bài tập toán cao cấp 1 iuh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.77 MB, 121 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

KHOA KHOA HỌC co BẢN - TĨ TỐN LÊ VĂN LAI (chủ biên)

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

KHOA KHOA HỌC co BẢN - Tồ TOÁN LẼ VĂN LAI (chù biên)

Bài tập

TOÁN CAO CẤP 1

Đồng tác giả:

Nguyễn Ngọc ChươngĐồn Vương Ngun

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP TP. Hồ CHÍMINH

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Lời nói đâu

Đượcsự chấp thuận của Trưởng khoa Khoa học Cơ bản và Tập thể

Giảng viên Tổ Tốn, cuốn giáo trìnhTốn caocap 1 của tácgiả Lê Văn Laiđược sử dụng làmgiáo trình chính thức kể từ năm học 2018 - 2019.Giáo trình đượcbiênsoạn cơng phu,các kiến thức được trình

bày một cáchlogic và đầy đủ.

Trong q trình giảng dạymơnTốncao cấp 1, Tập thể Giảng

viênTổ Tốn nhận thấy rằng bên cạnh giáo trình chính đãgiới thiệu,

sinh viêncó nhucầu cần thêm‘một tài liệu bàitập hỗ trợ đểviệc học được hiệu quảhơn. Do đó, trong năm học2019 -2010, TổToán chophát hành quyểnBài tập toán cao cấp 1. Trong tài liệunày,các kếtquả lý thuyết được trình bàydưới dạngtóm tắt kèmtheocácvídụ

minh họa có lờigiảichi tiết rõ ràng. Hơn thếnữa, cuối mỗi chương chúng tôi đưa vào các dạngbài tập trắc nghiệm phongphú và sát vớichuẩnđầu ra của mơn học.

Tài liệunày được thực hiện bởi nhóm tácgiả có nhiềunăm kinh

nghiệm tronggiảng dạy Toáncao cấp. Cụ thể:

Chương 1 doHuỳnh Văn Hiếubiên soạn;

Chương 3 do NguyễnNgọc Chươngbiênsoạn;Chương 4 do Lê Văn Lai biên soạn;

. Chương 5 do Đoàn Vương Nguyên biênsoạn.

Tập thểtác giảxin gửi lời chân thành đến banlãnh đạo Khoa, đặcbiệtTS. Ngô Ngọc Hưng đã tạo mọi diều kiện tốtnhấtđểchúng tơi hồn thành quyểnsách này. Do tài liệu được xuất bảnlần đầu,nên

thiếu sót là điều khơng thể tránh khỏi. Nhómtác giả mong nhận đượcnhững ý kiến phê bình và góp ý củađộc giả.

TP. HCM,tháng-8 năm 2019Nhómtácgiả

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2.2 Tích phân xác định... 35

2.3 Tích phân suy rộng loại1 ...'. -36

2.4 Tích phân suyrộng loại 2 ... 39

2.5 Bài tập trắc nghiệm chương2... 41

Tính tích phân suy rộng... 41

Định thamsốđể tích phânhội tụ... 49

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Mục lục

3.1 Đại cương về chuỗi số ... 58

3.2 Chuỗi sôdương... 61

3.2.1 Khái niệmchuỗi dương... 61

3.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ... 62

3.3 Chuỗi có dấu bất kỳ... 69

3.3.1 Chuỗi dan dấu... 69

3.3.2 Hội tụ tuyệt đối... 70

3.4 Bài tập trắcnghiệmchương3... 72

Câu hỏilý thuyết... 72

Tính tổng riêngphần... 73

Xéttính hội tụcủachuỗidương... 78

Xét tính hộitụ củachuỗi dan dấu... 79

Xét tínhhội tụ của chuỗi đan dấu theo thamsố ... . 80

Xét tínhhộitụ của 2chuỗi số... 81

Xét tính hộitụ của chuỗi có dấu bất kỳ theo tham số . 874 Phép tínhvi phânhàmhai biến4.1 Đạohàm riêng...

4.2 Vi phân...

4.3 Phươngpháp tìmcựctrị tựdo ...

4.4 Phương pháp tìm cực trị có diều kiện ...

4.5 Bài tập trắcnghiệm chương 4...

115

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Chương 1

Phép tính vi phân hàm một biến

1.1 Giới hạn của hàm số

Định nghĩa1.1 (Giới hạn). L dược gọi là giới hạn của hàm số y =

f(x) tại điểm ft, lim = L,nếu với mọi E > 0 cho trước nhỏ tùy ý, ta

có thể tìm được J(e) > 0 cho trước sao chovới mọiXthuộcmiền xácđịnhthỏa điều kiện |x — ft| < í(c) thì bất dẳngthức |/(x) — L| < Eđược thỏamãn.

Địnhnghĩa 1.2 (Giới hạn một phía).

- Nếu f(x) cógiới hạn là L khi X —> ft vớiX > ft thì ta nói /(x)

có giới hạn phải tại a, ký hiệu lim = L

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Trang2 . Chương1.Phép tính vi phânhàm một biến

3-J^f/W-gW] = «-&/ ■

4- s^x)^x)l= ab' X—

rX

5. ^?01 ( = ĩ' b /0, và g(x) /0trongmộtlân cận của a.A^ốkA2 u

Ví du 1.3. Tìm giới hạnlim

Giải. Tacó

X4 — X2 + 3lim---=-—— = X-»Ô X2 + 1

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

1.1 Giớihạn của hàm số Trang 3■ Tínhchất kẹp

Choba hàmsố f,gvầh xác định trên (a; b) \ {íí} và ít e (a;bỴ Nếu/W ^ g(*) < /i(x),Vx e (a;b) \ {a},

lim f(x) = ổ = limh(x)

thì lim?(x) = B.

Ví dụ 1.4. 'lìm lim X sin —.. x->ó X

Giải. Ta có

suy ra I

xsm -

< ki/

Vx e R\{0},kl <xsin| < |x|, Vx eR\Mmà

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Trang 4 Chương 1. Phép tính vi phân hàmmột biến— T x^ +Xđ + 5 7t . ã V3

o lim ——5-——^ = — và lim siny = +— nênxAÒ 2x2+l 3 y^f 3 2

■ Một số giới hạnquan trọng

. 1. lim 11+ —) = e.x->±co \ X J

„ ,. sin X _2. lim —— =1,

Giải. Giớihạn códạngl00. Ta biến đổisao cho hàm ở cơsốcó dạng[1 +u(x)]"W,với u(x) —> 0. Ta biến đổi

1 - _ cosx — l

(cosx)? = (1+ cosx — * .5. lim Inx = +cò, lim Inx= —00.

x->+oo Mo+

ln(l + x) ,. ex-l6. lim —-—-—- = 1; lim--- = 1.

7. Nếu limu(x} hữuhạn.dương và lim u(x) hữuhạn, ta có X-+X ' ° x+a ' '

lim [ư(x)]u^ x-»a J

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

1.2Vô cùng bé, vô cùng lớn và giới hạn Trang 5

Giải. Giới hạn CÓ dạng l00.Ta biến đổi

Mà lim

-2X2+ 3/

lim X—>4-00

1 1 \ x2 X + 1 \ x^ + 3/

= e,vàX2 + 1A

.2’ =e-2

—2, nên

1.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn và giới hạn

Hàm tương đương

Cho hai hàm/(x),g(x) xác định trên lân cận của a G R

nóihàm /(x)vàg(x) tương đương khi X —t « nếu

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Trang 6 Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến

Ví dụ1.8.

1. sin X, tan X, 1 — cosX lànhữngVCB khi X —> 0.2. cos X, cotX là nhữngVCB khi X—> y.

3. là VCBkhi X 4 ±00.x2 + 3

4. (l +x)“-llàVCBkhix->0.

5. In (1 + sin2(zr— x)^ làVCB khi X —> 7Ĩ.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

1.2 Vơ cùng bé,vơcùnglớn và giới hạn Trang7

•1. Nếu K = 0 thì ta nói /(x) là VCB cấp cao hon g(x), ký

hiệu/(x) = o(g(x)) khi X—> í?.

2. Nếu K = ±00 thì ta nói g(x) là VCB cấp cao hơn f(x),

ký hiệu g(x) = o(/(x)) khi x —^ a.

3. Nếu K Ể {0, ±00} thì ta nói/(x) và g(x) cùng cấp.

Chúý. Trong trường hợp dặcbiệt, nếu K = 1 thì ta nói f (x) vàg (x)

là hai VCB tương đương khiX —>đ, kí hiệu / (x) ~ g (x).

Vídụ 1.9.

1. Khi X —> 0, X2 và 1—cos X là haiVCB cùng cấp vì

,. 1 —cosx 1lim——= = -.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Trang8 Chương 1. Phéptính vi phânhàm mộtbiến '

KhiX —> 0,ta có các VCB tương đương cơ bản sau đây:1.sinx ~X 6. ln(l + x) ~ X2. tanx ~ X 7-logn(l + x) ~ I^3. arcsinx ~ X 8. ữ*— 1 ^ xlna4. arctan X ~ X 9.^ -1 ~r

Cho/(x),g(x) làhaiVCB khi X—> ữ. Khi đó: .

1. Nếug(x) = 0(/(x)),cấp của g(x) lớn hơn cấp của/(x),thì

2. Giả sử y(x) ~ /i(x) và g(x) ~ gi(x) khi X -^ a. Nếu/(x) và g(x) cùngcấp nhưng không tươngđương,nghĩa là

lim = b, b £ {0,1, oo),thì/(*) -^(x) ~ /1 (x) - £1W/khi X -> a.

Ví dụ 1.10.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

1.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn và giới hạn Trang9

Ví dụ 1.11. Sử dụng quỵ tắc ngắt bỏ VCB cấp cao tìm hàm tương

khiX—t 0 .

Giải.Khi X 4 0, ta có

In (Ị+ tan (3x)) ~ tan (3x) ^ 3x

(ựl + 2sinx — 1) ^ỂỈ -lj ~ (sinx) (5) ~ YIn (1 +2x3) - 2x3

VìX2 — O(x) và X3 = o(x), theo quy tác ngắt bỏVCB cấp cao ta /(x) ~3x+ y + 2x3 ~ 3x

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

có-Trang 10

Chương1. Phép tính vi phânhàm một biến

Chú ý. Khi X —> ữ, giả sử f(x) ~ /1 (x) vàg(x) ~ gi(x). Nếuf(x) và

g(x) là haiVCB tương đương thì

mà X — X = 0 nên

tan X — sin X ^ X—X.-r' . , , „ X + 3 sin2 X

VÍdu 1.14. Tính lim —' . ,—.x->0 5x + X3

Giải. KhiX ^ 0,ta có3sin2 X~3x2 = 0(x) và X3 = 0(x), do đó,x + 3sm2x X

lim —-—■—=— = lim — = X >0 5x+ X3 X >0 5x

Ví dụ 1.15. Tính lim —-—-7-5—-.x^o X+ sin3 X

Giải. Khi X —> 0, ta có ln(l + tan x) ~ tan X ~ X và sin3 X ~ X3 =

0(x),do đó,

ln(l +tanx) .. X . lim---——ĩ--- = lim— = 1.x->0 X + sim X x->0 XVí dụ 1.16. Cho hàm số

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

1.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn vàgiới hạn Trang 11

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Trang 12 Chương 1.Phéptính vi phânhàm một biến

Ví dụ 1.19.

2. Khi X —> 4-00, v^x64-3x24- 1 và ^2r» 4- 3x+ 2x là hai VCL

cùng cấpvì

.. \/x6 4-3x2 4-1lim t;ị- ; - . —

1. Khi X —> 4-00,X24- 1 là VCL cấp cao hơn ựx vì

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

1.3 Tính liêntục của hàm số Trang 13

Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Chof(x),g(x) là haiVCLkhiX —> đ. Khi đó:

1. Nếu cấp củaf{x)nhỏhơn cấp của g(x) thì

fM+g(x)^g(x), x^a.

2. Giả sửf{x) ~ /i(x) và g(x) ~ gi(x) khi X —> a. Nếu

/(x) và g(x) cùngcấp nhưngkhông tương đương, nghĩa

Giải. Khi X —> 4 co ta có

73x2 4- 2x 4-1 — 75x 4- 2 ~ TTx2 4- 2x4-1 ~ 73x2

7x3 4-X 4- Tx3 ~ 7*3 4-X~ 77kDo đó,

73x24-2x 4-1 — 75* 4-2 73x2 4- 2x 4-1lim --- -- —77=---= lim ---.. = —x^+“ 7*34- X4- Tx3 x-»+w VX3 T X

= lim CL = 73.

X—>+oo Ợỵ3

1.3 Tính liên tục của hàm số

Định nghĩa 1.3. Cho hàm số /(x) xácdịnh trên (a;b)và ae (a;bỴ

Tanóihàm số/(x) liên tục tại a nếu lim f(x) = f^Ỵ

Ví dụ1.21. Chohàm số

{

, xtanx . .,.,..khi X L 0

ln(l 4- X2)

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Trang14 Chương 1. Phéptínhvi phân hàm’một biếnTim a đểhàm sốliên tục tạỉX = 0.

Định nghĩa1.4 (Hàm số liêntục một phía).

- Hàm số/(x) được gọi làliên tụctrái nếu lim f(x) = /(xo).

- Hàm số /(x) được gọi là liên tục phải nếu lim /(x) = /(xo)

Định lý1.2. Hàmsố /(x) liêntụctại Xo nếulim /w = ton /ơ) = 7(xo)X—»Xqx->xj

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Định lý 1.4. Nếu f cóđạo hằm tại Xo, g xác địnhtrong một lân cận

của yo = y(x0) và có đạo hàmtại y0 thìgofcó đạo hàm tại Xo- Khi đó,

(£°/)'(xo) = g\yo)f(xo)= g'ư(.x0))f'(x0).

Hơn nữa,nếu giả thiếttrênđúngvới mọiXo € («;b) thì hàm số

hợp g of cóđạo hàm trong («;b\ Khiđó,

(wmww»m

Ví dụ 1-23. lìm đạo hàm của hàmsố h{x) = (1— 3x)4.

Giải. Ta xemf(x) = 1 — 3x vàg(y) = y\ ta cóy'(x) = —3, g'{y) =

4y3. Ap dung cơng thức đạo hàm củahàmsố hợp,ta đượcW) = ỉ'(/«) 7'w = 4(1 - 3x)3 - (-3).

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Trang 16 Chương 1. Phép tính vi phân hàm mộtbiếr

1.4.4 Bảng công thức đao hàm

1.4.5 ứng dụng đạo hàm trong bài toán giới hạn

Hàm sơ cấp Hàm hợp tương ứng

1 (ex)' = ex (e“)' = u'eu

3 (x*)' = ax“-1 (uay = u'a.ua~ì

4 (^axỴ —axìna(auy=u'au]r\.a

5 (logj)' = 71k (log„ uy = u'i

7 (cosx)' = — sinx (cosu)' = —u' sin lí8 (tanx)' = 1+ tan2x (tanu)' = u'(l+tan2 lí)9 (cotx/ = —(1+ cot2 x) (cotlí)' = -u'(l+ cot2 ù)

10 (arcsinx)7 = .1 (arcsinu)/ = , “' ,

11 (arccosx)' = —, 1 A (arccosu)' = —, “ ,________________ựl-»212 (arctan xỴ = ^ (arctanu)' =

13 (arccotx)' = ~ĩ^ĩ (arccotu)' =-^

Chú ý. Quy tắcL'Hopital có thể được sử dụng liên tiếp nhiều lần nếu các điều kiện của quy tắc được thỏa. Nếu vận dụng quy tắcL'Hopital và kếthợp thay thếhàmtương đương VCB một cách hợp

Quy tắc L'Hopital

Cho f{x),g (x) là haihàm liên tụcvà có đạohàm trong lân

cận điểm a thỏa điều kiện

lim f(x) = lim v(x) = 0 (hoặc ±oo).

Nếutồntại lim 4W = Lthì cũng tồntại lim 44 = L.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

VX + 1 — 1 — 7Ví dụ 1.25. Tính lim--- —=----

lim—„ „— = lim --- 3--- , ísin X ~ X , X —> 0;

XHO X2 sin7 X XHO X4

2x —sin2x .. 2 —2cos2x= lim---—ĩ---= lim ■———5---

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Trang 18 Chương 1. Phép tínhví phânhàm một biếnVídụ 1.28. Tính lim .

x-n-ln(l —x) \oo/

Giải. Ta có

ln(l - x) 2 Z->1~ cos2(^)

Vídụ 1.29. Tính limX—>4-00

■ Dạng vơ định 0 ■ 00

Xét giới hạn lịm/(x)g(x) trong đó /(x) —> 0 và g(x) —> co khi

X —> a. Ta có haicáchkhử như saư:

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

• Nếu L = 1 thì giới hạnlim/(x)

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Trang 20 Chương 1. Phép tính viphân hàm một biến

Ví dụ 1.32. Tính lim (x — ln2x),(oo —oo).

Giải.Vì lim^ũ = limwo ^^ — 1 nên khi ta viếtlim ( cotx — — = lim cotx I 1 ———

-+ 0+-> 0.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

= glinv-H ^ _ elim^_n i _ e~l

Ví dụ1.35. Tính lim (x + 2x)x (t»°)X-H-oo'

X->+00 1

Im ylnĩ2X—n-001 +2* ln2

lim (x + 2x)s =2.X—»+oo

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Trang 22 . Chương 1. Phép tính vi phânhàmmơt biến

1.5 Vi phân

Ví dụ 1.37. Tính vi phâncủa hàm số f(x) = X2ổ3x tại điểmX= —1.

Giải.Vìy'(x) = 2xe3x + 3x2e3x, nên ta có /(-1) =ổ~3. Vậy ^/(~1) = y^—l)dx = e~3ãx

1.6 Bài tập trắc nghiêm chương 1

■ Tìmhàm tương đươngCâu 1.1. Cho hàm số

/(x) = 1 — cos X + ln2(l + tan22x) + 2ạrcsin3xHàm tươngđương củay(x) khi X —> 0 là

Câu 1.2. Cho hàmsố

/(x) = (cos 2x- ex)(x2 +1 - cos xì+ x(cos3x — cosx) ln(l +^x—cosậ;Hàm tươngđươngcủa /(x) khi X —> 0 là

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

1.6 Bài tập trắc nghiệmchương 1 Trang 23Câu 1.3. Cho hàm số

y(x) = (x2 + tan2x)(l — Cơs2x) + (e2x — 1^ ln(cos4x) + y/e* — 1.Hàm tương đươngcủay(x) khi.x —> 0 là

A. /(x) ~ 5 „ Ỉ A*) ~ “ỉ

Câu 1.4. Cho hàm số

y(x) =1 (? — 1 Alnicos xì + 71 + 2sỉrrx_—1Hàm tương đương của /(x) khi X —> 0 là

c. y(x) ~ —X2 D. y(x) ~ —X2Câu 1.5. Cho hàmsố

/(x) — 1 —cos X + ln2(l + sm22xj +2arcsin3x

Hàmtương đương củay(x) khi X —> 0 là

Ạ.y(x) ~ ^ B. /(x) ~ 2x3c. /(x) ~2x3 D. /(x) ~2x3Câu 1.6. Cho hàm số

y(x) = ln(l + 3x) 4 pl 4- 2 sinx -J Xf tan3x + X4.Hàm tương đương củay(x) khi X —>.0 là

Á y(x) ~ X2 B /(x) ~ X3

c. /(x) ~X3 D./(x) ~ X3Câu 1.7. Cho hàm số

/(x) = ln(l + tan 3x) + (V1 +2sinx —1) (arcsin 2x +X2;.Hàm tươngđương của /(x) khi X —> 0 là

A/(x)~3x B./(x)---ị

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Trang24 Chương 1. Phép tínhvi phân hàm. một biến

f(x) = (a2 + tanlx^ (1 — cos2x) + ^e2*—1^

Hàmtương đương của f(x) khi X—> 0 là

A. /(x) ~ 4x2 B. f(x) ~ 2x

0. f(x) ~ 2x D. f(x) ^ 2xCâu 1.12. Cho hàm số

■ f(x) = ln(l — X2 + 2x) + sinX —arctan2xHàm tươngđươngcủa f(x) khi X —> ũ là

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

1.6 Bài tập trắc nghiệm chương 1 Trang 25Câu 1.15. Cho hàm số /(x) = (cos2x-l) (x + arcsinx2). Hàm

tương đương của /(x) khi X -Ạ 0là

A. /(x) ~ —2x3 B. /(x) ~ 2x3c. /(x) ~ 2x3 D./(x) ~ 2x3

■ Dùng VCB tínhgiớihạn

Trả lời 2 câuhỏỉsau:

„ , . A A 1 — cosx—X3Chohàm sôf[x) = —7——---X-

Câu1.18. KhiX -t 0, hàm số/(x) tương đương với

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Trang 26 Chương 1. Phép tính viphân hàm một biếnCâu 1.20. Khi X-ì 0, hàm số f(x) tương đươngvới

Cằu 1.22. Khi X —> 0,hàm số /(x)tương đương với

Câu 1.24. Khi X—> 0, hàm số /(x) tương đương với

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

1.6 Bàitập trắcnghiệm chương 1 Trang 29Câu1.38. Khi X—> 0, hàmsố /(x) tươngđương với

■ Tính giới hạnhàm chứa tham số

Câu 1.40. Chohằng số thực0 < k,tínhgiá trị của giới hạnh(i + ^)

Câu 1.42. Chohằng số thực 0 < k, tính giá trị của giớihạn

.. In(coskx) 1^0 7^1)

6 B. -k f ^ -2fc+612

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Trang30 Chương 1. Phép tínhviphân hàmmột biếnCâu1.45. Chohằngsốthực0<k,tính giá trịcủa giới hạn

_ y/kx + 1 — y/kx T-1lim---.---. ~. 9---x->0 arcsin X + sin X

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

1.6 Bài tập trắc nghiệm chương 1 Trang31■ Quytắc UHopital

Câu 1.50. Tínhgiới hạn= lim xỉ

Câu 1.59. Tìm giới hạn = lim .

° ■ X-41 Inx

A.L= 3 B. L = 2 c. L= 1 D. L= 02sinx—sin2x

Câu1.60. lim giới hạn— lim„ ’ L _

° x4Õ 2 tan X — tan 2x

A.L = 1 B.L=-1 c. L = l/2 D. L = -1/2

Câu 1.61. Tìm giới hạn — lim ísinx)1^105111^

A. L = e B. L = e2 c L = 2ựẽ D. L =

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Trang 32 Chương 1. Phéptính viphânhàm một biến/^-JX *2+3

Câu 1.62. Tính= lim I , , ~ I x-ioo ỵxz +1 y

A. L = e“2 B. L = e"1 c. L = e D. L = c3'ổ* —ổ * — 2x

Câu1.63. Tính giới hạn = lim ---———— ■ x->ó X — sin X

Câu 1.64. lìm = lim ■ „ —7 Ix-400 yxz — X — 1/

A.L = 0 B. L = 2 c L = 1/2Câu1.68. lìmgiới hạn L = lim (cotx)ln^1+ )

A. L = e B. L = e2 c. L = 2ựẽCâu1.69. Tìm giới hạnL= lim (2 — x/x-2)

5* —4XCâu 1.71. lìm giới hạnL = lim —S—■—

Câu1.73. Tìm giới hạn L = lim X Inx° :X-+0+

A. L= o B. L = oo C.L = 1 D. L = 2

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

1.6 Bài tập trắcnghiệm chương 1 Trang 33Câu 1.74. Tính giới hạn L = lim X2 InX

/ 3x+2Câu 1.75. TìmL = lim I 1+ ---7 Ị

x-xi \ 2x2 + X -1 7

A. L = oo B. L = e3 c. L = e2 D. L = 1— 1 — X

Câu 1.76. Tìm giới hạn L = lim---—7--- x-»0 sirrx

A. L = 2 B. L = 0 c. L = 1 D. L = 1/2___ .,., _ ,. 2tan X —tan 2x

Câu 1.77. Tìm giớihạn L = lim---—5-———7——77“—7

0 X->Ò arcsin32x4 ln(l + X3) + X4A. L = 2/9 B. L= -2/9 c. L =3/4 D. L -..._ ...X — arcsin X

Câu 1.78. Tìm giới hạn L = lim---—---

0 ■ X-»Õ X —tanx

A. L = 1 B. L= -1 c. L= 1/2 D. L = -1/2Câu 1.79. Tim giới hạn L = lim X (ẽ^x —lì

A. L = 0 B. L = 1 c. L = 2 D. L = -1

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Chương 2Tích phân

Định nghĩa 2.2. ChoF(x) là nguyênhằm củahàm f(x) trên (a;b).

Tập hợp tất cả cácnguyên hàmcủaf^x) trên (a; b) đượcgọi là tíchphân bất định của f(x)trên (a; b),kýhiệù là Ị f(x)dx.Vậy

f(x)đx = F(x) + c,

vớic là hằngsốtùy ý.■ Tính chất cơ bản

Tích phân bất định cóhai tính chất cơbản:

1. Nếu /(x) có ngun hàm trên (a;ờ) và k là một hằng số thực

Ị k.f(x)dx= k.Jf(x)dx.

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

2.2 Tích phân xác định Trang 352. Nếu /(x) vàg(x) cóngunhàm trên («; &) thì

z-J^^H+V r 'ax

4. / aãx= 7—— +C,0 < a 7^1;

6.J sin xdx = —cosX + C;8. / —ĩ~dx= tan X+ C;

J cosz X

10. ỉ —===dx = arcsinX+ c.

J V1 -X2

■Phươngpháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến (xem giáo trình).

2. Phương pháp tích phân từng phần (xemgiáo trình).

2.2 Tích phân xác định

■Định nghĩa và tínhchất

Xem giáotrình.

■ Cơng thức Newton -Leibniz

Định lý 2.1. Nếu f(x) liên tục trong [a;b] và p(x) là một ngunhàm của/(x) trên đó thì

</div>Trang 41<div class="page_container" data-page="41">

Trang 36 Chương 2. Tích phân■ Phương pháp tíchphân xác định

Xem giáo trình

2.3 Tích phân suy rộng loại 1

Địnhnghĩa2.3. Cho hàm sốfix') xác định trên [a;+oo) và /(x)khả tích trên đoạn [a; b]. Tích phân

1=1f{x}dx= lim / f^dx. Ja b—>-Ị-°° Jũ

đượcgọi là tíchphân suyrộng của hàmsố/(x).

• Nếu giới hạntrên tồn tại và hữuhạn, ta nóitíchphân Ihộitụ;

• Ngượclại, ta nói tích phân ĩphân kỳ.

Vídụ 2.1. Khảo sát tính hội tụ của tích phân J e~xdx.

Giải. Hàm f(x) = e x xác định và liên tục trên [0;+oo) nên khảtích

trên [0; bl.Do/

/ e~xdx= lim / e~xăx= lim |“Cx|j

= lim (1 — e~b) = 1,

nêntích phânđã cho hội tụ.

Ví dụ 2.2. Khảosáttínhhội tụ của tích phân /

= lim arc tan x “ = —

Vậy tích phân đãcho hội tụ.

</div>