bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT

BÁO CÁO HỌC THUẬT

BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

CN. Hà Hữu Cao Trình

Hà Nội, 1/2021

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT

BÁO CÁO HỌC THUẬT

BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Xác nhận của bộ môn

Hà Nội, 1/2021

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

MỤC LỤC

1. Mở đầu……… 4

2. Cơ sở lý thuyết……… 5

2.1. Khái niệm đồ thị………... 5

2.2. Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông………. 8

2.3. Đồ thị vô hướng liên thơng……….. 11

2.4. Đồ thị có hướng liên thông……….. 12

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

1. MỞ ĐẦU

Trong thực tế có nhiều bài tốn được quy về bài toán đồ thị để giải quyết. Trong đó bài tốn tơ màu đồ thị có nhiều ứng dụng thiết thực trong kinh tế, kỹ thuật và đời sống. Chẳng hạn, bài tốn tơ màu bản đồ, bố trí kho chứa hóa chất, thiết kế các bảng vi mạch điện tử, sắp xếp lịch hỏi thi, bố trí các trạm truyền tin, xác lập các tuyến xe buýt thành phố, v.v ...

Có nhiều định lý nổi tiếng liên qua đến tô màu đồ thị như: Định lý Brooks, Minty về tô màu đỉnh; Định lý König, Vizing, Shannon về tô màu cạnh, định lý 5 màu của Heawood (1890) và Định lý 4 màu của Appel và Haken (1976).

Báo cáo này cung cấp một phần kiến thức về tô màu đồ thị, cụ thể là tô màu đỉnh của đồ thị và ứng dụng. Nội dung được chia thành 2 phần: Phần đầu giới thiệu về những kiến thức cơ bản về đồ thị và phần sau đề cập tới bài tốn tơ màu đỉnh của đồ thị, các định lý quan trọng, ví dụ và ứng dụng trong một bài tốn cụ thể là tơ màu bản đồ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Khái niệm đồ thị

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này. Chúng ta phân biệt các loại đồ thị khác nhau bởi kiểu và số lượng cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị. Để có thể hình dung được tại sao lại cần đến các loại đồ thị khác nhau, chúng ta sẽ nêu ví dụ sử dụng chúng để mô tả một mạng máy tính. Giả sử ta có một mạng gồm các máy tính và các kênh điện thoại (gọi tắt là kênh thoại) nối các máy tính này. Chúng ta có thể biểu diễn các vị trí đặt náy tính bởi các điểm và các kênh thoại nối chúng bởi các đoạn nối, xem hình 1.

Hình 1. Sơ đồ mạng máy tính.

Nhận thấy rằng trong mạng ở hình 1, giữa hai máy bất kỳ chỉ có nhiều nhất là một kênh thoại nối chúng, kênh thoại naỳ cho phép liên lạc cả hai chiều và khơng có máy tính nào lại được nối với chính nó. Sơ đồ mạng máy cho trong hình 1 được gọi là đơn đồ thị vô hướng. Ta đi đến định nghĩa sau:

Định nghĩa 1. Đơn đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Trong trường hợp giữa hai máy tính nào đó thường xun phải truyền tải nhiều thơng tin người ta phải nối hai máy nàu bởi nhiều kênh thoại. Mạng với đa kênh thoại giữa các máy được cho trong hình 2.

Định nghĩa 2. Đa đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Hai cạnh e và 1 e 2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.

Hình 2 Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại.

Hình 3 Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thơng báo.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Rõ ràng mỗi đơn đồ thị đều là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị nào cũng là đơn đồ thị, vì trong đa đồ thị có thể có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối một cặp đỉnh nào đó.

Trong mạng máy tính có thể có những kênh thoại nối một náy nào đó với chính nó (chẳng hạn vời mục đính thơng báo). Mạng như vậy được cho trong hình 3. Khi đó đa đồ thị không thể mô tả được mạng như vậy, bởi vì có những khun (cạnh nối một đỉnh với chính nó). Trong trường hợp nàychúng ta cần sử dụng đến khái niệm giả đồ thị vô hướng, được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 3. Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử (khơng nhất thiết phải khác nhau) của V gọi là cạnh. Cạnh e được gọi là khuyên nếu nó có dạng e = (u, u).

Các kênh thoại trong mạng máy tính có thể chỉ cho phép truyền tin theo một chiều. Chẳng hạn, trong hình 4 máy chủ ở Hà Nội chỉ có thể nhận tin từ các máy ở địa phương, có một số máy chỉ có thể gửi tin đi, còn các kênh thoại cho phép truyền tin theo cả hai chiều được thay thế bởi hai cạnh có hướng ngược chiều nhau.

Hình 4. Mạng máy tính với kênh thoại một chiều.

Định nghĩa 4. Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung.

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Nếu trong mạng có thể có đa kênh thoại một chiều, ta sẽ phải sử dụng đến khái niệm đa đồ thị có hướng:

Định nghĩa 5. Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Hai cung e<small>1</small>, e<small>2</small> tương ứng với cùng một cặp đỉnh được gọi là cung lặp.

Trong các phần tiếp theo chủ yếu chúng ta sẽ làm việc với đơn đồ thị vơ hướng và đơn đồ thị có hướng. Vì vậy, để cho ngắn gọn, ta sẽ bỏ qua tính từ đơn khi nhắc đến chúng.

2.2. Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng

Định nghĩa 6. Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số ngun dương, trên đồ thị vơ hướng G = (V, E) là dãy x , x , … , x trong đó

u = , v = , x x (x , x ∈) E, i = 0, 1, 2,…, n-1.

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình . Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu như khơng có cạnh nào bị lặp lại.

Ví dụ 1. Trên đồ thị vơ hướng cho trong hình 5: a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4. Còn d, e, c, a không là đường đi, do (c,e) không phải là cạnh của đồ thị. Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 5. Đường đi a, b, e, d, a, b có độ dài là 5 không phải là đường đi đơn, do cạnh (a, b) có mặt trong nó 2 lần.

Hình 5 Đường đi trên đồ thị

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Khái niệm đường đi và chu trình trên đồ thị có hướng được định nghĩa hoàn toàn tương tự như trong trường hợp đồ thị vô hướng, chỉ khác là ta có chú ý đến hướng trên các cung.

Định nghĩa 7. Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó, n là số nguyên dương, trên đồ thị có hướng G = (V, A) là dãy x , x , … , x trong đó

u = , v = , x x (x , x ∈) E, i = 0, 1, 2,…, n-1.

Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình . Đường đi hay chu trình được gọi là đơn nếu như khơng có cạnh nào bị lặp lại.

Ví dụ 2. Trên đồ thị có hướng cho trong hình 1.6: a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4. Cịn d, e, c, a khơng là đường đi, do (c,e) không phải là cạnh của đồ thị. Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4. Đường đi a, b, e, d, a, b có độ dài là 5 khơng phải là đường đi đơn, do cạnh (a, b) có mặt trong nó 2 lần.

Xét một mạng máy tính. Một câu hỏi đặt ra là hai máy tính bất kỳ trong mạng này có thể trao đổi thơng tin được với nhau hoặc là trực tiếp qua kênh nối chúng hoặc thông qua một hoặc vài máy tính trung gian trong mạng? Nếu sử dụng đồ thị để biểu diễn mạng máy tính này (trong đó các đỉnh của đồ thị tương ứng với các máy tính, cịn các cạnh tương ứng với các kênh nối) câu hỏi đó được phát biểu trong ngôn ngữ đồ thị như sau: Tồn tại hay không đường đi giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị.

Định nghĩa 8. Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thơng nếu ln tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

Như vậy hai máy tính bất kỳ trong mạng có thể trao đổi thơng tin được với nhau khi và chỉ khi đồ thị tương ứng với mạng này là đồ thị liên thông.

Ví dụ 3. Trong hình 6: Đồ thị G là liên thơng, cịn đồ thị H là khơng liên thơng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Ví dụ 4. Đồ thị H trong hình 2 gồm 3 thành phần liên thơng H<small>1</small>, H<small>2</small>, H<small>3</small>.

Trong mạng máy tính có thể có những máy (Những kênh nối) mà sự hỏng hóc của nó sẽ ảnh hưởng đến việc trao đổi thông tin trong mạng. Các khái niệm tương ứng với tình huống này được đưa ra trong định nghĩa sau.

Định nghĩa 10. Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh nếu việc loại bỏ v cùng với các cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị. Cạnh e được gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thơng của đồ thị.

Ví dụ 5. Trong đồ thị G ở hình 2, đỉnh d và e là đỉnh rẽ nhánh, còn các cạnh (d, g) và (e, f) là cầu.

Đối với đồ thị có hướng có hai khái niệm liên thơng phụ thuộc vào việc ta có xét đến hướng trên các cung hay không.

Định nghĩa 11. Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thơng mạnh nếu ln tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Định nghĩa 12. Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vơ hướng tương ứng với nó là vơ hướng liên thông.

Rõ ràng nếu đồ thị là liên thông mạnh thì nó cũng là liên thông yếu, nhưng điều ngược lại là khơng ln đúng, như chỉ ra trong ví dụn dưới đây.

Ví dụ 6. Trong hình 7 đồ thị G là liên thơng mạnh, cịn H là liên thơng yếu nhưng khơng là liên thơng mạnh.

Hình 8 Đồ thị liên thông mạnh G và đồ thị liên thông yếu H.

Một câu hỏi đặt ra là khi nào có thể định hướng các cạnh của một đồ thị vô hướng liên thơng để có thể thu được đồ thị có hướng liên thơng mạnh? Ta sẽ gọi đồ thị như vậy là đồ thị định hướng được. Định lý dưới đây cho ta tiêu chuẩn nhận biết một đồ thị có là định hướng được hay khơng.

Định lý 1. Đồ thị vô hướng liên thông là định hướng được khi và chỉ khi mỗi cạnh của nó nằm trên ít nhất một chu trình.

2.3. Đồ thị vơ hướng liên thơng

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày một số thuật ngữ cơ bản của lý thuyết đồ thị. Trước tiên, ta xét các thuật ngữ mô tả các đỉnh và cạnh của đồ thị vô hướng.

Định nghĩa 13. Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau nếu (u,v) là cạnh của đồ thị G. Nếu e = (u, v) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này là liên thuộc với hai đỉnh u và v, hoặc cũng nói là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu của cạnh (u, v).

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Định nghĩa 14. Ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên thuộc với nó và sẽ ký hiệu là deg(v).

Hệ quả 3. Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa là có bậc là số lẻ) là một số chẵn.

2.4. Đồ thị có hướng liên thơng

Định nghĩa 15. Nếu e = (u, v) là cung của đồ thị có hướng G thì ta nói hai đỉnh u và v là kề nhau, và nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v hoặc cũng nói cung này là đi ra khỏi đỉnh u và vào đỉnh v. Đỉnh u(v) sẽ được gị là đỉnh đầu (cuối) của cung (u,v).

Tương tự như khái niệm bậc, đối với đồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc ra và bán bậc vào của một đỉnh.

Định nghĩa 16. Ta gọi bán bậc ra (bán bậc vào) của đỉnh v trong đồ thị có hướng là số cung của đồ thị đi ra khỏi nó (đi vào nó) và ký hiệu là deg<small>+</small>(v) (deg<small>-</small>(v)).

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

3. TÔ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

3.1. Bài tốn tơ màu đỉnh

Bài tốn được đặt ra là: số màu tối thiểu cần thiết để tô cho các đỉnh của một đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau thì có màu khác nhau là bao nhiêu? Một cách tô màu thỏa mãn được gọi là một cách tô đúng.

Định nghĩa 1. Ta nói một đồ thị là k - sắc tính nếu nó có thể tơ đúng bằng k màu. Số màu tối thiểu cần thiết để tô đúng được các đỉnh của G, gọi là số sắc tính hay sắc số của đồ thị G và viết (G) = k.

Rõ ràng, sắc số của đồ thị đầy đủ n đỉnh bằng n: χ(K ) = n. Vì vậy có các đồ t_n hị với sắc số lớn tùy ý. Theo chiều ngược lại, χ(G) = 1 khi và chỉ khi G là đồ thị khơng, tức là đồ thị G có đỉnh nhưng khơng có cạnh, và χ(G) = 2 khi và chỉ khi G là một đồ thị hai phần khác không. Chú ý rằng một cây bất kỳ, cũng như mọi chu trình độ dài chẵn bất kỳ là 2 - sắc tính.

Ta có thể dễ dàng lấy ví dụ về đồ thị là 3 – sắc tính. Chẳng hạn, các chu trình độ dài lẻ hay các đồ thị bánh xe với một số lẻ đỉnh và đồ thị Petersen là 3 - sắc tính. Các đồ thị bánh xe với một số chẵn đỉnh là 4 - sắc tính. Trong [1] đưa ra một lớp đồ thị phẳng 3 - sắc tính đáng chú ý, đó là các đồ thị với n ≥ 6 đỉnh và mọi đỉnh có bậc 3 (Hình 10).

Hình 10. Đồ thị phẳng đẳng cấp bậc 3 là 3 - sắc tính

Nếu đồ thị có n đỉnh thì sắc số của nó khơng vượt q n, và nếu đồ thị chứa K (đồ _rthị đầy đủ r đỉnh) như một đồ thị con thì sắc số của nó khơng ít hơn r. Nhìn chung, các kết

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

quả này khơng giúp ta biết chính xác sắc số của một đồ thị. Tuy nhiên, nếu biết bậc của các đỉnh trong đồ thị thì ta có thể biết nhiều hơn.

Định lý 1.Nếu đơn đồ thị có bậc lớn nhất của đỉnh bằng thì là G Δ G (Δ + 1) - sắc tính. Chứng minh.Dùng phương pháp quy nạp toán học theo số đỉnh của G. Giả sử G là một đơn đồ thị n đỉnh. Nếu ta xoá một đỉnh bất kỳ v, cùng với các cạnh liên thuộc nó, thì đồ thị cịn lại là một đơn đồ thị (n - 1) đỉnh và bậc lớn nhất của đỉnh cùng lắm bằng Δ. Theo giả thuyết quy nạp, đồ thị này là (Δ + 1) - sắc tính. Giữ nguyên màu của các đỉnh trong đồ thị này, ta sẽ tô cho đỉnh v một màu, khác với những màu đã tô cho các đỉnh kề v (số này nhiều nhất bằng ). Vậy là (Δ Δ + 1) - sắc tính.

Hình 11.

Bằng xử lý tinh tế hơn, có thể làm mạnh thêm Định lý và đi tới kết quả sau: Định lý 2(Brooks, 1941) Nếu G là một đơn đồ thị liên thông mà không phải là một đồ thị đầy đủ và nếu bậc lớn nhất của đỉnh là ≥ 3 thì là – sắc tính. Δ G Δ

Cả hai định lý trên đều rất hữu ích, đặc biệt khi bậc của các đỉnh xấp xỉ như nhau. Chẳng hạn theo Định lý 1, mỗi đồ thị lập phương là 4 - sắc tính, và theo Định lý 2, mỗi đồ thị lập phương liên thông, khác đồ thị đầy đủ K , là 3 - sắc tính. Mặt khác, nếu đồ thị ₄có vài đỉnh với bậc lớn thì các định lý này cho ta rất ít thông tin. Điều này được minh hoạ rõ bởi đồ thị hai phần đầy đủ K1,s. Định lý Brooks cho thấy đồ thị này là s - sắc tính, nhưng thực tế chỉ cần dùng 2 màu là có thể tô đúng các đỉnh của đồ thị loại này, nghĩa là K_1,slà 2 - sắc tính với mọi s.

Định lý 3.Mọi đơn đồ thị phẳng là 6 - sắc tính.

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Chứng minh.Hiển nhiên định lý đúng đối với các đơn đồ thị phẳng không quá 6 đỉnh. Giả sử G là một đơn đồ thị phẳng n đỉnh, và mọi đơn đồ thị phẳng (n - 1) đỉnh là 6 - sắc tính. Do đồ thị G phẳng nên G chứa một đỉnh v có bậc nhiều nhất là 5. Nếu xoá v và các cạnh liên thuộc v thì đồ thị cịn lại có n - 1 đỉnh, và vì vậy nó là 6 -sắc tính. Giữ ngun màu của các đỉnh trong đồ thị này, ta tô cho đỉnh v bằng màu, khác với những màu đã tô cho các đỉnh kề v.

Kết quả là G được tô bằng 6 màu, tức G là 6 - sắc tính.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

sắp xếp quanh v theo chiều kim đồng hồ như vẽ ở Hình 12. Nếu các đỉnh v<small>1</small>, ... , v<small>5</small> đơi một kề nhau thì G chứa đồ thị không phẳng K như một đồ thị con, vơ lý! Vậy phải có ít ₅nhất 2 trong số các đỉnh v (chẳng hạn, v và v ) không kề nhau. _i ₁ ₃

Bây giờ ta có hai cạnh vv<small>1</small> và vv<small>3</small> về đỉnh v, và nhận được một đồ thị phẳng có n - 2 đỉnh. Theo giả thiết qui nạp, ta có thể tơ đúng nó bằng 5 màu. Sau khi tơ đồ thị này, ta khôi phục trở lại hai cạnh ban đầu và tô cho v và v . bằng màu đã tơ cho v, cịn v thì tơ bằng ₁ ₃màu thứ 5 cịn lại (ngồi những màu đã tô cho các đỉnh kề v). Kết quả là bao giờ ta cũng có thể tơ cho các đỉnh của G bằng 5 màu, nghĩa là G là 5 - sắc tính.

Hình 12.

Một câu hỏi đặt ra là liệu có thể làm mạnh hơn nữa định lý này được không? Điều này dẫn đến một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong toán học, tồn tại hơn một thế kỷ, đó là bài tốn bốn màu.

cách diễn đạt khác, bài toán này đã được đặt ra lần đầu tiên vào năm 1852, và cuối cùng được K. Appel và W. Haken giải quyết năm 1976.

Định lý 5.(Appel và Haken, 1976) Mọi đơn đồ thị phẳng là 4 - sắc tính. Ví dụ. Ta nêu một ứng dụng đơn giản của việc tô màu đỉnh.

Giả sử một nhà hóa học muốn cất giữ 5 loại hóa chất a, b, c, d và e trong kho. Một số hóa chất có tương tác mạnh khi tiếp xúc, vì thể chúng cần được để cách xa nhau trong kho. Dấu * trong bảng sau cho biết những cặp hóa chất khơng được để gần nhau. Cần bao nhiêu nơi trong kho để cất giữ hóa chất?

</div>