Luận án tiến sĩ vật lý: Dao động tử điều hoà biến dạng và các ứng dụng trong vật lý lượng tử

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (24.01 MB, 117 trang )

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

1.1. Nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử - Đại số Hopf

1.2. Kiến thức chung về biến dạng lượng tử tổng quát1.2.1. Dao động tử điều hoà biến dạng tổng quát

1.2.2. Các mệnh đề tổng quát của lý thuyết biến dạng

1.3. Dao động tử q -biến dang của các hệ boson và fermion đơn và<small>đa mode.</small>

1.3.1. Hàm cấu trúc F(x) của dao động tử boson q -biến dạng1.3.2. Dao động tử ạ -bién dang

<small>1.4. Thống kê biến dạng 4</small>

Chương 2. MỘT SOVAN ĐỀ VE BIẾN DANG LƯỢNG TỬ TỔNG QUÁT

2.1. Tính phi tuyến của biến dạng lượng tử tổng quát

2.2. Các phương trình trường biến dạng tổng qt

2.2.1. Phương trình sóng biến dang tổng quát

2.2.2. Phương trình Kiein-Gordon va Maxwell biên dạng

2.3. Nhóm lượng tử và mo hình chuẩn

2.3.1. Đại số s/2) suy rộng

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

2.3.2. Cơ chế Higg trong mơ hình chuẩn biến dang tổng qt

2.4. Biến dạng lượng tử tổng quát khi q bằng căn đơn vi

2.4.1. Các biến dạng hữu hạn và vô hạn chiều của đại số daođộng tử biến dạng tổng quát

2.4.2. Sự gián đoạn của không gian pha cho dao động tử biếndang tổng quát khi g bằng căn don vi

Chương 3. BIẾN DẠNG LƯỢNG TỬKHI THAM SỐ TRO THÀNH

TOÁN TU

3.1. Dao động tử £ -biến dạng - Guon.

3.1.1. Ưu thế của g -biến dang so với q -biến dạng

3.1.2. Hệ dao động tử g -biến dạng. Các tính chất của g

3.2. Tính nhân quả của £ -trường3.2.1. Luong tử hố g -truờng

3.2.2. Tính nhân quả của trường lượng tử ‡ -biến dạng

3.3. Thống kê para-Bose và các trang thái kết hợp

3.3.1. Dao động tử paraboson g -biến dang

3.3.2. Phân bố thống kê para-Bose ¢ -biến dang

<small>3.3.3. Trang thái kết hợp của paraboson g -biến dang3.4. Đại số siêu đối xứng g -biến dạng khi N = 2</small>

Kết luận

Danh mục các cơng trình của tác giả liên quan đến luận án

Tài liệu tham khảo

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

MỞ ĐẦU

Khi nghiên cứu các hệ vật lý, ta thường gặp các tính chất đối xứng của

chúng. Đối xứng đóng một vai trị quan trọng trong vật lý hiện đại. Đối xứng

chuẩn dẫn đến những lý thuyết chuẩn, đối xứng không gian tinh thể là cơ sở

của vat lý chất rắn, đối xứng conform là đối xứng quan trọng trong lý thuyết

dây... Vì vậy, sự phát triển của vật lý hiện đại gắn liền với việc nghiên cứu đối

Các tính chất đối xứng tương ứng với các phép biến đổi và do đó liên

quan đến khái niệm nhóm. Các lý thuyết chuẩn được xây dựng trên cơ sở các

nhóm chuẩn 7), SU(2) và SU(3) đã mô tả rất thành công các tương tác điện

từ, yếu và mạnh của các hạt cơ bản. Từ đó mơ hình chuẩn (standard model)

dựa trên nhóm chuẩn SU(3) ® SU(2) ® U(1) nhằm thống nhất các tương tác

điện từ, yếu và mạnh đã ra đời. Mơ hình chuẩn đã chứng tỏ là một lý thuyếttốt khi mà hầu hết các dự đốn của nó đã được thực nghiệm khẳng định ở mức

năng lượng nhỏ hơn 200 GeV. Mặc dù vậy, nó cịn nhiều hạn chế trước hết là

chưa giải thích được các dữ kiện thực nghiệm ở vùng năng lượng cao hơn và

chưa giải quyết được một số vấn đề lý thuyết của bản thân mơ hình như: các

hạt được đưa bằng tay vào các đa tuyến của nhóm chuẩn, có một số lớn các

tham số như các hằng số tương tác và khối lượng... Những hạn chế này dẫn

đến sự cần thiết phải nghiên cứu các mẫu chuẩn mở rộng.

Một trong các phương hướng có triển vọng là mở rộng bản thân kháiniệm về nhóm để có nhóm lượng tử thay thế cho các (siêu) nhóm chuẩn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Trong những năm gần đây đối xứng lượng tử mà cấu trúc tốn học của

nó dựa trên nhóm lượng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào

nhiều lĩnh vực của vật lý. Phát minh của Macfarlane và Biedenham về sự thựchiện đại số lượng tử sz (2) trong thuật ngữ của q-dao động tử điều hoà đãlàm nảy sinh ra việc áp dụng đối xứng lượng tử trong các vấn đề hiện thực của

vật lý. Nhìn vào lịch sử vat lý, ta thấy rang các nhà vat lý đã nhiều lần biến

dạng (deform) các qui luật vật lý cơ bản. Lý thuyết mới (đã biến dạng) là tổng

quát hơn và chứa lý thuyết ban đầu như là một trường hợp giới hạn khi tham

số biến dạng tiến đến một giá trị đặc biệt. Ví dụ: cơ học tương đối tính sẽ trở

thành cơ học Newton khi tham số biến dạng 8= Lar hay cơ hoc lượng tử

cho lại các kết quả của cơ học cổ điển trong giới hạn = co (S§ là tác dụng).

Vì các tham số ~ và = là các tham số không co thứ nguyên. ý nghĩa vat lý

-của biến dang liên quan đến các hằng số cơ ban c va đ. Do đó có thể nghĩrang biến dạng ¿ cũng sẽ kết hợp với một hằng số vật lý co bản nào đó.

Phải nói rằng ý tưởng về nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử là một ý

tưởng mới mẻ, có tính đột phá. Nội dung của ý tưởng này là dua /ý thuyét

thoát khỏi phạm vi các nhóm cổ điển, điều này đã dẫn đến nhiều thống kê

mới với các hạt được đoán nhận: thống kê phân số (hạt anyon), thống kê q biến dang (hạt guon), thống kê g-bién dạng (hạt guon), thống kê para

-(parafermion, paraboson ...). Nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử có khả năng

đưa đến một phát triển mới trong lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết các hạt

cơ bản, vũ trụ học và đặt ra những vấn đề toán học như lý thuyết biểu diễn của

những nhóm lượng tử.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Nhóm lượng tử có thể trở thành nhóm đối xứng quan trọng cho vật lý lýthuyết nói chung và cho lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết thống nhất nói

riêng khi xét vùng năng lượng Planck.

Nghiên cứu đối xứng lượng tử là một công việc cần thiết, hiện đại và có

thể dẫn đến nhiều kết quả mới.

Trong khoảng ba mươi năm trở lại đây chúng ta đã chứng kiến sự thành

cơng của việc áp dụng các nhóm chuẩn vào lý thuyết hạt cơ bản. Tuy nhiên có

một số vấn đề còn để ngỏ liên quan đến việc đưa vào các vơ hướng Higgs, các

khó khăn của lý thuyết thống nhất lớn khiến cho ta nghĩ rằng nguyên nhân

không phải có tính chất kỹ thuật mà là do khn khổ của lý thuyết chuẩn trên

cơ sở nhóm Lie. Phương án sử dụng nhóm lượng tử thay cho nhóm Lie trong

lý thuyết trường chuẩn dường như là tự nhiên.

Bản luận án này nghiên cứu về một số vấn đề theo các phương hướng

phát triển mới của biến dạng lượng tử trong lý thuyết trường lượng tử vật lý hạt

cơ bản, cụ thể là biến dạng lượng tử tổng quát và biến dạng khi tham số trở

thành toán tử.

Cấu trúc của luận án như sau:

Trong chương | chúng tôi dé cập đến một số kiến thức tổng quan về

nhóm lượng tử và dao động tử biến dạng tổng quát. Để bát đầu chúng tơi trình

bày về sự xuất hiện của nhóm đối xứng lượng tử, bản chất của nhóm lượng tử

SŨ (2) và đại số Hopf. Sự biến dạng q của một hệ vat lý khỏi cơ học lượng tửbình thường (thơng qua dao động tử điều hồ q -biến dạng), rất nhỏ ở vùng

năng lượng bình thường nhưng trở nên đáng kể ở vùng năng lượng Planck và

do đó việc nghiên cứu q-bién dang trở thành quan trọng đối với lý thuyết

trường. Tiếp theo đó, chúng tơi sẽ giới thiệu cụ thể về dao động tử biến dang:

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

tổng quát, hệ thức giao hoán cơ bản của hệ biến dang này. Đối với mỗi cơ cấu

biến dạng thì các hàm cấu trúc sẽ được xác định khác nhau và chúng tôi cũngdẫn ra vài dạng hàm cấu trúc, đồng thời chứng minh một số tính chất quan

trong của lý thuyết biến dang. Ngồi ra, chúng tơi sẽ hệ thống hoá các khái

niệm về 4 -boson “vật lý” và “toán học” cũng như khác biệt của chúng vớiquon. Các định nghĩa, hàm cấu trúc và phân bố thống kê cho các hệ q -biến

dang boson và fermion đơn va da mode cũng được trình bày.

Chương 2 là các kết qua của chúng tơi dựa trên các cơng trình [4-6].Trong chương này chúng tơi trình bày một số vấn đề về biến dạng lượng tử

tổng quát khi tham số là c -số. Như chúng ta đã biết, có nhiều co cấu biến

dạng khác nhau và chi trong thời gian gân đây việc thống nhất các cơ cấu mới

được nghiên cứu đây đủ như chúng tôi đã hệ thống trong chương 1. Các kết

quả mà chúng tôi thu được trong chương 2 này sẽ là tổng quát và có thể áp

<small>dụng được cho mọi loại -biến dang. Dựa trên ý tưởng của L. De Faico và</small>

một số tác giả khác, chúng tôi sẽ chi ra rang dao động tử biến dạng tổng quát

là một dạng của dao động tử phi tuyến bình thường với tính phi tuyến đặc biệt.

Nhờ nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát dưới dạng phi tuyến mà

chúng tơi dẫn ra được phương trình chuyền động và biểu thức cho toa độ vật lý

x của dao động tử này và thơng qua đó chúng tơi biến dạng phương trình

<small>Klein-Gordon và Maxwell thành các phương trình phi tuyến [6].</small>

<small>Cũng trong chương này chúng tôi nghiên cứu về cơ chế Higgs khi mở</small>

rộng nhóm SU/(2) cổ điển thành nhóm biến dạng tổng quát SU, (2) [5]. Kết

quả là mối liên hệ giữa khối lượng các hạt W và Z trong trường hợp biến

dang tổng quát này cũng có dạng như trường hợp cổ điển và sẽ trở về trường

hợp cổ điển khi tham số biến dạng bằng 1. Đặc biệt đáng lưu ý là khi tham số

biến dạng q bằng căn don vị. Khi g khác can don vi, lý thuyết biểu diễn

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

giống như lý thuyết “cổ điển”, tức là mỗi biểu diễn bất khả qui ứng với một

vector trưởng. Còn khi 4 bằng căn don vị thì lý thuyết biểu diễn trở nên khác

hẳn. Lúc này tôn tai các vector trưởng nhưng biểu diễn lại là bất khả qui.

Chúng tôi sẽ chứng minh khi ạ bằng căn đơn vị thì biểu diễn vô hạn chiều của

đại số biến dạng tổng quát được tách thành biểu diễn vô hạn chiều của đại số

boson thông thường và biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng. Đồng

thời chúng tôi cũng chỉ ra rằng trong trường hợp này không gian pha của daođộng tử biến dạng tổng quát là gián đoạn [4].

Trong chương 3 chúng tơi trình bày một số vấn đề về hệ dao động tử g biến dạng, tức là về các hạt guon dựa trên kết qua của các cơng trình [7], [12],

-[13], [15]. Lác này các tham số biến dạng khơng cịn là c -số nữa mà trở thành

tốn tử. Mở dau, chúng tơi giải thích nhu cầu mở rộng q biến dạng thành ¢

cho tốn tử g. Tiếp theo đó, chúng tơi lượng tử hố £ -trường thơng qua các

8 -dao động tử và dẫn ra các hệ thức giao hoán cho £ -trường [10]. Sử dung

các kết quả này, chúng tơi chứng minh tính nhân quả vi mơ của lý thuyếttrường £ -biến dạng [12], [15] và qua đó chúng tôi chỉ ra sự thống nhất cao

của lý thuyết g -trường với lý thuyết trường khơng biến dang vì tính nhân quả

<small>này khơng có được trong lý thuyết trường q -biến dang.</small>

<small>Cũng trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về hệ dao động tử</small>

paraboson g biến dang [7], dẫn ra hệ thức giao hoán cho hệ dao động tử ê

<small>-paraboson, hàm phân bố và trạng thái kết hợp cho thống kê này. Điều lý thú làhàm phân bố trong trường hợp khi tham số là toán tử lại trở về dạng thông</small>

thường (không biến dạng) và một lần nữa chúng ta thấy rõ ưu điểm của việc

mở rộng q -biến dạng thành £ -biến dạng. Tiếp theo, chúng tôi dé cập đến một

dạng siêu đại số SUSY g-bién dạng khi N =2 [13]. Nó được cấu trúc từ

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

boson £-biến dạng và fermion thông thường. Phương pháp đó có thể dẫn đến

một loạt các cơng trình nghiên cứu về siêu đại số lượng tử, ví dụ nếu chúng takết hợp với một số kết quả thu được trong [7] khi nghiên cứu £ -paraboson thì

sẽ thu được đại số para siêu đối xứng £ -biến dạng...

Các kết quả chính của luận án có thể tóm tắt như sau:

e Mở rộng một số kết quả cho các dao động tử biến dạng với các

dạng riêng biệt trở thành tổng quát, cụ thể là: chứng minh dao

động tử điều hoà biến dạng tổng quát là một dao động tử phi

tuyến, biến dạng các phương trình Klein-Gordon va Maxwell,nghiên cứu cơ chế Higgs biến dang và trường hợp biến dạng khi

q bằng căn đơn vi.

e Xây dung lý thuyết £ trường lượng tử bang cách lượng tử hoá £

-trường thông qua các g-dao động tử, dẫn ra các hệ thức giaohoán cho 8 -trường và chứng minh tính nhân quả vi mơ của £-

<small>© Nghiên cứu hệ dao động từ § -paraboson, dẫn ra hệ thức giao</small>

hốn, hàm phân bố và trạng thái kết hợp cho thống kê này.

e Đề xuất một dạng siêu đại số SUSY ê -biến dạng khi N =2.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Chương 1

TỔNG QUAN VỀ NHÓM LƯỢNG TỬ

VÀ DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT.

Trong chương | này chúng tôi dẫn ra một số kiến thức cơ sở về nhóm

lượng tử và dao động tử biến dạng tổng quát. Mục 1.1 sẽ trình bày bối cảnh

của sự xuất hiện nhóm đối xứng lượng tử. Để bát đầu chúng tôi xin nêu lênmột số ứng dụng của phương trình Yang-Baxter (YBE) và bản chất cua đại số

Hopf, từ đó có thể thấy rằng nhóm lượng tử khơng phải là nhóm hoặc bán

nhóm mà thực chất là nhóm của đại số Hopf, đồng thời chũng tơi cũng chỉ ra

tầm quan trọng của nhóm lượng tử trong việc nghiên cứu lý thuyết trường.

Như chúng ta đã biết, có nhiều loại cơ cấu biến dạng khác nhau và chỉ

trong thời gian gần đây việc thống nhất các dạng mới được nghiên cứu day đủ.Cũng có nhiều sơ đồ về vấn đề hợp nhất các loại biến dạng, ví dụ như sơ đồ

hợp nhất Beckers-Debergh [16], Odaka-Kishi-Kamefuchi [85], hay hợp nhất

theo phương pháp dao động tử điểu hoà biến dạng tổng quát của

Daskaloyannis [36-37]... Tuy vậy D. Bonatsos đã chứng minh rằng các sơ đồ

hợp nhất là tương đương [21]. Vì vậy trong mục 1.2 chúng tơi xin trình bày về

dao động tử điều hồ biến dạng tổng quát (phương pháp hợp nhất các cơ cấubiến dạng của Daskaloyannis) và ba mệnh đề tổng quát của lý thuyết biến

<small>dạng. Tiếp theo, mục 1.3 sẽ đi vào chi tiết cách tìm hàm cấu trúc (đặc trưng</small>

cho mỗi loại biến dạng) của hệ boson q -biến dạng “vật lý” và “tốn học”.

Cũng trong mục này chúng tơi sẽ hệ thống các hệ dao động tử q -biến dang

boson đơn, đa mode cùng với biểu diến Fock của chúng và phân biệt chúng

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

với hệ guon. Trong mục 1.4 chúng tôi sẽ dẫn ra các thống kê của các hệ nêu

trên và giới han của chúng khi tham số biến dạng q tiến tới 1.

1.1. Nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử - Đại số Hopf

Đối xứng đóng một vai trị rất quan trọng trong vat lý hiện đại. Đối

-xứng chuẩn dẫn đến những lý thuyết chuẩn, đối -xứng không gian tinh thể là cơ

sở của vật lý chất ran, đối xứng conform là đối xứng quan trong trong lýthuyết dây... Vì vậy sự phát triển của vật lý hiện đại gắn liền với việc nghiên

cứu đối xứng.

Trong những năm gần đây, các nhà vật lý lý thuyết quan tâm rất nhiều

đến nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử. Ý tưởng về nhóm lượng tử và đối

xứng lượng tử là một ý tưởng mới có tính đột phá. Nội dung của ý tưởng nàylà dua Ly thuyết thốt khỏi phạm vi các nhóm cổ điển , điều này đã dẫn đến

nhiều thống kê mới như thống kê phân số (hat anyon), thống kê 4 -biến dạng

(hạt quon), thống kê g-bién dang (hạt guon), thống kê para (parafermion,

<small>. Nhóm đối xứng lượng tử được Drinfel’d va Jimbo dua vào lý thuyết lúc</small>

các tác giả này nghiên cứu phương trình Yang-Baxter (YBE). Hiện nay<small>phương trình Yang-Baxter được biết là đóng một vai trị quan trọng sâu sắc</small>

trong nhiều bài toán vật lý lý thuyết như:

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

e cơ học thống kê (Baxter 1982),

e mô hình khả tích của lý thuyết trường (Sklyanin 1980, Kulish va

Sklyanin 1980, Kulish và Reshitikhin 1981, de Vega 1987),

e lý thuyết chính xác S-ma trận (Zamolodchikov 1979),

e lý thuyết trường hai chiều đối với các trường tuân theo thống kê

trung gian (Frohlich 1987),

e lý thuyết trường conform (Moore và Seiberg 1988, Frenkel va Jing

<small>1988, Bernard 1988),</small>

Ban chất của YBE có thé tóm tắt như sau:

Nếu hằng đẳng thức Jacobi là điều kiện về tính liên kết (associativity)

đối với một đại số Lie, thì YBE đóng vai trị tương tự đối với một cấu trúc đạisố mới, một đại số mở rộng của đại số Lie. Cấu trúc đại số này thường đượcgọi là q -bién dạng của đại số Lie và nhóm tham số q.

<small>Vi dụ xét nhóm lượng tử SU, (2) được định nghĩa thông qua các hệ thức</small>

[ia |=#1,, [đ,„.Ì=|,|, (1.1.1)

trongđó [x] =

Khi ạ=e với y >0 (tức là g—>L) thì [2/,]—>2/, va chúng ta trở về

trường hợp cổ điển.

Hệ thức (1.1.1) trên không thể ứng với một đại số Lie mà có thể làm

ứng với một dai số liên kết (associative) vô hạn chiều U (sz(2)).

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Đại số Ú, (sz(2)) là một biến dang của đại số bao phổ cập của sz(2) ký

Nhu vậy đại số U, xét về mặt toán học là một đại số Hopf.

Trong trường hợp xét đối xứng lượng tử khi có hai mơmen thì các hệ số

Clebsh-Gordan thơng thường khơng cịn đúng nữa và phải phát triển một

phương pháp mới để tìm các q-hé số tương tự (phép đồng

Sự biến dạng của một hệ vật lý khỏi cơ học lượng tử thơng thường

(nói chung sự biến dạng đó dựa trên 4 -dao động tử điều hoà) là một vấn đề

đang được nghiên cứu, sự biến dạng này có thể là rất nhỏ ở các năng lượng

bình thường. Tuy vậy ở vùng năng lượng Planck thì sự biến dạng này có thể

trở nên lớn đáng kể và trở thành quan trọng đối với lý thuyết trường.

Lưu ý rang nhóm lượng tử khơng phải là nhóm hoặc bán nhóm

(semi-group). Nhóm lượng tử thực chất là đại số Hopf [28] (hay nhóm ứng với đại số

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Nếu xét tích tenxo của các biểu diễn 4A— A@A_ thơng qua phép

đồng nhân A

A(ab)=A(a)A(b) (a,b A), (1.1.2)

thì chúng ta có thé tích hợp hai biểu diễn (vi dụ cộng hai momen

góc) khi xét hai hệ vật lý (thuộc hai biểu diễn) tương tác với nhau.

© Phép đối cực (antipode) Š (ứng với việc mỗi yếu tố của nhóm có

yêú tố nghịch đảo).

Khi đó tập (A,m,7,A,S) sẽ thành lập đại số Hopf.

Nhiều tác giả đã làm rõ mối liên quan sâu xa giữa nhóm lượng tử và đại

số Virasoro trong lý thuyết dây.

Việc đưa nhóm lượng tử vào lý thuyết dây là một vấn đề khó, song có

thể dẫn đến nhiều kết quả lý thú. Hiện nay đã có nhiều cơng trình nghiên cứu

vấn đề thiết lập mối liên quan giữa các trang thái vi mô lượng tử với entropycủa lỗ đen [98]

5 <i ôi (1.1.3)

với s- số chiều không thời gian.

<small>Các trạng thái vi mô lượng tử phụ thuộc vào thống kê và do đó phụ</small>

thuộc vào nhóm lượng tử khi nhóm này được đưa vào lý thuyết.

Vì vậy nhóm lượng tử trở thành nhóm đối xứng quan trọng cho vật lý lý

thuyết nói chung và cho lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết thống nhất nói

<small>riêng khi xét vùng năng lượng Planck ~ 10°GeV (ứng với độ dài cơ ban</small>

10°° m). )

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Nghiên cứu đối xứng lượng tử là một công việc cần thiết, hiện đại và có

thể dẫn đến nhiều kết quả mới. Nhóm lượng tử và đối xứng lượng tử có khả

năng đưa đến một phát triển mới trong lý thuyết trường, lý thuyết các hạt cơ

bản, vũ trụ học...

1.2. Kiến thức chung về biến dạng lượng tử tổng quát

Trong mục I.1, chúng ta đã đưa ra kiến thức tổng quát về nhóm lượng

tử và tầm quan trọng về việc nghiên cứu nhóm này. Việc sử dụng nhóm lượng

tử đã giúp các nhà vật lý xây dựng được những mơ hình vật lý cho ta các bổ

sung chính xác hơn với thực nghiệm, đặc biệt có hiệu quả khi xét đến vùng

<small>năng lượng cao.</small>

Để hình dung rõ hơn về nhóm lượng tử và đại số lượng tử, trong mục

này chúng tôi xin trình bày về dao động tử biến dạng tổng qt, các dạng và

một số tính chất của nó.

1.2.1 Dao động tử điều hồ biến dạng tổng qt [36], [37]

Nhóm lượng tử 5/2) lần đầu tiên được đưa ra bởi Kulish vàReshetikhm [70]. Trong cơng trình [17] tác giả Biedenharn đã đưa vào dao

\/- / ⁄⁄4 99

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

động tử điều hoà 4 -biến dạng và xây dựng một cách thực hiện của SU,(2) ,điều này cũng duoc làm song song độc lập bởi Macfarlane [77].Polychronakov [90] đã nghiên cứu các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của

một nhóm lượng tử biến dạng tổng quát với phép đồng nhân; trong cơng trìnhnày tác giả đi đến kết luận rằng biến dạng duy nhất mà có thể thu được qua sự

thực hiện nhờ dao động tử phải là một g -biến dạng . Chúng ta sẽ bat đầu từ

một biến dạng bất kỳ của dao động tử và xây dựng đại số của dao động tử biến

dạng tổng quát bằng cách nghiên cứu các tính chất của chúng. Những kết quả

này là tổng quát va có thể áp dụng cho mọi trường hợp biến dạng, gồm ca

g-biến dạng .

Biến dạng tổng quát của dao động tử điều hồ có thể được cho bởi hệ

thức giao hốn cơ bản

aa = g(a a), (1.2.1)

<small>trong đó a,a là các toán tử hermitic liên hợp.</small>

<small>Trong đại số của dao động tử bình thường hàm g(x) được định nghĩa</small>

Khi đó sử dụng (1.2.1) và (1.2.2), ta có

[a.z ]=l. (1.2.3)

Tốn tử số N được định nghĩa thông qua các hệ thức giao hoán

[M.a]=-a, [Na ]=a” (1.2.4)

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Gia sử rằng toán tử số N nay được biểu diễn thơng qua các tốn tử sinh

“(ela <sup>a)) -(e2')</sup>

<small>Tương tự ta cũng thu được</small>

La (aaŸ ]==z |(s(œ a)Ÿ ~(œ aŸ} (1.2.7)

Các phương trình (1.2.6) va (1.2.7) dẫn đến

Ia./(xa)] =(¢(g(a"a))-f(a°a))a, (1.2.8)

[a", f(a°a)| = -a( f(g(a"a))- /(ø a)): (1.2.9)

/Z(s(z))=I+/(z) (1.2.10)

Nhu vay từ phương trình (1.2.10), nếu biết hàm g(x) thì ham f(x) séhồn tồn được xác định.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Nếu ta gọi #(+x) <sup>là hàm ngược của ham f(x), tức là</sup>

F=/` hay F(f(x))=x (1.2.11)

thì ham g(x) sẽ được xác định thong qua hàm ƒ(x) như sau

g(x) =F (1+ f(x). 212)

Trong phương trình (1.2.10), nếu ta thay x bằng a‘a thì với định nghĩa

(1.2.1), biến dạng tổng quát của dao động tử điều hoà sẽ được biểu diễn thơng

qua hệ thức giao hốn

ƒ(aa)- f(aa)=1. (1.2.13)

_ Đây là hệ thức giao hoán biến dang của hệ thức giao hoán (1.2.3).Trong hệ thức giao hoán biến dạng (1.2.13) này ham f(x) (hay hàm #(x))được gọi là hàm cơ sở (hoặc hàm cấu trúc) của lý thuyết biến dạng, còn hàm

g(x) là hàm bổ tro.

Dưới đây ta liệt kê ra một số dạng hàm cấu trúc F(x) thường gặp

F(x) Tai liéu tham khao

i x dao động tử điều hoà

ii P — dao động tử điều hoà q -biến dạng [58], [77]

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

-1.2.2 Các mệnh đề tổng quát của lý thuyết biến dang

Ménh dé ¡. Liên quan đến tác dụng của toán tử 4,4” lên vector riêng của

tốn tử số N

Như mục trên đã nói, giả sử f(x) là hàm thực và aa` là hai toán tửliên hợp hecmitic thoả mãn (1.2.13)

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Do F=f nên từ day ta có thể kết luận [n]= F0).

Với giả thiết rằng

[0]=0 hay aj0)=0.

Bang cách quy nap ta có thể chứng minh mệnh đề tiếp sau.

Ménh đề 2. Liên quan đến cấu trúc đại số Lie biến dạng

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Từ phương trình (1.2.16) ta có vector trạng thái riêng của toán tử số

N = ƒ(a'a) được biểu diễn bởi công thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Ripa SE TH... (1.2.31)

Giả sử [X, l, là biểu diễn cở sở của đại số va a,la tập của dao động tử

biến dạng . Khi đó tốn tử

7,= da [X,] 2, (1.2.33)

<small>là toán tử gây (generator) biến dạng của đại số lượng tử biến dạng [17], [77].</small>

<small>Bây giờ chúng ta sẽ xem xét cách thực hiện của nhóm lượng tử biến</small>

<small>dạng SU(2) thơng qua hệ dao động tử biến dang hai mode</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Sau một số biến đổi đơn giản ta thu được các hệ thức giao hoán của đại số

biến dạng su(2) như sau

[Jy.J_ |=,

[J,,J_]=H(L+J,,L-J)), (1.2.36)(LJ, <sup>|= 0,</sup>

[L,J,]=9,trong đó hàm /(x, y) được định nghĩa

NHŒG,y)= F(x) +)-F (4+ DF). (1.2.37)

Nếu đại số su(2) đối xứng được hiểu là các dao động tử biến dang co

bản là như nhau, tức là #(x)= ;(x) = F(x)thì hàm F(x, y)là hàm phản đối

Ménh đề 3. Liên quan đến phép đồng nhân, hệ số Clebsh-Gordan

Xét hệ dao động tử đa mode (2 mode) với các toán tử a,,a, thoả mãn hệ

thức giao hoán

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

f(a; )- #(ạa,)=1 i=12, (1.2.40)

ta cĩ khơng gian của biểu diễn của nhĩm SU/(2) là khơng gian Fock với các cơsở là các véc tơ trạng thái riêng của tốn tử số N

Trang thái riêng |n) trong (1.2.41) được xác định bởi hai tham số 7, và

<small>n, sẽ được viết lại thơng qua /,m nhờ (1.2.45)</small>

ym) =o) 2)<sub>0), 1.2.46</sub>

emia 1246)

<small>trong đĩ</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

[z].=#(œ)=/;'(œ) i=12, (1.2.47)

vì lưu ý rằng các hàm cấu trúc của các mode khác nhau là khác nhau.

Sử dụng các công thức (1.2.15), (1.2.16), (1.2.35) và (1.2.47) chúng tacó thể dễ dàng tìm được các kết quả sau

Làm tương tu như q trình trên chúng ta có thể xây dung được cách

thực hiện cho nhóm lượng tử biến dạng SU(3) [87] và cho mọi nhóm cổ điển

biến dạng nói chung. Vấn đề đồng nhân của các nhóm SU(2) biến dạng, liên

<small>quan chặt ché với việc tính hệ số Clebsh-Gordan luôn là một vấn đề thời sự và</small>

\. (1.2.51)

vẫn đang được các nhà vat lý nghiên cứu (xem 1.1).

Do điều kiện

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

E.(I+m)>0 (1.2.52)

phải được thoả mãn (vì F tương ứng số hạt) nên các phương trình

(1.2.48)-(1.2.51) sẽ đưa ra mối ràng buộc đối với các trị số cho phép của / và m.

Lý thuyết tổng qt trình bày ở đây có thể ứng dụng cho các nhóm biến

dạng phi tuyến rất cần thiết cho các đối xứng bị phá vỡ.

1.3. Dao động tử g-bién dạng của các hệ boson và fermion

đơn va da mode.

Trong mục nay chúng tơi xin trình bày cụ thé về các hệ dao động tử q

<small>-biến dạng boson và fermion, cách tìm hàm cấu trúc của chúng, đồng thời</small>

chúng tơi cũng phân biệt một một số thuật ngữ dễ gây lâm lẫn như q -biến

1.3.1. Hàm cấu trúc F(x) của dao động tử boson q-bién

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Bây giờ chúng ta sẽ dẫn ra cách tìm hàm cấu trúc cho hệ dao động tửtử boson q -biến dạng “vật lý” và “toán học”.

1⁄Hàm cấu trúc của hệ boson q -bié dang: F(x)= +

Dao động tử biến dang q-boson được định nghĩa thơng qua các hệ thức

aa —=qaa=q ”, [N.=-a. [N.a ]=z. đa)

Dua vào tốn tử mới N, có dang như tốn tử số trong trương hợp khơng

<small>Bây giờ chúng ta sé tìm cơng thức xác định ø„.</small>

Cho toán tử X, tác động lên trang thái a”

m) [83]

Nạa' |m) =a’ aa' |m) =a" (q" +N, )|m) <sub>(1.3.5)</sub>

. =a'4”|m)+a'qø„|m) =(4 ” +qø„)a' |m). 7

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Mat khác ta cũng có

N,|m+1)=a,,,,|m+1). (1.3.6)Lưu ý rằng a' |m) ~|m+1) nên nếu so sánh (1.3.5) và (1.3.6) ta suy ra

hệ thức truy hồi cho a,

đ„ ¿=4 ”+đđ„,. (1.3.7)

Rõ ràng N, |0)=a'a|0)=0 nên a, =0. (1.3.8)Từ công thức truy hồi (1.3.7) và điều kiện ban đầu (1.3.8) chúng ta tìm

~m iis ome oe | (m+l) — -(m+1)Bnei =đ (l+q> +q' +...4+q° )}=4 1 = an DU

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

2/Ham cấu trúc của hệ boson Q -biến dang: F (x)= te

Dé cho hệ thức giao hoán (1.3.1) trở nên khơng phụ thuộc vào tốn tử

N, khi q là số thực, Arik-Coon làm một số biến đổi như sau:

Dua vào các tốn tử A, 4” có liên hệ với a,a~ theo cơng thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

ta thấy rằng (1.3.17) vẫn có dạng như hai phương trình cuối của (1.3.1).

Như vậy các tốn tử A*,A vẫn có ý nghĩa là các toán tử sinh, huỷ. Từ

hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.3.1) và công thức (1.3.16) ta làm một

số biến đổi sau

aa` =qa'a=q ”,

4 YAA' ~aA'q ”A=4 `,

qỶAA' q4” )»A'A=qŸ,

AA' -q ”A'A=l. (1.3.18)Nếu đặt tham số biến dang mới là @ =q’ thi ta sẽ có hệ thức giao hốn

khơng phụ thuộc vào N như sau

AA -QA*A=1. (L319)

Vì vay dao động tử biến dang với các toán tử sinh, huỷ A*,A như trên

cịn được gọi là @-biến dạng hay q -boson “tốn học” [82].

Dé tổng kết ta có thể viết lại hệ thức giao hoán của Q-boson

AA'~Q4'A=l, [N,A]=-A, [N,4']=A.. (1.3.20)

Với hệ thức giao hoán này, làm tương tự như với biến dạng Biedenham ta thu được một số kết quả có dang đẹp hon

<small>Macfarlane-32</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

[M. =4, [M4], =-4, (1.3.21)

=— h F(x)= , 13,2

“To bay f0Ì^T SỐ (1.3.22)

trong đó tốn tử Mạ = A*A và ø„ là trị riêng của N, thoả mãn

Ng|m) = ø„ | mì). (1.3.23)

Cơng thức (1.3.22) cho ta hàm cấu trúc của hệ boson Q -biến dạng được

định nghĩa thơng qua hệ thức giao hốn (1.3.20), lần đầu tiên được đưa ra bởi

Arik và Coon và sau đó được Kuryshkin phát triển thêm.

1.3.2. Dao động tử -biến dạng [23]

Trong mục nay chúng tôi xin hệ thống các dao động tử 4ø -biến dạng

boson và fermion đơn và đa mode cùng với biểu diễn Fock của chúng.

1/ Dao động tử boson q -biến dạng đơn mode

Như mục 1.3.1 đã đề cập, dao động tử boson gq -bién dạng được định

<small>nghĩa thơng qua hệ thức giao hốn</small>

aa” =qa a=q ”, [N,a]=-a, [N,a* |=", (1.3.24)

<small>với géC;a",a,N là toán tử sinh, huỷ va toán tử số. Véc to trạng thái riêng</small>

của tốn tử số được xác định theo cơng thức (1.2.17)

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Rất thú vị khi đề cập đến trường hợp 4=e'””. Lúc này [m]=0 (xem

thêm mục 2.4) và không gian Fock bị chia.ra thành các không gian con

m-chiều khơng liên kết với nhau bởi tốn tử z,a'. Mỗi khơng gian con đó biểudiễn m-chiéu của đại số (1.3.24) và do đó có thể xem như các không gian con

riêng lẻ . Một hiện tượng tương tự sẽ xảy ra với bất kỳ q=e"” với r là một số

hữu tỉ khơng ngun.

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

Day chính là đại số dao động tử boson thông thường. Nhu vậy chúng ta

có thể kết luận rằng các tốn tử huỷ, sinh của hệ boson q -biến dang va khôngbiến dạng có thể biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.3.31).

2/Dao động tử biến dang q -fermion don mode.

Các toán tử huy, sinh của dao động tử biến dang q -fermion ký hiệu là

ƒ, f°, thoả mãn các hệ thức giao hoán [81]

#'+#'f/=4*, [N./]=-/. [M/]=#, — (3433)

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

trong đó là tốn tử số fermion q -biến dạng.

Trang thái riêng đã được chuẩn hoá của toán tử N được xác định theo

Biểu diễn trên là vô hạn chiều. Giống như trường hợp boson gq -biến

dạng, đối với những giá trị đặc biệt của q thì khơng gian Fock bị chia ra thành

<small>những không gian con không liên kết với nhau. Mỗi không gian như vậy thực</small>

hiện một biểu diễn hữu hạn chiều của đại số (1.3.33). Nếu xét riêng g =e”

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Số chiều của các không gian con không liên kết là số nguyên z nhỏ

nhất thoả mãn [n]’ =0. (Trường hợp q=e*"? là đặc biệt với ví dụ[nƒ ———>-7 “'n; những trường hop này cho ta biểu diễn vơ hạn chiều).

Với q=1 thì khơng gian Fock được phân thành không gian con hai

chiều và nguyên lý loại trừ Pauli có thể suy ra từ f* = ( N7 Ỷ =0.

Bây giờ chúng ta biến đổi các toán tử (với 4 thực)

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

ø _ để —Ì

[n° (iq; y" - = l¬-C- (4; )”

(i4; y = l+4;

tức là dẫn về được (1.3.40). Điều này cho ta thấy sự thuận lợi khi sử dụng

định nghĩa dao động tử Q -biến dạng theo kiểu Arik-Coon hay là q -biến dạng

Một điều đáng lưu ý ở đây là nếu dao động tử fermion q -biến dangđược định nghĩa thơng qua (1.3.33) thì chúng ta khơng tìm được các phép biếnđổi tương tự như (1.3.31) để xác định mối liên hệ các toán tử sinh huỷ của dao

động tử fermion q -bién dạng va dao động tử fermion thông thường (không

biến dạng). Tuy vậy Chaichian và Kulish trong [24] đã đưa ra một định nghĩa

khác cho dao động tử biến dạng q -fermion thay thế cho (1.3.33) như sau:

ID =C”*|0). (Chú ý rằng kết luận suy ra từ (1.3.41) là tương đương với hệ thức

C€?=C?=0_ và do đó khơng cân phải giả thiết chúng nữa). Điều đó có nghĩa

dao động tử q -fermmion xác định bởi dai số (1.3.41) là có chỉ một khơng gian

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

biểu diễn Fock (không biến dạng) tầm thường và do đó các dao động tử đó

chính là các fermion thông thường.

3/Dao động tử q -biến dang da mode

Trong mục này chúng ta sé xem xét các hệ biến dang da mode. Đối với

các dao động tử -biến dang boson va fermion với định nghĩa (1.3.24),

(1.3.28) và (1.3.33), (1.3.38) tương ứng, việc mở rộng cho hệ đa mode hoàntoàn đơn giản. Đối với hệ dao động tử boson q -biến dạng da mode chúng ta

Hién nay mot hé thức giao hoán biến dạng khác gọi là đại số guon

<small>cũng đang được nghiên cứu. Đại số đó được xác định bởi hệ thức</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

và hệ thức này có thể xem như là một phép nội suy giữa Bose va Fermi khi ¢

chạy từ +1 đến -1 trên trục thực. Tuy vậy chúng ta phải thấy rằng có một sự

khác biệt giữa các dao động tử q -biến dạng xác định bởi (1.3.45) và (1.3.47)

va guon. Thực vay, trong trường hợp của các dao động tử q-boson (q-fermion)thì các mode khác nhau (¡ # /) sẽ giao hốn (phản giao hốn), trong khi đó

quon sẽ giao hoán ““ kiểu q”, tức là chúng thoả mãn (1.3.48).

Hơn nữa, trong trường hợp của đại số guon thi khơng có một quy luật

giao hốn nào có thể áp đặt đối với a, a và a’, a' của các mode khác nhau. Cụthể các giao hoán a,a,-ga,a,=0 hoặc a;a; —4a;a; =0chỉ đúng khi 4” =1,

nghĩa là trở về dạng Bose hay Fermi tầm thường (xin xem thêm mục 3.1.1).

1.4. Thống kê q-bién dạng

<small>Trong mục này, chúng ta sẽ tính hàm Green biến dạng được định nghĩa</small>

<small>như là phân bố thống kê của z'z, f* f tuân theo đại số q -biến dang được xácđịnh qua (1.3.24), (1.3.28), (1.3.33) và (1.3.38). Như ta đã biết phân bố thống</small>

kê của toán tử F được xác định bởi cơng thức

Œ)=—Tr(e““F), (1.4.1)ch

<small>trong đó Z là hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động của hệ và có dạng</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Z=Tr(e** ), (1.4.2)

với B= A. k 1a hằng số Boltzman, 7 là nhiệt độ của hệ va H là Hamiltonian

của hệ, vết lấy theo day đủ các trang thái.

Sử dụng công thức thông thường

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

Đối với g -fermion tuân theo (1.3.33) và (1.3.38)

Lưu ý rang (1.3.24), (1.3.28) va (1.3.38) trở về hệ thức giao hoán của

dao động tử boson thơng thường nếu g=1 và q=+i. Khi đó các phân bố

(4a), (4'4) và (F°F) trong (1.4.5), (1.4.6) và (1.4.8) trở thành:

oo<sub>ef? —]</sub>

<small>tức là tuân theo thống kê Bose-Einstein.</small>

Còn (1.3.33) sẽ trở về hệ thức giao hoán của dao động tử fermion thông

<small>thường khi q =1 và tương ứng (1.4.7) trở thành</small>

<small>tức là thống kê Fermi-Dirac.</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Như vậy trong chương | này, chúng tôi đã hệ thống hoá một số điều cơ

bản cần thiết cho luận án về dao động tử điều hoà q -biến dạng tổng quát, cáckhái niệm về g-boson “vật lý” và “toán học” cũng như khác biệt của chúng

với guon. Các định nghĩa, hàm cấu trúc va phân bố thống kê cho các hệ biến dạng boson và fermion đơn và đa mode cũng được trình bày. Đồng thờichúng tơi cũng nêu lên nhu cầu và tâm quan trọng của việc nghiên cứu về

q-nhóm lượng tử và một số ứng dụng của chúng.

</div>