tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục ox oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục oy

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA </b>

<b>BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>II. LỜI MỞ ĐẦU </b>

Trong môi trường học tập, nghiên cứu và ứng dụng thực tế, ngày nay có nhiều phương pháp tính tốn phức tạp phát triển nhờ sự tiến bộ của khoa học và công nghệ. Để đáp ứng nhu cầu này, nhiều ứng dụng tính tốn thơng minh đã xuất hiện, trong đó, Matlab là một trong những ứng dụng nổi bật nhờ tính linh hoạt và đa dạng của nó.

Matlab được phát triển từ những năm 1970, ban đầu chỉ có chức năng cung cấp mơi trường tính tốn số và lập trình. Tuy nhiên, qua hơn 50 năm phát triển, Matlab đã trở thành một cơng cụ mạnh mẽ, cung cấp nhiều tính năng tồn diện như tính tốn số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số và biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo giao diện người dùng và liên kết với các chương trình máy tính viết bằng nhiều ngơn ngữ lập trình khác.

Sự đơn giản, dễ hiểu và dễ sử dụng của giao diện Matlab đã thu hút không chỉ sinh viên và nghiên cứu sinh đại học, mà còn các chuyên gia, tiến sĩ và thạc sĩ toán học. Hiện nay, Matlab được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như cơ khí, hóa học, vật lý và kinh tế.

Với hơn 3 triệu người dùng, Matlab đã khẳng định được sự ưu việt của mình trong việc hỗ trợ học tập, nghiên cứu và giảng dạy. Đối với người dùng, Matlab mang lại sự tiện lợi và hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán phức tạp. Với những tính năng đa dạng và khả năng tùy chỉnh cao, Matlab là một công cụ mạnh mẽ để khám phá và khai thác tiềm năng của tính tốn trong các lĩnh vực khác nhau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<b>III. NỘI DUNG </b>

<b>1. Đề tài </b>

Đề tài 7: Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể trịn xoay quanh trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Oy

<b>2. Yêu cầu </b>

Câu 1: Nêu rõ cách xác định công thức tính thể tích bằng cách sử dụng tổng riemann Câu 2: Dựng hình vật thể quay quanh Oy bằng phần mềm bất kỳ

Câu 3: Đưa ra ít nhất 4 ví dụ cho:

❖ Dạng bài toán cho hàm cụ thể, xác định trong miền giới hạn bởi x=f(x), x=0, a≤y≤b và miền giới hạn bởi x=f(y), x=g(y), a≤y≤b

❖ Dạng bài tốn khơng cho hàm cụ thể, nhưng cho bảng số liệu tương ứng với miền giới hạn bởi x=f(y), x=0, a≤y≤b và miền giới hạn bởi x=f(y), x=g(y), a≤y≤b

<b>3. Nhiệm vụ </b>

➢ Xác định cách tính cơng thức thể tích bằng tổng Riemann ➢ Viết chương trình code matlab

➢ Cho 4 ví dụ và chạy chương trình

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>4. Cơ sở lí thuyết </b>

Vật thể tròn xoay là vật thể được tạo ra khi một miền giới hạn quay quanh một trục cố định. Thể tích của vật thể trịn xoay quanh Oy được xác định bằng cơng thức:

• a và b là hai điểm đầu, cuối của đoạn [a, b] mà vật thể trịn xoay nằm trong • Cơng thức này được suy ra từ cơng thức tính thể tích bằng tổng Riemann, với các

bước như sau:

a. Phân hoạch đoạn [a;b]

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn nhỏ bằng cách chọn các giá trị y0, y1,..., yn • Trong đó a = y<small>0</small> < y<small>1 </small>< ... < y<small>n</small> = b.

b. Xác định bán kính và diện tích mặt cắt ngang:

• Tại mỗi điểm y<small>i</small>, tính giá trị f(y<small>i</small>) để xác định bán kính của đường cong ở điểm đó. • Diện tích mặt cắt ngang của vật thể tròn xoay tại y<small>i</small> là 𝜋[f(𝑦_𝑖)]²

c. Tính Diện Tích và Tổng Riemann Tính diện tích của mỗi mặt cắt ngang bằng 𝜋[f(𝑦_𝑖)]²

Sử dụng tổng Riemann để xấp xỉ thể tích bằng cách cộng tổng các diện tích này: V ≈ ∑^𝑛_𝑖=1𝜋[f(𝑦_𝑖)]<small>2</small>. 𝑦_𝑖

Trong đó y<small>i</small> = y<small>i</small> – y<small>i-1 </small>là chiều rộng của đoạn thứ i

Khi số đoạn nhỏ n tiến đến vô cùng, tổng Reimann tiến gần đến giá trị chính xác của tích

Để áp dụng công thức này, ta cần lưu ý một số điểm sau:

<small>• </small> Hàm số f(y) phải được xác định trên đoạn [a, b].

<small>• </small> Hàm số f(y) phải liên tục trên đoạn [a, b].

<small>• </small> Hàm số f(y) phải không âm trên đoạn [a, b].

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>5. Code chương trình </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<b>❖ Riemann trung tâm </b>

n = input('Nhập số lượng đoạn chia (n): ');

% Tính kích thước mỗi đoạn chia (delta_x)

% Tính giá trị của hàm số tại x_i

f_i = double(subs(f_x, x, x_values(i)));

area = area + f_i * delta_x; end

% Hiển thị kết quả diện tích

disp(['Diện tích bằng tổng Riemann trung tâm là: ' num2str(area)]);

% Mơ hình 3D từng phần được chia ra

figure;

% Vẽ đồ thị hàm số

fplot(f_x, [a b], 'LineWidth', 2);

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

n = input('Nhập số lượng đoạn chia (n): ');

% Tính kích thước mỗi đoạn chia (delta_x)

delta_x = (b - a) / n;

% Tính diện tích bằng tổng Riemann phải

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

area = 0;

x_values = a+delta_x:delta_x:b; for i = 1:n

% Tính giá trị của hàm số tại x_i

f_i = double(subs(f_x, x, x_values(i))); % Cộng giá trị vào diện tích

area = area + f_i * delta_x; end

% Hiển thị kết quả diện tích

disp(['Diện tích bằng tổng Riemann phải là: ' num2str(area)]);

% Mơ hình 3D từng phần được chia ra

fill([x_values(i)-delta_x x_values(i)-delta_x x_values(i) x_values(i)], ...

[0 double(subs(f_x, x, x_values(i))) double(subs(f_x, x, x_values(i))) 0], 'c',

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

n = input('Nhập số lượng đoạn chia (n): ');

% Tính kích thước mỗi đoạn chia (delta_x)

f_i = double(subs(f_x, x, x_values(i))); % Cộng giá trị vào diện tích

area = area + f_i * delta_x; end

% Hiển thị kết quả diện tích

disp(['Diện tích bằng tổng Riemann phải là: ' num2str(area)]);

% Mơ hình 3D từng phần được chia ra

figure;

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

fill([x_values(i)-delta_x x_values(i)-delta_x x_values(i) x_values(i)], ...

[0 double(subs(f_x, x, x_values(i))) double(subs(f_x, x, x_values(i))) 0], 'c',

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<b>❖ Dựng hình vật thể quay quanh Oy </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

% Số lượng điểm để tính thể tích và mơ phỏng hình chóp

num_points = 100;

% Tạo mảng các điểm trên trục Oy

x_values = linspace(lower_limit, upper_limit, num_points);

% Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên trục Oy

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<b>6. Ví dụ minh họa </b>

<b>a. Ví dụ cho dạng bài sử dụng bảng số liệu: </b>

<b>Ví dụ 1: Cho hàm số x = g(y) liên tục trên [2; 8] và có một số giá trị được cho trong bảng </b>

sau:

Hãy tính thể tích vật thể khi miền giới hạn bởi đường cong x = g(y) và trục tung, với y ∈ [2; 8], quay quanh trục Oy, sử dụng tổng Riemann trái với 6 khoảng chia cách đều.

Vậy, thể tích của vật thể khi miền giới hạn bởi đường cong x = g(y) và trục hoành, với y ∈ [2; 8], quay quanh trục Oy sử dụng tổng Riemann trái với 6 khoảng chia cách đều là 100π (đơn vị thể tích).

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<b>Ví dụ 2: Cho hai hàm số f(y), g(y) liên tục trên R và có một số giá trị cho bởi bảng sau: </b>

Sử dụng tổng Riemann trung tâm với phân hoạch đều (∆y = 1) để ước tính thể tích vật thể tạo ra khi miền phẳng giới hạn bởi các đường cong x = f(y), x = g(y), y = -3, y = 4 quay xung quanh trục Oy. Bỏ qua đơn vị thể tích.

Vậy, thể tích của vật thể khi miền phẳng giới hạn bởi các đường cong x = f(y), x = g(y), y = -2, y = 4 quay xung quanh trục Oy sử dụng tổng Riemann trung tâm với phân hoạch đều (∆y = 1) là 630π (đơn vị thể tích).

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<b>b. Ví dụ dạng bài tốn cho hàm cụ thể </b>

<b>Ví dụ 3: Trong khơng gian cho hình phẳng giới hạn bởi 𝒙 = 𝒚</b>^𝟐; 𝒙 = 𝟐 − 𝒚^𝟐 với 0≦y≦1. Tính thể tích tạo được khi xoay hình phẳng quanh trục Oy

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

<b>Ví dụ 4: Trong khơng gian cho hình phẳng giới hạn bởi </b>𝒙 = 𝟎; 𝒙 = √𝒚<small>𝟐</small> với 1≦y≦4. Tính thể tích tạo được khi xoay hình phẳng quanh trục Oy

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<small>• </small> Việc sử dụng Matlab giúp tiết kiệm thao tác và thời gian tính tốn so với các phương pháp thơng thường.

<small>• </small> Giao diện sử dụng lệnh thơng báo nội dung làm cho cấu trúc trở nên đơn giản, dễ hiểu và dễ sử dụng cho mọi người.

<b>2/ Khuyết điểm: </b>

<small>• </small> Thiết kế đoạn code trong Matlab có thể tốn nhiều thời gian và cơng sức.

<small>• </small> Đơi khi đoạn code có thể trở nên rườm rà.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<b>V. TÀI LIỆU THAM KHẢO </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

CẢM ƠN THẦY/CÔ ĐÃ XEM VÀ ĐÁNH GIÁ BÀI BÁO CÁO CỦA NHÓM CHÚNG EM

<b>HẾT </b>

</div>