Báo cáo khoa học: Mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợptrong phân tích phương sai doc

Báo cáo khoa học
Mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợptrong phân
tích phương sai
Tạp chí KHKT Nông nghiệp, Tập 1, số 4/2003

318
Mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợptrong phân tích
phơng sai
Use of fixed, random and mixed models in analysis of variance
Nguyễn Đình Hiền
1

Summary
In experimental designs there are three models for analysis of variance: fixed, random and
mixed models. The present paper described in detail model with one and two factors. The
model, the hypothesis and the testing of hypothesis of frequently used designs such as one factor
completely randomised design, two factors crossed design, hierarchical design and split plot
design were presented
.
Keywords: Analysis of variance, fixed, random, mixed models.

Trong các giáo trình phơng pháp thí nghiệm và toán sinh học trớc đây khi phân tích
phơng sai các nhân tố thờng đợc coi là cố định. Việc phân tích và kết luận đợc trình bày
theo các mẫu định sẵn đ quen thuộc với cán bộ giảng dạy và sinh viên trong trờng.
Trong những năm gần đây, do đòi hỏi của thực tế và cũng do những tiến bộ của việc nghiên
cứu và phân tích các thiết kế thí nghiệm, các nhân tố có thể cố định hay ngẫu nhiên và mô hình
phân tích phơng sai đợc sắp thành 3 loại: Cố định (Fixed - nếu tất cả các nhân tố đều cố
định), ngẫu nhiên (Random - nếu tất cả các nhân tố đều ngẫu nhiên) và hỗn hợp (Mixed - nếu
có một số nhân tố cố định, một số ngẫu nhiên). Việc quyết định xem nhân tố cố định hay ngẫu
nhiên phải làm trớc khi bố trí thí nghiệm và căn cứ vào bản chất của nhân tố cũng nh ảnh
hởng của kết luận khi ứng dụng trong thực tế.
Bài này nhằm giới thiệu cách nhìn đầy đủ hơn về phân tích phơng sai. Bài sau sẽ giới thiệu
các cách so sánh các trung bình sau khi phân tích phơng sai nh cách so sánh theo LSD,
Duncan, Student-Newman-Keuls, Tukey, Dunnet, Scheffé . . .
Sau đây là một số mô hình thờng dùng trong phân tích phơng sai.
1. Phân tích phơng sai một nhân tố
1

Mô hình một nhân tố có a mức, mỗi mức lặp lại r
i
lần
x
i j
= à + a
i
+ e
i j
(i = 1, a; j = 1, r
i

)

à là trung bình chung
a
i
là tác động của mức A
i
e
i j
là sai số ngẫu nhiên gỉa thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,
2
e
)
Nếu nhân tố A

cố định thì mô hình gọi là mô hình cố định, các a
i
là hằng số thoả mn điều
kiện


1
Bộ môn Tin học, Khoa S phạm kỹ thuật

=
=
a
i
i
a

1
0
mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp

319

Nếu nhân tố A ngẫu nhiên thì mô hình gọi là mô hình ngẫu nhiên, các a
i
là các giá trị của
biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0,

2
a
)
Phơng pháp phân tích
Cả hai mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm:
a- Tách tổng bình phơng toàn bộ SSTO thành hai phần: tổng bình phơng do nhân tố SSAvà
tổng bình phơng do sai số SSE
b- Tách bậc tự do của tổng bình phơng toàn bộ dfTO thành hai phần: bậc tự do dfA của tổng
bình phơng SSAvà bậc tự do dfE của tổng bình phơng SSE
c-
Chia tổng bình phơng cho bậc tự do đợc bình phơng trung bình msA, msE
d-
Tóm tắt toàn bộ cách phân tích vào trong bảng: n = r
i

Bảng phân tích phơng sai (ANOVA)
Nguồn
biến động
Bậc tự

do
Tổng
bình phơng
Bình phơng
trung bình
F
tn
Kỳ vọng

Nhân tố a - 1
dfA

SSA

msA = SSA/dfA
msA
msE

Sai số n - a
dfE

SSE

msE = SSE/dfE


2
e
Toàn bộ n - 1 SSTO

Cách kiểm định giả thiết
Tuỳ theo mô hình có thể tính các kỳ vọng của msA và msE. Từ đó có cách tính tỷ số F
tn
và
cách kiểm định giả thiết đối với nhân tố A.
Mô hình cố định
Giả thiết H
0
: các a
i
bằng không, đối thiết: có a
i
khác không.
Kỳ vọng của msE bằng

2
e
, còn kỳ vọng của msA bằng
2
e
+
A



Trong đó

A
= nếu mọi r
i

đều bằng r thì
A
=

Nếu giả thiết H
0
đúng thì tỷ số F
tn
= msA/msE phân phối Fisơ Snêđêco với a-1 và n-a bậc tự do
và ta có quy tắc kiểm định:
Tìm giá trị tới hạn F(
,a-1,n-a).
Nếu F
tn
F(,a-1,n-a) thì chấp nhận H
0,
nếu ngợc lại thì chấp nhận H
1
.

Mô hình ngẫu nhiên
Giả thiết H
0
:
2
A
bằng không, đối thiết:
2
A
khác không.

Kỳ vọng của msE bằng

2
e
, còn kỳ vọng của msA bằng
2
e
+ r
2
A



với r = nếu mọi r
i
đều bằng r thì r = r
)1(
1
2


=
a
ar
a
i
ii
Na
rN
k

i
i
)1(
1
22



=
1
1
2


=
a
ar
a
i
i
Nguyễn Đình Hiền

320

Nếu giả thiết H
0
đúng thì tỷ số F
tn
= msA/msE phân phối Fisơ Snêđêco với a-1 và n-a bậc tự do
và ta có quy tắc kiểm định:

Tìm giá trị tới hạn F (,a-1,n-a).
Nếu F
tn
F (,a-1,n-a) thì chấp nhận H
0,
nếu ngợc lại thì chấp nhận H
1


2
e
đợc ớc lợng bằng msE
Nếu msA > msE thì

2
A
đợc ớc lợng bằng (msA - msE) / r
2- Phân tích phơng sai hai nhân tố chéo nhau (crossed)
Mô hình hai nhân tố chéo nhau (hay trực giao)
Nhân tố A có a mức, nhân tố B có b mức, mỗi công thức (a
i
,b
j
) lặp lại r lần
x
i j k
= à + a
i
+ b
j

+ ab
i j
+ e
i j k
(i = 1, a; j = 1, b; k = 1, r)

à là trung bình chung
a
i
là tác động của mức A
i
của nhân tố A
b
j
là tác động của mức B
j
của nhân tố B
(ab)
i j
là tơng tác giữa 2 mức A
i
và B
j
của hai nhân tố A,B
e
i j k
là sai số ngẫu nhiên gỉa thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,
2
e
).

Nếu các mức A
i
và B
j
cố định thì mô hình gọi là mô hình cố định, các a
i
và b
j
là hằng số
thoả mn điều kiện



Nếu cả 2 mức A
i
và B
j
ngẫu nhiên thì mô hình gọi là mô hình ngẫu nhiên, các a
i
là các giá
trị của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0,

2
a
), các b
j
là các giá trị của biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn N(0,

2

b
) còn (ab)
i j
là các giá trị của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N(0,
2
ab
)
Nếu một trong 2 nhân tố cố định, nhân tố kia ngẫu nhiên thì có mô hình hỗn hợp.
Phơng pháp phân tích
Cả ba mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm:
a-Tách tổng bình phơng toàn bộ SSTO thành bốn phần: tổng bình phơng do nhân tố A (SSA),
tổng bình phơng do nhân tố B (SSB), tổng bình phơng do tơng tác SS(AB) và tổng bình
phơng do sai số SSE
b-Tách bậc tự do của tổng bình phơng toàn bộ dfTO thành bốn phần: bậc tự do dfA của tổng
bình phơng SSA, bậc tự do dfB của tổng bình phơng SSB, bậc tự do dfAB của tổng bình
phơng SSAB và bậc tự do dfE của tổng bình phơng SSE
c- Chia tổng bình phơng cho bậc tự do đợc bình phơng trung bình
msA, msB, msAB và msE
d-Tóm tắt toàn bộ cách phân tích vào trong bảng :





=
=
a
i
i
a

1
0
0
1
=

=
b
i
j
b
0
1
=

=
a
i
ij
ab
0
1
=

=
b
j
ij
ab
mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp

321

Bảng phân tích phơng sai
Nguồn biến
động
Bậc tự do Tổng bình
phơng
Bình phơng
trung bình
F
tn
Kỳ
vọng
Nhân tố A dfA = a-1 SSA msA F
tnA

Nhân tố B dfB = b-1 SSB msB F
tnB

Tơng tác DfAB = (a-1)(b-1) SSAB msAB F
tnAB

Sai số dfE = ab(r-1) SSE msE

-2
e
Toàn bộ abr -1 SSTO

Cách kiểm định giả thiết

Tuỳ theo mô hình có thể tính các kỳ vọng của msA, msB, msAB và msE. Từ đó có cách
tính tỷ số F
tn
và cách kiểm định các giả thiết đối với nhân tố A, nhân tố B và tơng tác AB.
Mô hình cố định
Giả thiết H
0A
: Các a
i
bằng không, đối thiết H
1A
: có a
i
khác không
Giả thiết H
0B
: Các b
j
bằng không, đối thiết H
1B
: có b
j
khác không
Giả thiết H
0AB
: Các ab
i j
bằng không, đối thiết H
1AB
: có ab

i j
khác không
Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
E(msA) =
2
e
+(bra
2
i
)/(a-1) F
tnA
= msA/msE so với F(,dfA,dfE)
E(msB) =
2
e
+(arb
2
j
)/(b-1) F
tnB
= msB/msE so với F(,dfB,dfE)
E(msAB)=
2
e
+ (rab
2
i j
) / (a-1)(b-1)

F

tnAB
= msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE) =
2
e


Mô hình ngẫu nhiên
Giả thiết H
0A
:
2
A
bằng không, đối thiết H
1A
:
2
A
khác không
Giả thiết H
0B
:
2
B
bằng không, đối thiết H
1B
:
2
B
khác không

Giả thiết H
0Ab
:
2
AB
bằng không, đối thiết H
1AB
:
2
AB
khác không

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
E(msA) =
2
e

+ r
2
AB
+ br
2
A
F
tnA
= msA/msAB so với F(,dfA,dfAB)
E(msB) =
2
e

+ r
2
AB
+ ar
2
B
F
tnB
= msB/msAB so với F(,dfB,dfAB)
E(msAB)=
2
e

+ r
2
AB
F
tnAB
= msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE) =
2
e


Có thể ớc lợng các phơng sai nh sau:

2
e
ớc lợng bằng msE

2
AB
ớc lợng bằng (msAB - msE)/ r

2
B
ớc lợng bằng (msB - msAB) / ar

2
A
ớc lợng bằng (msA - msAB)/ br
Mô hình hỗn hợp
Giả sử nhân tố A cố định, nhân tố B ngẫu nhiên (kéo theo AB ngẫu nhiên)
Giả thiết H
0A
: Các a
i
bằng không, đối thiết H
1A
: có a
i
khác không
Nguyễn Đình Hiền

322

Giả thiết H
0B
:
2

B
bằng không, đối thiết H
1B
:
2
B
khác không
Giả thiết H
0Ab
:
2
AB
bằng không, đối thiết H
1AB
:
2
AB
khác không

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
E(msA) =
2
e
+ r
2
AB
+ (bra
2
i
)/(a-1) F

tnA
=msA/msAB so với F(,dfA,dfAB)
E(msB) =
2
e

+ ar
2
B
F
tnB
=msB/msE so với F(,dfB,dfE)
E(msAB)=
2
e

+ r
2
AB
F
tnAB
=msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE) =
2
e


3- Phân tích phơng sai hai nhân tố phân cấp (Hierachical)
Mô hình hai nhân tố phân cấp (hay còn gọi là chia ổ nested)
Nhân tố A là cấp trên có a mức, nhân tố B là cấp dới có b mức, mỗi công thức (a

i
,b
j
) lặp lại
r lần
x
i j k
= à + a
i
+ b
j(i)
+ e
i j k
(i = 1, a; j = 1, b; k = 1, r)

à là trung bình chung
a
i
là tác động của mức A
i
của nhân tố A
b
j(i)
là tác động của mức B
j
(dới mức i của nhân tố A) của nhân tố B
e
i j k
là sai số ngẫu nhiên giả thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,
2

e
).
Nếu các mức A
i
và B
j
ngẫu nhiên thì mô hình gọi là mô hình ngẫu nhiên, nếu A cố định B
ngẫu nhiên thì có mô hình hỗn hợp.



=
=
a
i
i
a
1
0


Trong mô hình ngẫu nhiên nhân tố A ngẫu nhiên, các a
i
là các giá trị của biến chuẩn N (0,
2
A
).
Nhân tố B ngẫu nhiên, các b
j
trong cùng một mức i của nhân tố A là các giá trị của biến chuẩn

N(0,

2
B
).
Trong mô hình hỗn hợp nhân tố A cố định, các a
i
thoả mn điều kiện
Nhân tố B ngẫu nhiên, các b
j
trong cùng một mức i của nhân tố A là các giá trị của biến chuẩn
N(0,

2
B
).

Phơng pháp phân tích
Cả hai mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm:
a-Tách tổng bình phơng toàn bộ SSTO thành ba phần: tổng bình phơng do nhân tố A SSA,
tổng bình phơng do nhân tố B trong A SSB(A) và tổng bình phơng do sai số SSE.
b-Tách bậc tự do của tổng bình phơng toàn bộ dfTO thành ba phần: bậc tự do dfA của tổng
bình phơng SSA, bậc tự do dfB(A) của tổng bình phơng SSB(A) và bậc tự do dfE của tổng
bình phơng SSE
c- Chia tổng bình phơng cho bậc tự do đợc bình phơng trung bình msA, msB và msE
Tóm tắt toàn bộ cách phân tích vào trong bảng:
mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp

323

Nguồn Bậc tự do Tổng bình
phơng

Bình phơng
trung bình

F
tn
Kỳ
vọng

Nhân tố A dfA = a-1 SSA msA F
tnA

Nhân tố B dfB(A) = a(b-1)
a(b
-
1)

SSB(A) msB(A) F
tnB

Sai số dfE = ab(r-1) SSE msE
Toàn bộ dfTO = abr-1 SSTO

2
e

Cách kiểm định giả thiết
Mô hình ngẫu nhiên

Giả thiết H
0A
:
2
A
bằng không, đối thiết H
1A
:
2
A
khác không
Giả thiết H
0B
:
2
B
bằng không, đối thiết H
1B
:
2
B
khác không

Kỳ vọng

Kiểm định giả thiết

E (msA) =
2
e

+ r
2
B
+ br
2
A
F
tnA
= msA/ msB (A) so với F(,dfA,dfB(A))
E (msB(A)) =

2
e

+ r

2
B

F
tnB
= msB (A)/ msE so với F(

,dfB(A),dfE)

E (msE) =

2
e

Ước lợng các phơng sai:


2
e
đợc ớc lợng bằng smE


2
B
đợc ớc lợng bằng (msB (A)- msE) / r


2
A
đợc ớc lợng bằng (msA - msB (A)) / br
Mô hình hỗn hợp
Giả thiết H
0A
: các a
i
bằng không, đối thiết H
1A
: có a
i
khác không
Giả thiết H
0B

:
2
B
bằng không, đối thiết H
1B
:
2
B
khác không

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
E(msA) =
2
e

+ r
2
B
+
A
F
tnA
= msA/ msB(A) so với F(,dfA,dfB(A))
E(msB) =
2
e

+ r
2
B

F
tnB
= msB(A)/ msE so với F(,dfB(A),dfE)
E(msE) =
2
e



với

Có thể ớc lợng các phơng sai:


2
e
đợc ớc lợng bằng msE


2
B
đợc ớc lợng bằng (msB - msE) / r
4- Phân tích phơng sai hai nhân tố chia ô (Split plot)
Mô hình hai nhân tố chia ô
Trong bố trí thí nghiệm chia ô lớn, ô nhỏ (Split plot) nhân tố A bố trí trên ô lớn, nhân tố B bố
trí trên ô nhỏ, mối lần lặp là một khối (Block)
x
i j k
= à + c
k

+ a
i
+ cd
ik
+ bj+ ab
i j
+ e
i j k
(i = 1, a; j = 1, b; k = 1, r)
à là trung bình chung
1
1
2

=

=
a
abr
a
i
i
A
Nguyễn Đình Hiền

324

c
k
là tác động của khối k

a
i
là tác động của mức A
i
của nhân tố A
cd
ik
là tơng tác giữa khối và nhân tố A
b
j
là tác động của mức B
j
của nhân tố B
ab
i j
là tác động của tơng tác AB
e
i j k
là sai số ngẫu nhiên gỉa thiết độc lập, phân phối chuẩn N(0,
2
e
).
Khối thờng đợc coi là nhân tố ngẫu nhiên: Các c
k
phân phối chuẩn N(0,
2
K
) còn A và B
thì có thể cố định hoặc ngẫu nhiên, nếu A cố định thì thoả mn điều kiện
a

i
= 0 (B cố định thì
b
j
= 0) còn nếu A ngẫu nhiên thì các giá trị a
i
phân phối chuẩn n(0,
2
A
) (B ngẫu nhiên thì b
j

phân phối chuẩn n(0,

2
B
)).
Thờng lấy tơng tác A x K làm sai số ô lớn và bỏ qua tơng tác BK.
Tuỳ giả thiết hai nhân tố cố định hay ngẫu nhiên hay hỗn hợp mà có cách kiểm định khác
nhau.
Phơng pháp phân tích
Các mô hình đều chung cách phân tích mà nội dung gồm:
a-Tách tổng bình phơng toàn bộ SSTO thành sáu phần: tổng bình phơng do khối SSK, tổng
bình phơng do nhân tố A (SSA), tổng bình phơng do nhân tố B (SSB), tổng bình phơng do
tơng tác AK (SSAK), tổng bình phơng do tơng tác AB (SSAB), và tổng bình phơng do sai
số SSE.
b-Tách bậc tự do của tổng bình phơng toàn bộ dfTO thành sáu phần: bậc tự do dfK của tổng
bình phơng SSK, bậc tự do dfA của tổng bình phơng SSA, bậc tự do dfAK của tổng bình
phơng SSAK, bậc tự do dfB của tổng bình phơng SSB, bậc tự do dfAB của tổng bình phơng
SSAB và bậc tự do dfE của tổng bình phơng SSE

c- Chia tổng bình phơng cho bậc tự do đợc bình phơng trung bình msK, msA, msAK, msB,
msAB và msE
d- Tóm tắt kết quả vào bảng phân tích phơng sai

Bảng phân tích phơng sai
Nguồn biến
động
Bậc tự do Tổng bình
phơng
Bình phơng trung bình F
tn
Kỳ
vọng
Khối dfK = r-1 SSK msK
Nhân tố A dfA = a-1 SSA msA F
tnA

Tơng tác AK
Sai số ô lớn
dfAK=(a-1)(r-1) SSAK msAK
Nhân tố B dfB = b-1 SSB msB F
tnB

Tơng tác AB dfAB= (a-1)(b-1) SSAB msAB
tnAB

Sai số ô nhỏ dfE = a(b-1)(r-1) SSE msE
-2
e
Toàn bộ abr -1 SSTO

mô hình cố định, ngẫu nhiên và hỗn hợp

325

Cách kiểm định giả thiết
Mô hình cố định
Giả thiết H
0A
: Các a
i
bằng không, đối thiết H
1A
: có a
i
khác không
Giả thiết H
0B
: Các b
j
bằng không, đối thiết H
1B
: có b
j
khác không
Giả thiết H
0Ab
: Các ab
i j
bằng không, đối thiết H
1AB

: có ab
i j
khác không

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
Ô lớn
E(msK)=
2
e
+ ab
2
K


E(msA) =
2
e
+ b
2
AK
+ (bra
2
i
)/(a-1) F
tnA
= msA/msAK so với F(,dfA,dfAK)
E(msAK) =
2
e
+ b

2
AK


Ô nhỏ
E(msB) =
2
e
+(arb
2
j
)/(b-1) F
tnB
= msB/msE so với F(,dfB,dfE)
E(msAB)=
2
e
+(rab
2
i j
)/ (a-1)(b-1) F
tnAB
= msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE) =
2
e


Mô hình ngẫu nhiên: nhân tố A và nhân tố B ngẫu nhiên
Giả thiết H

0A
:
2
A
bằng không, đối thiết H
1A
:
2
A
khác không
Giả thiết H
0B
:
2
B
bằng không, đối thiết H
1B
:
2
B
khác không
Giả thiết H
0AB
:
2
AB
bằng không, đối thiết H
1AB
:
2

AB
khác không

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
ô lớn
E(msK)=
2
e
+b
2
AK
+ ab
2
K


E(msA) =
2
e

+ b
2
AK
+ r
2
AB

+ br
2
A

Không có kiểm định chính xác
(Có thể dùng kiểm định gần đúng)
E(msAK) =
2
e

+ b
2
AK


ô nhỏ
E(msB) =
2
e
+ r
2
AB
+ ar
2
B
F
tnB
=msB/msAB so với F(,dfB,dfAB)
E(msAB)=
2
e
+r
2
AB

F
tnAB
=msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE)=
2
e

Mô hình hỗn hợp: nhân tố A cố định, nhân tố B ngẫu nhiên
Giả thiết H
0A
: mọi a
i
bằng không, đối thiết H
1A
: có a
i
khác không
Giả thiết H
0B
:
2
B
bằng không, đối thiết H
1B
:
2
B
khác không
Giả thiết H
0AB

:
2
AB
bằng không, đối thiết H
1AB
:
2
AB
khác không




Nguyễn Đình Hiền

326

Kỳ vọng Kiểm định giả thiết
ô lớn
E(msK)=
2
e
+ ab
2
K

E(msA) =
2
e

+ b
2
AK
+ r
2
AB

+ (bra
2
i
) / (a-1) Không có kiểm định chính xác
(Có thể dùng kiểm định gần đúng)
E(msAK) =
2
e

+ b
2
AK

ô nhỏ
E(msB) =
2
e
+ ar
2
B
F
tnB
= msB/msE so với F(,dfB,dfE)

E(msAB)=
2
e
+r
2
AB


F
tnAB
= msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE)=
2
e


Mô hình hỗn hợp: nhân tố A ngẫu nhiên, nhân tố B cố định
Giả thiết H
0A
:
2
A
bằng không, đối thiết H
1A
:
2
A
khác không
Giả thiết H
0B

: các b
j
bằng không, đối thiết H
1B
: có b
j
khác không
Giả thiết H
0AB
:
2
AB
bằng không, đối thiết H
1AB
:
2
AB
khác không

Kỳ vọng

Kiểm định giả thiết

ô lớn

E(msK)=
2
e
+ b
2

AK
+ ab
2
K

E(msA) =
2
e

+ b
2
AK
+ br
2
A
F
tnA
= msA/ msAK so với F(,dfA,dfAK)
E(msAK) =
2
e

+ b
2
AK

ô nhỏ

E(msB) =
2

e
+ r
2
AB
+(arb
2
j
)/(b-1) F
tnB
= msB/msAB so với F(,dfB,dfAB)
E(msAB) =
2
e
+r
2
AB


F
tnAB
= msAB/msE so với F(,dfAB,dfE)
E(msE) =
2
e


Các mô hình một nhân tố khối ngẫu nhiên đầy đủ (RCBD) hay ô vuông La tinh chủ yếu dùng
với nhân tố cố định và cách phân tích không khác gì cách trình bày trong các giáo trình về
phơng pháp thí nghiệm và toán sinh học hiện đang dùng.
Đối với mô hình 3 nhân tố thì việc phân tích phức tạp hơn và có thể tập trung vào mô hình 3

nhân tố chéo nhau (cross), phân cấp (hierarchical) hay chia ô lớn, ô vừa, ô nhỏ (split split plot).
Mô hình cố định hay ngẫu nhiên không phức tạp nhng mô hình hỗn hợp thì phức tạp hơn nhiều.
Trong các bộ chơng trình chuyên về thống kê nh Minitab, SPSS, Statistica, Irristat Ver 4.0
đối với mỗi nhân tố phải khai báo rõ cố đinh hay ngẫu nhiên, chéo nhau hay phân cấp để chơng
trình xử lý và đa ra kết luận. Một số trờng hợp không có kiểm định F chính xác phải dùng các
kiểm định F trong đó mẫu số là tổ hợp một số các bình phơng trung bình.