NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 77 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

Sinh viên thực hiện:

LÊ THỊ NHƯ THẢO

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

LỜI CẢM ƠN!

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu , các thầy cô giáo đã quan tâm, giảng dạy tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tại trường Đại học Quảng Nam. Đặc biệt là cô giáo T.S Nguyễn Thị Thanh Tâm, người đã tận tình hướng dẫn, ln động viên và đơn đốc để tơi hồn thành bài khóa luận của mình.

Nhân dịp này tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã ln cổ vũ, động viên tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.

Tơi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Nam, ngày tháng năm 2015

Sinh viên thực hiện

Lê Thị Như Thảo

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bài khóa luận này do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Thị Thanh Tâm. Nội dung trong bài khóa luận là trung thực, khách quan và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào.

Quảng Nam, ngày tháng năm 2015

Sinh viên thực hiện

Lê Thị Như Thảo

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Sơ đồ mơ tả mối quan hệ giữa Tốn học

Hình 1.2.2.1 Đồ thị Biểu diễn hàm Delta Diracbởi một đoạn thẳngcó mũi tên ở đầu

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

DANH MỤC BẢNG

Bảng1.2.2.1Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ tọa độ cong. 22

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

MỤC LỤC

Phần 1. MỞ ĐẦU

1.1.Lý do chọn đề tài: ... 1

1.2.Mục tiêu của đề tài: ... 1

1.3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ... 1

1.4.Phương pháp nghiên cứu:... 2

1.5.Lịch sử nghiên cứu: ... 2

1.6.Đóng góp của đề tài: ... 2

1.7.Cấu trúc đề tài: ... 3

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ 1.1Mối quan hệ giữa toán học và vật lý học ... 3

1.2Một số hàm toán học đặc thù thường được áp dụng trong vật lý ... 4

1.2.2.3 Tính chất đạo hàm của hàm Delta Dirac ... 20

1.2.2.4 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các trục tọa độ ... 22

1.2.2.5 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac ... 23

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài:

Vật lý học là một ngành khoa học chuyên nghiên cứu về các hiện tượng tự nhiên trong đời sống. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng, muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác, ta phải dùng phương pháp toán học. Phương pháp này đã được áp dụng từ lâu, nhưng từ thế kỷ XIX, khi nhiệt động lực học và điện động lực học được xây dựng, nó mới được phát triển mạnh mẽ cả về bề rộng lẫn bề sâu, hiệu lực nghiên cứu của nó cũng lớn lên, bao hàm tồn bộ Vật lý lý thuyết.

Như vậy, Vật lý lý thuyết có nội dung là vật lý và phương pháp toán học. Hiện nay, bộ môn này đang được rất nhiều bạn đọc yêu thích Vật lý và đặc biệt là sinh viên chuyên ngành quan tâm. Nó là một phần khơng thể thiếu của Vật lý học. Sinh viên sau khi học xong Vật lý đại cương, sẽ được tiếp xúc và học tập với các học phần của Vật lý lý thuyết như: Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê, Cơ học lượng tử, Vật lý chất rắn…. Để học tốt các môn này sinh viên cần nắm vững các kiến thức toán học . Trong các giáo trình chun ngành đều có phần trình bày ngắn gọn các phép tốn đó. Đặc biệt một số hàm toán học đặc thù như hàm Gamma, Zeta Reimann, Delta Dirac,…được sử dụng rất nhiều và là phần không thể thiếu trong các mơn vật lý chun ngành. Việc tìm hiểu và xây dựng thành một đề tài chi tiết giúp người học dễ dàng hơn trong việc học tập và nghiên cứu.

Chính vì những lý do đó nên tơi chọn đề tài: “Nghiên cứu một số hàm tốn học đặc thù áp dụng trong vật lý” để làm đề tài khóa luận cho mình.

1.2. Mục tiêu của đề tài:

- Nghiên cứu được một số hàm toán học đặc thù được áp dụng trong vật

lý.

- Áp dụng một số hàm toán học đặc thù để giải được một số bài tập vật lý

phức tạp.

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng: Một số hàm toán học đặc thù đã và đang áp dụng trong Vật lý - Phạm vi nghiên cứu:

Một số môn học như: Phương pháp toán lý, Cơ học lượng tử, Nhiệt động lực học và vật lý thống kê, Vật lý chất rắn,…

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

1.4. Phương pháp nghiên cứu: - Đọc, tham khảo tài liệu.

- Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn.

1.5. Lịch sử nghiên cứu:

Qua tìm hiểu, một số sách đã trình bày các hàm toán học nhưng cịn tóm lược, phần lớn chưa đi sâu vào nghiên cứu các hàm mà chỉ nêu kết quả để áp dụng trong Vật lý. Đồng thời, khi tham khảo một số luận văn nghiên cứu trước đó, nhận thấy chưa có cơng trình nào nghiên cứu về đề tài: “Một số hàm toán học đặc thù áp dụng trong Vật lý”. Do đó tơi đã chọn đề tài này làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho mình.

1.6. Đóng góp của đề tài:

Tìm hiểu một số hàm toán học đặc thù áp dụng trong Vật lý giúp cho sinh viên hiểu sâu sắc hơn về mối quan hệ giữ Toán học với Vật lý học và áp dụng một cách dễ dàng để giải các bài tập liên quan. Đồng thời, có thể hệ thống hóa được phần nào kiến thức về vật lý lý thuyết trong trường đại học, góp phần tạo điều kiện cho sinh viên sử dụng một cách có hiệu quả một số hàm tốn học cơ

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ

1.1 Mối quan hệ giữa toán học và vật lý học

Tốn học là ngơn ngữ để miêu tả một cách gọn gàng và logic thứ bậc trong tự nhiên, đặcbiệt là các định luật của vậtlý.Điều này được chú ý và ủng hộ

bởi Pythagoras, Plato, Galileo, và Newton.

Các lý thuyết vật lý sử dụng ngơn ngữ tốn học để nhận được những cơng thức chính xác miêu tả các đại lượng vật lý, thu được những nghiệm chính xác hay những giá trị ước lượng và tiên đoán những hệ quả. Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm của vật lý đều biểu hiện bằng giá trị số. Những công nghệ dựa trên tốn học và máy tính, như khoa học tính tốn đã đưa ngành vật lý tính tốn trở thành lĩnh vực nhiều triển vọng.

Sự khác biệt giữa tốn học và vật lý học đơi khi khơng rõ ràng, đặc biệt trong ngành toán lý.

Hình 1.1 Sơ đồ mơ tả mối quan hệ giữa Toán học và Vật lý học.

Bản thể luận là một lý thuyết tiên quyết cho Vật lý học, nhưng khơng phải cho Tốn học. Điều đó có nghĩa là vật lý hồn tồn chỉ mơ tả thế giới thực tại, trong khi toán học phát triển đưa ra nhiều ngành trừu tượng, thậm chí vượt khỏi phạm vi thế giới thực. Do vậy những phát biểu vật lý mang tính tổng hợp, trong khi các phát biểu Tốn học mang tính phân tích. Toán học chứa những tiên đề và giả thuyết, trong khi Vật lý học dựa trên những định luật, các nguyên lý cơ bản và công cụ Toán học. Các phát biểu toán học chỉ cần thỏa mãn về mặt logic, trong khi các tiên đoán của phát biểu vật lý phải phù hợp với dữ liệu quan sát và thực nghiệm.

Sự khác biệt giữa hai khoa học là rõ ràng, nhưng khơng phải lúc nào cũng vậy. Ví dụ, ngành vật lý tốn áp dụng các cơng cụ toán học vào vật lý. Phương pháp nghiên cứu của nó bằng tốn học, nhưng các đối tượng quan tâm thuộc về

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

vật lý học. Vấn đề trong ngành này bắt đầu bằng "mơ hình hóa tốn học một hệ vật lý" và "miêu tả các định luật vật lý bằng toán học". Mỗi phát biểu toán học cho mỗi lời giải thường khó tìm được ý nghĩa vật lý trong đó. Lời giải toán học cuối cùng phải thể hiện ý nghĩa vật lý một cách dễ hiểu hơn bởi nó là điều mà người giải đang tìm.

1.2 Một số hàm toán học đặc thù thường được áp dụng trong vật lý 1.2.1 Hàm Gamma

1.2.1.1 Định nghĩa

Trong tốn học, hàm Gamma (kí hiệu Γ) là hàm siêu việt, được mở rộng từ hàm giai thừa xác định với mọi số tự nhiên n theo công thức n!n n.



 1



2.1.

Hàm giai thừa f n

 

n! thỏa mãn hai điều kiện f n



 1



nf n

 

và f

 

1 1 . Ta mở rộng hàm giai thừa thành hàm Gamma với biến số phức thỏa mãn hai điều kiện trên.

Hàm Gamma được định nghĩa cho tất cả các số phức, ngoại trừ các số nguyên âm và số không cho bởi biểu thức:

Ngồi ra, hàm Gamma cịn được định nghĩa cho tích số vơ hạn, do Euler và

Weierstrass định nghĩa độc lập với nhau, có giá trị cho tất cả các số phức t , trừ

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Ta có thể chứng minh định nghĩa (1.2.1.1) và (1.2.1.2) tương đương :

 Công thức Euler: Đối với những số phức mà phần thực là số nguyên dương, được xác định thông qua chuỗi số nguyên không hội tụ : Hàm này được mở rộng bằng cách tiếp tục lấy tích phân trên tất cả các số phức, ngoại trừ các số nguyên âm, đường cong hàm phân hình gọi là hàm Gamma (hình 1.2.1.1).

Hình 1.2.1.1. Các hàm Gamma 

 

x với x là số thực.

Hàm Gamma có thể xem như là một đáp án của phép nội suy. Nó là thành phần của các hàm xác suất khác nhau, và như vậy, nó có thể áp dụng trong các lĩnh vực xác suất và thống kê, cũng như tổ hợp.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Kí hiệu 

 

t được đặt bởi Lagendre. Nếu phần thực của số phức t dương

 



hội tụ tuyệt đối, và được biết đến như tích phân Euler loại 2.

Để tính tích phân trên ta tính tích phân sau: 1

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Các giá trị của 

 

t (với

t x iy )

cho một biến dương tăng rất dễ dàng; nó

tăng một cách nhanh chóng, nhanh hơn nhiều so với một hàm mũ. Khi t  , độ

lớn của hàm Gamma được cho bởi công thức Stirling

Dấu có nghĩa là cả hai vế đều hội tụ đến 1

Hình 1.2.1.2 Các giá trị tuyệt đối của hàm Gamma

f x y z  x iy

trên mặt phẳng phức

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Đối với các giá trị của t khơng dương thì phức tạp hơn. Chuỗi Euler không hội tụ khi t ≤ 0 nhưng hàm vẫn được định nghĩa trong nửa mặt phẳng phức dương, tích phân liên tục được nửa mặt phẳng phức âm. Ta thấy rằng, việc lấy tích phân liên tục là sử dụng chuỗi Euler cho đối số dương và mở rộng lên miền đối số âm bằng cách áp dụng một cách lặp đi lặp lại công thức:

Chọn n sao cho

t n

dương. Các đối số trong các mẫu số là số không khi t bằng bất kỳ số nguyên 0, -1, -2,…Như vậy, hàm Gamma không được định nghĩa tại các điểm đó; nó là một hàm phân hình tại các số nguyên không dương.

Hàm Gamma luôn khác khơng, mặc dù nó gần như bằng khơng khi t  .

Trong thực tế khơng có số phức nào mà 

 

t  , và do đó các hàm Gamma 0 nghịch đảo 1

( )t

 là một hàm nguyên, với số khơng tại

t   0, 1, 2,

Hình 1.2.1.3. Đường biểu diễn hàm 1

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Thay t ,  vào công thức trên và chia hai vế cho x sin



ta được :

Như vậy 

 

t   với mọi t   0, 1, 2, Ta có thể chứng minh được cơng thức:

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

với  0,577216 là hằng số Euler – Mascheroni

Đối với Re(x)0, đạo hàm thứ n của hàm Gamma là : Định lý Bohr-Mollerup nói rằng trong tất cả các hàm lũy thừa mở rộng với số thực dương thì chỉ có hàm Gamma là hàm log-lồi, có nghĩa là logarit tự nhiên lồi trên trục thực dương.

Hàm log( ) là cơng thức làm cho một số tính chất nội tại của các hàm rõ ràng hơn, nổi bật là chuỗi Taylor của log( ) :

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

g. Một kí hiệu được Gauss thay thế và đôi khi được sử dụng là hàm Pi trong

giới hạn của hàm Gamma là:

 là một hàm nguyên, xác định cho mỗi số phức, giống như hàm Gamma đảo. Hàm ( )z cũng như Г(z) đều khơng có số khơng.

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Hình 1.2.1.6. Đường biểu diễn hàm 1 1

( )x  (x 1)

1.2.2 Hàm Delta Dirac

1.2.2.1 Định nghĩa hàm Delta Dirac

Để mô tả những khái niệm vật lý được trừu tượng hóa, thí dụ mật độ vật chất của chất điểm,người ta dùng hàm Delta.

Hàm Delta được kí hiệu bằng chữ δ. Đây khơng phải là một hàm theo nghĩa thông thường, mà là hàm suy rộng. Hàm Delta được xác định không phải bằng cách đo giá trị của nó ứng với tất cả các giá trị của đối số, mà bằng quy tắc lấy

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Với định nghĩa hàm Delta như trên, thì có thể viết một cách hình thức giá trị của hàm Delta như sau: Điều này có nghĩa là hàm δ(x) có giá trị bằng 0 ở mọi nơi ngoại trừ tại x = 0 nơi mà giá trị hàm số là vô cùng lớn sao cho tích phân tồn phần (trên tồn khoảng biến thiên) của nó bằng 1. Giá trị của hàm δ(x) tại đó phải bằng vơ hạn, bởi vì nếu không, do độ đo của một điểm bằng không, tích phân đó sẽ bằng khơng.

Chính từ tính chất này, hàm Delta Dirac được coi là một hàm phân bố hoặc một phiếm hàm được xác định trên tập các hàm khả tích giới nội (hàm cơ sở).

Hình 1.2.2.1. Đồ thị biểu diễn hàm Delta Diracbởi một đoạn thẳng có mũi

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Ta biểu diễn hàm Delta như giới hạn của một hàm liên tục phụ thuộc vào một thông số phụ khi thông số này dần tới vơ cực hoặc tới một giới hạn nào đó.

Ta đã biết rằng Delta được xác định bởi quy tắc lấy tích phân (1.2.2.1). Nếu trong cơng thức ấy ta thay δ(x) bằng δ(-x) ở dưới dấu tích phân, thì cơng thức

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Trong khơng gian 2 hoặc ba chiều ta cũng có các hàm Delta Dirac:

Hình 1.2.2.2 Hàm bước đơn vị Heaverside

Hàm bước đơn vị Heaviside dùng để định nghĩa hàm xung:

 trong khoảng

x

0và

x

0



, và bằng khơng ở các vị trí khác.

Hàm delta Dirac hay hàm xung đơn vị được định nghĩa:

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Hàm Delta Dirac cũng có tính chất đạo hàm. Có thể xác định đạo hàm theo x của hàm Delta và kí hiệu là δ' x

 

. Khi tính tích phân có chứa δ' x

 

ta dùng phương pháp phân đoạn và ta chú ý rằng δ x

 

0 nếu x 0 . Đạo hàm này được tính theo vai trị phiếm hàm của nó. Từ (1.2.2.1) ta có:

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Tổng quát hóa, nếu hàm

g

là đều và có

p

khơng điểm



ithì

Người ta thường dùng biểu thức thể hiện tính đầy đủ hoặc tính trực chuẩn của hệ hàm riêng nào đó để biểu diễn hàm Delta Dirac. Từ hệ hàm riêng đầy đủ, trực chuẩn bằng kí hiệu Kronecker



n( )x



, ta sẽ có biểu diễn:

1.2.2.4 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các trục tọa độ

Hàm Delta Dirac có thể biểu diễn trong các hệ trục tọa độ khác nhau: Chuyển sang tọa độ cực:

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

1.2.2.5 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac

Có thể chứng minh rằng 

 

x tương đương với giới hạn sau: Hàm Delta có thể khai triển Fourier:

δ x ~

 

1 1



cos x cos 2x cos3x



 vào biểu thức trên ta được:

Hàm ấy cũng có tính chất tương tự như hàm Delta một chiều, nhưng được mở rộng trong không gian ba chiều. Tương tự như (1.2.2.1) ta có:

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

1.2.3.1 Định nghĩa

Hàm Zeta Reiman là một hàm đặc biệt quan trọng trong Toán học và Vật lý, nảy sinh trong việc xác định tích phân và nó có liên quan sâu sắc đến kết quả các định lý số nguyên tố. Đó là một trong những thành tựu đã được khám phá, ước đoán các nguyên tắc cơ bản (giả thuyết Reimann). Hàm Zeta Reimain ξ(s) được định nghĩa dựa trên mặt phẳng phức với một mặt phẳng biến thiên, quy ước là s (thường được thay thế z)

Hàm Zeta Reiman (kí hiệu ξ s

 

) xác định đối với số phức s có phần thực lớn hơn 1 bới chuỗi vô hạn hội tụ tuyệt đối được định nghĩa đầy đủ:

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Hàm Zeta Reimann cũng có thể được định nghĩa trong bội số nguyên:

a. Hàm Zeta Reimann ξ s

 

có tính phi tầm thường tại s1, tại đó làm giảm đi sự phân kỳ của chuỗi hàm điều hòa.

Hàm Zeta Reimann đã thỏa mãn sự phản xạ phương trình hàm số: Cơng thức này cho số thực s và được xác định bởi Euler.

Sự đối xứng của phương trình hàm được cho bởi:

cơng thức này được chứng minh bởi Reimann cho mọi số phức s.

Trên đây đã định nghĩa hàm Zeta ξ s

 

với số phức s  itcho Re(s)>1. Tuy nhiên, ξ s

 

có giải tích mở rộng cho toàn bộ mặt phẳng phức, ngoại trừ điểm s . Đặt biệt, khi 1 s1, ξ s

 

theo đó:

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Ở đây, tổng vế phải chính là hàm Zeta đảo. Với công thức định nghĩa ξ s

 

cho một nửa mặt phẳng bên phải Re(s) > 0, phương trình (1.2.3.9) cũng có thể sử dụng để tiếp tục để lấy tích phân đến khi hết mặt phẳng. Toàn bộ chuỗi hàm Zeta Reimann hội tụ (ξ s

 

có thể mở rộng thành một hàm giải tích trên cả mặt phẳng phức ngoại trừ tại điểm s1) là:

  là hệ số nhị thức. Công thức này liên quan đến sự biến đổi ngẫu nhiên và có thể được xuất phát từ việc biến đổi chuỗi Euler với n0 để có

γ 0,577 được gọi là hằng số Stieltjes.

b. Hàm Zeta Reimann cũng có thể được định nghĩa trong mặt phẳng phức

trên tồn bộ tích phân đường.

Với mọis , đường lấy tích phân được minh họa ở hình dưới. 1

Hình 1.2.3.1. Đường biểu diễn hàm Zeta Reimann

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Hàm zeta Riemannξ s

 

là hàm với đối số s là một số phức bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức.Khơng điểm của ξ s

 

có hai loại khác nhau. Một loại được gọi là “điểm không tầm thường ’’ xuất hiện ở tại tất cả các số nguyên âm chẵn

s    2, 4, 6,

, và một loại được gọi là “điểm không phi tầm

thường” được xác định:

s it

(1.2.3.15) σ là phần thực, t là số thực và i là đơn vị ảo

Cho s trong miền giới hạn0 



1. Giả thuyết Reimann thừa nhận tất cả các không điểm phi tầm thường trong hàm Zeta Reimann ξ s

 

đều có phần thực

1 Re( )

   , đường này gọi là “đường giới hạn” . Điều này hiện nay được biết

đến đúng cho 250 10 9 nghiệm đầu tiên.

Nếu 0 < Re(s) <1 thì hàm Reimann thỏa mãn một phương trình hàm thú vị Có thể định nghĩa ( )s cho mọi số phức s0còn lại bằng cách giả sử rằng phương trình này thỏa mãn cả bên ngoài miền xác định, và đặt ( )s bằng vế phải của phương trình khi có s phần thực khơng dương. Nếu s là một số nguyên âm

  bằng 0; đây là các không điểm tầm thường của hàm Zeta .(Lập luận này không đúng nếu s là một số nguyên dương chẵn bởi vì giá trị 0 của sin bị triệt tiêu tại các cực của hàm Gamma khi nó nhận các thơng số ngun âm). Giá trị tại 1

(0) 2

  không được xác định bởi phương trình hàm, nhưng nó là giới hạn của ( )s khi s tiến đến 0. Phương trình hàm cũng hàm ý rằng hàm Zeta khơng có các không điểm với phần thực âm; do đó mọi khơng điểm phi tầm thường nằm trong miền giới hạn với s có phần thực nằm giữa 0 và 1. Nói cách khác, mọi khơng điểm phi tầm tường s sẽ có 0 < Re(s) <1.

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Như vậy các không điểm phi tầm thường sẽ nằm trên “đường giới hạn” chứa

Chứng minh giả thuyết Reimann:

Giả sử mọi không điểm phi tầm thường s của hàm Zeta Reimann đều có phần

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Chú ý rằng, do 0 < Re(s) <1 nên từ phương trình hàm:

c. Hàm Zeta Reiman cũng có tính chất đạo hàm.

Đạo hàm của hàm Zeta Reimann cho

R s 1

được định nghĩa:

Hàm Zeta Reimann (2 )n có thể tính tốn theo phép tích phân cho n chẵn hoặc tích phân đường viền hoặc định lý Parseval phù hợp với chuỗi Fourier. Euler lần đầu tiên đã chứng minh cơng thức bao hàm các tích số ngun tố vào

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Ở đây, sau mỗi phép nhân số nguyên tố pn thứ n , phép tính chỉ giới hạn lũy thừa

Trong đó tích vơ hạn mở rộng trên mọi số nguyên tố p. chuỗi này hội tụ khi Re( ) 1s  . Chính sự hội tụ của tích số Euler này đã thể hiện rằng khơng có một điểm phức nào khi Re(s) > 1. gọi là phương trình Bessel ứng với tham số . Nó là một phương trình vi phân thơng thường hạng hai có hệ số thay đổi. Nghiệm của nó được gọi là hàm Bessel. Vì nó đóng vai trị quan trọng trong việc mơ tả các q trình vật lí xảy ra trong các miền hình trụ, vì vậy nó cịn có tên là hàm trụ.

Dưới đây ta xét với và gọi là phương trình Bessel cấp , > 0. Nghiệm riêng của phương trình này gọi là hàm Bessel cấp .

Rõ ràng nếu J

 

x và Y x( )là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2.4.1) thì nghiệm tổng qt của phương trình có dạng y x

 

 AJ

 

x BY x

 

 X x( )

</div>

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM TOÁN HỌC ĐẶC THÙ ÁP DỤNG TRONG VẬT LÝ





 





 

 

 

 



 

<i>t x iy</i> )

<i>f x y</i> <i>z</i>  <i>x iy</i>

<i>t n</i>

 

<i><sup>t</sup></i>   <sup>0, 1, 2,</sup>



 

<i>x</i>

<i>x</i>



 

 

 

<i>g</i>

<i>p</i>







 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

<i>s</i>    2, 4, 6,

<i>s</i> <i>it</i>



 

<i>R s</i> 1

 

 

 

 

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về