(Luận Văn Thạc Sĩ Toán Ứng) Dụng Phương Trình Vi Phân Nhám Trên Mạng Neuron

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Bà GIÁO DĀC

VÀ ĐÀO T¾O ^{VIàN HÀN LÂM KHOA HâC}VÀ CÔNG NGHà VIàT NAM

<b>HC VIịN KHOA HC V CễNG NGHị </b>

<b>ò Minh Thắng </b>

<b>PH¯¡NG TRÌNH VI PHÂN NHÁM TRÊN M¾NG NEURON </b>

<b>LN VN THắC S TON ỵNG DỵNG </b>

<i><b>H Ni, Nm 2023 </b></i>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

1.2.2 Lược ồ tương thích chấp nhận-từ chối,[3] . . . 11

1.3 Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron . . . 11

2 LÝ THUYẾT ƯỜNG NHÁM, CÁC TÍNH CHẤT CỦA ẶCTRƯNG CỦA ƯỜNG NHÁM 132.1 Nhóm luỹ linh tự do . . . 13

2.1.1 ộng lực . . . 13

2.1.2 ặc trưng của ường nhám . . . 14

2.1.3 Các tính chất của ặc trưng của ường nhám . . . 15

2.2 ại số Lie t<small>N</small> R^d
và nhóm Lie 1 + t<small>N</small> R^d
. . . 16

2.2.1 Nhóm 1 + t<small>N</small> R^d
. . . 16

2.2.2 ại số Lie trên t<small>N</small> R^d
và ánh xạ mũ . . . 17

2.2.3 Cấu trúc giải tích của khơng gian G<small>N</small>(R^d) . . . 19

3.2.2 Trường hợp ³ ∈ <small>14</small>, ¹₂
: . . . 24

3.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . 25

3.4 Hệ rời rạc iều khiển bởi ường nhám . . . 30

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

4 XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NHÁM TRÊN MẠNG

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Trong trường hợp dữ liệu ầu vào là các chuỗi thời gian, mục tiêu của các bàitoán mơ phỏng là thiết lập ược các phương trình ược ịnh hướng bởi chuỗi dữliệu ầu vào X. Do ó hệ vi phân này khơng có dạng của phương trình vi phânthông thường theo vi phân dt, mà là dạng phương trình vi phân theo dX, ượcgiải thơng qua sử dụng lý thuyết ường nhám. ây là một hướng nghiên cứurất thời sự trong khoảng 10 năm trở lại ây, với nhiều kết quả sơ khởi ứng dụngcho các dữ liệu chuỗi thời gian. Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyếtường nhám và ứng dụng của nó, tơi quyết ịnh chọn ề tài "Phương trình viphân nhám trên mạng neuron" cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục ích nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là nhằm tìm hiểu tính giải ược của hệ phương trình viphân trên một mạng neuron dựa trên lý thuyết ường nhám, bài tốn tồn tạiduy nhất nghiệm, và các tính chất ổn ịnh của nghiệm. ồng thời luận văn cũngtìm hiểu về tính ổn ịnh của hệ rời rạc nhám.

3. Nội dung nghiên cứu

Chương 1 giới thiệu về mạng neuron và phương trình vi phân trên mạngneuron, bao gồm phương trình vi phân thường và phương trình vi phân nhám.Trong chương 2 chúng tơi tìm hiểu các khái niệm cơ bản về ường nhám, lý thuyếtvề ặc trưng của một ường nhám và một số tính chất của chúng. Chương 3ịnh nghĩa nghiệm của phương trình vi phân nhám thơng qua tích phân nhám,xây dựng bởi Gubinelli. Ngồi ra chúng tơi cũng trình bày một số kết quả mớihệ rời rạc iều khiển bởi ường nhám và ứng dụng trong xấp xß nghiệm củaphương trình vi phân nhám ở chương này. Cuối cùng ở chương 4, chúng tơi tìmhiểu về xấp xß nghiệm và giải phương trình vi phân nhám trên mạng neuronthông qua ặc trưng của ường nhám.

4. Cơ sở khoa học và thực tiễn của ề tài

Việc sử dụng các mạng lưới neuron hồi quy ể xấp xß các hệ ộng lực liên tục(ví dụ ược sinh bởi các phương trình vi phân) ã ược biết ến rộng rãi từ 30năm trước ây. Mục tiêu ở ây là tìm mt phng ỏn xp xò cú dng y = L_ạ(z),

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

ở ó z có ộng lực học tn theo một phương trình vi phân có tham sốdz = f_¹(z)dt.

với dữ kiện ầu vào z<small>0</small> = H_¹(z). Do hàm f_¹ khơng cho ở dạng hiển, mục tiêu làxác ịnh ¹ thơng qua việc học trên mạng neuron ể xác ịnh hàm này, hàm kếtquả sau ó ược sử dụng ể giải phương trình vi phân trên. Tuy vậy, việc mơphỏng bài tốn cho thấy z có dạng phụ thuộc vào chuỗi dữ liệu ầu vào dạng X,ở ó X khơng ủ chính quy (ví dụ khơng ủ trơn hoặc có tính liên tục Holderthấp), các phương pháp cổ iển trên khơng thể áp dụng. Thay vào ó, ta cầnphải xử lý và giải một bài tốn có dạng

dz = f_¹(z)dx.

ể giải hệ trên, ta cần ến các cơng cụ giải tích hiện ại là lý thuyết rough path,ược xây dựng và nghiên cứu bởi Terry Lyons và nhóm các chuyên gia hàng ầunhư Peter Friz, Martin Hairer, Massimiliano Gubinelli,... và có nhiều ứng dụngrộng rãi trong giải tích ngẫu nhiên.

5. óng góp của luận văn

Luận văn nêu lại những khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết ường nhám,lý thuyết phương trình vi phân nhám. Luận văn cũng tìm hiểu và nêu lại ứngdụng của vi phân nhám trên mạng neuron trong việc xấp xß các hàm liên tụcthơng qua ặc trưng của ường nhám. Ngồi ra, luận văn cũng có những kếtquả mới như tính tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân nhám, tínhổn ịnh của hệ rời rạc iều khiển bởi ường nhám và ứng dụng trong xấp xßphương trình vi phân nhám.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Chương 1

MẠNG NEURON VÀ PHƯƠNG TRÌNH VIPHÂN TRÊN MẠNG NEURON

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại cấu trúc của mạng neuron, ược trình bàyở chương 6, [1].

1.1 Mạng neuron

Một cấu trúc của một mạng neuron ược trình bày như ở Hình 1.1. Mạngneuron bao gồm ầu vào x, các tầng ẩn x<small>(1)</small>, x<small>(2)</small>, . . . và ầu ra y. Một số mạngneuron cịn có thêm tầng nhớ, tầng hạch, tầng xoắn,... Mỗi tầng có thể có nhiềunốt và các ường nối cho thấy tầng sau ược tính tốn bởi nốt nào của tầngtrước. Việc quyết ịnh xem mạng neuron cần bao nhiêu tầng, mỗi tầng cần baonhiêu nốt chúng tơi sẽ khơng trình bày trong luận văn này mà chß ưa ra tổngquan về nó. Cụ thể, số tầng và số nốt khơng ược q ít vì sẽ khơng cho ra kếtquả khớp với dữ liệu. Mặt khác nó cũng khơng ược q nhiều vì sẽ dẫn tớihiện tượng overfitting. Các ma trận A_j chứa các hệ số biến mỗi biến từ các tầngtrước sang tầng sau.

ối với ánh xạ tuyến tính giữa các tầng, mạng neuron sẽ ược biểu diễn nhưsau:

x⁽¹⁾ = A₁xx⁽²⁾ = A₂x⁽¹⁾

. . .

x^{(M −1)} = A_{M −1}x^{(M −2)}y = A_Mx^{(M −1)},

trong ó x<small>(k)</small> là tầng ẩn thứ k. ối với ánh xạ khơng tuyến tính giữa các tầng,ở mỗi tầng j chúng ta sẽ dùng thêm ánh xạ tác ộng f_j. Cụ thể, liên kết giữacác tầng ẩn ược biểu diễn bởi

x⁽¹⁾ = f₁(A₁, x)x⁽²⁾ = f₂(A₂, x⁽¹⁾)

. . .

x^{(M −1)} = f_{M −1}(A_{M −1}, x^{(M −2)})y = f_M(A_M, x^{(M )})

Trong mạng neuron, f sẽ ược chọn trước. Các ma trận A<small>1</small>, . . . , A_M là tham sốcủa mạng và sẽ ược học từ dữ liệu. Mội số cách chọn hàm f phổ biến:

<small>7</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>Hình 1.1: Một ví dụ về cấu trúc của mạng neuron. Nguồn: [1].</small>

f (x) = x, (trường hợp tuyến tính),f (x) = ¹

1 + e<small>−x</small>, (logistic),f (x) =

0, x f 0

1, x > 0 (bước nhị phân)f (x) =

0, x f 0,

x, x > 0 (ReLU)

Một số mạng neuron network mà chúng tôi quan tâm trong luận văn này:

<small>Mạng neuron truyền thẳng (feedforward neural network)</small>

Mạng neuron truyền thẳng là mạng neuron liên kết tầng ầu vào và tầngầu ra bằng cách thiết lập các liên kết giữa các ơn vị sao cho chúng khơngtạo ra một chu trình. Hình 1.1 ã cho ta thấy một phiên bản của mạng neurontruyền thẳng khi thông tin ược truyền thẳng thẳng từ trái sang phải trongmạng, không sử dụng các nốt cũ.

1.1.1 Mạng neuron hồi quy (reccurent neural network)

Mạng neuron hồi quy liên kết từ ầu vào tới ầu ra bằng cách tạo nên mộtồ thị có hướng. Khơng giống mạng neuron truyền thẳng, mạng neuron hồi quysử dụng một bộ nhớ ể lưu lại thơng tin từ những bước tính tốn xử lý trướcể cập nhật thơng tin cho hiện tại (xem Hình 1.2).

<small>Mạng ResNet (residual neural network)</small>

Mạng Resnet có cấu trúc giống mạng neuron truyền thẳng. Tuy nhiên trongmạng Resnet có những kết nối tắt (Hình 1.3), cho phép xuyên qua hai hay nhiều

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

1.1.2 Mạng ODE

Ở mạng ResNet, sự cập nhật trạng thái này giống như rời rạc hoá phươngtrình vi phân bằng phương pháp Euler. Khi chúng ta thêm nhiều tầng và lấybước i nhỏ hơn thì (1.1) có thể xấp xß như sau:

dt ^{= f (h}^t^{, t, ¹), t ∈ [0, T ].} (1.2)Cho một ầu vào, ta có thể tính tốn ầu ra h<small>T</small> thơng qua việc giải phươngtrình vi phân. Mạng ODE là mạng cập nhật các tầng thơng qua việc giải phươngtrình vi phân như vậy.

1.2 Phương trình vi phân trên mạng neuron

Phương trình vi phân trên mạng neuron ược dùng ể xấp xß ánh xạ liên tụcx 7→ y bằng việc học hàm f<small>¹</small> và ánh xạ tuyến tính ℓ<small>1</small>

<small>¹</small>, ℓ<small>2</small>

<small>¹</small> sao choy ≈ ℓ¹_¹(z_T), trong ó z<small>t</small> = z₀+

Z <small>t0</small>

f_¹(z_s)ds và z₀ = ℓ²_¹(x). (1.3)

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

1.2.1 Hàm học máy f

<small>θ</small>

, l

<small>θ</small>⁽¹⁾

, l

<small>θ</small>⁽²⁾

Trong mục này chúng tơi sẽ chß ra một cách ể ước lượng tham số cho phươngtrình vi phân trên mạng neuron. Xét một bài toán tối ưu hàm mất mát L quanghiệm của phương trình trên. ể tối ưu L, ta cần biết gradient của L qua ¹.Bước ầu là phải tính tốn ược ạo hàm của L qua các trạng thái ẩn dấu z<small>t</small>.Theo [1], chúng ta sẽ tính tốn các ạo hàm này thơng qua việc giải phươngtrình vi phân ngược như sau:

a_z(T ) = ^dLdz(T )^,a_¹(T ) = 0,

a_t(T ) = ^dLdT^,a_z(t) = a_z(T ) −

Z <small>tT</small>

a_z(s) · ^∂f

∂z^{(s, z(s), ¹)ds,}a_¹(t) = a_¹(T ) −

Z <small>tT</small>

a_z(s) · ^∂f

∂¹^{(s, z(s), ¹)ds,}a_t(t) = a_t(T ) −

Z <small>tT</small>

a_z(s) · ^∂f

∂s^{(s, z(s), ¹)ds,}dL

dz(Ä ) ^{= a}^z^{(Ä ),}dL

d¹ ^{= a}^¹^{(Ä ),}dL

Sau ó giải phương trình vi phân trên với nghiệm (a<small>z</small>, a_¹, a_t). Như vậy, việc dùngmạng ODE thay cho mạng ResNet em lại hiệu quả về bộ nhớ khi không phảilưu trữ các ại lượng trung gian.

Một số lợi ích khác của việc sử dụng mạng ODE.

• Lợi ích về mặt tính tốn: Các phương pháp xấp xß có lịch sử phát triểnhơn 100 năm và dần hồn thiện về mặt lý thuyết.

• Giải quyết về mơ hình chuỗi thời gian liên tục: thay vì ở mạng ResNet chßcó thể tính tốn ở từng thời iểm, mạng ODE cho phép tính tốn ở cảkhoảng thời gian liên tục, thích hợp ể xử lý các dữ liệu ến ở bất kỳ thờiiểm nào.

Chúng tơi sẽ trình bày cách tiếp cận ở [2] cho việc giải số phương trình viphân trên mạng neuron. Ta xét phương trình vi phân trên mạng neuron tổngquát

z(t) = z(Ä ) +Z <small>t</small>

f (s, z(s), ¹)ds,

với z(Ä) = l₁(x, ϕ). Trong ó ϕ, ¹ là các tham số ược học, l₁ là hàm tuyến tính.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

1.2.2 Lược ồ tương thích chấp nhận-từ chối,[3]

Xét trường hợp giải phương trình vi phâny(t) = y(Ä ) +

Z <small>tÄ</small>

f (s, y(s))ds,với y(Ä) ∈ R<small>d</small>.

Giả sử cho t cố ịnh ta có xấp xß by(t) ≈ y(t), và bây giờ ta muốn tìm ộ dàicủa bước i tiếp theo ∆ > 0 ể tính by(t + ∆) ≈ y(t + ∆). Chọn một ộ dài bướci, và ta tính ược một lựa chọn by<small>candidate</small>(t + ∆). Ta có thể xấp xß bằng nhiềulược ồ. Ở ây ta có thể chọn lược ồ Runge-Kutta. Khi ó ta có thêm một ướclượng y<small>err</small> ∈ R^d cho sai số của lược ồ. Cụ thể, ước lượng sai số này có thể là saisố giữa lược ồ Runge-Kutta bậc 2 và bậc 4.

Lựa chọn dung sai tuyệt ối AT OL (chẳng hạn 10<small>−9</small>), dung sai tương ốiRT OL (ví dụ 10<small>−6</small>), và (nửa) chuẩn ∥ · ∥ : R<small>d</small> → [0, ∞) (ví dụ chuẩn Euclid), vàước lượng kích cỡ của nghiệm bởi

SCALE = AT OL + RT OL · max(by(t), by<small>candidate</small>(t + ∆)) ∈ R^d, (1.5)với max ược lấy bằng giá trị lớn nhất của từng toạ ộ. Cuối cùng ta ly tò lsai s tớnh bi

[a_t, z, a_z, a_ạ] = max{∥z∥_RMS, ∥a_z∥_RMS}.với ∥ · ∥<small>RMS</small> là chuẩn Euclid.

1.3 Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron

iểm yếu của phương trình vi phân trên mạng neuron là nếu ¹ ược học,khi ó nghiệm của phương trình là ược xác ịnh, có thể sẽ khơng khớp với cácquan sát mà chúng ta thu ược sau này.

Một cách tiếp cận là thay dt bởi dX_t, trong ó X_t ược quyết ịnh từ chuỗidữ liệu quan sát ược. Cụ thể, giả sử ta có n quan sát (t<small>0</small>, x₀), . . . , (t_n, x_n), vớit_i ∈ R, x<small>i</small> ∈ R^v and t<small>0</small> < . . . < t_n. Gọi X : [t<small>0</small>, t_n] → R^v+1 là ường nội suy tựnhiên bậc ba ở các mốc t₀, . . . , t_n. Trong ó ường cong nội suy bậc ba là ường

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

cong bậc ba i qua tất cả các iểm dữ liệu. Ta xem xét phương trình vi phânnhám trên mạng neuron

z_t = z_Ä +Z <small>t</small>

f_¹(z_s)dX_s, t ∈ (t₀, t_n]z_t₀ = ·_¹(x₀, t₀),

(1.7)với f_¹ : R<small>w</small> → R<small>w(v+1)</small> là mạng neuron phụ thuộc tham số ¹. Trong ó w là thamsố chß cỡ của tầng ẩn trong mạng.

Trong chương 4, ta sẽ tìm hiểu xem nghiệm của phương trình có dạng (1.7) xấpxß các ánh xạ liên tục tốt như thế nào.

Phương trình vi phân nhám trên mạng neuron ược ưa về giải phương trìnhvi phân trên mạng neuron nếu giả thiết thêm X là khả vi. Cụ thể ặt

g_¹,X(z, s) = f_¹(z)^dX

Khi ó (1.7) trở thànhz_t = z_t₀+

Z <small>tt0</small>

f_¹(z_s)dX_s = z_t₀+Z <small>t</small>

ds ^{(s)ds = z}^t<small>0</small>+Z <small>t</small>

g_¹,X(z_s, s)ds. (1.9)ây là một phương trình vi phân trên mạng neuron. Bài tốn ưa về ước lượngnghiệm của phương trình vi phân trên mạng neuron.

Ta thấy việc xấp xß X bởi ường cong bậc ba là không tốt do các dữ liệuquan sát có dạng nhịp tim, nhiệt ộ,... biến ộng rất mạnh theo thời gian. Vìvậy, ta phải có cách tiếp cận khác khi x không ủ trơn. iều này thúc ẩy việcnghiên cứu lý thuyết ường nhám. ể làm rõ về mặt tốn học, trong chương 2chúng tơi sẽ nêu ịnh nghĩa chính xác của ường nhám, các tính chất của ặctrưng ường nhám. Trong chương 3 chúng tôi sẽ ịnh nghĩa phương trình viphân nhám, tính tồn tại duy nhất của nghiệm và lược ồ ước lượng nghiệm củaphương trình vi phân nhám. Cuối cùng chương 4 dùng ể trình bày sự hiệu quảcủa phương trình vi phân nhám trong xấp xß các hàm liên tục.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Chương 2

LÝ THUYẾT ƯỜNG NHÁM, CÁC TÍNH CHẤTCỦA ẶC TRƯNG CỦA ƯỜNG NHÁM

Trong chương này, chúng tơi sẽ tìm hiểu và trình bày lại những khái niệm cơbản nhất của lý thuyết ường nhám, ược trình bày ở [4].

2.1 Nhóm luỹ linh tự do

2.1.1 ộng lực

Cho x là một hàm liên tục với biến phân bị chặn nhận giá trị trên R<small>d</small>. x<small>it</small> làgiá trị của x tại thời iểm t tại toạ ộ thứ i. Ta xét tích phân thứ k của hàm là

g^k;i<small>1,··· ,ik</small> :=Z _t

Z _u_k

. . .Z _u₂

. Giả sử Ã_{(V )}(0, y₀; x) là nghiệm của phương trìnhxuất phát từ y₀. Gọi I là hàm ồng nhất trên R<small>e</small> và nhắc lại trường vectorW = W¹, . . . , W^e
<small>T</small>

: R^e → R^e với tốn tử ạo hàm bậc nhất

W^k(y) ^∂∂y<small>k</small>.

Khi ó khai triển Taylor cho thấy một xấp xß tới cấp N, với 0 < t − s << 1 nhưsau:

V_i₁· · · V_i_NI (y_s)Z <small>t</small>

Z <small>uN</small>

· · ·Z <small>u2</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

2.1.2 ặc trưng của ường nhám

Ký hiệu C<small>1−var</small>([s, t], R^d) là không gian các hàm i từ [s, t] vào R^d với biếnphân bị chặn. Ta có khái niệm sau:

ịnh nghĩa 2.1.1 ([4]). ặc trưng bậc N của ường cong x ∈ C<small>1−var</small>([s, t], R^d)ược cho bởi

S_N(x)_s,t ≡

dx_u, . . . ,Z

dx_u₁ ¹ . . . ¹ dx_u_k

∈ ·^N_k=0 R^d
<small>¹k</small>

,trong ó ¹ là ký hiệu của tích ten-xơ.

Quỹ ạo u 7→ S<small>N</small>(x)_s,u ược gọi là một sự nâng bậc N của x.Cho hai vector

¹ R^d
<small>¹l</small> ∼_{= R}<small>d</small>
<small>¹(k+l)</small> (2.1)Giờ ta ịnh nghĩa khơng gian

T^N R^d

:= ·^N_k=0 R^d
<small>¹k</small>

,Ký hiệu Ã_k : T<small>N</small> R^d

, ta có thể mở rộng (2.1) ến T<small>N</small> R^d

bằng cách ặtg ¹ h = X

Với các phép tốn ã ược trình bày ở trên, ta có mệnh ề sau

Mệnh ề 2.1.1 ([4]). Khơng gian (T<small>N</small>(R<small>d</small>), +, ., ¹) là một R- ại số kết hợpvới phần tử trung hoà

1 := (1, 0, . . . , 0) ∈ T^N(R^d).Chúng ta gọi T<small>N</small>(R<small>d</small>) là ại số cắt cụt bậc N .

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

2.1.3 Các tính chất của ặc trưng của ường nhám

Trong mục này chúng tơi sẽ trình bày một số tính chất cơ bản của ặc trưng.Bổ ề sau cho thấy các ặc trưng thoả mãn phương trình vi phân iều khiểnbởi quỹ ạo

Mệnh ề 2.1.2 ([4]). Cho x : [0, T ] → R<small>d</small> là một quỹ ạo liên tục với biến phânbị chặn. Khi ó với s ∈ [0, T ) cố ịnh, S<small>N</small>(x)_s, . thoả mãn phương trình vi phâniều khiển bởi x sau:

dS_N(x)_s,t = S_N(x)_s,t ¹ dx_t,S_N(x)_s,s = 1.

Chứng minh. Chúng tơi nhắc lại chứng minh ở [4]. Ta xét ặc trưng của x bậcthứ k, k g 1,

dx_r₁ ¹ . . . ¹ dx_r_k =Z <small>t</small>

dx_r₁ ¹ . . . ¹ dx_r_k−1

¹ dx_r_k

=Z <small>t</small>

Ã_k−1(S_N(x)_s,r) ¹ dx_r.Như vậy, ta có

S_N(x)_s,t = 1 +Z <small>t</small>

S_N(x)_s,r¹ dx_r.Hiển nhiên S_N(x)_s,s = 1. Ta kết thúc chứng minh.

Bây giờ chúng tôi xem xét ặc trưng của hai quỹ ạo nối nhau. Cho haiquỹ ạo µ ∈ C<small>1-var</small> [0, T ], R<small>d</small>

, ¸ ∈ C<small>1-var</small> [T, 2T ], R<small>d</small>

, ta lấy quỹ ạo nối củachúng như sau:

µ ⊔ ¸ ≡

µ(·) on [0, T ]

¸(·) − ¸(0) + µ(T ) on [T, 2T ]Khi ó kiểm tra ược µ ⊔ ¸ ∈ C<small>1-var</small> [0, 2T ], R^d

do từng quỹ ạo ã có biếnphân bị chặn.

ịnh lý sau của Chen cho ta biết ặc trưng của hai quỹ ạo nối nhau sẽ ượcbiểu diễn như thế nào:

ịnh lý 2.1.1 ([4]). Cho à C<small>1var</small> [0, T ], R^d

, á C^1var [T, 2T ], R^d
. Khiú

S_N(à á)_0,2T = S_N(à)_0,T ¹ S_N(¸)_T,2T.Nói một cách tương ương, x ∈ C<small>1−var</small> [0, T ], R<small>d</small>

và 0 f s < t < u f T ta cóS_N(x)_s,u = S_N(x)_s,t¹ S_N(x)_t,u.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Chứng minh. Chúng tôi nhắc lại chứng minh ở [4]. Ta sẽ chứng minh quy nạptheo N. Với N = 0, ịnh lý trở thành 1 = 1 ¹ 1. Giả sử ịnh lý úng tới N chomọi s < t < u ∈ [0, T ]. Trước hết, do ịnh nghĩa của S<small>N</small>, ta có

S_{N +1}(x)_s,u = 1 +Z <small>u</small>

S_{N +1}(x)_s,r¹ dx_r = 1 +Z <small>u</small>

S_N(x)_s,r¹ dx_r,Tương tự

S_N(x)_s,t¹Z <small>u</small>

S_N(x)_t,r¹ dx_r = S_{N +1}(x)_s,t ¹Z <small>u</small>

S_N(x)_t,r ¹ dx_r.Sử dụng tính quy nạp ể chia S<small>N</small>(x)_s,r với s < t < r < u, ta thu ược

S_{N +1}(x)_s,u = 1 +Z <small>t</small>

S_N(x)_s,r¹ dx_r +Z <small>u</small>

S_N(x)_s,t ¹ S_N(x)_t,r ¹ dx_r= S_{N +1}(x)_s,t + S_{N +1}(x)_s,t¹

Z <small>ut</small>

S_N(x)_t,r ¹ dx_r= S_{N +1}(x)_s,t ¹ (1 + (S_{N +1}(x)_t,u− 1))

t^N R^d
≡

g ∈ T^N R^d

: Ã₀(g) = 0,kéo theo

1 + t^N R^d
=

g ∈ T^N R^d

: Ã₀(g) = 1.Chú ý rằng 1 ở ây chß phần tử trung hồ của T<small>N</small>(R<small>d</small>).

2.2.1Nhóm 1 + t

<small>N</small>

R

^d

ầu tiên ta chứng minh phần tử 1 + t<small>N</small> R^d

là khả nghịch trong T<small>N</small>(R^d) ốivới phép nhân là tích ten-xơ ¹.

Bổ ề 2.2.1 ([4]). g = 1 + a ∈ 1 + t<small>N</small> R^d

có khả nghịch với phép nhân tíchten-xơ ¹. Ta có cơng thức tường minh cho phần tử nghịch ảo của nó

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

. Chúng ta có một mệnh ề rất quan trọng sauMệnh ề 2.2.1 ([4]). Không gian 1 + t<small>N</small> R^d

là một nhóm Lie với phép nhântích ten-xơ ¹.

Chứng minh. [4]. Ta có 1 + t<small>N</small> R^d

là một khơng gian affine tuyến tính con củaT^N(R^d) nên nó là một a tạp trơn, ồng phôi với t^N R^d
∼_{= R}<small>d+d2+...+dN</small>

. Hơnnữa từ bổ ề 2.2.1, tốn tử ¹<small>−1</small> là một a thức nên nó trơn. Ta kết thúc chứngminh.

2.2.2ại số Lie trên t

<small>N</small>

R

^d

và ánh xạ mũ

Ở các mục trước, ta ã biết t<small>N</small> R^d
, +..

là một ại số. Với g, h ∈ t<small>N</small> R^d
,ta xét tích

(g, h) 7→ [g, h] := g ¹ h − h ¹ g ∈ t^N R^d
Tích này là một ánh xạ song tuyến tính và phản ối xứng, tức

[g, h] = −[h, g], ∀g, h ∈ t^N R^d
thoả mãn tính xác ịnh Jacobi, tức là

[g, [h, k]] + [h, [k, g]] + [k, [g, h]] = 0 với mọi g, h, k ∈ t^N R^d
.Tổng hợp các nhận xét trên, ta ến với mệnh ề sau:

a^¹kk! ^.

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

và ánh xạ logarit ược ịnh nghĩa bởi

log : 1 + t^N R^d

→ t^N R^d
(1 + a) 7→

¢ t^N R^d

là ại số con nhỏ nhất củat^N R^d

mà chứa Ã₁ t^N R^d

∼_{= R}<small>d</small>. Cụ thể hơn,g^N R^d

= R^d·

R^d, R^d

· · · · ·R^d,

¢ t^N R^d

ở ịnh nghĩa 2.2.2, dưới ánh xạ mũexp g^N R^d

¢ 1 + t^N R^d
;3) Nhóm con exp R<small>d</small>


của 1+t<small>N</small> R^d

sinh bởi các phần tử thuộc exp R<small>d</small>
,nghĩa là

exp R^d
:=

( _mO

exp (v_i) : m g 1, v₁, . . . , v_m ∈ R^d)

Chúng tôi phát biểu không chứng minh ịnh lý của Chow sau. ịnh lý cho tathấy, một phần tử thuộc exp g<small>N</small> R^d

chính là một ặc trưng bậc N của mộtquỹ ạo.

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

ịnh lý 2.2.1. (Chow) Cho g ∈ exp g<small>N</small> R^d

. Khi ó tồn tại v₁, . . . , v_m ∈ R^dthoả mãn

= exp g^N R^d

= exp R^d
và G<small>N</small> R^d

là một nhóm con Lie của 1 + t<small>N</small> R^d
, ¹

, gọi là nhóm luỹ linh tựdo bậc N trên R<small>d</small>.

2.2.3 Cấu trúc giải tích của khơng gian G

<small>N</small>

(R

<small>d</small>

|dµ| : µ ∈ C^1−var [0, 1], R^d

và S<small>N</small>(µ)_0,1 = g

Trong ó C<small>1−var</small> [0, 1], R^d

là không gian các quỹ ạo từ [0, 1] vào R<small>d</small> liên tụcvà có biến phân bị chặn. ịnh nghĩa này là tốt và inf này ạt ược tại một quỹạo µ<small>∗</small> nào ó. Cụ thể hơn,

∥g∥ =Z <small>1</small>

|dµ^∗|và S<small>N</small> (µ^∗)_0,1 = g. (2.3)Chứng minh. [4]. Từ ịnh lý của Chow, infimum ược lấy trên một tập khôngrỗng và không âm, do ó ∥g∥ < ∞. Hơn nữa, tồn tại dãy (µ<small>n</small>) với ặc trưng gvà ta có thể giả sử

|dµ^∗| =Z <small>1</small>

| ˙µ_t^∗| dt.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Chú ý rằng S<small>N</small>(µ) là một nghiệm của phương trình vi phân như ở mệnh ề 2.1.2,vì vậy do tính hội tụ của µ<small>n</small>, ta cũng có

g ≡ S_N (µⁿ)_0,1 → S_N (µ^∗)_0,1.Vậy S<small>N</small>(µ^∗)_0,1 = g. Mặt khác, ∥g∥ f R₁

<small>0</small> | ˙µ_t^∗| dt từ ịnh nghĩa của infimum ∥g∥.

| ˙µ_t^∗| dt = |µ^∗|_{1−Hol;[0,1]} f lim inf c_n = ∥g∥.Vậy ∥g∥ = ^R<small>1</small>

<small>0</small> |dµ^∗|. Chứng minh ược hồn tất.

ể kết thúc mục này, chúng tơi chß rằng khơng gian G<small>N</small>(R^d) là một khơnggian metric.

Mệnh ề 2.2.3 ([4]). Cho g, h ∈ G<small>N</small> R^d

. Chuẩn Carnot-Caratheodory ∥ · ∥ cónhững tính chất sau.

1) ∥g∥ = 0 nếu và chß nếu g = 1.

2) (tính thun nht) ả_ẳg = |ẳ|g, ẳ R. Trong ú ¶_¼ : T<small>N</small>(R<small>d</small>) →T^N(R^d) sao cho Ã_k(¶_¼(g)) = ¼^kÃ_k(g). Gọi ¶_¼g là ánh xạ giãn nở hệ số¼ của g.

3) (tính ối xứng) ∥g∥ = <small>−1</small>

4) (cộng tính dưới) ∥g ¹ h∥ f ∥g∥ + ∥h∥;

Như vậy, chuẩn Carnot-Carathedory cảm sinh nên một metric trên G<small>N</small> R^d
,gọi là Carnot-Carathedory metric.

Chứng minh. [4]. Với mỗi g ∈ G ký hiệu µ<small>∗</small>

<small>g</small> = µ^∗ là quỹ ạo bất kỳ ể ẳngthức ở ịnh lý 2.2.3 ược thoả mãn. Nếu ∥g∥ = 0, do (2.3) nên µ<small>∗</small>

<small>g</small> có ạo hàmbằng 0 hầu khắp nơi, vì vậy g = S<small>N</small> µ_g^∗

<small>0,1</small> = 1. Ngược lại nếu g = 1, hiển nhiên∥g∥ = 0.

Bây giờ ta chứng minh tính thuần nhất. Trường hợp ¼ = 0 l hin nhiờn nờnta chò xột ẳ = 0. Qu o ẳà<small></small>

<small>g</small> tho món S_N ẳà_g

<small>0,1</small> = ả_ẳS_N(à_g) = ả_ẳg. Do úả_ẳg f |ẳà<small></small>

<small>0,1</small> = 1 nờnS_N

<small>0,1</small> = g¹. Ta thu ược

<small>−1</small> ←−µ_g^∗

<small>0,1</small>, với µ<small>∗</small>

<small>g,h</small> là quỹ

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

, trong ó G<small>N</small> R^d

là nhóm luỹ linh bậc tự do N ã ược trìnhbày ở mục trước. Ở mục trước, với khoảng cách d cảm sinh bởi chuẩn CarnotCaratheodory, ta có thể ịnh nghĩa các ký hiệu

C^p−var [0, T ], G^N R^d

=

x ∈ C [0, T ], G^N R^d

: ∥x∥_{p−var;[0,T ]} < ∞.Khi E = R<small>d</small>, ta sử dụng chuẩn ( nửa chuẩn) biến phân bậc p thông thường, và

C^1/p−Hol [0, T ], G^N R^d

=

x∈ C [0, T ], G^N R^d

: ∥x∥_{1/p−Hol;[0,T ]} < ∞.

2.3.2 Một số khoảng cách

ịnh nghĩa 2.3.1 ([4]). Với p g 1, cho trước x, y ∈ C [0, T ], G<small>N</small> R^d

ta ịnhnghĩa các khoảng cách sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

d_{1/p−Hol;[0,T ]}(x, y) := sup

d (x_s,t, y_s,t)|t − s|<small>1/p</small> ,Ngoài ra ta hiểu rằng

d_{0−var;[0,T ]}(x, y) := d_{0−Hol;[0,T ]}(x, y) := sup

d (x_s,t, y_s,t)d_{∞;[0,T ]}(x, y) := sup

và C<small>p−Hol</small> [0, T ], G^N R^d

. Hơn nữa, các khônggian này ều là không gian metric ầy (xem [4], ịnh lý 8.13).

Cuối cùng ta ến với ịnh nghĩa về ường nhám.

ịnh nghĩa 2.3.2 ([4]). Ta có các ịnh nghĩa ường nhám như sau:

i) Một ường nhám bậc p (p g 1) là một quỹ ạo có biến phân bậc p bị chặnvà nhận giá trị trong nhóm luỹ linh bậc tự do [p] trên R<small>d</small>. Nói cách khác,nó là một phần tử thuộc C<small>p−var</small> [0, T ], G<small>[p]</small> R^d

ii) Một ường nhám bậc 1/p-Holder là một quỹ ạo liên tục Holder cấp 1/pvà nhận giá trị thuộc nhóm luỹ linh bậc tự do cấp [p] trên R<small>d</small>, nghĩa là nólà phần tử thuộc C<small>1/p−Hol</small> [0, T ], G^[p] R^d

Ví dụ 2.3.1. Khi x = B<small>H</small> là một chuyển ộng Brown phân thứ <small>1</small>

<small>4</small> < H < ¹₃. Tacó thể ịnh nghĩa ^R y¶B<small>H</small> theo nghĩa Skorohod như ở [30, chương 5]. Sử dụngcông thức Wick-Ito [30] ta có ịnh nghĩa cho hai ại lượng sau

X⁽¹⁾_s,t :=Z <small>t</small>

B_s,u^H ¶B_u^H = ¹2 ^B

− ¹2 ^t

<small>2H</small>− s^2H
,X⁽²⁾_s,t :=

Z <small>ts</small>

X¹_s,u¶B_u^H = ¹6 ^B

− ¹2 ^t

<small>2H</small> − s^2H
B_s,t^H.

Khi ó với xác suất 1, x = (x, X<small>(1)</small>, X⁽²⁾) là một ường nhám cấp p Holder với

<small>3</small> > p > H.

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

(H<small>1</small>) : f : R^d → R^d là hàm liên tục Lipschitz toàn cục với hệ số Lipschitz L<small>f</small>.Nghĩa là

∥f (x) − f (y)∥ f L_f∥x − y∥, ∀x, y ∈ R^d.(H<small>2</small>) : g : R<small>d</small> → R<small>d</small> là hàm bậc nhất, nghĩa là

Chúng tôi phát biểu khơng chứng minh bổ ề sau, óng vai trị then chốt trongviệc xây dựng các tích phân nhám, gọi là bổ ề sewing. Trong ó, chúng tơi iềuchßnh một số ký hiệu của bổ ề 4.2,[5].

<small>23</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Bổ ề 3.2.1. Ký hiệu ∆<small>2</small>

<small>I</small> := {(x, y) ∈ I² : x f y} Â R².Gi s à l mt hàm liên tục từ ∆<small>2</small>

<small>I</small> vào không gian Banach B thoả mãn tồn tạicác hằng số K và ε > 0 sao cho

ảà(a, c, b) := à(a, c)+à(c, b)à(a, b) f K|b−a|^1+ε, ∀a f c f b, (a, b, c) ∈ I³.Khi ó tồn tại duy nhất một hàm u : ∆<small>2</small>

y_udx_u − y_sx_s,t ^³+¿∥y∥_³,[s,t]∥x∥_¿,[s,t],với [s, t] ¢ I = [a, b] và K(³, ¿) := 1 − 2<small>1−³−¿</small>
<small>−1</small>

3.2.2 Trường hợp ³ ∈

<small>14</small>

,

¹₂

<small>4</small>, ¿
.

Cụ thể, chúng tôi nhắc lại cách xây dựng của Gubinelli cho tích phân ^R ydx,ược trình lại ở [6]. Ta xét trường hợp x có thể nâng lên (x, X<small>(1)</small>, X⁽²⁾) là mộtường nhám cấp p. Một quỹ ạo y ∈ C<small>³</small>(I, R) ược gọi là iều khiển bởi

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Không gian D<small>³</small>

<small>(x,X1)</small>(I) các quỹ ạo y iều khiển bởi x, X¹

trở thành khônggian Banach với chuẩn

∥y∥_x,2³,I := ∥y_{min I}∥ + ∥y_{min I}^′ ∥ + ∥y^′′_{min I}∥ + ∥y∥_x,³,I, trong ó∥y∥_x,³,I := ∥y^′′∥_³,I + ^y^′

<small>2³,I</small> + ∥R^y∥_3³,I.Bây giờ cố ịnh ường nhám x và với mỗi y ∈ D<small>³</small>

<small>(x,X1)</small>(I), ta ịnh nghĩa F ∈C^³ ∆²(I), R

F_s,t := y_sx_s,t+ y^′_sX¹_s,t + y_s^′′X²_s,t.Khi ó sử dụng tương quan Chen, ta có

F_s,t−F_s,u−F_u,t = −R^y_s,ux_u,t−R^y_s,u^′ X¹_u,t−y_s,u^′′ X²_u,t, ∀ min I f s f u f t f max I.Suy ra

∥F_s,t− F_s,u − F_u,t∥ f ^y_s,ux_u,t ^y_s,u^′ X¹_u,t _s,u^′′ X²_u,t

f |t − s|^4³

∥R^y∥_3³∥x∥_³+ ^y^′

<small>2³</small>+ ∥y^′′∥_³ ² _3³.Sử dụng Bổ ề sewing 3.2.1, tích phân nhám^R<small>t</small>

<small>s</small> y_udx_u có thể ịnh nghĩa như sauZ <small>t</small>

y_udx_u− y_sx_s,t + y_s^′X¹_s,t + y_s^′′X²_s,tfC_³(|I|)|t − s|^4³

∥R^y∥_3³∥x∥_³+ ^y^′

<small>2³</small>+ ∥y^′′∥ ∥_³∥ X²∥_2³.

3.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm

Ta ã có ịnh nghĩa cho tích phân nhám. Trong mục này chúng tơi sẽ trìnhbày kết quả mới về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân nhám.

y_t =Z <small>t</small>

f (y_t)dt +Z <small>t</small>

g(y_t)dx_t, y(a) = y_a, a f t f b.Cho trước <small>1</small>

<small>p</small> ∈ (¹₄, ³), với y là một ánh xạ từ I² vào R<small>n</small> ta ký hiệu các nửa chuẩnsau:

|||y|||_p−var,I := sup

|||x|||^p_p−var,I +








X⁽¹⁾

<small>p/2−var,I</small> +








X⁽²⁾

.

</div>