ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu một số lớp bao hàm thức

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.55 MB, 105 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Bích Huy. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được cơng bố trong bất kỳ một cơng trình nào khác.

Tác giả luận án

Nguyễn Đăng Quang

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi ... 12

1.1.1Định nghĩa và các tính chất đặc trưng của bậc tơpơ theo nón ... 12

1.1.2Tính bậc tơpơ của một số ánh xạ ... 15

1.1.3Tính bậc trên các miền đặc biệt ... 21

1.1.4 Bậc tôpô của ánh xạ khả vi ... 23

1.1.5Ứng dụng vào bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị ... 28

1.1.6Ứng dụng vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị ... 36

1.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị khơng lồi ... 38

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG VÀO MỘT SỐ LỚPBAO HÀM THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNHVỚI ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI ... 45

2.1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương ... 45

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

KẾT LUẬN ... 96DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ... 98TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 99

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

MỞ ĐẦU

Định lý Banach-Caccioppoli về điểm bất động của ánh xạ co được tìm ra khá sớm và tìm được ngay ứng dụng trong nghiên cứu các phương trình đại số và vi phân. Nó cho phép chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng dãy lặp đơn giản hội tụ về nghiệm. Định lý điểm bất động của Schauder cho phép nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân mới. Điểm hạn chế của Định lí Schauder là khi áp dụng cho quả cầu tâm  (phần tử zero của khơng gian định chuẩn) thì khơng khẳng định được điểm bất động tìm được là khác  , trong khi các phương trình mơ tả các hiện tượng trong tự nhiên đã có nghiệm  và ta cần tìm nghiệm khác  . Hạn chế này được khắc phục nhờ Lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ, được J. Leray, J. Schauder xây dựng và được phát triển trong các cơng trình của M. Krasnoselskii, F. Browder, P. Rabinowitz,.... Lý thuyết này cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm (như tính liên thơng, compact). Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm. Ví dụ, quan hệ thứ tự đã được sử dụng vào đầu thế kỷ 20 để chứng minh các dạng tương đương của tiên đề chọn như bổ đề Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại,.... Các kết quả này sau đó được sử dụng để chứng minh Định lý Tychonoff về tích các khơng gian compact, Định lý Hahn – Banach và nhiều định lý của Tơpơ và Giải tích hàm. Tuy nhiên, Lý thuyết về các phương trình trong khơng gian có thứ tự chỉ được xây dựng một cách hệ thống vào thập niên 1940 trong cơng trình của M. Krein – A. Rutman ([45]). Lý thuyết này được phát triển mạnh mẽ trong những năm 1950 – 1970 trong các cơng trình của M. Krasnoselskii và các học trị, của N. Dancer, P. Rabinowitz, R. Nussbaum, S. Carl, S. Heikkila (xem [1, 6, 8, 10, 15, 25, 43, 44, 64, 69] và các tài liệu tham khảo trong đó). Nó tiếp tục được hoàn thiện cho đến tận ngày nay.

Các kết quả trừu tượng của Lý thuyết phương trình trong khơng gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình, bất phương trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y – Sinh học, Kinh tế học,... vì những ưu điểm sau:

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

- Chúng cho phép chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm có các tính chất đặc biệt như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi,... là những tính chất cần có của nghiệm của các bài tốn xuất phát từ các mơ hình thực tế.

- Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các dữ kiện không tốt như các ánh xạ khơng liên tục,... là những tình huống thường gặp trong thực tế.

- Chúng cho phép đánh giá khoảng tồn tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía.

Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Tốn Tài chính,... mà nảy sinh nhu cầu nghiên cứu những hướng mới trong Lý thuyết phương trình trong khơng gian có thứ tự, ví dụ như nghiên cứu các phương trình với ánh xạ đa trị (hay cũng gọi là các bao hàm thức).

Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu có hệ thống từ những năm 1950 trong Lý thuyết tối ưu, Lý thuyết điều khiển, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Sự tồn tại nghiệm được chứng minh nhờ các mở rộng của Định lý Banach-Caccioppoli, Định lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz, bất đẳng thức Ky Fan,... Lý thuyết bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị có giá trị lồi, tác động trong khơng gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên 1970 trong các công trình của Y. Borisovich, R. Nusbaum, W. Petryshyn, P. Fitpatrick, đã cung cấp một công cụ mới hiệu quả hơn trong nghiên cứu bao hàm thức. Dựa vào nó, các Định lý điểm bất động của M. Krasnoselskii, Leggett – Williams đã được chứng minh cho các ánh xạ đa trị và được ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [25, 32, 38, 60, 61] và các tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, việc sử dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp. Gần đây, với việc sử dụng các dạng thứ tự thích hợp giữa các tập hợp mà quan hệ thứ tự đã được áp dụng có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tơpơ để thu được các kết quả có ý nghĩa [6, 7, 38, 51, 54, 57, 65, 67, 68].

Để nghiên cứu các bao hàm thức vi phân chứa các tốn tử vi phân khơng tuyến

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

tính (ví dụ tốn tử p-Laplace) mà Lý thuyết bậc tơpơ cho các ánh xạ có giá trị khơng

lồi cũng được xây dựng. Nói riêng, R. Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tôpô

tương đối theo một tập lồi, cho lớp ánh xạ dạng P T với T là ánh xạ đa trị lồi, P là

ánh xạ đơn trị phi tuyến và ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vì phân. Trong luận án này, chúng tơi sẽ sử dụng sâu hơn và có hệ thống hơn các quan hệ thứ tự và Lý thuyết bậc tơpơ trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm, sử dụng toán tử giải của bài tốn liên kết để tính bậc tơpơ cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thể.

Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược nội dung chính của luận án. Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết và Ứng dụng.

1. Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong khơng gian Banach có thự tự 1.1. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi

Ở mục này, dựa trên các tính chất đặc trưng của bậc tơpơ trong nón của lớp ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, chúng tơi chứng minh một số kết quả dễ áp dụng về tính bậc cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miền đặc biệt. Một kết quả đáng chú ý ở phần này là đạo hàm của một ánh xạ đa trị compact cũng là một ánh xạ compact và bậc tôpô của ánh xạ ban đầu có thể được tính qua bậc tơpơ của đạo hàm của nó.

Sau đó chúng tơi áp dụng các kết quả thu được về tính bậc tôpô để chứng minh các kết quả sau:

 Sự tồn tại một hoặc nhiều điểm bất động không tầm thường của các ánh xạ đa trị compact với giá trị lồi, là mở rộng các Định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M. Krasnoselskii, Định lý Leggett – Williams cho ánh xạ đơn trị.

 Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến), nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số tiến về .

Các kết quả trong mục này của luận án đã được công bố trong [TG1], [TG2].

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

1.2. Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị khơng lồi

Trong bài báo [2], R. Bader đã xây dựng bậc tôpô theo một tập lồi cho lớp ánh xạ

đa trị dạng P T , trong đó T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, nửa liên tục trên đối với tôpô-chuẩn và tôpô yếu, P là ánh xạ đơn trị (có thể khơng tuyến tính), liên tục đối với

tôpô yếu và tôpô-chuẩn. Các xây dựng và lập luận trong [2] cũng đúng cho lớp ánh xạ nêu trên khi thay tôpô yếu bởi tôpô ( ) -yếu. Tuy nhiên, cho đến nay các ứng dụng của bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế. Theo hiểu biết của chúng tôi, bậc tôpô này mới được sử dụng để chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder về tồn tại điểm bất động trên một quả cầu tâm  . Kết quả này không đủ để thu được điểm bất động không tầm thường của các bao hàm thức. Do đó, trong luận án, chúng tơi đã chứng minh một số kết quả về tính bậc tơpơ của R. Bader. Các kết quả này được được công bố trong [TG4] và được sử dụng trong chương 2 để chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tầm thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố phi địa phương.

2. Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển 2.1. Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương

Trong mục này chúng tôi xét bài toán



</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

+ 012 ...m2 1 và

 

u x   x

Các kết quả về bài tốn (1) – (2) được cơng bố trong [TG2].

2.2. Bài toán biên nhiều điểm liên hợp với điều khiển phản hồi

Trong mục này của luận án, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của hàm uCm( )I

với p p1, 2,....,p là các hàm liên tục trên I sao cho mọi nghiệm không tầm thường m

của phương trình vi phân Lu0 có trên I ít hơn m 0-điểm, kể cả bội.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Khi  là hằng số thì (3) – (4) là bài toán biên giá trị riêng và tham số  đóng vai trị là tác động bên ngồi lên hệ thống được mơ tả tốn học bởi hệ (3) – (4). Như vậy, trong bài toán (3) – (4) – (5) chúng tôi cho phép tham số điều khiển  khơng những

phụ thuộc vào biến t (có thể là biến thời gian hoặc biến khơng gian) mà cịn phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống ở thời điểm hay vị trí t, như trong (5). Như vậy (3) – (4)

– (5) là bài toán điều khiển phản hồi (feedback control).

Khi 1 và không địi hỏi nghiệm phải thuộc một nón, bài tốn (3) – (4) đã được nghiên cứu trong [42]. Sử dụng công cụ bậc tôpô Leray – Schauder và kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, tác giả của [42] đã chứng minh bài tốn có số chẵn nghiệm (số nghiệm cũng có thể là 0). Khi  là hằng số và f  f t x( , ), bài toán (3) – (4) được xét trong [12, 13]. Sử dụng Định lý Krasnoselskii về điểm bất động của ánh xạ giãn hoặc nén hình nón, tác giả chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm khơng tầm thường thuộc một món đặc biệt.

Để nghiên cứu bài toán (3) – (4) – (5) chúng tơi chuyển nó về bài toán điểm bất động của một ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng. Sử dụng cơng cụ bậc tơpơ trong nón, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về thứ tự, chúng tơi chứng minh bài tốn có một hoặc hai nghiệm khác  trong một nón đặc biệt. Chúng tơi cũng xây dựng một ví dụ minh họa cho các điều kiện được đưa ra trong các định lý.

Các kết quả về bài toán (3) – (4) – (5) được cơng bố trong [TG3].

2.3.Phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi

Trong bài báo [35], M. Gutin và R. MacCamy đưa ra phương trình sau đây để mơ tả trạng thái dừng của sự phát tán của một loài thú trong tự nhiên

( ) ( ) trong ,ˆ

0 tren ,

ua x ub x uu

Trong phương trình trên, uu x( ) chỉ mật độ của thú tại điểm x trong không gian

sống  còn tham số 0 đo độ tăng trưởng của thú.

Sau này, phương trình (6) được gọi là phương trình logistic và được mở rộng thành

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

trongˆ

)r n

pf x uug x uuu

trong đó ,f g là các hàm đơn trị, F là hàm đa trị thỏa mãn một số điều kiện cần thiết.

Như vậy chúng tôi cho phép độ tăng trưởng  phụ thuộc vào vị trí trong khơng gian sống  và vào mật độ của thú dạng (9). Chúng tôi cho rằng điều này làm cho sự mơ tả tốn học về sự phát tán của thú chính xác và tự nhiên hơn.

Cũng nhằm mục đích mơ tả chính xác hơn q trình phát tán của thú mà nhiều lớp phương trình phi địa phương được đưa vào nghiên cứu, như phương trình chứa số hạng Kirchhoff

 

* '*

    .

Để nghiên cứu bài toán (8) – (9) chúng tơi chuyển nó về bài tốn điểm bất động ( ),

uP T u

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

trong đó T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, P là toán tử giải của bài toán biên liên kết sau

.ˆ( , ) trong , 0 tren

Sử dụng các kết quả tính bậc tơpơ của ánh xạ đa trị dạng P T ở mục 1.2, kết hợp

với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận thứ tự, chúng tơi chứng minh bài tốn có ít nhất một nghiệm không âm, không tầm thường trong các trường hợp   p 1 và

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

CHƯƠNG 1. BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TÁC ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH

CĨ THỨ TỰ

Các ánh xạ đa trị được quan tâm nghiên cứu nhiều từ những năm 1950 do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để giải quyết một số bài toán xuất phát từ khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế,... Các định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị của S. Nadler, K. Fan là sự mở rộng của các định lý của Banach và Schauder. Lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ đa trị được xây dựng trong thập niên 1970 trong các cơng trình của T. Ma, của Y. Borisovich và các cộng sự, của W. Petryshyn,... và đã tìm được các ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [4, 15, 25] và các tài liệu tham khảo trong đó). Gần đây, các ứng dụng mới của bậc tôpô của ánh xạ đa trị được đưa ra trong [55, 57, 68].

Trong chương này, dựa trên các kết quả tổng quát về bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong khơng gian Banach có thứ tự, chúng tôi chứng minh một số kết quả mới để dễ áp dụng vào các bài toán cụ thể về bậc tôpô này và chứng minh các định lý về sự tồn tại điểm bất động trong nón, vectơ riêng trong nón của một số lớp ánh xạ đa trị. Nói riêng, chúng tơi chứng minh rằng đạo hàm theo nón của ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi, đóng cũng là ánh xạ compact và bậc tơpơ của ánh xạ ban

đầu có thể tính dựa vào bậc tơpơ của ánh xạ đạo hàm.

Bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi

Giả sử X là không gian Banach trên trường số thực và K  X. K được gọi là nón trong X nếu:

(i) K là tập đóng trong X,

(ii) K KK,K K,  0, (iii) K  ( K)

 

 .

Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được xác định bởi x   yyxK.

Khi đó ta nói cặp (X, K) là khơng gian Banach có thứ tự.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

(iii) F được gọi là thuần nhất dương nếu F tx( )tF x( ),   t 0, xD.

(iv) Với DY, ta ký hiệu lớp các tập con lồi, đóng, khác rỗng (tương ứng, lồi,

compact, khác rỗng) của D là cc D Kc D( )



( ) .



(v) Giả sử ,A B X là các tập hợp khác rỗng, ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff

giữa A, B, ký hiệu dH( , )A B , bởi

( , ) max sup ( , ),sup ( , ) ,

Trong trường hợp X Y, điểm x X thỏa mãn xF x( ) được gọi là điểm bất

động của ánh xạ đa trị F, tập hợp tất cả các điểm bất động của F được ký hiệu là

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

(ii) F là nửa liên tục trên trong D khi và chỉ khi với mọi tập đóng EY thì tập

(iv) Nếu F là ánh xạ compact và có đồ thị GF 



( , )x y  XY x: D y, F x( )



là tập đóng trong X Y thì F là nửa liên tục trên.

Định nghĩa 1.1.3 ([4, 25])

Cho  là tập mở, bị chặn trong không gian Banach X với thứ tự sinh bởi nón K

và A K:  cc K( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact sao cho xA x( ),với mọi x  K (ta nói A khơng suy biến trên K  ). Khi đó tồn tại ánh xạ đơn trị, compact :f K K đồng luân với A trên K , nghĩa là tồn tại ánh xạ đa trị G:[0,1]



K  



cc K( ) là nửa liên tục trên, compact sao cho

liên tục trên, compact.

  



</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

2. Tính chất bất biến qua đồng luân

Nếu H:[0,1]



K   



cc K( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và khơng suy biến thì

Cho



X K là khơng gian Banach có thứ tự, ,



K là nón trong X và 1 K1K.

 là tập mở, bị chặn trong X, A K:  cc K( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và thỏa điều kiện A K(  ) K1. Khi đó,

  .A K:  cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact. Giả sử xA x( ),

với mọi x   K



\ 0



. Khi đó,

iA  iA  .

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Đặt      1 0, 2 và áp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được

iA  iA  iA  . Suy ra iK( , )A  iK( ,A 0).

Mệnh đề 1.1.7

Cho



X K là khơng gian Banach có thứ tự, ,



K là nón trong X, 1  là tập mở, bị

chặn trong X và K  K1. A K: 1cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact và thỏa điều kiện A K( 1)K1 đồng thời khơng có điểm bất động trênK1\ (K ). Khi đó, ( , ) 1iKA   .

Chứng minh

Vì K1 là nón và K   K1 nên theo Mệnh đề 1.1.5, ta có

iA K iA K  . (1.1.2) Chọn x0   KK1. Xét ánh xạ 1

 

thì H t x là ánh xạ nửa liên tục trên, compact nhận giá trị lồi, đóng. Xem K1 như là ( , )

một tập mở trong K1 thì K1 trong K1 là tập rỗng và do đó xH t x( , ),với mọi



1



( , ) [0,1]t x   K . Áp dụng tính chất bất biến đồng ln của bậc tơpơ choH t x , ( , )ta được

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

  

Chứng minh

Xét ánh xạ đa trị hằng A x1( )C, với mọi x  K . Điều kiện nêu trong

Định lý 1.1.8 có thể viết lại dưới dạng:

   

  , yA x( ), zA x1( ),   xK . Áp dụng Mệnh đề 1.1.4, ta có

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

(ii) Nếu tồn tại phần tử x0K \

 

 sao cho

xA x x      xK  , thì iK( , )A  0.

Nếu khẳng định nêu trên khơng đúng thì ta tìm được các dãy

t     x   Ky A x , sao cho

tt

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

       tt0, xK ,  0 :x0 x tA x( ). (1.1.4) Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại các dãy

 

n ,

 

n ,

 

n

t  x   K   thỏa mãn,

*0

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

hoàn toàn liên tục và thỏa mãn:

nn ( ) n 0n

t  và có thể coi (nếu cần ta chuyển sang dãy con) (B xn) y,0.

nn

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

1.1.3 Tính bậc trên các miền đặc biệt

Chứng minh

Từ giả thiết ta suy ra  là tập mở trong X và K là tập mở, bị chặn trong K.

Lấy u 



xK( , , , ) : ( )     x 



thì u  K .Ta sẽ chứng minh

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Chứng minh

Từ giả thiết ta suy ra  là tập mở trong X và K là tập mở, bị chặn trong K.

Lấy u 



xK( , , , ) : ( )     x 



thì uK\. Ta sẽ chứng minh

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

( ) ( ) , 0,

t x u A x       xtxK . Giả sử ngược lại, tức là

1.1.4 Bậc tôpô của ánh xạ khả vi

Định nghĩa 1.1.15 ([11])

Giả sử



X K là khơng gian Banach có thứ tự, Y là không gian Banach. Ta ký ,



hiệu Kr  KB( , ), rr 0.

1) Tập DX gọi là một K – lân cận của x nếu tồn tại r0 sao cho xKr D.

2) Cho D là một K – lân cận của x . Ánh xạ đa trị 0 A D: 2 \Y

 

 có giá trị đóng,

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

bị chặn gọi là khả vi Fréchet theo nón K tại x nếu tồn tại ánh xạ đa trị 0

 

: 2 \Y

F X   nửa liên tục trên có giá trị lồi, đóng, bị chặn và thuần nhất dương sao cho

3) Ánh xạ đa trị A K K: \ r 2 \Y

 

 có giá trị đóng, bị chặn gọi là khả vi Fréchet

theo nón K tại  nếu tồn tại ánh xạ đa trị F X: 2 \Y

 

 nửa liên tục trên có giá trị lồi, đóng, bị chặn và thuần nhất dương sao cho



( ), ( )



hh K

dA h F hh

ii) Giả sử ánh xạ đa trị A K K: \ r 2 \Y

 

 (r > 0 đủ lớn) có giá trị đóng, bị chặn

khả vi Fréchet theo nón K tại . Khi đó, nếu A là ánh xạ compact thì '

A là ánh xạ compact trên K ở dạng sau: Nếu  K là tập bị chặn và inf 0

  thì A' ( ) là tập compact tương đối.

Chứng minh

Đặt '0

B A hoặc B A' . Giả sử  Klà tập bị chặn và x M với mọi x 

(  x M ,  x nếu B A' ), ta chứng minh B( ) là tập compact tương đối

trong Y.

Giả sử ngược lại, tức là tồn tại

 

y B( ) và  0 sao cho

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

   

Ta gặp mâu thuẫn với tính compact của ánh xạ A.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

nên tồn tại znA rh( n) sao cho 0

rz ry  

iA B  iA B   với  0 đủ lớn.

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Vậy (1.1.8) đúng và do đó

 

'

xy a x  xK   yA x . (1.1.9) Mặt khác, với yA x( ), y'A x'( ), ta có

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

dA x A xx

iA B   iA B   với  0 đủ nhỏ. 2) Chứng minh tương tự như trên ta cũng có

A     ByBxA x y (nghĩa là B A K), 3)

A     BxAyB x y (nghĩa là B xK, xK). Ánh xạ đa trị F D:  X 2 \X

 

 , gọi là (k) – tăng (k 1, 2,3) nếu

Các quan hệ giữa 2 tập hợp vừa nêu đã được nhiều nhà toán học giới thiệu và sử

dụng. Các quan hệ này sẽ trùng với quan hệ thứ tự sinh bởi nón K nếu các tập hợp A, B chỉ có một phần tử.

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Vì 0 0x  x0 nên

( )

A x x , là điều vô lý. Vậy (1.1.11) đúng và do đó iK( ,A  1) 1. Lấy u0  tùy ý, ta sẽ chứng minh

xA x( )tu0 ,     xK 2 , t 0. (1.1.12) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại x0  K 2,t0 0 sao chox0A x( 0)t u0 0.

Mà x0t u0 0 x0 suy ra

( 2)00

( )

A x x , là điều vô lý. Vậy (1.1.12) đúng nên suy ra iK( ,A  2) 0. Áp dụng tính chất cộng tính của bậc tôpô ta được

iA  iA iA      . Suy ra tồn tại x0   K ( 2 \ 1) sao cho x0A x( 0) (đpcm).

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Hệ quả 1.1.20

Cho



X K là không gian Banach có thứ tự, ,



  1, 2, 3là các tập mở, bị chặn trong X và       1, 1 2, 2 3. A K:   3 cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact. Giả sử

Vậy (1.1.13) đúng và do đó i ( ,A  ) 1.

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Tiếp theo ta sẽ chứng minh

xA x( )tu0,     xK 2, t 0. (1.1.14) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại x0  K 2,t0 0 sao cho x0A x( 0)t u0 0.

( 2)00

( )

A x  x , là điều vô lý Vậy (1.1.14) đúng nên suy ra iK( ,A  2) 0.

Áp dụng tính chất cộng tính của bậc tơpơ ta được

Định lý 1.1.22

Cho



X K là khơng gian Banach có thứ tự, ,



 1, 2 là các tập mở, bị chặn trong

X và    1, 1 2 và A K:   2 cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact.

Giả sử một trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:

Khi đó, 0 . x0  A x( )0 . Mặt khác, từ giả thiết ta suy ra 0 1 nên

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

0 1 000

A x   x  x , là điều vơ lý.

Vậy (1.1.15) đúng và do đó iK( ,A  1) 1.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh điều kiện (i) và (ii) của Định lý 1.1.10 thỏa mãn. Vì 2

là tập mở chứa  nên 2 suy ra

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Đặt K( , , ) a b 



xK ( )x a; x b



(0 ab), dễ dàng chứng minh được ( , , )

K  a b là tập hợp lồi, đóng và bị chặn trong K với :K[0,) là hàm lõm, liên tục.

Định lý 1.1.24

Cho A K: c cc K

 

c là ánh xạ nửa liên tục trên, compact (với c0cho trước). Hàm số :K[0,) là hàm lõm, liên tục và thỏa mãn ( ) x  x , xKc. Giả sử tồn tại các số thực dương , , ,a b c d với d  abc thỏa các điều kiện sau: (i) Tập hợp



xK( , , ) a b ( )x a



  và nếu xK( , , ) a b thì ( )y a, với mọi yA x( ),

(ii) Nếu xKd thì y d, với mọi yA x( ),

(iii) Nếu xK( , , ) a c và y b thì ( ) y a, với mọi yA x( ). Khi đó, A có ít nhất ba điểm bất động trên K . c

Chứng minh

Đặt U1 



xKcx d



,U2 



xK( , , ) a c ( )x a



thì U U là các tập mở, 1, 2lồi, bị chặn, khác rỗng và rời nhau của K và cA U( 1)U1. Do đó

iK( ,A U1)1 (Mệnh đề 1.1.7) (1.1.16) Chọn z0K( , , ) a b với (z )0 a.

0 ( ,00) 0 (1 ) ( 0)

x H t x tz  t A x , khi đó ( )x a.

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Vì x0H t x( ,0 0) nên tồn tại y0A x( 0) sao cho x0 tz0 (1 t y) 0. + Nếu y0 b thì suy ra (y0)a (theo (iii)).

iK( ,A Kc) 1 . (1.1.19) Từ (1.1.16), (1.1.18) và (1.1.19) suy ra

iK( ,A Kc \ (U1U2))iK( ,A Kc)iK( ,A U1)iK( ,A U2) 1. (1.2.20) Từ (1.1.16), (1.1.18) và (1.1.20) suy ra

(b) Nếu xKd thì y d, với mọi yA x( ), (c) Một trong hai điều kiện dưới đây đúng

(i) Nếu xKcvà y c thì ( )yayc

  , với mọi yA x( ),

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

(ii) Nếu xKcvà y c thì y ( )y  ca, với mọi yA x( ), Khi đó, A có ít nhất hai điểm bất động trên K . c

thì B là ánh xạ nửa liên tục trên, compact nhận giá trị lồi, đóng và thỏa mãn tất cả các

điều kiện của Định lý 1.1.24 với bc. Do đó, ánh xạ B có điểm bất động

2 c \ ( 12)

x KU U với U2 



xK( , , ) a c ( )x a



Dễ thấy U1U2 U1U2 Kd K( , , ) a c , do đó (x2)a.Nếu y c, với mọi yA x( 2) thì 2

2 2

( )( )

( )

cA xxB x

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Vậy y c,với mọi yA x( 2), do đó x2B x( 2) A x( 2).

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Cho



X K là không gian Banach có thứ tự. ,



A K: cc K( ) là ánh xạ nửa liên tục

trên, compact, A( ) 

 

 và một trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:

   (nếu có điều kiện (i)) và limx 0

  (nếu có điều kiện (ii)).

trong X và    r, rR. Khi đó, ánh xạ đa trị 1 A

 thỏa điều kiện (i) của Định

lý 1.1.22. Do đó, tồn tại x R\ r hay x  sao cho 1

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

Tiếp theo ta chứng minh lim x

  . Giả sử ngược lại, tức là tồn tại số thực c0và dãy số thực

 

n sao cho lim n

1.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị khơng lồi

Trong phần này chúng tôi chứng minh một số kết quả về bậc tơpơ theo nón cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị khơng lồi, được xây dựng bởi nhà toán học R. Bader.

Các kết quả này sẽ được ứng dụng trong nghiên cứu phương trình logistic với điều khiển phản hồi.

Định nghĩa 1.2.1

I. Cho E là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và khơng gian Banach F với

nón K1, được trang bị tơpơ  , trong đó (a)  là tơpơ cảm sinh của tôpô yếu



*



Giả sử ánh xạ đa trị F K: 2 \K

 

 là ánh xạ hợp có dạng F P T, trong đó

T là ánh xạ đa trị từ K vào K , P là ánh xạ đơn trị từ 1 K vào K. Ta nói ánh xạ F là 1

phân tích được nếu

(i) F là ánh xạ compact,

(ii) T K: 



K1,



là ánh xạ nửa liên tục trên và có giá trị lồi,  - compact, (iii) P: (K , )  K là liên tục theo dãy, nghĩa là nếu x x với tơpơ  thì

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Theo định lý Kerin - Mil’man, ta chỉ cần chứng minh mỗi tập hợp

không gian F là phản xạ trong trường hợp (a) của tôpô  . (T2) Nếu x x y, T x( ) và y  y thì yT x( ).

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

Khi đó,

1. T là ánh xạ compact, hơn nữa nếu BK bị chặn thì mọi dãy

 

n ( )

y T B có dãy con hội tụ.

2. T là ánh xạ nửa liên tục trên và có giá trị là tập  - compact.

Chứng minh

Khẳng định đầu tiên rút ra từ Định lý Kakutani và Định lý Banach – Alaoglu và

nếu không gian G khả ly thì tơpơ ( ) - yếu cảm sinh trên các tập con bị chặn của G *là khả metric. Để thu được tính chất nửa liên tục trên của T ta chứng minh rằng nếu D là tập con đóng trong (K1, ) thì tập hợp V 



xK T x: ( )  D



là đóng. Lấy

 

xnn V và xn x. Khi đó, tồn tại dãy

 

ynn thỏa mãn ynF x( n)D.Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử yn  y. Do điều kiện (T2) và tính đóng

của tập hợp D nên yT x( )D. Nếu ta lấy xn x với mọi n trong (T2) thì ta thu được tính đóng của tập hợp ( ).T x Do đó, tập hợp ( )T x là  - compact với mọi

iF D iF D iF DĐặc biệt, nếu ( , ) 0iKF D  thì Fix F( )  D .

2. Tính chất bất biến qua đồng luân

Giả sử  Q S K:  Klà ánh xạ phân tích được và F,  là đồng luân, theo nghĩa, tồn tại ánh xạ đa trị nửa liên tục trên R:[0,1] K



K1,



với giá trị lồi, 

- compact và ánh xạ liên tục theo dãy U :[0,1]



K ,



K sao cho

</div>

ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu một số lớp bao hàm thức

<b>LỜI CAM ĐOAN </b>

<b>MỞ ĐẦU </b>

 

<b>CHƯƠNG 1. BẬC TÔPÔ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TÁC ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH </b>

<b> CĨ THỨ TỰ </b>

 





























 





 

 

 

 













 

 

 

 





 

 

 

 













 





















 

 





 





 





 

 









Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về