tập bài giảng hình học xạ ảnh lƣu hành nội bộ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.66 MB, 144 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

3

MỤC LỤC

MỤC LỤC ... 3

LỜI NĨI ĐẦU ... 7

CHƯƠNG 1. KHƠNG GIAN XẠ ẢNH ... 10

1.4.1. Phương trình tham số của mphẳng ... 27

1.4.2. Phương trình tổng quát của mphẳng ... 28

1.4.3. Tọa độ của siêu phẳng ... 30

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

1.6.1. Chùm siêu phẳng ... 43

1.6.2. Tỉ số kép của bốn siêu phẳng thuộc chùm ... 43

1.6.3. Chùm bốn siêu phẳng điều hòa ... 46

1.7.3. Nguyên tắc đối ngẫu ... 50

1.7.4. Khái niệm và định lý đối ngẫu. ... 52

1.8.4. Hai phẳng song song trong mơ hình ... 57

1.8.5. Ý nghĩa afin của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn ... 58

2.1.5. Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh ... 66

2.1.6. Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi afin ... 68

2.1.7. Câu hỏi và bài tập áp dụng. ... 69

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

2.3.2. Định lí thứ 2. ... 82

2.3.3. Định lí thứ 3. ... 83

Chương 3. SIÊU MẶT BẬC HAI XẠ ẢNH ... 84

§ 3.1. SIÊU MẶT BẬC HAI VÀ PHÂN LOẠI XẠ ẢNH CỦA CHÚNG ... 84

3.1.1. Định nghĩa và kí hiệu... 84

3.1.2. Giao của siêu mặt bậc hai và

m

phẳng ... 85

3.1.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực ... 86

3.1.4. Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực ... 87

3.1.5. Phân loại xạ ảnh của các siêu mặt bậc hai trong 2

 

P R và 2

 

P R ... 87

3.1.6. Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin ... 88

3.1.7. Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực ... 89

3.1.8. Bài tập áp dụng. ... 91

§ 3.2. ĐIỂM LIÊN HỢP. PHẲNG TIẾP XÚC. SIÊU DIỆN LỚP HAI ... 92

3.2.1. Điểm liên hợp ... 93

3.2.2. Tính chất. ... 93

3.2.3. Siêu phẳng đối cực và điểm kì dị ... 96

3.2.4. Siêu phẳng tiếp xúc của siêu mặt bậc hai ... 97

3.2.5. Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến ... 97

3.2.6. Siêu diện lớp hai ... 99

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

3.4.7. Bài tập áp dụng. ... 123

§ 3.5. BIẾN ĐỔI XẠ ẢNH ĐỐI HỢP CỦA ĐƯỜNG THẲNG. ... 127

ĐỊNH LÍ DESARGUE THỨ HAI ... 127

3.5.1. Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng ... 127

3.5.2. Điểm bất động của phép đối hợp ... 127

3.5.4. Chùm đường bậc hai và định lí Desargue thứ hai ... 129

3.5.5. Đối ngẫu của định lí Desargue thứ hai ... 130

3.5.6. Bài tập áp dụng. ... 130

§ 3.6. MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHƠNG GIAN ƠCLIT ... 133

3.6.1. Xây dựng mơ hình ... 133

3.6.2. Cái tuyệt đối của không gian Ơclit ... 133

3.6.3. Một số kết quả của hình học Ơclit trong mơ hình ... 135

3.6.4. Phương chính của siêu mặt bậc hai trong 2

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

LỜI NĨI ĐẦU

Tập bài giảng về Hình học xạ ảnh biên soạn lần này, nằm trong khuôn khổ của cuộc đổi mới về chương trình đào tạo theo hình thức tiếp cận năng lực đầu ra của người học. Nó cũng khơng nằm ngồi mục đích nhằm làm một bộ các bài giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo chương trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, địi hỏi khơng những phải đổi mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của giảng viên cũng như phương pháp học tập của sinh viên. Mặt khác, qua một thời gian dài thực hiện chương trình, sử dụng sách giáo trình cũ và giảng dạy tại trường ĐHSP Hà Nội 2, đến nay chúng tôi đã có thể đánh giá những ưu, khuyết điểm của hệ thống tài liệu học tập của sinh viên, sự phù hợp của nó với trình độ đầu vào của sinh viên các trường đại học sư phạm và đặc biệt chúng tơi đã có cảm nhận về những khó khan đối với sinh viên khi học tập mơn Hình học xạ ảnh. Do đó tập bài giảng được biên soạn lần này cũng thừa hưởng những ưu điểm và khắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ, cũng như nó sẽ khá phù hợp cho sinh viên sử dụng. Đối tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng viên các trường ĐHSP Hà Nội 2. Tập bài giảng cũng có thể được dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tất cả những ai muốn tự học mơn học này (nếu có sự đồng ý của trường ĐHSP Hà Nội 2).

Cơ sở để nhóm tác giả lựa chọn nội dung của tập bài giảng này dựa trên sự thay đổi về hình thức đào tạo của trường ĐHSP Hà Nội 2, yêu cầu đầu ra và trình độ đầu vào của sinh viên trường ĐHSP Hà Nội 2 hiện nay và những năm gần đây. Ngồi ra, nhóm tác giả cũng chú ý đến tính đến vai trị của mơn học đối với các mơn khoa học khác như Giải tích, Hình học, Vật lý, Hố học,v.v.. đáp ứng nhu cầu học tập liên giữa các ngành, và tạo điều kiện cho người học có thể tự học và học lên cao hơn. Cụ thể, tập bài giảng này phải trang bị được cho người giáo viên toán tương lai ở trường THPT những kiến thức cần thiết, đầy đủ và vững vàng về Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt những phần liên quan trong chương trình tốn THPT. Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trình bày những nội dung ấy lại phải phù hợp với trình độ nhận thức và khả năng tiếp nhận sinh viên. Mặt khác, tập bài giảng này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể tự học và học được những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn của những sinh viên có hồi bão nâng cao hơn nữa trình độ của mình. Vì thế, nội dung tập bài giảng chứa đựng những điều rất cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần khơng địi hỏi mọi sinh viên đều phải hiểu.

Chúng ta trong cộng đồng của thế giới, đang sống cùng với hình học Euclid và cùng với một thực tế rằng hình học Euclid có thể mô tả thế giới xung quanh của chúng ta khá tốt. Trong hình học Euclid, kích thước của những vật có độ

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

dài, hai đường thẳng cắt nhau xác định góc giữa chúng, hai đường thẳng song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Hơn nữa các tính chất này là khơng thay đổi khi chúng ta thực hiện một phép biến đổi Euclid (chẳng hạn như phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay, …). Tuy nhiên, khi chúng ta xem xét quá trình xử lý của máy ảnh của một camera, chúng trở nên đơn giản để thấy rằng hình học Euclid thực sự khơng cịn phù hợp nữa: độ dài và góc là khơng được bảo tồn, hai đường thẳng song song có thể cắt nhau.

Trên thực tế hình học Euclid là một phần nhỏ của hình học xạ ảnh, giữa chúng cịn có hai loại hình học khác là hình học aphin và hình học đồng dạng. Các loại hình học này có mối quan hệ với nhau, để xem xét mối quan hệ giữa các loại hình học này người ta xem xét đến các mô hình: mơ hình aphin của khơng gian xạ ảnh, mơ hình xạ ảnh của khơng gian aphin, mơ hình xạ ảnh của khơng gian Euclid, …

Tập bài giảng về Hình học xạ ảnh này gồm ba chương:

Chương I... Chương II... Chương III...

Mỗi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học tập của chương ấy. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt đơi nét chính nội dung của chương để bạn đọc có dịp ơn tập lại. Phần bài tập có một số lượng có thể vượt quá yêu cầu chung đơi chút vì các tác giả cuốn sách mong muốn giúp cho những bạn đọc ham thích mơn học này có thêm cơ hội rèn luyện kĩ năng. Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể. Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải càng nhiều bài tập càng tốt. Để có thể sử dụng tập bài giảng này, người học cần được bổ sung kiến thức về số phức, nghiệm phức của một đa thức khi mà chương trình Tốn ở THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cần có khái niệm về các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt và bắt nhịp được với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức tốn học bậc THPT.

Giáo trình này được học sau học phần Đại số tuyến tính 1, Đại số tuyến tính 2 và Hình học tuyến tính khi mà người học được trang bị những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và hình học trực quan. Khi giảng viên sử dựng tập bài giảng này để giảng dạy giá, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức, semina, v.v... Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì tập bài giảng còn được sử dụng để sinh viên tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học,

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

có nhiều ví dụ. Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần thiết nhất để có đủ thời gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho sinh viên tự học. Cũng như đã nói trên, Hình học nói chung và Hình học xạ ảnh nói riêng có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế ở THPT, do đó sinh viên cần có kĩ năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tính tốn và áp dụng vào giải các bài tập ở THPT. Muốn thế việc thực hành của sinh viên cần được coi trọng và chúng ta cần lựa chọn hình thức giảng dạy thích hợp để đảm bảo giữa việc học lý thuyết ở lớp và thời gian cho việc giải bài tập của sinh viên.

Đối với người học, khi học theo tập bài giảng này này luôn ln có giấy và bút trong tay để tự mình mơ tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa; tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận; vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho trong sách. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó để củng cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy. Cũng cần nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một trong những ngành khoa học cổ nhất nhưng cũng rất hiện đại và hình học xạ ảnh được xây dựng dựa trên nền là Đại số tuyến tính. Những điều được trình bày ở đây chỉ là những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực). Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập tới.

Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng tạp bài giảng này sẽ đáp ứng được những địi hỏi của chương trình, những mong muốn của người dạy và bạn đọc. Tuy nhiên, tập bài giảng cũng sẽ khó tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết. Vì thế, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa chữa những sai sót làm cho tập bài giảng này ngày càng hoàn thiện và ngày càng hữu ích

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

   , ta nói vectơ u là vectơ đại diện của điểm U.

Nhận xét 1.1.1.2. Hai vectơ u và u (khác 0) cùng đại diện cho một điểm, tức là 

   

u  u U khi và chỉ khi:

u ku, kK\ 0

 

1.1.2. Phẳng trong không gian xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.2.1. Cho không gian xạ ảnh Pnvà W là không gian vectơ con m1 chiều của Vn1



m0



</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Ví dụ 1.1.2.2. 1) Mỗi điểm là 0phẳng. Thật vậy, với mỗi điểm ta có

2) Mỗi 1-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ 2 chiều qua song ánh p, nó cịn được gọi là đường thẳng.

3) Mỗi 2-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ 3 chiều qua song ánh p, nó cịn được gọi là mặt phẳng.

4) Mỗi (n-1)-phẳng xạ ảnh tương ứng là ảnh của tập các không gian véc tơ con 1 chiều của không gian véc tơ n chiều qua song ánh p, nó cịn được gọi là siêu phẳng.

Nhận xét 1.1.2.3. Mỗi mphẳng  

  

W là không gian xạ ảnh m chiều liên kết với không gian vectơ W bởi song ánh :

 W :

 

W

Việc chứng minh khẳng định của nhận xét này chỉ đơn giản là việc dùng định nghĩa và kiểm tra tính chất song ánh nên chúng tơi dành cho bạn đọc xem như là một bài tập thực hành.

1.1.3. Hệ điểm độc lập xạ ảnh

Cho không gian xạ ảnh n

P là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với

K không gian vectơ n 1

V  bởi song ánh .

Định nghĩa 1.1.3.1. Ta gọi hệ gồm r điểm M M1, 2,...,Mr



r1



của không gian xạ ảnh n

P là hệ độc lập xạ ảnh nếu hệ gồm r vectơ



m m1, 2,...,mr



tương ứng đại diện cho các điểm là một hệ véctơ độc lập tuyến tính trong n 1

phẳng đi qua hệ r điểm độc lập xạ

Vì vậy có duy nhất



r 1



phẳng  

  

W đi qua M M1, 2,...,Mr.

Kí hiệu. Chúng ta kí hiệu M M1, 2,...,Mr là



r 1



phẳng đi qua r điểm độc lập M M1, 2,...,Mr.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

1.1.4. Định lý Desargue thứ nhất

Định lí 1.1.4.1. Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A B C A B C, , ,   , , trong đó, khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, hai mệnh đề sau tương

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Khi đó p là vectơ đại diện của điểm:

Xét 6 điểm A A R B B Q, , , , , trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng cùng với ba đường thẳng AA BB QR, , đồng quy tại P . Theo chứng minh trên, các

a. Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng. b. Hai đường thẳng phân biệt có duy nhất một điểm chung.

a. Giao (theo nghĩa tập hợp) của hai phẳng nếu khơng rỗng là phẳng nào đó. b. p- phẳng và (n-p)–phẳng ln ln có điểm chung.

c. Giao của một siêu phẳng và một m-phẳng không nằm trên siêu phẳng đó là một (m-1)-phẳng.

Bài 1.1.4.

Cho U, V là các phẳng trong n

P . Ta gọi cái phẳng bé nhất chứa U và V là tổng của U và V, và kí hiệu là U V . Chứng minh rằng:

a. U V là giao của tất cả các phẳng chứa cả U và V.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

b. Dim U V  dimUdimVdimUV, nếu U V 

Tổng của r điểm (mỗi điểm xem là một 0-phẳng) là cái phẳng có số chiều lớn nhất là bao nhiêu? Số chiều bé nhất là bao nhiêu? Khi nào chúng có thể đạt được các trường hợp tương ứng?

Bài 1.1.7.

Hệ k + 1 điểm (k ≥ 2) của n

Pgọi là hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng qt nếu

hệ đó khơng độc lập, nhưng mọi hệ con thực sự của nó đều độc lập. Giả sửS S0, ,1 ,Sklà hệ điểm phụ thuộc ở vị trí tổng quát.

Chứng minh rằng nếu1  pk 2thì giao của

P cho bốn điểm A, B, C, D trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho chúng đều không trùng với bốn điểm đã cho.

Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, AC, PQ đồng quy thì ba đường thẳng MQ, BD, NP cũng đồng quy và ngược lại.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

1.2. CÁC MÔ HÌNH CỦA KHƠNG GIAN XẠ ẢNH

  là khơng gian xạ ảnh có số chiều n trên trường K liên kết với không gian véc tơ n 1

V  .

Trong mơ hình này ta có:

+ Mỗi điểm của mơ hình vectơ này là một khơng gian vectơ con 1 chiều của

không gian véc tơ n 1

V  .

+ Mỗi mphẳng là tập hợp các không gian vectơ 1 chiều thuộc một không gian vectơ con m1 chiều của không gian véc tơ Vn1.

1.2.2. Mơ hình bó

Mơ hình 1.2.2.1. Giả sử n 1

A  là không gian aphin n1 chiều và OAn1.

Gọi B là tập các đường thẳng đi qua Ovà được gọi là bó đường thẳng tâm O.

Trong mơ hình này ta có:

+ Mỗi điểm xạ ảnh là một đường thẳng của n 1

A  đi qua O.

+ Mỗi mphẳng là tập hợp các đường thẳng đi qua O và nằm trong cái phẳng m1 chiều của An1.

1.2.3. Mơ hình aphin

Mơ hình 1.2.3.1. Xét siêu phẳng An của không gian aphin An1 có phương là khơng gian vectơ con n chiều V của nVn1.

Chọn một điểm n

OA , và gọi B là bó đường thẳng tâm O trong khơng gian aphin An1.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Khi đó, B là không gian xạ ảnh liên kết với n 1

là không gian xạ ảnh liên kết với n 1

V  thông qua song ánh

: Vn P       .

Trong mơ hình này ta có:

+ Mỗi điểm xạ ảnh trong mơ hình aphin này hoặc là một điểm của không

A là mphẳng aphin nào đó của khơng gian aphin An.

- Hoặc là tập hợp m 1

V 

 

 , với Vm1 là không gian vectơ con m1 chiều của không gian vectơ Vn1.

Sinh viên (người đọc) vẽ hình minh hoạ cho các đối tượng xạ ảnh trong trường hợp này để hiểu rõ hơn về mơ hình này. Mơ hình này cho phép ta nói rằng khơng gian xạ ảnh có thể được tạo ra từ không gian aphin bằng cách them vào không gian aphin các điểm ở vô cùng.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

S có thể xem là một mơ hình của khơng gian xạ ảnh n chiều liên kết với n 1

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

a. Hãy làm choSn1 trở thành không gian xạ ảnh n chiều.

b. Hãy chỉ ra cụ thể trong mơ hình trên, các m-phẳng xạ ảnh là những tập nào? Cùng giống như bài tập trên hãy chỉ ra cụ thể một điểm là gì, một đường thẳng là gì trong mơ hình này.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

1.3. TỌA ĐỘ XẠ ẢNH

1.3.1. Mục tiêu xạ ảnh

Định nghĩa 1.3.1.1. Cho không gian xạ ảnh n

P liên kết với K - không gian

vectơ n 1

V  . Một tập hợp có thứ tự gồm n2 điểm



S S0, ,...,1 S E của n;



Pnđược gọi là mục tiêu xạ ảnh nếu bất kì n1 điểm trong n2 điểm đó đều độc lập.

Trong đó:

- Các điểm Si gọi là đỉnh thứ i của mục tiêu xạ ảnh, i0,n . - Điểm E gọi là đỉnh đơn vị của mục tiêu.

- Các mphẳng



mn



đi qua m1 đỉnh gọi là các mphẳng tọa độ. - Đường thẳng S S ij



i j



gọi là trục tọa độ.

Định lí 1.3.1.2. Với mỗi mục tiêu xạ ảnh



S S0, ,...,1 S E , ln tìm được n;



một cơ sở



e e0, ,...,1 e của n



Vn1 sao cho vectơ ei là đại diện của đỉnh Si



i0,1,...,n



và vetctơ e  e0 ... en là đại diện của điểm E . Chứng minh

Lấy vectơ ei đại diện cho đỉnh Si và vectơ e đại diện cho điểm E .

Vì n1 đỉnh Si độc lập nên n1 vectơ ei độc lập tuyến tính trong n 1

Một mục tiêu xạ ảnh có thể có nhiều cơ sở đại diện, hai cơ sở đại diện cho một mục tiêu xạ ảnh chỉ khác nhau một phép vị tự trong n 1

V  .

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Thật vậy,

Cho hai cơ sở



e e0, ,...,1 e và n



e e0 , ,...,1 en



cùng là cở sở đại diện cho mục tiêu xạ ảnh



S S0, ,...,1 S E khi và chỉ khi: n,



Khi đó tọa độ



x x0, ,...,1 x của n



x đối với cơ sở

 

eii0,n được gọi là tọa độ

của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh



S Ei,



i0,n.

Kí hiệu:



0, ,...,1 n



Tính chất 1.3.2.2. Toạ độ của các điểm có các tính chất sau đây:

a) Nếu X 



x x0, ,...,1 xn



thì các xikhơng đồng thời bằng 0 do véctơ đại

diện của điểm X là x 0.

b) Vì các cơ sở đại điện cho cùng một hệ mục tiêu sai khác nhau một phép vị

cũng là tọa độ của điểm X .

Do đó tọa độ của điểm X thường được kí hiệu dưới dạng sau:

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Nhận xét 1.3.2.3. Các tính chất trên cho thấy sự khac biệt của không gian xạ

ảnh với không gian aphin và không gian Euclid. Thật vậy:

- Trong P2 bộ số



0,0,0 không phải là tọa độ của bất cứ điểm nào, nhƣng



Trong Pn, cho hai hệ mục tiêu xạ ảnh là



S Ei;



in0 và



S Ei ;



ni0 với hai hệ cơ sở đại diện lần lƣợt là

 

n0

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Định nghĩa 1.3.3.1. Công thức (3) được gọi là công thức đổi mục tiêu xạ





đại diện cho điểm E. Từ đây suy ra hệ phương trình sau :

 , do hệ các vector ei độc lập tuyến tính nên detB0

Như vậy, hệ (4) là hệ Crammer nên có nghiệm duy nhất



k k0, ,...,1 k . n



Đặt aij k bi ij thì

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

P , hãy xác định công thức đổi mục tiêu xạ ảnh đối với hai mục tiêu



S S S E và 0, 1, 2,



S S S E0   , ,12,



, biết tọa độ các đỉnh

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Gọi A là ma trận chuyển từ hệ cơ sở

 

e sang hệ cơ sở i

 

ei thì

Thay các giá trị này vào n m phương trình cịn lại của hệ (1) ta được một hệ gồm n m phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng sau:

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Hệ (2) được gọi là phương trình tổng quát của mphẳng U.

Ngược lại bằng biến đổi Gauss, mỗi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Phương trình (*) là phương trình tổng quát của đường thẳng AB .

1.4.3. Tọa độ của siêu phẳng

Bộ số



u u0, ,...,1 un



được gọi là tọa độ của siêu phẳng U .

Như vậy nếu biết tọa độ của siêu phẳng thì siêu phẳng đó hồn tồn được

Hệ gồm r siêu phẳng U U1, 2,...,Ur với tọa độ Ui 



ui0:ui1:...:uin



được gọi là độc lập nếu tọa độ của chúng làm thành ma trận

 

uij , i1,r, j0,n có hạng bằng r.

Định lí 1.4.4.2.

Giao của hệ gồm r siêu phẳng độc lập là một



n r



phẳng. Ngược lại, mỗi mphẳng đều là giao của n m siêu phẳng độc lập.

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Thật vậy, nếu hệ đó có hạng bằng n m thì các điểm của

 

 đều thuộc U

điều này trái với giả thiết.

Vì hệ phương trình trên có hạng bằng n m 1 nên nó xác định một



m 1



phẳng.

Hệ quả 1.4.4.5.

- Hai siêu phẳng phân biệt của không gian xạ ảnh luôn luôn cắt nhau theo một



n2



phẳng.

- Một siêu phẳng và một đường thẳng không thuộc siêu phẳng đó ln ln cắt nhau tại một điểm.

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Chứng minh định lí Papuyt (Pappus) trong 2

P : Cho 6 điểm phân biệt và

Trong P3cho phương trình tổng quát của hai đường thẳng. Tìm điều kiện (về các hệ số của các phương trình) để hai đường thẳng đó khơng cắt nhau. Chứng tỏ rằng, đó cũng là điều kiện để hai đường thẳng ấy không nằm trên một mặt phẳng.

Bài 1.4.7.

Trong P3cho phương trình tổng quát của hai đường thẳng d và d’ khơng có điểm chung và cho tọa độ của điểm M không nằm trên d và d’. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt cả d và d’.

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

§ 1.5. TỈ SỐ KÉP CỦA BỐN ĐIỂM THẲNG HÀNG

1.5.1. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng

Trong không gian xạ ảnh n

P , cho 4 điểm thẳng hàng A B C D, , , trong đó 3 điểm A B C, , đôi một không trùng nhau.

Giả sử với mục tiêu đã cho của n

P ta có phương trình tham số của đường

Từ tính chất của các toạ độ thuần nhất trên ta thấy tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng không phụ thuộc vào việc chọn các vector đại diện tương ứng cho các điểm.

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Từ đây có điều cần chứng minh.

Chứng minh hồn tồn tương tự ta có các tính chất sau:

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

1.5.4. Hàng điểm điều hịa

Định nghĩa 1.5.4.1.

Trong khơng gian xạ ảnh cho bốn điểm thẳng hàng A B C D, , , .Nếu



A B C D, , ,



 1 thì cặp điểm C D, đƣợc gọi là chia điều hòa hai điểm A B, .

Nếu



A B C D, , ,



 1 thì bốn điểm thẳng hàngA B C D, , , đƣợc gọi là một hàng điểm điều hòa.

Trong Pn tập hợp 4 điểm A B C D, , , cùng nằm trong một mặt phẳng, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng đƣợc gọi là hình bốn đỉnh tồn phần.

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Giao điểm của hai cạnh đối diện được gọi là điểm chéo, đó là: , ,P Q R

(chúng không thẳng hàng)

Đường thẳng đi qua hai điểm chéo gọi là đường chéo, đó là: PQ PR QR , , (chúng không đồng quy)

Định lí 1.5.5.2.

Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm trên một đường chéo chia điều hòa cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo

</div>

tập bài giảng hình học xạ ảnh lƣu hành nội bộ

Contents

<i>m</i>

 

 

<b>LỜI NĨI ĐẦU </b>

<b>CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN XẠ ẢNH </b>

   

 





  

 





























  











































 

























 













 

 

















