của Bộ mơn Tốn ứng dụng và Tin học, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên các năm 2018, 2019, 2020. • Seminar “Bài tốn cân bằng và các vấn đề liên quan”, Viện Toán ứng dụng

và Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, 03/11/2020.

• Hội thảo Khoa học “Một số vấn đề trong Toán học đương đại”, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, 10/11/2020. • Vietnam - USA Joint Mathematical Meeting, Quy Nhon, Vietnam, June

10-13, 2019.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach và toán tử đơn điệu. Nội dung của chương được chia thành bảy mục: Mục 1.1 trình bày khái niệm không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi và trơn cùng một số tính chất. Mục 1.2 trình bày về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Mục 1.3 trình bày phép chiếu mêtric. Mục 1.4 nhắc lại khái niệm ánh xạ L-liên tục Lipschitz và ánh xạ co. Mục 1.5 và 1.6 nêu các khái niệm, tính chất của toán tử loại đơn điệu và ε-mở rộng của toán tử đơn điệu. Cuối cùng, trong Mục 1.7 chúng tơi trình bày một số bổ đề bổ trợ dùng đến trong chứng minh các định lý chính ở các chương tiếp theo.

1.1Không gian Banach phản xạ, lồi và trơn

Cho E là một không gian Banach với chuẩn k · k và E^∗ là không gian liên hợp (hay đối ngẫu) của nó, tức là khơng gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Giá trị của f ∈ E^∗ tại x ∈ E được ký hiệu hx, f i. Với dãy {x_n} trong E, ta ký hiệu x_n → x, x_n * x, x_n * x lần lượt là sự hội tụ mạnh, yếu và^∗

<small>∗</small>yếu của dãy {x_n} về phần tử x trong E.

Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach E được gọi là phản xạ, nếu với mọi phần tử x^∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E^∗∗ của E, tồn tại phần tử x ∈ E sao cho

hx, x^∗i = hx^∗, x^∗∗i với mọi x^∗ ∈ E^∗.

Ví dụ 1.1.2. [1, trang 35] Khơng gian Rⁿ, không gian Hilbert H, không gian l_p, L_p[a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach phản xạ.

Mệnh đề 1.1.3. [1, trang 42] Cho E là một khơng gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

i) E là không gian phản xạ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

ii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có một dãy con hội tụ yếu.

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu giới hạn của dãy tập hợp trong không gian Banach theo nghĩa của Mosco [37].

Định nghĩa 1.1.4. Cho {C_n} là một dãy các tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ E. Các tập con s-Li_nC_n và w-Ls_nC_n của E được xác định như sau

i) x ∈ s-Li_nC_n khi và chỉ khi tồn tại dãy {x_n} ⊂ E hội tụ mạnh về x và x_n ∈ C_n với mọi n ≥ 1;

ii) x ∈ w-Ls_nC_n khi và chỉ khi tồn tại dãy con {C_n_k} của {C_n} và dãy {y_k} ⊂ E sao cho y_k * x và y_k ∈ C_n_k với mọi k ≥ 1.

Nếu s-Li_nC_n = w-Ls_nC_n = C₀ thì C₀ được gọi là giới hạn của dãy {C_n} và ký hiệu là C₀ = M-lim_n→∞C_n.

Ta có mệnh đề sau về sự tồn tại giới hạn của một dãy tập con trong không gian Banach theo nghĩa của Mosco.

Mệnh đề 1.1.5. Nếu {C_n} là một dãy giảm các tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Banach phản xạ E và C₀ = ∩^∞_n=1C_n 6= ∅, thì C<small>0</small> = M-lim_n→∞C_n. Chứng minh. Thật vậy, rõ ràng nếu x ∈ C₀ thì x ∈ s-Li_nC_n và x ∈ w-Ls_nC_n, vì dãy {x_n} với x_n = x với mọi n ≥ 1 hội tụ mạnh về x. Do đó, ta có C₀ ⊂ s-Li_nC_n và C₀ ⊂ w-Ls_nC_n.

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng C<small>0</small> ⊇ s-Li_nC_n và C<small>0</small> ⊇ w-Ls_nC_n. Lấy x ∈ s-Li<small>n</small>C_n, từ định nghĩa của s-Li_nC_n, tồn tại dãy {x_n} ⊂ E, x_n ∈ C_n với mọi n ≥ 1 sao cho x_n → x khi n → ∞. Vì {C_n} là một dãy giảm nên x_n+k ∈ C_n với mọi n ≥ 1 và mọi k ≥ 0. Do đó, cho k → ∞ và từ tính đóng của C_n, ta nhận được x ∈ C_n với mọi n ≥ 1. Suy ra x ∈ C₀ và do vậy C₀ ⊇ s-Li_nC_n. Tiếp theo, lấy bất kỳ y ∈ w-Ls_nC_n, từ định nghĩa của w-Ls_nC_n, tồn tại một dãy con {C_n_k} của {C_n} và dãy {y_k} ⊂ E sao cho y_k * x và y_k ∈ C_n_k với mọi k ≥ 1. Từ tính giảm của dãy {C_n}, ta có

với mọi k ≥ 1 và p ≥ 0. Vì C_n_k là lồi và đóng nên C_n_k là đóng yếu trong E với mọi k ≥ 1 [1, trang 40]. Do đó, trong (1.1), cho p → ∞, ta nhận được y ∈ C_n_k với mọi k ≥ 1. Vì C<small>k</small> ⊇ C_n_k nên y ∈ C<small>k</small> với mọi k ≥ 1. Suy ra, y ∈ C<small>0</small> và do đó C₀ ⊇ w-Ls_nC_n.

Tóm lại, ta thu được s-Li_nC_n = C₀ và w-Ls_nC_n = C₀. Vậy C₀ = M-lim_n→∞C_n.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Nhận xét 1.1.6. Ở Mệnh đề 1.1.5, chúng tôi đưa ra một chứng minh mới, khác với chứng minh của Mosco [37], cho sự hội tụ của dãy giảm các tập con lồi đóng trong khơng gian Banach. Chứng minh cho kết quả tương tự trong không gian định chuẩn có thể xem ở [37, Bổ đề 1.3].

Để định nghĩa tính lồi của khơng gian Banach, trước hết ta ký hiệu mặt cầu đơn vị của không gian Banach E là S_E = {x ∈ E | kxk = 1}.

Định nghĩa 1.1.7. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ S_E, x 6= y, ta có

ktx + (1 − t)yk < 1 với mọi t ∈ (0, 1).

Chú ý 1.1.8. Định nghĩa 1.1.7 cịn có thể phát biểu dưới các dạng tương đương sau: Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ S<small>E</small> thỏa mãn

kx + yk

2 ^{= 1 thì x = y, hoặc nếu x 6= y mà kxk = 1 và kyk = 1 thì}

x + y

2 ^{< 1.} Định nghĩa 1.1.9. Khơng gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2], tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho

x + y

với mọi x, y ∈ E mà kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε.

Ví dụ 1.1.10. [1, trang 53–54] Khơng gian Hilbert H, không gian l_p, L_p[a, b] (1 < p < ∞) là các không gian lồi đều.

Mệnh đề 1.1.11. [1, trang 105] E lồi đều nếu và chỉ nếu với mỗi r > 0, tồn tại một hàm lồi tăng chặt liên tục ϕ : R⁺ −→ R<small>+</small> với ϕ(0) = 0 sao cho

kαx + (1 − α)yk² ≤ αkxk²+ (1 − α)kyk²− α(1 − α)ϕ(kx − yk),

với mọi x, y ∈ E thỏa mãn max{kxk, kyk} ≤ r và α ∈ [0, 1].

Mệnh đề 1.1.12. [1, trang 56] Mọi khơng gian Banach lồi đều bất kì là khơng gian lồi chặt và phản xạ.

Ngược lại, không gian Banach lồi chặt nói chung khơng phải khơng gian lồi đều.

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Ví dụ 1.1.13. [1, trang 54] Xét E = c₀ (không gian các dãy số hội tụ về khơng) với chuẩn k.k_β xác định bởi

Khi đó, (E, k.k<small>β</small>), β > 0, là một không gian Banach lồi chặt nhưng không là không gian lồi đều.

Định nghĩa 1.1.14. Khơng gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Klee nếu mọi dãy {x_n} ⊂ E thỏa mãn x_n * x và kx_nk → kxk thì x_n → x.

Ví dụ 1.1.15. Mọi khơng gian Hilbert H đều có tính chất Kadec-Klee. Thật vậy, giả sử {x_n} là một dãy bất kỳ trong H thỏa mãn x_n * x và

Định nghĩa 1.1.16. Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ S_E, tồn tại duy nhất phiếm hàm f_x ∈ E^∗ sao cho hx, f_xi = kxk và kf_xk = 1.

Ví dụ 1.1.17. [1, trang 91] Các không gian l_p, L_p[a, b] (1 < p < ∞) và không gian Hilbert là không gian Banach trơn.

Mệnh đề 1.1.18. [1, trang 92] Cho E là một không gian Banach. Khi đó, ta có các khẳng định sau:

i) Nếu E^∗ là khơng gian lồi chặt thì E là khơng gian trơn.

ii) Nếu E^∗ là khơng gian trơn thì E là không gian lồi chặt.

Định nghĩa 1.1.19. Cho không gian Banach E.

i) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux nếu với mỗi y ∈ S_E, giới hạn

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

ii) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ S_E giới hạn (1.2) tồn tại đều với mọi x ∈ S_E.

Nhận xét 1.1.20. Tính trơn của khơng gian Banach có mối liên hệ chặt chẽ với tính khả vi Gâteaux của chuẩn. Theo [1, trang 92], không gian Banach E được gọi là trơn nếu chuẩn của nó khả vi Gâteaux trên E\{0}.

1.2Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một khơng gian tuyến tính định chuẩn, với mỗi x ∈ X, ánh xạ đa trị J : X −→ 2^X^∗ xác định bởi

J (x) = {f ∈ X^∗ | hx, f i = kxk², kxk = kf k}

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Khi J là ánh xạ đơn trị ta ký hiệu nó bởi j.

Chú ý 1.2.2. Trong khơng gian tuyến tính định chuẩn bất kỳ, ta ln có J (x) 6= ∅ với mọi x ∈ X, điều này được suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lý Hahn-Banach.

Ví dụ 1.2.3. [1, trang 67] Trong khơng gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đồng nhất I^H.

Mệnh đề 1.2.4. [1, trang 69] Cho X là một khơng gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó,

i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x), ∀x ∈ X;

ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X;

iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của X thì J (D) là một tập hợp bị chặn trong X^∗;

iv) Nếu X^∗ là lồi chặt thì J là đơn trị.

Mệnh đề 1.2.5. [1, trang 69] Cho E là một khơng gian Banach trơn có j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Khi đó,

hx − y, j(x) − j(y)i ≥ 0,

với mọi x, y ∈ E. Hơn nữa, nếu E là khơng gian lồi chặt thì hx − y, j(x) − j(y)i = 0,

khi và chỉ khi x = y.

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<small>15</small>

1.3Phép chiếu mêtric

Trước hết, ta có mệnh đề dưới đây là cơ sở để xây dựng phép chiếu mêtric trong không gian Banach phản xạ và lồi chặt.

Mệnh đề 1.3.1. [1, trang 118] Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach phản xạ và lồi chặt E. Khi đó, với mỗi x ∈ E, tồn tại duy nhất phần tử y ∈ C sao cho

với d(x, C) = inf_z∈Ckx − zk.

Định nghĩa 1.3.2. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của khơng gian Banach phản xạ và lồi chặt E, khi đó ánh xạ

P_C^E : E −→ C

x 7→ P_C^Ex = y,

với y ∈ C xác định bởi (1.3), được gọi là phép chiếu mêtric từ E lên C. Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể ký hiệu là P_C.

Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây.

Mệnh đề 1.3.3. [1, trang 119] Cho E là một không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của E, x ∈ E và z ∈ C. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.

i) z = P_Cx;

ii) hz − y, j(x − z)i ≥ 0 với mọi y ∈ C.

Mọi không gian Hilbert đều là không gian phản xạ, lồi chặt và trơn nên từ mệnh đề trên ta có điều kiện cần và đủ để ánh xạ P_C : H −→ C là một phép chiếu mêtric từ khơng gian Hilbert H vào tập con lồi đóng C của nó.

Hệ quả 1.3.4. Cho C là một tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert H. Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ P_C : H −→ C là phép chiếu mêtric từ H lên C là

hx − P_Cx, P_Cx − yi ≥ 0 với mọi x ∈ H và y ∈ C. (1.4)

Ví dụ 1.3.5. [5, trang 419] Trong không gian Hilbert H, ta xét phép chiếu mêtric P_C với một số trường hợp của tập con C.

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

i) C là siêu phẳng C = {x ∈ H | hu, xi = a}, trong đó u ∈ H, u 6= 0 và a ∈ R. Khi đó,

P_Cx = x −hu, xi − a

kuk² ^{u, với mọi x ∈ H.}

ii) C là nửa không gian H_u,a = {x ∈ H | hu, xi ≤ a}, trong đó u ∈ H, u 6= 0

Mệnh đề sau cho ta tính hội tụ mạnh của dãy hình chiếu của một điểm trên dãy tập con lồi, đóng, khác rỗng theo nghĩa của Mosco (xem Định nghĩa 1.1.4) trong không gian Banach.

Mệnh đề 1.3.6. [53] Cho E là không gian Banach lồi chặt, phản xạ, trơn và thỏa mãn tính chất Kadec-Klee. Cho {C_n} là dãy tập con lồi, đóng, khác rỗng của E. Nếu C<small>0</small> = M-lim<small>n→∞</small>C<small>n</small> tồn tại và khác rỗng thì {P<small>C</small>_nx} hội tụ mạnh đến P<small>C</small>₀x với mỗi x ∈ E.

1.4Ánh xạ L-liên tục Lipschitz và ánh xạ co

Định nghĩa 1.4.1. Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach E.

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

i) Ánh xạ T : C −→ E được gọi là L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L ≥ 0, sao cho với mọi x, y ∈ C, ta đều có

ii) Trong (1.5), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co và nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn.

Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của T nếu x = T x. Tập các điểm bất động của T thường được kí hiệu là Fix(T ).

Mệnh đề 1.4.2. [1, trang 233] Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Banach lồi chặt E và T : C −→ E là ánh xạ không giãn. Khi đó Fix(T ) là tập con lồi, đóng trong E.

Mệnh đề 1.4.3. Cho E là một không gian Banach lồi đều và T_i : E −→ E, i = 1, 2, . . . , N , là các ánh xạ không giãn với S := ∩^N_i=1Fix(T_i) 6= ∅. Khi đó với mọi số thực dương λ_i ∈ (0, 1) thỏa mãn P<small>N</small>

<small>i=1</small>λ_i = 1, ta đều có P<small>N</small>

<small>i=1</small>λ_iT_i là ánh xạ không giãn và Fix^P<small>N</small>

<small>i=1</small>λ_iT_i^= ∩^N_i=1Fix(T_i). Chứng minh. Dễ thấy P<small>N</small>

<small>i=1</small>λ_iT_i là ánh xạ không giãn và ∩^N_i=1Fix(T_i) ⊂ Fix Σ^N_i=1λ_iT_i
.

Ta sẽ chỉ ra bao hàm thức ngược lại bằng quy nạp theo N . Với N = 2, lấy bất kỳ x ∈ Fix(λ₁T₁+ λ₂T₂) và p ∈ Fix(T₁) ∩ Fix(T₂), với λ_i > 0, i = 1, 2, và λ₁+ λ₂ = 1, theo Mệnh đề 1.1.11, ta có

kx − pk² = kλ₁(T₁x − p) + λ₂(T₂x − p)k²

≤ λ₁kT₁x − T₁pk²+ λ₂kT₂x − T₂pk²− λ₁λ₂ϕ(kT₁x − T₂xk) ≤ kx − pk<small>2</small>− λ₁λ₂ϕ(kT₁x − T₂xk).

Suy ra ϕ(kT₁x − T₂xk) ≤ 0. Từ tính chất của hàm ϕ ta nhận được T₁x = T₂x. Điều này kết hợp với x ∈ Fix(λ₁T₁ + λ₂T₂), suy ra x = T₁x = T₂x. Do đó Fix(λ₁T₁+ λ₂T₂) ⊂ Fix(T₁) ∩ Fix(T₂) và vì vậy

Fix(λ₁T₁+ λ₂T₂) = Fix(T₁) ∩ Fix(T₂).

Giả sử kết luận của mệnh đề đúng với N ≥ 2, ta cần chứng minh nó đúng với N + 1. Thật vậy, giả sử T_i, i = 1, 2, . . . , N + 1, là các ánh xạ không giãn với ∩^{N +1}_i=1 Fix(T_i) 6= ∅ và λ<small>i</small> ∈ (0, 1) thỏa mãn P<small>N +1</small>

<small>i=1</small> λ_i = 1. Ta có Σ^{N +1}_i=1 λ_iT_i = (1 − λ_{N +1}Σ^N_i=1 ^λⁱ

1 − λ_{N +1}^Tⁱ^{+ λ}^{N +1}^T^{N +1}^).

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Đặt T =P<small>Ni=1</small>

1 − λ_{N +1}^Tⁱ^{. Khi đó, theo giả thiết quy nạp, thì T là ánh xạ không} giãn và Fix(T ) = ∩^N_i=1Fix(T_i), suy ra P<small>N +1</small>

<small>i=1</small> λ_iT_i = (1 − λ_{N +1})T + λ_{N +1}T_{N +1}. Lại tiếp tục áp dụng giả thiết quy nạp, ta nhận được

Fix Σ^{N +1}_i=1 λ_iT_i
= Fix(T ) ∩ Fix(T_{N +1}) = ∩^{N +1}_i=1 Fix(T_i).

Như vậy, kết luận của mệnh đề đúng với N + 1 và ta được điều phải chứng minh.

Nhận xét 1.4.4. Ở Mệnh đề 1.4.3, chúng tôi đưa ra một chứng minh mới cho trường hợp họ các ánh xạ không giãn T_i : E −→ E trong không gian Banach lồi đều, kết quả tương tự cho họ các ánh xạ không giãn T_i : C −→ E với C là tập compact yếu địa phương trong khơng gian Banach lồi chặt có thể xem ở [9, Bổ đề 3].

Ta có mệnh đề sau về tính demi-đóng của ánh xạ I^H − T khi T là ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.

Mệnh đề 1.4.5. [5, trang 63] Giả sử T là ánh xạ khơng giãn từ tập con lồi đóng C trong khơng gian Hilbert H vào chính nó. Nếu T có điểm bất động thì I^H − T là demi-đóng, nghĩa là bất kỳ dãy {x_n} trong C hội tụ yếu đến x ∈ C và dãy {(I^H− T )x_n} hội tụ mạnh đến y thì (I<small>H</small> − T )x = y.

Định nghĩa 1.4.6. Ánh xạ F : E −→ E từ khơng gian Banach E vào chính nó được gọi là λ-giả co chặt với λ ∈ (0, 1) nếu với mỗi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≤ kx − yk²− λkx − y − (F (x) − F (y))k². (1.6) Trong (1.6), nếu λ = 0 thì F được gọi là ánh xạ giả co.

Nhận xét 1.4.7. i) Nếu F là ánh xạ khơng giãn thì F là ánh xạ giả co. ii) Nếu F là λ-giả co chặt thì F là 1 + ¹_λ
-liên tục Lipschitz (theo [16, Bổ đề

2.1 (i)]).

1.5Toán tử loại đơn điệu

Cho X và Y là hai khơng gian tuyến tính định chuẩn, A : X −→ 2^Y là một tốn tử đa trị. Khi đó, miền miền hữu hiệu, miền giá trị và đồ thị của A được định nghĩa tương ứng như sau:

D(A) = {x ∈ X | Ax 6= ∅},

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

R(A) = ∪{Az | z ∈ D(A)}, và

G(A) = {(x, y) ∈ X × Y | x ∈ D(A), y ∈ Ax}. Toán tử nghịch đảo A⁻¹ của A định nghĩa bởi

x ∈ A⁻¹y khi và chỉ khi y ∈ Ax.

Tập các không điểm của A được ký hiệu là A⁻¹0 và được xác định bởi

ii) đơn điệu cực đại nếu A đơn điệu và đồ thị G(A) của nó khơng thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác.

Ví dụ 1.5.2. [42] Cho f : E −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Khi đó, tốn tử dưới vi phân

∂f (x) = {u ∈ E^∗ | f (y) − f (x) ≥ hy − x, ui, ∀y ∈ E}

với mỗi x ∈ E, là một toán tử đơn điệu cực đại.

Mệnh đề 1.5.3. [8] Nếu A là toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Banach lồi đều và trơn E thì R(j + rA) = E^∗ với mọi r > 0, trong đó j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.

Nhận xét 1.5.4. Từ mệnh đề trên, nếu E là không gian Banach lồi đều và trơn, A là một toán tử đơn điệu cực đại trên E, thì với mỗi x ∈ E và r > 0, luôn tồn tại duy nhất x_r ∈ E sao cho

Thật vậy, đặt y = x_r − x. Khi đó, phương trình (1.7) trở thành

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Đặt By = A(y + x) với mọi y ∈ D(A). Dễ thấy B là một toán tử đơn điệu cực

Định nghĩa 1.5.5. Cho A là toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Banach E lồi đều và trơn, r > 0. Khi đó ánh xạ Q^A_r : E −→ E xác định với mỗi x ∈ E, Q^A_rx = x_r trong đó x_r thỏa mãn

0 ∈ j(x_r− x) + rAx_r,

được gọi là giải mêtric của A đối với r.

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm và một số tính chất của tốn tử j-đơn điệu trong không gian Banach.

Định nghĩa 1.5.6. Trong không gian Banach E, toán tử đa trị A : D(A) ⊂ E −→ 2^E được gọi là

i) j-đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) và mọi u ∈ Ax, v ∈ Ay, tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hu − v, j(x − y)i ≥ 0;

ii) j-đơn điệu cực đại nếu A là j-đơn điệu và đồ thị G(A) của nó khơng thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử j-đơn điệu nào khác trên E;

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

iii) m-j-đơn điệu nếu A là j-đơn điệu và R(I^E + λA) = E với mọi λ > 0;

iv) thỏa mãn điều kiện miền giá trị nếu

D(A) ⊂ R(I^E + λA) với mọi λ > 0,

trong đó D(A) ký hiệu bao đóng của miền hữu hiệu D(A).

Ví dụ 1.5.7. Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của khơng gian Banach E vào E thì tốn tử I^E− T là j-đơn điệu. Trong trường hợp C trùng với E thì I^E − T là một tốn tử m-j-đơn điệu.

Nhận xét 1.5.8. i) Nếu A là m-j-đơn điệu thì A là j-đơn điệu cực đại, nhưng chiều ngược lại nói chung khơng đúng [4, trang 74]. Trong khơng gian Hilbert, khái niệm toán tử j-đơn điệu trùng với toán tử đơn điệu, và khái niệm toán tử m-j-đơn điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại;

ii) Nếu A là tốn tử m-j-đơn điệu thì A thoả mãn điều kiện miền giá trị [41]. Định nghĩa 1.5.9. Ánh xạ F : E −→ E từ không gian Banach E vào chính nó được gọi là δ-j-đơn điệu mạnh với δ ∈ (0, 1) nếu với mỗi x, y ∈ E, tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≥ δkx − yk².

F : E −→ E. Nếu F là δ-j-đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1, thì Trong khơng gian Hilbert, khái niệm ánh xạ η-đơn điệu mạnh được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.5.11. Ánh xạ F : H −→ H từ khơng gian Hilbert H vào chính nó được gọi là η-đơn điệu mạnh với η > 0 nếu với mỗi x, y ∈ H, ta luôn có

hF (x) − F (y), x − yi ≥ ηkx − yk².

Mệnh đề 1.5.12. [60] Cho H là không gian Hilbert và F : H −→ H là toán tử L-Lipschitz và η-đơn điệu mạnh, thì I^H − λµF là ánh xạ co với hệ số co c = 1 −p1 − µ(2η − µL<small>2</small>), với mỗi µ ∈ (0, 2η/L²) và λ ∈ [0, 1].

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Định nghĩa 1.5.13. Cho A là một toán tử j-đơn điệu trên khơng gian Banach E. Khi đó, với mỗi r > 0, ánh xạ J_r^A : R(I^E + λA) −→ D(A) xác định bởi

J_r^A = (I^E + λA)⁻¹,

được gọi là toán tử giải của A.

Chú ý 1.5.14. Toán tử giải J_r^A của toán tử j-đơn điệu A là ánh xạ đơn trị, không giãn [4, trang 104]. Trong không gian Hilbert, giải mêtric của A trùng với giải của A.

Mệnh đề 1.5.15. [10] Nếu toán tử j-đơn điệu A thoả mãn điều kiện miền giá trị thì với mọi r > 0, ta đều có

A⁻¹0 = Fix(J_r^A).

Mệnh đề 1.5.16. [4, trang 105] Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2^E là tốn tử j-đơn điệu trong khơng gian Banach E. Với λ, µ > 0, và x ∈ E, ta có

Mệnh đề 1.5.17. Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2^E là tốn tử j-đơn điệu trong khơng gian Banach E. Với r ≥ s > 0, ta có

Các mệnh đề sau giới thiệu một số tính chất về giải của tốn tử đơn điệu trong khơng gian Hilbert.

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Mệnh đề 1.5.18. [5, trang 335] Cho A : D(A) ⊂ H −→ 2^H là toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert H. Với mọi r > 0 và x, y ∈ R(I^H + rA), ta có

hx − y, J_r^Ax − J_r^Ayi ≥ kJ_r^Ax − J_r^Ayk².

Mệnh đề 1.5.19. Cho A : D(A) ⊂ H −→ 2^H là tốn tử đơn điệu trong khơng gian Hilbert H. Với mọi r > 0 và x, y ∈ R(I^H + rA), ta có

h(I^H− J_r^A)x − (I^H − J_r^A)y, x − yi ≥ k(I^H − J_r^A)x − (I^H − J_r^A)yk².

1.6ε-mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại

Trước hết ta nhắc lại khái niệm ε-xấp xỉ dưới vi phân của một hàm lồi. Định nghĩa 1.6.1. Cho E là một không gian Banach và f : E → [−∞, ∞] là hàm lồi, chính thường. Ta kí hiệu ∂_εf (x) là ε-xấp xỉ dưới vi phân của f và được xác định như sau

∂_εf (x) = {u ∈ E^∗ | f (y) − f (x) − hy − x, ui ≥ −ε, ∀y ∈ E}.

Burachik và Svaiter [13] đã đưa ra khái niệm ε-mở rộng của toán tử đơn điệu trong không gian Banach như sau.

Định nghĩa 1.6.2. Cho A : E −→ 2^E^∗ là toán tử đơn điệu cực đại. Với mỗi ε ≥ 0, ε-mở rộng của A được ký hiệu là A^ε và được xác định với mỗi x ∈ E như sau

A^εx = {u ∈ E^∗ | hy − x, v − ui ≥ −ε, ∀y ∈ E, v ∈ Ay}.

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Nhận xét 1.6.3. Dễ thấy A⁰x = Ax và nếu 0 ≤ ε₁ ≤ ε₂, thì A^ε<small>1</small>x ⊆ A^ε<small>2</small>x với bất kỳ x ∈ E.

Mệnh đề 1.6.4. [13] Cho E là một không gian Banach và f : E → [−∞, ∞] là hàm lồi, đóng, chính thường. Nếu A = ∂f thì ∂_εf (x) ⊂ A^εx với mọi x ∈ E.

Mệnh đề 1.6.6. [13] Cho A : E −→ 2^E^∗ là một tốn tử đơn điệu cực đại. Khi đó đồ thị của A^ε : R<small>+</small>× E −→ 2<small>E</small>^∗ là demi-đóng, nghĩa là ta có các khẳng

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

ii) kλx + (1 − λ)yk² = λkxk²+ (1 − λ)kyk²− λ(1 − λ)kx − yk<small>2</small>.

Bổ đề 1.7.2. [34] Cho {s_n} là một dãy số thực không giảm ở vô cùng theo nghĩa tồn tại một dãy con {s_n_k} sao cho

Bổ đề 1.7.3. [57] Cho {s_n} là dãy số thực không âm, {α_n} là dãy trong [0, 1] và {c<small>n</small>} là dãy số thực thỏa mãn các điều kiện

Trong chương này chúng tơi đã trình bày một số kiến thức bổ trợ phục vụ cho việc nghiên cứu các bài toán ở những chương tiếp theo, bao gồm các khái niệm và tính chất của khơng gian Banach lồi chặt, lồi đều và trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu mêtric, toán tử đơn điệu và j-đơn điệu, ε-mở rộng của toán tử và các khái niệm tương ứng trong không gian Hilbert.

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Chương 2

Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử loại đơn điệu trong không gian Banach

Trong chương này, chúng tôi đề xuất các cải tiến của phương pháp chiếu co hẹp và phương pháp đường dốc nhất cho bài tốn khơng điểm chung của tốn tử loại đơn điệu trong khơng gian Banach. Cụ thể, Mục 2.1 đưa ra phương pháp chiếu co hẹp tìm khơng điểm chung của tốn tử đơn điệu. Mục 2.2 giới thiệu phương pháp đường dốc nhất tìm khơng điểm chung của tốn tử j-đơn điệu với hai thuật tốn xoay vịng và song song. Mục 2.3 dành cho việc áp dụng các phương pháp nêu trên vào một số bài toán liên quan. Cuối cùng, Mục 2.4 xây dựng các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp đã đề xuất. Nội dung chương này được viết dựa trên kết quả của hai bài báo (1) và (2) trong Danh mục các cơng trình đã công bố liên quan đến luận án.

2.1Xấp xỉ không điểm chung của các toán tử đơn điệu

Ở mục này, chúng tơi xét bài tốn khơng điểm chung: Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn, A_i: E −→ 2^E^∗, i = 1, 2, . . . , N , là các toán tử đơn điệu cực đại từ E vào 2^E^∗ sao cho S := ∩^N_i=1A⁻¹_i 0 6= ∅;

Khi E là không gian Hilbert H và N = 1, (2.1) trở thành bài tốn tìm khơng điểm của một toán tử:

với A là toán tử đơn điệu cực đại trong H.

Một phương pháp cổ điển để giải (2.2) là thuật toán điểm gần kề được đề xuất bởi Martinet [36]. Cụ thể, với x_n ∈ H, phương pháp điểm gần kề xác định phần tử lặp tiếp theo x_n+1 bằng cách giải bài toán phụ

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

trong đó µ_n > 0. Nếu dãy tham số {µ_n} bị chặn trên thì dãy {x_n} xác định bởi (2.3) hội tụ yếu đến khơng điểm của tốn tử đơn điệu cực đại A.

Chú ý rằng toán tử A + µ<small>n</small>I là đơn điệu mạnh nên (2.3) có duy nhất nghiệm. Do đó, nói chung việc giải chính xác hay xấp xỉ bài toán phụ (2.3) đơn giản hơn giải bài toán ban đầu (2.2).

Năm 1999, Solodov và Svaiter [44] đã giải gần đúng Bài tốn (2.3) như sau:

Sau đó, trong [45], vẫn sử dụng cặp nghiệm xấp xỉ (y_n, v_n) từ (2.4), Solodov và Svaiter đưa ra thuật toán chiếu lai ghép (hybrid projection method) cho phép xác định phần tử lặp tiếp theo bởi

với x₀ ∈ H tùy ý và

C_n = {z ∈ H | hz − y_n, v_ni ≤ 0},

Q_n = {z ∈ H | hz − x_n, x₀− x_ni ≤ 0}.

Solodov và Svaiter [45] đã chứng minh rằng nếu dãy tham số hiệu chỉnh {µ_n} bị chặn trên thì dãy {x_n} xác định bởi (2.5) hội tụ mạnh đến P_A<small>−10</small>x₀.

Lấy ý tưởng từ kết quả trên, kết hợp với phương pháp lặp Mann [35], Taka-hashi và cộng sự [46] đã đưa ra phương pháp chiếu co hẹp (shrinking projection method) để tìm khơng điểm của toán tử đơn điệu cực đại A như sau

với J_c^A_n là toán tử giải của A ứng với c_n. Họ chỉ ra rằng nếu {α_n} ⊂ [0, a), với a ∈ [0, 1) và c_n → ∞ thì dãy {x_n} xác định bởi (2.6) hội tụ mạnh đến P_A<small>−10</small>x₀.

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Nhận xét 2.1.1. Trong thuật toán chiếu co hẹp (2.6), Takahashi và cộng sự đã sử dụng phương pháp điểm gần kề chính xác (exact proximal point), các tác giả cũng khơng quan tâm đến sai số tính toán khi thực hiện phép chiếu phần tử x₀ lên tập C_n+1 để tìm phần tử x_n+1.

Từ nhận xét đó, chúng tôi đề xuất các cải tiến của phương pháp chiếu co hẹp để đưa ra hai phương pháp lặp song song cho Bài toán (2.1). Điểm cải tiến của các phương pháp mới là chúng tôi sẽ sử dụng thuật tốn điểm gần kề khơng chính xác (inexact proximal point) theo nghĩa thay toán tử ban đầu bằng toán tử mở rộng của nó, thêm nữa, phép chiếu sử dụng trong phương pháp là phép chiếu “gần đúng” (quan tâm đến sai số tính tốn khi thực hiện phép chiếu).

Với j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach lồi đều và trơn E và A^ε<small>n</small>

<small>i</small> là ε_n-mở rộng của A_i, chúng tôi xây dựng các thuật toán sau. Thuật toán 2.1.1. Dãy {x_n} được xác định bởi

x₁ = x ∈ E, C₁ = E,

Tìm y_i,n ∈ E sao cho j(y_i,n− x_n) + r_i,nA^ε<small>n</small>

<small>i</small> y_i,n 3 0, i = 1, 2, . . . , N, Chọn i_n sao cho ky_i_n_,n − x_nk = max

<small>i=1,...,N</small>{ky_i,n− x_nk}, đặt y_n = y_i_n_,n, C_n+1 = {z ∈ C_n | hy_n − z, j(x_n− y_n)i ≥ −ε_nr_i_n_,n},

Tìm x_n+1 ∈ {z ∈ C_n+1 | ku − zk² ≤ d²(u, C_n+1) + δ_n+1}, n = 1, 2, . . . ;

trong đó u ∈ E cho trước, {ε<small>n</small>} và {δ_n} là các dãy số thực không âm và {r_i,n}, i = 1, 2, . . . , N , là các dãy số thực dương sao cho min_i{inf_n{r_i,n}} ≥ r > 0.

Thuật toán tiếp theo đưa ra cách khác để xây dựng các tập con C_n. Thuật toán 2.1.2. Dãy {x_n} được xác định bởi

trong đó u ∈ E cho trước, {ε<small>n</small>} và {δ_n} là các dãy số thực không âm và {r_i,n}, i = 1, 2, . . . , N , là các dãy số thực dương sao cho min_i{inf_n{r_i,n}} ≥ r > 0.

Trước hết ta cần bổ đề sau để chứng minh sự hội tụ của các thuật toán nêu trên.

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Bổ đề 2.1.2. Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn, {C_n} là dãy giảm các tập con lồi đóng của E sao cho C₀ = ∩^∞_n=1C_n 6= ∅. Giả sử p<small>n</small> = P_C_nu với u ∈ E và {x_n} là dãy trong E thỏa mãn

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Ta có định lý sau về sự hội tụ của Thuật toán 2.1.1.

Định lý 2.1.3. Cho E là không gian Banach lồi đều và trơn, A<small>i</small> : E −→ 2^E^∗, i = 1, 2, . . . , N , là các toán tử đơn điệu cực đại của E vào 2^E^∗ sao cho

S := ∩^N_i=1A⁻¹_i 0 6= ∅.

Nếu lim_n→∞ε_nr_i,n = lim_n→∞δ_n = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , N , thì dãy {x_n} xác định bởi Thuật tốn 2.1.1 hội tụ mạnh đến P_Su, khi n → ∞.

Chứng minh. Trước hết, bằng quy nạp ta chỉ ra rằng S ⊂ C_n với mọi n ≥ 1. Thật vậy, rõ ràng S ⊂ C₁ = E. Giả sử rằng S ⊂ C_n với n ≥ 1. Lấy v ∈ S, ta có

Do đó, v ∈ C_n+1. Vì v là bất kỳ trong S nên S ⊂ C_n+1. Như vậy, bằng quy nạp ta được S ⊂ C<small>n</small> với mọi n ≥ 1.

Hơn nữa, C_n là tập con lồi, đóng, khác rỗng của E với mọi n. Do đó, theo Mệnh đề 1.3.1, dãy {x_n} là hoàn toàn xác định.

Với mỗi n ≥ 1, ký hiệu p_n = P_C_nu. Từ Bổ đề 2.1.2, ta có các dãy {x_n} và {p_n} hội tụ mạnh đến cùng một điểm p₀ = P_C₀u với C₀ = ∩^∞_n=1C_n.

</div>