oxyz số phức

Fanpage: T i Liou KhAa Ht Wise Owl

Đỗ Văn Đức

SỐ PHỨC

Sách bài tập dành cho các bạn học sinh
đăng kí khóa học IMO toán thầy Đỗ Văn Đức
Toàn bộ bài tập đều được chữa chỉ tiết
trong khoá M - Website: hocimo.vn

NHÀ XUÁT BẢN THANH NIÊN

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR()HAC TL2P - CHIA SHrTủTILIðöU XN THỊ

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Thầy Đỗ Văn Đức
Chắc liến thức - Vững tương lai

GROUP FB: 2K6 H(F)TR(?)HC _TL2P - CHIA SHrTUILTðưU XN THÍ? A

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

LỜI NĨI ĐẦU .........................---52 125cc THHuy ¬ 5

PHAN 1 — HINH HOC GIAI TICH TRONG KHONG GIAN

Phiếu tóm tắt công thức giải nhanh 0xyz........H ...H....H ...e ....e ..... 8

1. HE TOA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.......22.2222.111.1 12.222.2211.111.0.022.2111...ne.n .n.s.e.c 22

2... PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG....................12.1.12.1.12.1.02.1.0......--a-x2ee 32

3. PHUONG TRINH DUGNG THANG..........cccccsssccssscssssssesssssssssssssussssssssesasssssstesssseeeeessseeee 40

4. QUAN HE MAT CAU VOI MAT PHANG, ĐƯỜNG THẲNG........................ te 51

5. TAM TL CU... ..... ïăắăáaannỗãaãa In 55

6. MIN MAX OXYZ VE CAC YEU TO GOC VA KHOANG CACH ceeccccccccccccscsccssssscsccccccsecssssszeceece 60

7. CHUM MAT jm......... _ 64

8... TỌA ĐỘ HĨA GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .......................... KH H1 neo 75
PHẦN 2 - SỐ PHỨC
mm"

1. MỞ ĐẦU VỀ §Ố PHỨC.......22...222.252.212.022.1122.11.1.1.18..E.En.n.e.se.e.ee.c.e 81
2M. 0... ........... 90

3... XỨ LÝ BÀI TOÁN NHIÊU SỐ PHỨC.......................... 2222221152101 95
4... VẬN DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC GIẢI TOÁN SỐ PHỨC.............................----2scez 100
5. CAN BAC HAI CUA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI...........2.2 ....n .....- 105
6... PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC.............................-522 222222
111
7. MIN MAX SO PHUC TH HH1HH ga, —.. 116
"01000000 v.0 n
........ aaaa 123

9. SO PHUC TRONG CAC ĐỀ THỊ GỦA BỘ....................... Hee 128 cỡ

sử về vế

GROUP FB: 2K6 H(F)TR(?)HC - _
TL2P - CHIA SHrTUILTðưU XN THÍ?

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Các em học sinh và quý độc giả thần mên!
Đề phục vụ cho khóa học ONLINE mơn Tốn dành cho học sinh 2Kó6 — năm học 2023-_
2024, thầy Đức soạn cuốn sách này để giúp các em hệ thống hóa tài liệu khóa học. Đây là cuốn
sách bài tập của khóa học, tập trung vào chủ đê Hình học giải tích trong không gian và Sô phức.
Cuốn sách này gồm 17 chủ đề quan trọng phần Hình Học Giải Tích Trong Khơng Gian và
Số phức lớp 12, mỗi buổi học trong khóa học I đều được chia làm các phân:

e Phan 1: Video bai giang
e Phan 2: Vi du minh hoa
e_ Phần 3: Live chữa bài tập
e Phan 4: Dap an viét tay — Kiểm tra đánh giá
Hi vọng rằng cuốn sách này sẽ giúp các em tìm ra niềm vui trong việc học tốn, đặc biệt
là tự tin trong việc giải quyết các bài tốn khó, đồng thời được trang bị thêm nhiều “ năng khác
nhau để giải toán.
_ Thầy mong rằng đây sẽ là tài liệu quan trọng giúp các bạn học sinh đăng kí học tốn thầy
Đức tham khảo trong suôt năm học lớp 12, phục vụ cho mục tiêu đậu Nguyện Vọng 1.
Mặc dù đã làm việc với tinh thần cầu thị cao, tỉ mỉ và chỉ tiết, tuy nhiên khơng thể tránh
khỏi những sai sót. Rât mong quý độc giả và các em học sinh đóng góp ý kiên đê cn sách này
hồn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp, độc giả vui lịng gửi trực tiếp tác giả cuốn sách

Đỗ Văn Đức

Email: ducdv91(ouftlooR.corn
Facebook: />
9606 86 68 68 6 68 666 986 060 © 06
6 609 6 800
C05 606000 56 0006060006600

@ 86 6ð @ @ G66 0 © 00QẴG609 56
80 ø66©oeoo e
9 8966900 G9 9 G© O00

905
86900 6

GROUP FB: 2K6 H(F)TR(?)HC "

TL2P - CHIA SHrTUILTðưU XN THÍ?

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

GROUP FB: 2K6 H(F)TR(?)HC _ "
TL2P - CHIA SHrTUILTðưU XN THÍ?

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl
T, hay Dé Van Dirc — Website: http

Tài liệu này tom tat cdc céng thiec, phuong phap giai nhanh Oxyz thây Đức

biên soạn cho học sinh của khóa học.

1. Tọa độ điểm thuộc trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ
Xét điểm M (xu : y„:Z„)-

xé eÓx => M(x,,30;0); x M e(Oxy)= M(x„:y„ ;0):
% ý eQy=> M(0:y„;0);
x Ä e(ŒyMƠz: )vự=:Z)›

xí M eOz => M(0;0;2,,). x M e(OzxM)(=x„ ;0;Z„):

2. Điđốể i xứm ng với 1 điểm qua trục tọa độ, mặt phẳntgọa độ _

Xét điểm M(x„;My„3;Mz„). ›^M Điểm A⁄' đối xứng8 với M q qua:

Truc Ox => M(Xu:—W„s—Z)- (Oxy) => M' (xy 33-2)

"Trục Óy = M'(—Xuy:šJ—„Z„„ ) x (Oyz)= M'(—xự ; Vụ :Z„ )

x Trục Óz => M'(—Xự ¡—Wụ šZ„): X (Ozx)= M'(Xựụ;—Vw;Z„}`

3. Hình chiêu của 1 điểm lên các trục tọa độ
| x Chiếu lên Óx: M, (x„„:0;0).

Xét M (3XV3uZu): *“ Chiếu lên Óy: Ä⁄, (0; y„ ;0).

x Chiếu lên Oz: M,(0;032,,).

_-4,- Hình chiếu của 1 điểm lên các mặt phẳng tọa độ

™ Chiéu lén (Oyz): M'(03 Vy 32).

Xét M (xy 3 ;Z„)- * Chiếu lên (OxM" y (xy,)5¥: y 50).

x Chiếu lên (Ózx): ÄM'(x„;0;Z„).

5%, Khoảng cách 1 từ 1 điểm lên các mặt phẳng tọa độ

x d(M;(Oxy)) =|zu|

Xét M (xy › SZ). ™ d(M;(Oyz)) — ||
Mt d(M;(Ozx)) = „|

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR(ƒHAdC TL2P - CHIA SwrTÙTLIðU XN TH

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Phiếu tóm tắt công thức giải nhanh Oxyz— Biên soạn: Thay Dé Van Dire

6. Khoang cach tir 1 diém téi cac truc toa d6

™ d(M;=O) yxi, )+253

Xét M (x3 Vay3 Zay )- x Ä4(M;Oy)=x|Z1„ + Xu:

x đd(M;Oz)=¬|X„ +.

7, Ba điểm thang hang
Xét 3 điểm A, B,C da biét toa độ. Cach 1. Tén tai ke R dé AB=KAC.
> A,B,C thang hang khi va chi khi
Cach 2. Tén tai p,geR dé | l= pIB + q1
ptq=l

|€3 Định nghĩa 8. Tích có hướng của hai vecto

Cho hai vecto # =(xị, y¡, Z¡) và ÿ =(x;, y;, z;). Tích có hướng của hai vectơ # và ÿ là một

on pe a . ¬ _ + (lờ z|lz xÌ|lx y a
vecto, duge ki hiéu: [7,7] va duge xc dinh:|[7,v]=|\ 5 Js} sp TP
Vo Zn] [22 Xa] |X. Val) |-
@ Tính chất | @ Phát biểu |

¥: [z.v| 4L Tích có hướng của hai vecto vng góc với các vectơ thành
|z.v|.Lÿ phần

6 |¿,ÿ|=-[9.,4] Khi ta đối thứ tự hai vectơ, ta được vectơ đối
| 7 _
& Độ đài của vectơ tích có hướng

|z.»] |=_ al. |. sin (ii, ?).

é*

[a,¥]=[a+mv,v]=[a,v + kii| | Néu thay i boi 7+4¥, giá trị tích có hướng khơng đổi.

Vm, k € R.

9. Hai vectơ cùng phương
@ Xét hai vectơ # =(a;b;e), ở = (a!, b',c'). Hai vectơ này cùng phương khi va chỉ khi

* dkelR:=kw I*[Z,y]=0
<©a =ka';b =kb';c = kc' N XYA 2

©” Hé qua:

A, B,C thắng hang © | AB, AC | =0,

GROUP FB: 2K6 H(E)TR(?)HA1JC TL2P - CHIA SrTỦTLI9U XN THứ?= &

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

10 Thây Dé Van Dic — Website: hittp://thayduc.viv

_ 10. Ba vectơ đồng phẳng — tích hỗn tạp

* Ba vecto ii, 0, w đồng phẳng khi và chỉ khi [z, |. = 0

6X Hệ quả: “Nếu k=0 thì 4, 8,C, D đồng phăng
Cho 4 điểm 4, B,C, D, xét xNếu k0 thì 4, 8, CC, D khơng đơng phăng

Le (2B AC] 4B

11. Tọa độ trung điểm

x Cho A(,:y,:z2) và B(X,:ys:Zg). Trung điểm 7 của 4B:

I XạtXp Vị TVp Z. Tp

2 3 2 3 2)

_ 12, Tọa độ trọng tâm.

*x Tứ diện

|. _X¿†Xp+xc +Xp
¢ 4
Tam giác
G
Xị1X;g TXc, VAT Yp T}c.ZA Tp Tếc Jy ° Yat Vet4 Vot Vo

3 § 3 *3

Ze 1

13. Tìm tọa độ trực tâm H

Cho AABC đã biệt tọa độ 3 đỉnh BHLAC - BH.AC =0
A, B,C.
CH LAB- = CHAB =0
A,B,C, H dong phang
[4B, AC |.A=H0

14. Toa a6 tam dwong tron ngoai tiép I.

Cho AABC . | IA’ = IB’ IA’ = IB’
“ me tọa độ3 đỉnh LẺ = IC2 es
JI =IC2

A, B,C,1 dong phang || 4B, AC |.Al =0

15. Toa độ chân đường phân giác trong của một góc trong tam giác
DB AB AB

Cho AABC, phan giác trong > DC = 7e —>D chia BC theo tỉ số k= Fe
AD(De5€). >p[5= hace Ya We.Zp “Be) (p= — KC) 3 wq

l-k I—k 1—k 1—k ha oO

we ae @

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR(ƒHAdC TL2P - CHIA SwrTÙTLIðU XN TH

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Phiêu tóm tăt cơng thức giải nhanh Oxyz - Biên soạn: Thấy Đỗ Văn Đức il

_16. Tâm tỉ cự hệ 3 điêm _ 4x. +Xy + CXU
Toa dd điểm 7: 3
@ Cho 3 điểm 44, 8,C đã biết tọa độ và í a+b+c
(@š Nhớ:
bộ 3 số thực a,Ð,€ thỏa mãn > = Wat Vat Ve
a+b+c#0. Xét diém J thda man a+b+c
alA+bIB+cIC =0.
„ _ q2, +DZ, +CZ,
(Điểm ï gọi là tâm tỉ cực của hệ 3 điểm
í a+b+e
A, B, C ứng với bộ 3 số a, Ù, Cc).
pa At bb tee

a+b+c

x Với I điểm M bat ki > aMA+bMB+cMC =(a+b+c) M1.

> aM’ + bMB? +cMC

= aA’ + bIB? +cIC’ +(a+b+c) MP’

x Cho A4BC đã biết 17. Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp J
aÁ+bB+cC „.. |
toa d6 3 dinh, goi J 1a J=— TF Wi a= BC; b= CA; c= AB)
tam duong tron ndi tiép | Ta cé:
AABC. _ A FBX + CXe | , Dat gt Ve _ M4 + bz, + CZ
X; ath+e Vy a+b+e °” a+b+e

x Xá hình binh hanh ABCD 18. Dién tich hinh binh hanh

+ S= | 48. AD | |

6* Hé quả (diện tích tam giác): Cho AABC, khi đó Š,„. = 2L4B.4€]|

19. Thể tích của khối hộp ˆ

| x Cho khối hộp 48CD.4'8'C!'. Khiđó + = | 4B, 4D ]-44l

O* H@ qua (thé tích tứ điện): Cho tứ diện ABCD, khi d6 V_-) = -| 48. 4C] AD.

20. Tinh ban kính đường trịn ngoại tiếp tam gidc
Re AB.BCCA _ AB.BC.CA
x Cho AABC di biét toa d6 3 diém 4Š5,c 2 4B, AC]

(Oxy) z=0 21. Phương trình các mặt phẳng tọa độ ye
(Oyz):x=0
(Ozx): y =0

GROUP FB: 2K6 H(F)TR(?)HC TL2P - CHIA SHrTUILTðưU XN THÍ? A

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

12 Thây Đỗ Văn Đức — Website: bftp:/thavduc.vn/
22. Phương trình mặt phẳng chứa các trục tọa độ
Chua Ox
by+cz=0 Chứa Oy: Chita Oz:
(b? +c? >0) và mm

AX + CZ = (a +c >0) ax+by =0(a +b > 0)

_ 23. Phương trình mặt chăn

A(a;0;0) € Ox

«Cho { B(0;5;0)< Oy (abc #0) -+Phuong trinh mat phang (ABC): aa =1. a C
C(0;0;e) Óz
:

24, Tim toa d61 diém thudc dwong thang, mat phẳng

X=X,+ al x Mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0.

* Đường thắng đ:4 y= yạ + bí

Z=Zạ +cí

+ Gọi MÍxu:y„:Z„)<(P): ˆ khỉ đó

3> Lay t= bất KỈ, ta CĨI ax,+byy+cz„+=đ0. Chon xy, Vy bấtkì đểtìm
M (Xp tatty 5 ¥y + ty 5 Zp + ly) z„. Từ đó tìm được tọa độ điểm M.

25. Tìm tọa độ 1 điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng _
M nh
(P):ax+by+dz+d=0 . > Nêu ul thi
AX v4 + byy +cZ,,+d e(Q) = 0
xX ét (@):ax+by+cz+d'=0

ax„ +by„ +cz„ + =0

> Cho x„, bất kì, giải hệ tìm y„ và z„„.

26. Phương trình đường giao tuyến của 2 mặt phẳng

> Qua diém: | M e(P) M <(Q) > Vectơ chỉ phương: uv =[ñ,,ñ

L5]

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR(ƒHAdC TL2P - CHIA SwrTÙTLIðU XN TH

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Phiếu tóm tắt cơng thức giải nhanh OxyzT— Biên soạn: T: hay Dé Vin Dire 13

27. Tim øiao điểm của đường thắng và mặt phẳng

* Đường thẳng: đ: X =X,° tat + Vi Med=>M(x,+a+tbt;;z,y+,cr)

x Mặt phẳng y=y tht; + M <(P)

et => A(x, +at)+B(y, +bt)+C(z,+ct)+D=0
Z=Z,+C
+ Tim duoc t (nén ding CASIO), sau do tim M.
| | (P):Ax+By+Cz+D =0. |

_28. Tìm giao điểm của đường thang va mat cau

X=X,) + at + Vi Med=> M(x, tat; +bt;z,+ct)

x Đường thắng: đ:+4 y= yạ +Öứ; > M<(S)=>
(x) tat—A) +(y)+bt-B) +(z,+et-CY =R?
x Mặt cầu Z=2Z,+ct

(S):(x-A) +(y-B) +(z-CY — R? | > Tudo tim dugc t= tim duoc M.

| 29. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng

XI ‹ Cho điểm M (xy SVusZu) + d(M;(P))= |ax„ + y„ + ez„ + đÌ
“ Mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0.
A\a?+b”+c?

[ea 30. Khoảng cách từ Í điểm tới 1 đường thắng-

x Cho điểm M⁄(x„ ;J„ :Z„
x Đường thắng a Qua M"(X53¥ 320) +> d(M;A)= a
VICP :ti =(a;b;c)

| 31. Khoảng cách giữa hai đường thang chéo nhau -

® Cho Ai Qua M ~ar J Qua M + a(A,A')= bi "| MM’

VCP: it _|VTCP:0" iti

__ 32. Khoảng cách giữa hai mặt Tin S0NØ s0ng -

P):ax+by+cz+d=0 7 d((P).(0))= d—d'

(QO): ax+by+cz+d'=0 omens

GROUP FB: 2K6 H(E)TR(?)HA1JC TL2P - CHIA SrTỦTLI9U XN THứ?= &

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

14 Thay Dé Văn Đức — Website: hp.
*% Xét
33. Vị trí tương đối của hai mặ(phẳng -
b d
> Song song: < =—= < om,
A b c d
(h a a:b:c=da:b:c ) .
: a:b:c:dza:b:c:d

(P):ax+by+cz+d=0 | 3 Trùng nhau: =2,
(Q):a'x+b'y+c'z+d'=0 ad bP c a

(hay a:b:c:d=a :b:c:đ)

> Cắt nhau: a:b:c+a':P':e',

: 34. Vi tri twong đối của hai đường thắng _
23 =Ö- ** Song song: Ä⁄ø đ,
X Xét đ: Qua M : đ: Qua M . n ù : Mcở.
2 Trùng nhau: Âýcó
“ prer ii VTCP:1' 34 >> Chéo nhau: 7.MM' + 0.

6 Tinh walang’ |” + C&t nhau: Z./M” =0.

inh i= [au].

35. Hình chiếu của 1 điểm lên 1 mặt phẳng _
> H(x„ +ai; vụ +bứ;Z+„„cf)
x Xét M (Xu;;Z„ ) và
VỚI ƒ=— ax„ + Dyy +CZy +d @ +h +c
(P):ax+by+cz+ =0.

_ 36. Hình chiếu cúa 1 điểm lên ï đường thẳng
> Tr Hed => H(x, +at;y, +bt;z) +ct).
« Cho Qua I(x, >¥o 5Zy) và điểm 1.
|
VTCP:u=(a:b:c) — > Vi MH 1 d= MH ii, =.0, ta tim duoc ứ.

37. Hình chiếu của một đường thắng lên một phẳng phẳng -

Qua I(x, Vo ;Zu và mặt phẳng (P): Ax+ By+ Œ+ D =0.

x Cho đường 5 thang 5 d: line

* Nếu đ// ( P) * Nếu đ¬(P)={M}.

> Chon Med bat kì (có thể chọn
Me=lI)

> Xac dinh HỊ MH L(P) > d’: oo Qua M | os \
| . oa. x
VTCP:u =[[ñ.1„].” | yer Yh
He(P)
ow vế
d’: Qua H VICP iu =u, .

oe

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR(ƒHAdC TL2P - CHIA SwrTÙTLIðU XN TH

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Phiếu tóm tắt công thức giải nhanh Oxyz — Biên soạn: Thay Dé Van Đức 15

38. Đường thắng đối xứng của một đường thắng khác qua một mặt phẳng Ä⁄).

x Cho đường thăng đ 1 Qua T (xạ : Vụ :Za và mặt phẳng (P): Ax+ By + Œz+ D =0.

VTCP:1 =(a;b;c)

* Nếu đ//(P) * Nếu đ(P)={M}.

+} BI : Tìm điểm 7' đối xứng với 7 qua > BI. Xác định tọa độ giao điểm M⁄
+ B2. Chọn điểm Ned (N khéng trùng với
(P).

> B3. Dung N' déi xứng với M qua (?).

> B4. đ': Qua N' —.,
VTCP: MN'

Qua A 39. Đường vuông góc chung của 2 đường thắng chéo nhau

*% Cho đ: VTCP:u d': Qua “ị "
VTCP :u'

Viét phuong trinh đường thắng A là
đường vng góc chung của đ và đ.
> B2. Viết phương trình mp(P) chứa đ, chứa A:
(®)
(2): QuaA"¬.

ñ =|[d,1.|
B3. Xác định giao điểm: ở'¬(P)={M).
{Qua M
> Ba, ao" one _ =|i,']. _

40. Góc -

x Xét đường thắng đ và đ” có VTCP ¡ và #', mặt phẳng (P) và (P) có VTPT đ và đ!.

+ cos(d,d') )==|eos (.” ) > sin (d, (P)) = |eos (a, 7)
+ cos ((P),(P )) = |eos (ñ.z')

Củng loại là cos Khác loại là sin

_ 41. Phương trình mặt chan qua trọng tâm tam giác.

= (P , Gua 4(0;0) B(0;b:0), C(0;0;c)
> (P): x, 3y, y2
G(x¿:y„;Zz¿) làm trọng tâm của A4BC.

GROUP FB: 2K6 H(F)TR(?)HC "

TL2P - CHIA SHrTUILTðưU XN THÍ?

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

16 Thay Dé Van Dike — Website: http://thayduc.

42, Phwong trinh mat chan đi qua trực tâm của tam giác.

x (P): Qua A(a;0;0), B(0;5;0), C(0;0;e) > (P):X,x+yuy=*+XuZ+„Z+zZn
H(x„;y„;Zz„) làm trực tâm của A4ĐC.

43. Phương trình mặt chan đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

x (P): Qua IA= ’IB’
A(a;0;0). 8(0;b;0), C(0;0;e)
> (P):Z+7+“=I,ta có: 1A4! =1IC?
- I(x,;y,:z,) làm tâm ngoại của AABC.
a be

Ar Yr 41 4

a boc.

44. Phương trình mặt phẳng chứa 1 đường thắng và đi qua 1 điểm
Qua M
x (P): Chia Ben . và 4e(P) Qua A

(43) ti *(P): er =| ii, AM |

_ 45. Phương trình mặt phẳng chứa 1 đường thắng và vng góc với 1 mặt a“ a

phẳng

Qua Me và (P) L (Ø) > (P): Qua M
x (P): Chứa 1 een ‘i len :ñ =|ñ,8 |

46. Đường thắng đi qua1 điểm, cắt và vng góc với 1 đường thẳng cho trước
Qua A
QuaM .„, Qua A

d: VTCP :u_, viet PTIDT: A:, ld 7 A: Vcr ii, = ai a, mA | |

Cat d

s.=[z|s0i] - 47. Đường thăng đi qua 1 điểmc,ắt 1 đường thắng d và vng góc với d°-
wd: QuaM | [Qua _, va diém A. QuaA
vai
VTCP:u ƯTCP:u

Viết PTĐT A qua 4, cắt đ và vng góc với đ.

48. Đường thắng nam trong (P), cAt ca hai dwong thang d va d’

+ BI. Xác định giao điểm của đ với (P) và

x Viết PTĐT nằm trong (P). cắt cả đ va d’. của đ“ với (P) (gọi là A va B).
Qua A
> B2: Ass | — — °
VTCP :u = AB we

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR(ƒHAdC TL2P - CHIA SwrTÙTLIðU XN TH

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Phiếu tóm tắt cơng thức giải nhanh Oxy¿ — Biên soạn: Thây Đỗ Văn Đức 17

49. Đường thắng đi qua 1 điểm và cắt cä hai đường thắng cho trước

Cách 1: Gọi giao điểm B(t)ed và

P,r)sd. Dua vao A,B, B’ thẳng hàng, ta

d: Qua M - " Qua M' VTCP:1 _va điểm 4. tìm được / và ứ/.
Cách 2:
_|V?TCP:u`
BI. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 4
Viết PTĐT qua 4, cắt cả đ và a!
Qua A
và đ. Ta có: (P): bAp = lũ, AM |

B2. Xác định a’ S(P) = 1Ð}.

B3. A: QuaA

VICP :u, =AB

50. Đường thắng song song với A, cắt cả đ và đ° 4B A, ta
Cách 1. Gọi A(a) ed, B(b) ed’. Dựa vào đ và song

tá {Qua M 3 a: QuaM |. tim duoc a va 0.
_ va
|\VTCP : ii Cách 2. "
VTCP:i - BI. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
" Qua M'
với A, cắt cả song với A. Ta có (P): (QuaM Tip =[ti,,i1, |
_|VTCP:1' B2. Xác định đ'¬(P)={Đ}.

Viết PTĐT song song , |Qua8 ae
đ và đ. B3. A: VTCP iu, =u,

_ 51. Phương trình: đường trung tuyến của tam giác” ts

™ Cho AABC đã biết tọa độ các đỉnh. BI. Xác định u{* a Ze sve V28 mi
" Qua A
Việt phương trình trung tuyên AM. B2. “weep: =aM

__ 52. Phương trình đường cao của tam giác ˆ 3
x Cho A4BC đã biết. tọa độ các đỉnh. | Qua A |
Ạ da bie : AH: epee mo yea Ic`
Việt phương trình đường cao .4H. VTICP: ui = | BC,| BC, BA]|

<8 ve

- € ở.

GROUP FB: 2K6 Hị E)TR(z) HC TL - CHIA SwrTũ1ILI9U XN THứÊ

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

18 Thay Dé Vin Dic — Website: hitp://thayduc.vn/

__ 53. Phwong trinh dwongtrungtrucctiaBC

. tb + 4
x Cho A4BC đã biết tọa độ các đỉnh. | BI. Xác định v5 > ,22 > , =8 )
Việt phương trình đường trung trực của
| lưx M
BC 2.d “| VTCP: a = | BC, [ BC, BA |]

- 54. Phương trình đường, phân øiác trong và. ngồi góc Á_ vàngoài của
.X. Cho AA415C đã biết tọa độ các đỉnh. Viết phương trình đường phân giác trong 4B _ AC .
góc 4 AB AC
«9 Phân giác trong © Ph ân giac ngoai A Af’: mee
5 5 VTCP: z-
Cua A

At: 5¬...
AB AC

_ ®. "Mặt cầu di aa 4 điểm| na...
> Gọi phương trình nmặt €cầu:

(S):x? +y +z *+axtby+cez+d=0.

mw Viết PTMC (Š) di | Be(S) )

A, B,C,D đã biết toa dé. qua 4 diém —+hé 4 phuong trinh, 4 4n, tim

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR(ƒHAdC TL2P - CHIA SwrTÙTLIðU XN TH

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Phiêu tom tat công thức giải nhanh Oxyz — Biên soạn: Tháy Đồ Văn Đức 19

___ 57. Mặt cầu đi qua 3 điểm và có tâm thuộc 1 mặt phẳng
> Gọi phương trình mặt câu:
(S):x?+y?+z?+ax+by+dz+d =0.
x Viết PTMC (Š) đi qua 3 điểm
A,B,C đã biết tọa độ và có tâm Ae(S)
B <(5)
thuộc mp(P) đã biết
s) —> hệ 4 phương trình, 4 ân, tìm a,b,c, đ.
Ce (
sử)

58. Mit cau đi qua 2 điểm và có tâm thuộc 1 đường thắng đã biết

™ Viết PTMC (S) đi qua 2 điểm 4, Ð Cách 1. tham số ¢. Từ 74 = JB tim duoc
Gọi tâm 7 theo
đã biết tọa độ và có tâm thuộc đường trinh mp(P) trung tryc cia AB.
thắng đ đã biết t.
= {1} là tâm của mặt cầu

Cach 2. là bán kính mặt cầu.

BI. Viết phuong

B2. Tìm đ#3(P)
B3. Tính #= 7⁄4

___ 59. Mặt cầu đi qua 1 điểm, có tâm thuộc 1 đường thẳng và tiếp xúc với 1 mặt phẳng.
Viết PTMC (Š) đi qua 4, có tâm BI. Gọi tâm 7 theo tham số / (vì 7 eđ)
B2. Xử lý 14=2(1.(P)). tìm được ¿.

thuộc d, và tiếp xúc với mặt phẳng (P). B3. Xác dinh J, R va viét PTMC (S)

_ 60. MEE cau Bbíiet tam ; mặt Bà Decatioe ee ge

[Bi. Tìm a Py wivà r (ada đề cho Š hoặc C),

x Viết PTMC (S) 6 tam J, biết (P) ror CÀ a
chú ý rang .
cắt (S'}) theo giao tuyến là đường tròn đã C=2zar
biết bán kính (hoặc chu vi, điện tích)
B2. Tim R:

R’ =r’ +d’ (1,(P))
B3. Viết PTMC (S) có tâm 7, bán kính R.

_ 61. Mặt cầu biếtâtm I, cát đường thẳ2ntgheo 1 đoạn thẳng có độ dài đã biết __
Bi. Tim d(J,(d))
đường thắng đ cắt (S) theo cát tuyến + Viết PTMC (S) có tâm 7, biết B2. Xac dinh R? = d?(I,d)+ 72 yŸ ©
là đoạn thằng có độ dài a.

r (S) ` c6 tam J, bankinh R.

B3. Viét PTMC

GROUP FB: 2K6 H(E)TR(?)HA1JC TL2P - CHIA SrTỦTLI9U XN THứ? = &

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

20 Thây Dé Van Dike — Website: hitp://thayduc.vn/

N CỰC TRỊ QUEN THUỘC _

62. Mặt phẳng đ đi. qua ì điểm A và cách M một khoảng lớn nhất

M

* (P) đi qua điểm 4 và cách một (khoảng

lớn nhất

| _63. Đường thắng năm Laue matit phang (P), song song với d Oe). va cach d khoang
nhỏ nhất-
x 2 Cho (P) và đường d 4
thắng đ//(P). Bl. Lay Aed.
B2. Xác định
PTĐT A thỏa mãn TF a A'e(P)| Ad 1 (P).

“4(A.4) ¬ BA._)|VT9C4P:=z

64. Dutne thang qua, 1 điểm thuộc mặt phẳng, cách 1 điểm khác mot khoảng lớn-

BỘ nhất _ |

x Cho 4c) vàv điểm

Me(P). AM không d +

vng góc với (P). | Qua A

PTDT A thỏa mãn: | NO we = an,
$ / VTCP:7=| n, AM
Ac(P) =| 4M |
A H
AeA NS

d(M;A) |

65. Đường thắng qua. 1 điểm thuộc mặt phẳng, cách 1 điểm khác một khoảng nhỏ.

nhất

X4 Cho 4e(P) và điềmAPà BI. Xác định 77 là hình chiế,u

Mø(P). AM khơng vng góc | _4 a của Ä⁄Z lên (P).

Ac(P) f| a | Hoặc = lñ J5, AAM ||. vet _— |VTCP:z=4AH \È
PTDT A tho2aa manmã:n: < A4ˆ eA
. ge

d(M;A) .. Ky
8

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR(ƒHAdC TL2P - CHIA SwrTÙTLIðU XN TH

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

Phiễu tóm tắt công thức giải nhanh Oxyz — Bién soan: Thay Dé Văn Đức 21

66. Mặt phẳng chứa 1 đường thắng ở và cách điểm M một khoảng lớn nhất

M

x (P) chứa đ va js;/ Bl. Lay Aed bat ki

cach Mé¢d_ một QuaA

khoảng lớn nhất s20) lv n= ||, 4M |, |

67. Đường thắng nam trong mặt phẳng (P), qua A va cách d một khoảng lớn nhất (d
_ ¬ | cat (P)) -

x Cho (P), diém Ac (P) J Bl. Lay Bed bất kì

và đường thắng đ cắt (P)

tai M A / B2:

Viết PTĐT \ J M A) [en A

Qua A ( , Ị# = L,-|,„|,„ 45 | |]

(A):‡Ac(?) . (2 a „

d (A „đa i 7

⁄ __ 68. Mặt phẳng chứa đường thẳng A, tạo với đường thắng Z một góc lớn nhất
% Cho hai | |
duong thang A Cách làm:
và đj ngoài eLấy 4 bất kì thuộc A.
nhau và không ô Mặt phẳng (P) được xác định:
vng góc với A / |
nhau
+> Viết PTMP \ put (P): 4<)
(P) chứa A, | Á?) | /
fip =| ti, [ti,,%,] |
tao voi d mdt í
góc lớn nhất |
— 69. Đường thăng đi qua 4, nam trong —

x Cho điểm 44 năm trong (P), và đường thắng ở (P) và tạo với đ một góc nhó nhất

(4 cắt (P) va d khơng vng góc với (P)).

> Viết PTĐT A qua 4, nằm trong (P), tao voi d

góc nhỏ nhất. / / vi w |
©
Công thir: a, =| ,,[7,,i,|].

Thay Dé Van ĐNiúe`

GROUP FB: 2K6 H(E)TR(?)HA1JC TL2P - CHIA = + Kd@
Ộ @ eo
SrTỦTLI9U
XN THứ?

Fanpage: T i Liou Kha H1 Wise Owl

I TOA BO COA DIEM VA TOA BO VECTO
1 - Hệ tọa độ
Hệ trục tọa độ Đê-các vng góc Oxyz gdm: +“

e©_ Ba trục x'Ĩx, y, zĨz đơi một vng góc

® /,ƒ, & lần lượt là các vectơ đơn vị trên 3 trục x'Óx, y'Óy, z'Óz Le
Goi don giản: Hé toa dé Oxyz. a

e O la géc toa độ PZ

e Cac mat phang Oxy, Oyz, Ozx 1a cac mat phang tọa độ. s

e Không gian với hệ tọa độ Ĩxyz là khơng gian »yz.
2 — Tọa độ của một điêm

Với mỗi điểm M trong không gian Oxyz, cho bé 3 số duy nhất: OM =xi + yj +zÈk. Ta gọi bộ

3 số (x;y;z) là tọa độ điểm Ä⁄ với hệ tọa độ Oxyz, ki hiéu M(x; y3z) |

Trong không gian xyz 3 — Tọa độ của một vectơ sao cho
cho vectơ a, khi đó ln tơn tại duy nhât bộ 3 sô (a, 5, 5d; )

ä= aÏ +a,j+a.È.

Ta gọi bộ ba sô (a;a;;2;) là tọa độ vectơ ä đôi với hệ tọa độ Ĩxyz cho trước, kí hiệu

G =(a,;a,;a,) hoadc G(a,;a,;a,).

il — BIEU THOC TOA BO CUA CAC PHEP TOAN VECTO

Trong khéng gian Oxyz, cho hai vecto @=(a,;a,;a,) va b =(b,;b,;b,). Ta c6:

se G+b=(a,+b,;:a,+b,;a,+b,);

© a—-b =(a,-b,;a,—b,;a,—b,);

e ka=k(a,;a,3a,)=(ka,;ka,;ka,) voi moi keER.

© G=b
e Vecto 0 có tọa độ (0;0;0).

a, = kb,

e Néu 640 thi a//b © Ak eER|4a, =hd,

a, = kb,

s_ Cho 4(x,;y„;Z„). B(X;:y;:z;) thì AE =(Xp —X¿:s —W¿šZg —Za):

e Cho hinh bình hành 4BCD, nếu biết tọa độ 4, B, C, ta có thể tìm tọa độ điểm D như

Xp =X;+Xe—X; 4

sau 47p =VytVo-Ve- tờ ye
— > Oo

= a”

42

GROUP FB: 2K6 H(FE)TR(ƒHAdC TL2P - CHIA SwrTÙTLIðU XN TH