luận văn '''' sử dụng phần mềm matlab để xây dựng đường cong bezier, đường cong b-spline, mảnh mặt cong bezier và mảnh mặt

Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
T IĐỀ À
Sử dụng phần mềm Matlab để xây dựng đường
cong Bezier, đường cong B-spline, mảnh mặt
cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline
Giáo viên h ng d n ướ ẫ :
Sinh viên th c hi nự ệ :
Học viên: Vũ Quang Lương

1
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
Học viên: Vũ Quang Lương
2
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
Học viên: Vũ Quang Lương
3
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
LỜI NÓI ĐẦU
Hiện nay việc gia công cơ các bề mặt sản phẩm trong công nghiệp rất đa
dạng và phức tạp, vì vậy để thiết kế và mô tả nó thuận lợi người ta sử dụng các
phần mềm máy tính trợ giúp. Trong đó các phần mềm CAD/CAM đóng vai trò
quan trọng trong việc trợ giúp xây dựng các bề mặt bằng máy tính.
Môn học: "Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM" cung cấp cho
các học viên các phương pháp xây dựng bề mặt thường gặp trong sản xuất công
nghiệp, trên cơ sở đó giúp cho học viên hiểu thêm quá trình xây dựng các đường
cong và các mặt phức tạp trong hệ thống CAD/CAM/CNC
Trong quá trình tìm hiểu và học tập môn hoc, tác giả đã tiến hành làm tiêủ
luận để có thức riêng cho bản thân về môn học và thực hành lập trình sơ bộ cho
các biên dạng đường và mặt cơ bản, bước đầu biết được nguyên lý chung cho
quá trình xây dựng các bề mặt này.
Tiểu luận môn học sau được trình bày làm 2 phần:

- Phần 1. Cơ sở lý thuyết: bao gồm các kiến thức chung nhất về mô hình
toán học và cách xây dựng đường cong Bezier, đường cong B-spline, mảnh mặt
cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline.
- Phần 2. Bài tập: sử dụng phần mềm Matlab để xây dựng đường cong
Bezier, đường cong B-spline, mảnh mặt cong Bezier và mảnh mặt cong B-spline
Trong quá trình thực hiện tiểu luận, tác giả chân thành cảm ơn sự giúp đỡ
tận tình của TS. Bùi Quý Lực, Bộ môn Máy - Ma sát, Khoa Cơ khí, Đại học
Bách khoa Hà nội và các ý kiến đóng góp của các bạn trong lớp.Trong qua trình
làm tác giả không thể tránh được những thiếu sót, rât mong được sự đóng góp
của thầy cô và các bạn để có thể hoàn thiện tốt hơn.
Hà nội, ngày 19 tháng 8 năm 2009
Học viên
Vũ Quang Lương
Học viên: Vũ Quang Lương
4
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Để tạo thành các khối vật thể trong không gian 3D, trong kĩ thuật người ta
sử dụng các đường cong phẳng. Trong toán học, các đoạn cong được biểu diễn
bằng một hàm ẩn, hàm tường minh hoặc một hàm tham số. Hàm để mô tả đường
cong được gọi là mô hình toán học của đường cong. Có nhiều hàm để mô tả các
đường cong nhưng người ta sử dụng rộng rãi hàm đa thức vì hàm này dễ làm
việc và linh hoạt trong việc mô tả nhiều loại đường cong kỹ thuật.
Để xây dựng đoạn cong trên cơ sở điểm đã biết, người ta phải dựa vào
một hàm nào đó và gọi nó là hàm cơ sở. Sử dụng hàm đa thức chuẩn làm hàm cơ
sở có ưu việt là dễ dàng định nghĩa và đánh giá. Khảo sát hàm bậc ba:
r(u) = (x(u), y(u), z(u))
= a + bu + cu
2
+ du

3
Thể hiện dưới dạng ma trận:
( )
[ ]












=
d
c
b
a
uuuur
32
1
(1)
Hay r(u) = UA với 0≤u≤1.
Trong đó U là véc tơ cơ sở và A là véc tơ hệ số.
1.1. Mô hình toán học đường cong Berier.
Chúng ta trình bày cách xây dựng đường cong Bezier trên cơ sở đường
cong Ferguson với các điều kiện mút V

0
, V
1
, V
2
, V
3
trong đó:
V
0
- điểm bắt đầu đoạn đường cong, tương ứng với điểm P
0
.
V
1
- điểm nằm trên véc tơ tiếp tuyến điểm đầu đường cong và bằng V
0
+
t
0
/3 chỉ ra trên hình 1.
V
2
- điểm nằm trên véc tơ tiếp tuyến điểm cuối đường cong và bằng V
3
-
t
1
/3;
Học viên: Vũ Quang Lương

5
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
V
3
- Điểm cuối của đoạn cong ứng với đỉnh P
1
.
Điểm cuối của đường cong Bezier với điều kiện mút được viết như sau:
V
0
= P
0
; V
1
= V
0
+ t
0
/3; V
2
= V
3
- t
1
/3; V
3
= P
1
t
r(u)

1
t
0
0
V
P
0
P
V
1
3
1
V
2
V
=
=
V
1
2
V
0
V
V
3
V
0
3
V
1

V
V
2
Hình 1. Ví dụ đường cong Bezier bậc 3
Để có thể dùng phương pháp xây dựng đường cong bậc ba Ferguson vào
xây dựng đường cong Bezier khi biết các điều kiện mút của nó, chúng ta phải
tìm môtis quan hệ giữa điều kiện mút của đường cong bậc 3 Ferguson P
0
, P
1
, t
0
,
t
1
, và điều kiện mút của đường cong Bezier V
0
, V
1
, V
2
, V
3
có nghĩa là ta phải có:
V
0
= P
0

V

3
= P
1
Xác định t
0
theo V
1
ta nhận được:
V
1
= V
0
+ t
0
/3
3V
1
= 3V
0
- t
0
t
0
= 3(V
1
-V
0
)
Xác định t
1

theo V
2
ta có:
V
2
= V
3
- t
1
/3
3V
3
= 3V
2
- t
1
t
1
= 3(V
2
-V
3
)
Kết quả biến đổi ta nhận được hệ phương trình tuyến tính:
V
0
= P
0

Học viên: Vũ Quang Lương

6
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
V
3
= P
1
t
0
= 3(V
1
-V
0
)
t
1
= 3(V
2
-V
3
)
Thể hiện dưới dạng ma trận:
RL
V
V
V
V
t
t
P
P

S =
























−
−
=













=
3
2
1
0
1
0
1
0
3300
0033
1000
0001
(4)
Thay (4) vào (2) ta nhận được đường cong Bezier bậc ba.
r(u) = U C S
= U C L R (5)
Với 0≤u≤1
Đặt M = C L













−
−−−
==
1122
1233
0100
0001
LCM













−
−
3300
0033
1000
0001
=












−−
−
−
1331
0363
0033
0001
Và R =













3
2
1
0
V
V
V
V
Phương trình (5) được gọi là phương trình đường cong Bezier.
Phương trình trên cũng có thể biểu diễn dưới dạng hàm đa thức:
r(u) = (U M) R
= B
0,3
(u)V
0
+ B
1,3
(u)V
1
+ B

2,3
(u)V
2
+ B
3,3
(u)V
3
=
∑
−
3
0
3,1
)(
i
i
VuB
Học viên: Vũ Quang Lương
7
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
trong đó:
B
0,3
(u) = (1-u)
3
B
1,3
(u) = 3u(1-u)
2
B

2,3
(u) = 3u
2
(1-u)
B
3,3
(u) = u
3
B
i,3
(u) được gọi là đa thức Bezier bậc 3
Đa thức Bezier tương đương với số hạng trong khai triển nhị phân (u+v)
n
,
với v = 1 - u.
Dạng chung của đa thức Bezier bậc n được viết như sau:
u)-(1u
!)!(
!
(u)B
i-ni
ni,
iin
n
−
=
Đa thức trên được gọi là hàm cơ sở Bezier dùng để định nghĩa đường
cong Bezier bậc n với n+1 điểm điều khiển.
∑
=

=
n
i
ini
VuBur
0
,
)()(
với 0≤u≤1
Chúng ta có thể tiến hành các phép như là tăng bậc, giảm bậc hàm Bezier.
Ví dụ: đường cong Berier bậc ba
Chương trình trên Matlab




 
 
 




 

!"
!#
"

$ % &'(


Học viên: Vũ Quang Lương
8
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
)*
!"&!#+!"(,&+(-
).*&"(
$ &'*($ &'*(&.'*(,/ "/#  &.'''(
"
"
&$ &*'('$ &*'('&*'('&*'('0+,0'01"20'(
&034"5"5$/#/#0(
5"
Ta sẽ có được biên dạng đường cong Berier bậc ba như sau:
1.2. Mô hình toán học đường cong B-spline đồng nhất
Để hiểu được đặc trưng hình học của một đường cong B-spline bậc 3 cần
phải biết cấu trúc hình học của đường cong này.Giả sử, bốn đỉnh điều khiển của
đường cong bậc ba này được ký hiệu V
0
, V
1
, V
2
, V
3
.Ta định nghĩa như sau:
2
10
0
VV

M
+
=
Là điểm giữa của V
0
và V
1
2
21
1
VV
M
+
=
Là điểm giữa của V
1
và V
2
3
2
01
0
MV
P
+
=
Là điểm nằm ở một phần ba của đoạn thẳng V
1
và M
0

Học viên: Vũ Quang Lương
9
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
3
2
12
1
MV
P
+
=
Là điểm nằm ở một phần ba của đoạn thẳng V
2
và M
1
Ta xây dựng đoạn cong r(u) thoả mãn điều kiện sau:
-
Đoạn cong bắt đầu từ điểm P
0
và điểm cuối là P
1
-
Vectơ tiếp tuyến t
0
ở điểm P
0
là bằng ( M
0
-V
0

)
-
Vectơ tiếp tuyến t
1
ở điểm P
1
là bằng ( M
1
-V
1
)
Điểm mút P
0
và P
1
của đoạn cong biểu diễn theo các đỉnh điều khiển như sau:
-
Điểm đầu P
0
của đoạn cong B-spline r(u) được dánh giá như sau
o
6
4
3
2
2
3
2
201
10

1
01
0
VVV
vV
V
MV
P
++
=
+
+
=
+
=
Hay
6
)(4
)0(
201
0
VVV
rP
++
==
(1-a)
Đánh giá r(u) tại điểm cuối P
1
ứng với u = 1
6

4
3
2
2
3
2
312
31
2
01
1
VVV
VV
V
MV
P
++
=
+
+
=
+
=
Biểu diễn tại P
1
:
6
)(4
)1(
312

1
VVV
rP
++
==
(1-b)
Ta có
)(
.
0
urt =
, do đó ta xác định tiếp tuyến t
0
:
22
02
0
20
000
VV
V
VV
VMP
−
=−
+
=−=
Hay
2
)0(

02
.
0
VV
rt
−
=≡
(2-a)
Tương tự ta có:
22
13
1
31
111
VV
V
VV
VMP
−
=−
+
=−=
Hay
2
)1(
13
.
1
VV
rt

−
=≡
(2-b)
Tử các phương trình (1-a), (1-b), (2-a), (2-b) ta có hệ phương trình tuyến tính
)04(
6
1
2400
+++= VVVP
Học viên: Vũ Quang Lương
10
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
)40(
6
1
3211
VVVP +++=
)0303(
6
1
200
+++−= VVt
)3030(
6
1
311
VVt ++−=
Chuyển sang dạng ma trận ta được:
KR
V

V
V
V
t
t
P
S =

























−
−
=












=
3
2
1
0
1
0
1
0
3030
0303
1410
0141
6

1
P
Thay kết quả tìm được vào đường cong Ferguson ta tìm được cách biểu
diễn đường cong B-spline đồng nhất bậc 3
r(u) =U C S
= U C K R Với 0 ≤ u ≤ 1
= U (C K) R
U = [1 u u
2
u
3
]
C – ma trận hệ số Ferguson












−−
−
−
=
1331

0363
0303
0141
6
1
N
R = [V
0
V
1
V
2
V
3
]
T

Trong đó N- hệ số đường cong B-spline bậc ba
Đường cong B-spline đồng nhất bậc ba viết dưới dạng biểu thức đại số như sau:
3
3
2
32
1
32
0
32
)(
66
3331

6
364
6
331
V
u
V
uuu
V
uu
V
uuu
r
u
+
−++
+
−−
+
−−−
=
Đặt:
6
331
)(
32
3,0
uuu
uS
−−−

=
Học viên: Vũ Quang Lương
11
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
6
364
)(
32
3,1
uu
uS
−−
=
6
3331
)(
32
3,2
uuu
uS
−++
=
6
)(
3
3,3
u
uS =
Đường cong B-spline viết dưới dạng biểu thức đại số:
i

i
ni
VuSur ).()(
3
0
,
∑
=
=
Tập phương trình đại số S
i,3
(u) với i = 0,B-spline đồng nhất bậc ba hay
còn gọi là hàm hỗn hợp B-spline.
- Ví dụ: đường cong B-spline bậc 3
)4""/ "&'"(




+6
%
%
%

 

!"
!#
"


$ % &'(

)*
!"&!#+!"(,&+(-
).*&"(
$ &'*($ &'*(&.'*(,/ "/#  &.'"''(
"
"
&$ &*'('$ &*'('$ &*'('&*'('&*'('&*'('0+,0'01"20'(
# &(
&0$+7"/#/#0(
5"
Ta sẽ có một đường B-spline bậc ba như sau:
Học viên: Vũ Quang Lương
12
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
1.3. Mảnh mặt Berier
Bây giờ chúng ta xây dựng mảnh mặt Bezier từ các đường cong Bezier
tương tự như phương pháp hình thành mảnh mặt Ferguson đã nêu trên. Giả thiết
rằng chúng ta có mảng 4x4 đỉnh điều khiển
{ }
j,i
V
được bố trí như trên hình 4.
V
03
V
13
V
23

V
33
V
32
V
22
V
12
V
02
V
01
V
00
V
10
V
11
V
21
V
31
V
30
V
20
v =0
u =0
Hình 4. Mảnh mặt Bezier bậc 3
Các đỉnh điều khiển liên kết với nhau bằng đa thức Bernstein, mảnh mặt

Bezier bậc 3 được xác định như sau:
Học viên: Vũ Quang Lương
13
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
∑∑
= =
=
3
0
3
0
33
i
)()(Bv)r(u,
i j
ijj
VvBu
∑∑
= =
−−
−
−
−
−
=
3
0
3
0
33

)1(
!)!3(
!3
)1(
!)!3(
!3
v)r(u,
i j
jjii
vv
jj
uu
ii
(10)
= U M B M
T
V
T
Trong đó: U =
[ ]
32
1 uuu
và V =
[ ]
32
1 vvv
M =













−−
−
−
1331
0363
0033
0001












=
33323130

23222120
13121110
03020100
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
B
M được gọi là ma trận hệ số Bezier
B là ma trận hệ số điều khiển Bezier.
Phương trình mảnh mặt Bezier tổng quát bậc n và m điều khiển như sau:
∑∑
= =
=
m
i
n
j
ij
n
j
VvBu
0 0
m
i
)()(Bv)r(u,
(11)
Trong đó:
imim
i

uu
iim
m
uB
−
−
−
= )1(
!)!(
!
)(
jnjn
j
vv
jjn
n
vB
−
−
−
= )1(
!)!(
!
)(
Trong CAD/CAM người ta thường sử dụng mảnh mặt Bezier bậc m=n=5
hoặc m=n=7. Khi bậc m=n=5 số đỉnh điều khiển cần thiết là 36.
Chúng ta có thể tiến hành tăng hoặc giảm bậc của phương trình mảnh mặt
tam giác Bezier.
Học viên: Vũ Quang Lương
14

Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
Ví dụ bề mặt Berierbậc 2

% &''(
&''*(+
&''*(6
&''*(8

&''*(
&''*(+
&''*(6

&''*(
&''*(
&''*(6

"
!
9"
:  
;:  
<% &'(
=% &'(
7% &'(
)5*&(
4&5+(-
)*&(
&+(-
)*&"(
).*&!(

<&5'(<&5'(&'.'(,/ "/#  &'!'4'(,/ "/#  &.'"'';(
=&5'(=&5'(&'.'(,/ "/#  &'!'4'(,/ "/#  &.'"'';(
7&5'(7&5'(&'.'(,/ "/#  &'!'4'(,/ "/#  &.'"'';(
"
"
"
"

4)&<'='7'0>5?0'0""0'0@#A#0'(
"
4)&&*'*'('&*'*'('&*'*'('0@#?0'0""0'01"20':(
&0$!#$%/##0(
Học viên: Vũ Quang Lương
15
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
1.4. Mảnh mặt B-spline đồng nhất
Mặt B-spline đồng nhất bậc ba của hai biến u và v được biểu diễn bởi
phương trình sau:
∑∑
= =
=
3
0
3
0
33
)()(),(
i j
ijji
VuNuNvur

Với 0 ≤ u ≤ 1
= U N B N
T
V
T
Trong đó: U = [ 1 u u
2
u
3
]
V = [ 1 v v
2
v
3
]












=
33323130
23222120

13121110
03020100
VVVV
VVVV
VVVV
VVVV
B












−−
−
−
=
1331
0363
0303
0141
6
1
N

Học viên: Vũ Quang Lương
16
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
6
331
)(
32
3,0
uuu
uN
−−−
=
6
364
)(
32
3,1
uu
uN
−−
=
6
3331
)(
32
3,2
uuu
uN
−++
=

6
)(
3
3,3
u
uN =
Mặt B-spline đồng nhất được thể hiện dưới hình sau:
Măt cong B-spline đồng nhất bậc hai được em như là tích tensor của
đường cong B-spline đồng nhất bậc hai r(u) = U N
2
R. Mặt đồng nhất B-spline
có thể có bậc của hai biến u và v khác nhau. Ví dụ mặt B-spline có biến u hoặc
biến v bậc hai, phương trình được biểu diễn như sau:
r(u)= U N B N
2
T
V
T
Với 0 ≤ u ≤ 1
Trong đó:
U = [ 1 u u
2
u
3
]
V = [ 1 v v
2
v
3
]













=
323130
222120
121110
020100
VVV
VVV
VVV
VVV
B
Học viên: Vũ Quang Lương
V
03
V
13
V
23
V

33
V
32
V
22
V
12
V
02
V
01
V
00
V
10
V
11
V
21
V
31
V
30
V
20
v
u
17
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM













−−
−
−
=
1331
0363
0303
0141
6
1
N











−
−=
121
022
011
2
N
Ví dụ mảnh mặt B-spline :

#!
% &''(
&''*(
&''*(
&''*(6
&''*(
&''*(+
&''*(+
&''*(8
&''*(
&''*(
&''*(B
&''*(+
&''*(
&''*(
&''*(
&''*(8



"
!
9"
:   
;:   

<% &'(
=% &'(
7% &'(

)5*&(4
4&5+(-
)*&(
&+(-
)*&"(
).*&!(
<&5'(<&5'(&'.'(,/ "/#  &'"+'4'(,/ "/#  &.'!+'';(
=&5'(=&5'(&'.'(,/ "/#  &'"+'4'(,/ "/#  &.'!+'';(
7&5'(7&5'(&'.'(,/ "/#  &'"+'4'(,/ "/#  &.'!+'';(
"
"
"
"

Học viên: Vũ Quang Lương
18
Phương pháp xây dựng bề mặt cho CAD/CAM
4)&<'='7'0>5?0'0""0'0@#A#0'(
"
4)&&*'*'('&*'*'('&*'*'('0@#?0'0""0'01"20':(

&0C#"!#$+7"0(
Học viên: Vũ Quang Lương
19