Phần 1: Toán rời rạc pot

TOÁN HỌC RỜI RẠC
PHẦN 1
DISCRETE MATHEMATICS
PART ONE
NỘI DUNG ÔN TẬP
PHẦN 1
1. CƠ SỞ LOGIC
a. Phép tính mệnh đề & vị từ
b. Quy tắc suy luận. Quy nạp
2. ĐẠI SỐ BOOL
a. Quan hệ thứ tự & tập hợp được sắp
b. Dàn và đại số bool
c. Hàm bool
d. Phương trình bool & hệ phủ tối tiểu
e. Công thức tối tiểu của hàm bool
PHẦN 2
1. PHÉP ĐẾM
a. Nguyên lý cộng, nhân & bù trừ
b. Giải tích tổ hợp
c. Nguyên lý Dirichlet
d. Công thức đệ quy
2
NỘI DUNG ÔN TẬP (cont.)
2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
a. Đại cương
b. Đồ thị liên thông
c. Đường đi ngắn nhất
d. Cây khung trọng lượng tối tiểu
e. Luồng cực đại
2. SỐ HỌC
a. Lý thuyết chia hết

b. Lý thuyết đồng dư
3
CƠ SỞ LOGIC (1)
A. PHÉP TÍNH MỆNH ĐỀ & VỊ TỪ
–
Mệnh đề
–
Chân trị của mệnh đề: đúng, sai (true, false)
–
Các phép toán mệnh đề
•
Phép phủ định (NOT, ¬, …)
•
Phép hội (AND, ∧)
•
Phép tuyển: (OR, ∨)
•
Phép tuyển loại trừ (XOR, ⊕)
•
Phép toán trên bit
•
Phép kéo theo: →
•
Phép tương đương: ↔
–
Biểu thức mệnh đề
–
Mệnh đề hệ quả & mệnh đề tương đương
•
Hằng đúng (tautology), hằng sai

•
Tiếp liên
•
Mệnh đề hệ quả: P → Q hằng đúng
•
Tương đương logic: P ↔ Q hằng đúng
4
CƠ SỞ LOGIC (2)
Các tương đương thường dùng (T=hằng đúng, F=hằng sai)
P ∨ T = T
Domination laws
(P ∨ Q) ∨ R=P ∨ (Q ∨ R) = P ∨ Q ∨ R
Associative laws
P ∧ F = F (P ∧ Q) ∧ R = P ∧ (Q ∧ R) = P ∧ Q ∧ R
P ∨ F = P
Identity laws
P ∨ (Q ∧ R)=(P∨Q) ∧ (P∧R)
Distributive laws
P ∧ T = P P ∧ (Q ∨R)=(P∧Q) ∨ (P∧R)
P ∨ P = P
Idempotent laws
¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q
De Morgan’s
laws
P ∧ P = P ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q
¬(¬P)=P Double negation laws
P ∨ (P ∧ Q) = P
Absortion laws
P ∨ ¬P = T
Comlement laws

P ∧ (P ∨ Q) = P
P ∧ ¬P = F P → Q = ¬P ∨ Q
P ∨ Q = Q ∨ P
Commutative laws
P ∧ Q = Q ∧ P
5
CƠ SỞ LOGIC (3)
–
Vị từ
•
Vị từ P: E → {0, 1}
•
Không gian của một vị từ: E = E
1
xE
2
x…xE
n

•
Trọng lượng của một vị từ: n
•
Các phép toán vị từ: ¬, ∧, ∨, …
•
Các lượng tử
–
¬ (∀ X: P(X)) = ∃ X: ¬P(X)
–
¬ (∃ X: P(X)) = ∀ X: ¬P(X)
6

CƠ SỞ LOGIC (4)
B. QUY TẮC SUY LUẬN
–
Các quy tắc suy luận:
Quy tắc Hằng đúng Tên
P → (P ∨ Q)
Cộng
P ∧ Q → P
Rút gọn
(P ∧ (P → Q)) → Q
Modus ponens
(¬Q ∧ (P →Q)) → ¬P
Modus tollens
((P →Q) ∧(Q → R)) → (P → R)
Tam đoạn luận giả định
(¬P ∧ (P ∨ Q)) → Q
Tam đoạn luận tuyển
QP
P
∨
Q
QPP →,
P
QP ∧
P
QPQ
¬
→¬ ,
RP
RQQP

→
→→ ,
Q
QPP ∨¬ ,
7
CƠ SỞ LOGIC (5)
–
Các phương pháp chứng minh: P → Q
•
Chứng minh rỗng (P = false)
•
Chứng minh tầm thường (Q = true)
•
Chứng minh trực tiếp (P = true kéo theo Q = true)
•
Chứng minh gián tiếp (Chứng minh ¬Q → ¬P đúng)
•
Chứng minh phản chứng (Chứng minh ¬Q ∧ P → False)
•
Chứng minh quy nạp
8
ĐẠI SỐ BOOL (1)
A. QUAN HỆ
–
Quan hệ tương đương
•
Def: (phản xạ, đối xứng, bắc cầu)
•
Lớp tương đương
•

Tập thương
–
Quan hệ thứ tự
•
Def: (phản xạ, phản xứng, bắc cầu) (E, ≤)
•
Trội, trội trực tiếp, sơ đồ Hasse
•
Quan hệ thứ tự toàn phần, bộ phận
•
Phần tử
–
tối đại: M∈A ⊆ E, ∀x ∈A: M ≤ x ⇒ x=M
–
tối tiểu: m ∈A ⊆ E, ∀x ∈A: x ≤ m ⇒ x=M
–
phần tử lớn nhất: M∈A ⊆ E, ∀x ∈A: x ≤ M
–
phần tử nhỏ nhất: m∈A ⊆ E, ∀x ∈A: m ≤ x
9
ĐẠI SỐ BOOL (2)
B. DÀN (LATTICE)
–
Cận trên: (E, ≤), x, y ∈ E, A={z| x ≤ z, y ≤ z}, nếu A có phần tử nhỏ
nhất thì phần tử nhỏ nhất đó được gọi là cận trên (đúng), ký hiệu
sup(x, y) / x∨y
–
cận dưới: (E, ≤), x, y ∈ E, A={z| z ≤ x, z ≤ y}, nếu A có phần tử lớn
nhất thì phần tử lớn nhất đó được gọi là cận dưới (đúng), ký hiệu
inf(x, y) / x∧y / xy

–
Dàn: (E, ≤), ∀x, y ∈ E, ∃ sup(x, y) = x∨y, inf(x, y)=x∧y
•
Các tính chất (giao hoán, kết hợp, phân phối)
•
Phần tử bù: (E, ≤)-dàn có phần tử lớn nhất ký hiệu 1, phần tử nhỏ nhất
ký hiệu 0,
x ∈ E phần tử bù của x (trong E) là phần tử, ký hiệu sao cho
•
Dàn mà mọi phần tử đều có phần tử bù được gọi là dàn bị bù
10
x





=∧
=∨
0
1
xx
xx
ĐẠI SỐ BOOL (3)
•
ĐẠI SỐ BOOL
–
Def1: dàn (E, ≤) có nhiều hơn một phần tử , là dàn phân phối và
bị bù
Def2: (E, ∨, ∧) kết hợp, giao hoán, phân phối, có phần tử trung

hòa và phần tử bù
–
Định lý Stone
•
Atom: phần tử trội trực tiếp của phần tử nhỏ nhất
•
(E, ≤) là một đại số bool hữu hạn với phần tử nhỏ nhất ký hiệu là 0,
∀x ≠ 0∈ E, a
1
, a
2
, …, a
k
là tất cả các atom bị trội bởi x khi đó:
x=a
1
∨ a
2
∨ … ∨ a
k

cách viết này là duy nhất nếu không kể đến thự tự của các atom
•
Số phần tử của một đại số bool là lũy thừa của 2
•
Đại số bool gồm 2
n
phần tử có n atom
11
HÀM BOOL (1)

A. HÀM BOOL
–
B=({0, 1}, ∨, ∧) là một đại số bool
–
f : B
n
→ B
f tương ứng với một dãy nhị phân độ dài 2
n
(dãy các giá trị của
f trên các bộ biến 0…00, 0…01, 0…10, …)
đánh chỉ số cho f bởi dãy nhị phân các giá trị của hàm f
–
F
n
= tập tất cả các hàm bool n biến
–
f, g ∈F
n
, f ≤ g khi và chi khi ∀X ∈ B
n
: f(X) ≤ g(X)
(F
n
, ≤) là một đại số bool
12
bxxx
n
), ,,(
21

HÀM BOOL (2)
B. DẠNG CHUẨN TẮC TUYỂN
–
F
n
tập các hàm bool n biến
–
Từ tối tiểu (nguyên tử-Atom): 00 010 0
–
f là hàm bool, m
1
, m
2
, …, m
k
là tất cả các từ tối tiểu bị trội hơn
bởi f, ta có: f=m
1
∨m
2
∨…∨m
k
–
Literal:
–
Dạng chuẩn tắc tuyển của hàm bool f (n biến):
•
Lập bảng giá trị hàm f
•
Phân tích f thành tổng của các từ tối tiểu: f=m

1
∨ m
2
∨ … ∨ m
k
•
m
i
(b
1
, b
2
, …, b
n
) = 1,
13
ini
ini
n
n
bbbbx
bbbbxBbbb
=
=∈∀
), ,,(
), ,,( :), ,,(
21
2121
), ,2,1( , nixx
i

i
=



=
=
==
0
1
y;
i21
i
i
ii
ni
bx
bx
yyym
HÀM BOOL (3)
C. DẠNG CHUẨN TẮC HỘI
–
Từ tối đại: 11…101…1
–
M là từ tối đại, M(b
1
, b
2
, …, b
n

)=0
–
Dạng chuẩn tắc hội của hàm f (n biến):
•
Lập bảng giá trị của f
•
Phân tích f thành tích các từ tối đại: f=M
1
M
2
…M
k
•
M
i
(b1, b2, …, bn)=0
14



=
=
=∨∨∨=
1
0
y;
i21
i
i
ii

n
bx
bx
yyyM



=
=
=∨∨∨=
1
0
y;
i21
i
i
ii
ni
bx
bx
yyyM
HÀM BOOL (4)
•
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BOOL & PHỦ TỐI TIỂU
–
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BOOL:
•
G
1
, G

2
, …, G
k
, D
1
, D
2
, …, D
k
là 2n hàm bool n biến x
1
, x
2
, …, x
n
•
Hệ phương trình bool
-
Phương pháp giải
1. Biến đổi mỗi phương trình về dạng tổng của các tích
2. Áp dụng biến đổi tương đương G=D ≅ 1=GD∨¬G¬D, biến đổi hệ về
dạng
3. Hệ tương đương với: 1=(G
1
D
1
∨¬G
1
¬D
1

)…(GkDk∨¬Gk¬Dk)
15





=
=
), ,(), ,(

), ,(), ,(
2121
211211
nknk
nn
xxxDxxxG
xxxDxxxG





¬¬∨=
¬¬∨=
kkkk
DGDG
DGDG
1

1
1111
HÀM BOOL (5)
4. Biến đổi phương trình về dạng tổng của các tích: 1=h
1
∨ h
2
∨ … ∨ h
m

(h
i
là tích của các biến hoặc phủ định của biến
5. Phương trình tương đương với tuyển
6. Do mỗi h
i
là tích các biến hoặc phủ định của biến, ta suy ra các
nghiệm của hệ phương trình
–
PHỦ TỐI TIỂU
•
Cho tập hợp E, e
1
, e
2
, …, e
n
là các phần tử của E, A
1
, A

2
, …, A
p
là các tập
con của E, ∪{ A
i
| i=1,…, p} ⊇ {e
1
, e
2
, …, e
n
}. Tìm họ con của họ {A
i
}
(phủ tối tiểu) sao cho:
–
Hợp các tập của họ con này chứa {e
1
, e
2
, …, e
n
}
–
Bỏ đi một tập bất kỳ của họ con thì hợp của các tập còn lại không còn chứa
{e
1
, e
2

, …, e
n
}
•
Phương pháp giải:
–
Đặt x
i
là biến sao cho nếu A
i
được chọn ⇔ x
i
= 1
–
∀ej / A
j1
, A
j2
, …, Ajq là tất cả các tập của họ chứa e
j
, ta xây dựng được
phương trình: x
j1
∨ x
j2
∨… ∨ x
jq
= 1
–
Giải hệ phương trình ta tìm được phủ tối tiểu

16





=
=
1

1
1
m
h
h
ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (1)
•
CÔNG THỨC TỐI TIỂU
–
Đơn thức:
•
tích của các literals khác 0 (nhân tử nguyên tố)
•
Đơn thức = 0 ⇔ tồn tại x bù của x trong đơn thức
•
Tồn tại duy nhất một cách viết đơn thức (sai khác thứ tự của các literals)
•
Tập F
n
có 3

n
đơn thức
–
Ước
•
Đơn thức m là ước của đơn thức M (M chia hết cho m) nếu mỗi nhân tử
nguyên tố của m đều là nhân tử nguyên tố của M
•
Đơn thức m là ước của M ⇔ M ≤ m
•
m là ước của M ⇔ m ∨ M = m
–
Công thức dạng đa thức:
f ∈ F
n
, cách viết f dưới dạng tổng ( ∨ ) của các đơn thức được gọi là dạng
đa thức của f: ,
m
k
là các đơn thức
–
Công thức dạng đa thức tối giản:
& ∀i ≠ j, m
i
không là ước của m
j
17
k
mmmf ∨∨∨=
21

k
mmmf
∨∨∨=

21
ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (2)
–
Quan hệ đơn giản hơn:
hai công thức tối giản của f:
f=m
1
∨ m
2
∨ … ∨ m
p
(1)
f=M
1
∨ M
2
∨ … ∨M
q
(2)
(1) được gọi là đơn giản hơn (2) khi và chỉ khi:
•
p < q
•
∀i: m
i
là ước của ít nhất một M

j

Mỗi hàm bool f có một tập hợp hữu hạn công thức tối giản dạng đa thức và
quan hệ đơn giản hơn là một quan hệ thứ tự bộ phận trên tập đó
–
Công thức dạng tối tiểu dạng đa thức:
Công thức tối tiểu dạng đa thức của một hàm bool f là phần tử tối tiểu của tập
các công thức tối giản dạng đa thức của f
18
1010 1110 0110 0010
1011 1111 0111 0011
1001 1101 0101 0001
1000 1100 0100 0000
ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (3)
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
d
d
d
d

19
101 111 011 001
100 110 010 000
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
Sắp xếp các phần tử
của B
3
vào bảng
karnaugh
Sắp xếp các phần tử
của B
4
vào bảng
karnaugh
•
PHƯƠNG PHÁP KARNAUGH
–
Bảng Karnaugh

ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (4)
–

Sơ đồ karnaugh của hàm 3 hoặc 4 biến

20
B
3
f
000 0
001 0
010 1
011 1
100 0
101 1
110 1
111 0
1010 1110 0110 0010
1011 1111 0111 0011
1001 1101 0101 0001
1000 1100 0100 0000
101 111 011 001
100 110 010 000
B
4
f
0000 0
0001 1
0010 0
0011 0
0100 1
0101 1
0110 0

0111 1
1000 0
1001 0
1010 0
1011 0
1100 0
1101 0
1110 1
1111 1
hàm bool 3 biến f = 00110110
Hàm bool 4 biến f =0100110100000011
ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (5)
–
Định lý:
•
Sơ đồ karnaugh của
–
hàm đồng nhất 0 là bảng rỗng
–
hàm đồng nhất 1 là bảng có tất cả các ô dược « tô »
•
f ≤ g tương đương với sơ đồ karnaugh của g phủ sơ đồ karnaugh của f
•
Sơ đồ karnaugh của tích fg là giao của sơ đồ karnaugh của f và sơ đồ
karnaugh của g
•
Sơ đồ karnaugh của tổng f∨g là hợp của sơ đồ karnaugh của f và sơ đồ
karnaugh của g
•
Sơ đồ karnaugh của là sơ đồ « bù » của sơ đồ karnaugh của f (trong

sơ đồ karnaugh của f: xoá các ô được tô, tô các ô không được tô)
•
Sơ đồ karnaugh của mỗi từ tối tiểu chỉ có một ô được tô
–
Sơ đồ karnaugh và dạng chuẩn tắc của hàm tương ứng


21
f
101 111 011 001
100 110 010 000
zyx
yzx
zxy
zyx
⇒
Dạng chuẩn tắc của hàm tương ứng là:
zyxzxyyzxzyxf
∨∨∨=
ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (6)
–
Sơ đồ karnaugh và đơn thức
•
Định lý: trong F
n
, một đơn thức do p nhân tử nguyên tố tạo thành, sơ đồ
karnaugh của nó có 2
n-p
ô được tô. Sơ đồ karnaugh có hình chữ nhật gồm 2
n-p

ô
được tô là sơ đồ karnaugh của một đơn thức là tích của p literals (được gọi là
cell)
•
Cell của một đơn thức được chứa trọn vẹn trong các dòng và các cột thì công
thức của đơn thức là tích của các dòng, cột đó
–
Tìm công thức tối tiểu bằng phương pháp karnaugh
1. Lập bảng giá trị và sơ đồ karnaugh của f
2. Xác định các cell lớn (các cell không bị chứa trong cell khác)
3. Chọn các cell lớn chứa ít nhất một ô chỉ thuộc riêng cell đó, « chồng » các cell được
chọn (nhận được sơ đồ phụ).
4. Nếu nhận được sơ đồ trùng sơ đồ karnaugh của f thực hiện 6. Nếu không thực hiện 5.
5. Chọn trong các cell lớn còn lại cell lớn chứa nhiều ô chưa được tô nhất (trong sơ đồ
« chồng »). Nếu có nhiều cell lớn như vậy, chọn cell lớn nhất. Nếu tồn tại nhiều cell cùng
thoả mãn, chọn một trong số đó. Chồng lên sơ đồ phụ. Thực hiện 4.
6. Xây dựng công thức tối tiểu của f : là tổng của các công thức của các cell lớn được chọn
7. So sánh các công thức xây dựng được để xác định công thức tôt nhất (ít phép toán
nhất)
22
ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)
23
1010 1110 0110 0010
1011 1111 0111 0011
1001 1101 0101 0001
1000 1100 0100 0000
x
Các cell lớn
x
x

1.
xyz
2.
tzy
3.
tyx
4.
tzx
5.
zyx
ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)
24
Chồng các cell có ô chỉ thuộc mình nó, ta được sơ đồ phụ:
Sơ đồ phụ còn khác sơ đồ Karnaugh gốc, chọn một trong hai cell lớn 2.
hoặc 3, chồng lên sơ đồ phụ, ta được:
ĐƠN GIẢN CÔNG THỨC (7)
25
Sơ đồ phụ bây giờ trùng với sơ đồ Karnaugh gốc. Công thức tối tiểu dạng
đa thức của hàm tương ứng là:
3.) 5. 4. (1.
2) 5. 4. (1.
∨∨∨∨∨∨=
∨∨∨∨∨∨=
tyxzyxtzxxyzf
xztzyxtzxxyzf
Cả hai công thức « tốt » như nhau