VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (507.42 KB, 46 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

--------

SILINGKA SAIYAMA

VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2017

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài

Cấu trúc vành là một nội dung rất quan trọng trong lĩnh vực của Đại số hiện đại, có ứng dụng nhiều trong Đại số, Giải tích, Hình học, Tốn rời rạc... Trong chương trình tốn phổ thơng, đa thức chủ yếu được đưa vào bộ mơn Đại số và Giải tích. Đặc biệt trong các kỳ thi đại học, học sinh giỏi đều có những bài tốn liên quan đến đa thức. Chính vì vậy, vành đa thức rất

thiết thực với những ai muốn tìm hiểu sâu về tốn ứng dụng.

Từ các kết quả đạt được trong vành đa thức chúng ta có thể vận dụng giải một số bài tốn rất phức tạp, giải hệ phương trình và xây dựng một số kết quả về tổ hợp, số học. Khi xét đa thức ta thường quan tâm đến nghiệm, tính bất khả quy và việc biểu diễn thành tích các nhân tử bậc nhỏ hơn. Với

những lý do như đã nói ở trên, tơi chọn đề tài “Vành đa thức và ứng dụng”

làm khóa luận nghiên cứu của mình.

2. Mục tiêu của đề tài

- Chứng minh lại một số kết quả cơ bản của vành đa thức. Vận dụng

các kết quả đạt được để giải quyết một số bài toán đã được đặt ra.

- Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản, ứng

dụng của đa thức đối xứng vào giải các bài toán sơ cấp. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng

Trình bày một số khái niệm của vành đa thức và ứng dụng, rèn luyện

khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân. 3.2. Phạm vi nghiên cứu

Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về vành đa thức và một số ứng dụng.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

4. Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức, hỏi ý kiến chuyên gia.

- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hồn thành khóa luận.

5. Đóng góp của đề tài

Khóa luận đã tổng hợp và làm rõ nội dung về vành đa thức và các ứng dụng.

6. Cấu trúc của đề tài

Khóa luận được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây:

Chương 1: Vành đa thức:

Trình bày một số khái niệm về vành đa thức, vành đa thức một ẩn, Vành đa thức nhiều ẩn, Đa thức đối xứng.

Chương 2: Ứng dụng của vành đa thức:

Về tính chia hết, biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản, ứng dụng của đa thức đối xứng vào giải các bài toán sơ cấp.

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

B. NỘI DUNG Chương 1: VÀNH ĐA THỨC

Ta chứng minh được [ ]x cùng với hai phép toán cộng và nhân lập

thành một vành giao hốn, có phần tử đơn vị là ( )e x

( ) 1 0 0 ... 0 me x   x x   x

Tương tự ta cũng có [ ]x , [ ]x lần lượt là vành đa thức một ẩn hệ

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Vậy



là đơn cấu vành.

Ta coi



nhúng AP như một vành con, ta đồng nhất

( ,0,...)a a A

. Khi đó, dãy

( , ,..., ,0,...) Pa a

0 1

a

n



, ta viết lại

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Gọi bậc đa thức

f x( )

ký hiệu

deg ( )f xm

(hoặc bậc

f x( )m

) là số

mũ của lũy thừa cao nhất trong đa thức mà hệ tử

a

m ứng với nó khác không.

Bậc của đa thức là hằng số khác khơng thì bằng khơng. Đa thức 0 khơng có bậc.

Định lý 1: Cho

f x( )

,

g x( )

là hai đa thức khác không.

i) - Nếu

deg ( ) deg ( )f xg x

thì

f x( )g x( ) 0

và

deg( ( )f xg x( ))max(deg ( ),deg ( ))f xg x

- Nếu

deg ( ) deg ( )f xg x

đồng thời

f x( )g x( ) 0

thì

deg( ( )f xg x( ))max(deg ( ),deg ( ))f xg x

Do đó

deg( ( )f xg x( )) n max(deg ( ),deg ( ))f xg x

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

+ Nếu

m n

nhưng anbn 0 thì

deg( ( )f xg x( )) n max(deg ( ),deg ( ))f xg x

Vậy

deg( ( )f xg x( ))max(deg ( ),deg ( ))f xg x

.

m nf x g x a b a b x a b x 

m nn

m n

a bb

a b

+ a bm n0, ta có

deg( ( ). ( ))f x g x  m ndeg ( ) deg ( )f xg x

.

+ a bm n0, ta có

deg( ( ). ( )) deg ( ) deg ( )f x g xf xg x

.

Suy ra

deg( ( ). ( ))f x g x  m ndeg ( ) deg ( )f xg x

.

Định lý 2: Nếu A là một miền nguyên,

f x( )

và

g x( )

là hai đa thức khác không của vành

A x[ ]

thì

f x g x( ). ( ) 0

và

deg( ( ). ( )) deg ( ) deg ( )f x g xf xg x

.

a

và

b

n khác không suy ra

a b

m n

0

(A khơng có ước của khơng).

Do đó

f x g x( ). ( ) 0

và

deg( ( ). ( ))f x g x  m ndeg ( ) deg ( )f xg x

.

Hệ quả: Nếu A là miền nguyên thì

A x[ ]

cũng là miền nguyên.

Ví dụ: Trong vành

[ ]x

cho

f x( ) 5x

4

4x

3

2x1

g x( ) 2x

3

4x

2

 x3

deg( ( )f xg x( )) 4

.

deg( ( ). ( )) 7f x g x

.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

1.1.4. Phép chia có dư.

Định lý 3: Cho A là trường,

f x( )

bất kỳ,

g x( )

khác không thuộc

A x[ ]

đều tồn tại duy nhất

q x r x( ), ( )

: bậc

r x( )

bậc

q x( )

hoặc

r x( ) 0

sao cho

( )( ). ( )( )

f xq x g xr x

(

q x( ) :

đa thức thương;

r x( ) :

đa thức dư)

+ Nếu

m n

, đặt

q x( ) 0

suy ra

r x( )f x( )

(thỏa mãn định lý).

+ Nếu m n , ta có chứng minh bằng quy nạp.

Giả sử điều khẳng định trong định lý là đúng với  k m. Ta chia

a x cho nn

b x , được mm nn

axb

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Đặt ( ) 1( ) mmn

Vậy q x( )  q x( ) và từ (5) suy ra: r x( )  r x( ).

Ví dụ 1: Cho A là trường hữu tỷ.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

4x 3x 1x 5x 3x 4x33x48x33x2 3x 5

3x40x33x2 3x 08x36x25

Ví dụ 3: Cho A là trường các số nguyên mod 11.

8x 8x 4 

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

a x a x

 

  a x a

x c

0 ( 1 ) n1 ...

nnaa c x

Định nghĩa: (Nghiệm bội, nghiệm đơn, nghiệm kép).

Cho A là một trường, phần tử c A được gọi là nghiệm bội của đa thức f x( )A x[ ] nếu f x( ) chia hết cho (x c )k và f x( ) không chia hết cho

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Ví dụ 1: Cho là trường con của trường . Ta có:

2 là đại số trên vì 2 là nghiệm của f x( ) ( x2 2) [ ]x .



 là các số siêu việt trên .

Ví dụ 2: Cho là trường con của . Mọi phần tử a ib  là đại số trên vì:   nghiệm của phần tử a ibf x( )  x2 2a a( 2b2) [ ]x . Vì

( )

f x có một nghiệm là x a ib  , x a ib  suy ra:

(x a ib x a ib  )(   ) f x( )  x 2a a( b ).

Ví dụ 3: Cho là trường con của .

i là đại số trên vì i  là nghiệm của f x( )  x2 1 [ ]xi



là siêu việt trên .

1.2. Vành đa thức nhiều ẩn.

1.2.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn.

Cho A là vành giao hốn, có đơn vị. Xây dựng vành A x[ ]:

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

+ Bậc của đa thức f x( ) đối với ẩn xi đó là số mũ lũy thừa cao nhất của

ẩn đó trong các hạng tử của đa thức. + Bậc của hạng tử 12

1ai 2ai

...

ain

c x xx

bằng tổng của số mũ a ai1, i2,...,ain.

+ Bậc tổng thể của f là m max a { i1ai2 ... ain}. + Đa thức 0 khơng có bậc.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

1.2.3. Sự sắp xếp thứ tự từ điển của đa thức n ẩn.

( , ,.., ) ii ... inm

Ví dụ:

Cho

f x x x( , , )

1 2 3

x x x

15 22 3

6x x x

14 52 3

2x x x

15 2 33

x x

1 26

x x

15 3

8x x x

1 2 34 6. Các số mũ trong mỗi số hạng cho ta một phần tử thuộc 3, có 6 phần tử:

(5, 2,1), (4, 5,1), (5,1, 3), (1, 6, 0), (5, 0,1), (1, 4, 6)

Theo quan hệ thứ tự, ta có:

(5, 2,1)(5,1, 3)(5, 0,1)(4, 5,1)(1, 6, 0)(1, 4, 6). Khi đó

Định nghĩa: Đa thức

f x x( , ,..., ,..., ,..., )

12

x

i

x

j

x

n

A x[ ,..., ]

1

x

n được gọi

là đa thức đối xứng nếu nó khơng thay đổi khi ta đổi chỗ vị trí của 2 ẩn

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Tập hợp các đa thức đối xứng n ẩn (ký hiệu D x x[ , ,...,1 2 xn]) lập

thành một vành (Tất nhiên D x x[ , ,...,1 2 xn] là vành con của

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

cũng là những đa thức đối xứng, gọi là các đa thức đối xứng cơ bản.

Định lý cơ bản của đa thức đối xứng.

Giả sử D x x[ , ,...,1 2 xn] là tập các đa thức đối xứng của các biến

Chứng minh: Ta sử dụng các định nghĩa và bổ đề sau:

Định nghĩa: Đa thức f xk( ,...,1 xn) đối xứng đẳng cấp k tức là bậc tổng

thể của các hạng tử trong nó bằng nhau và bằng k.

Bổ đề 1: Mỗi đa thức đối xứng f x( ,...,1 xn) bao giờ cũng phân tích được

thành tổng của hữu hạn các đa thức đối xứng đẳng cấp.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Chứng minh: f  f1 f2  ... fk  ... fm; fk là tổng tất cả các hạng

tử của f có bậc tổng thể là k. Ta chứng minh được fk là đa thức đối xứng

với mọi k.

Ý nghĩa của bổ đề 1: Chỉ cần chứng minh mỗi đa thức đối xứng đẳng cấp k

là phân tích được qua các đa thức đối xứng cơ bản. Khi đó f là phân tích được.

Bổ đề 2: Trong đa thức đối xứng đẳng cấp k, f xk( ,...,1 xn) bộ số mũ

Bổ đề 3: Cho một bộ số mũ ( ,a a1 2,...,an)mà a1  a2  ... an. Khi đó đa thức đối xứng 1223

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

1akak

...

akakk

x



x



…



là 1an

...

an

...

ankn

xxx

Hạng tử cao nhất của



1 là 12

1a

.

2a

...

ann

x xx

.

Bổ đề 4: Hiệu của 2 đa thức đối xứng đẳng cấp k hoặc bằng 0, hoặc là đa

thức đối xứng đẳng cấp k.

Bổ đề 5: Cho fk, gk là 2 đa thức đối xứng đẳng cấp k có cùng hạng tử

cao nhất. Khi đó hạng tử cao nhất của hiệu (fk  gk) có bậc bé hơn bậc của hạng tử chung cao nhất.











là hạng tử cao nhất là 12

1 1a

.

2a

...

ann

d x xx

.

Theo bổ đề 4:

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

(1) ( )

f  f 



là đa thức đối xứng đẳng cấp k  a1,...,an có hạng tử cao nhất với bộ mũ ( , ,..., ) ( ,b b1 2 bn  a a1 2,...,an).

Quá trình này sẽ dừng lại sau hữu hạn bước. Suy ra phân tích f .

1.3.2. Phương pháp biểu diễn.

Giả sử ta cho đa thức đối xứng 12

( , ,..., ) ( aa ... an)

f x xx 



x xx , trong đó 12

1a 2a ... an

x xx là hạng tử cao nhất (a1a2 ....an). Ta tiến hành các bước như sau:

Bước 1: Chọn hệ thống mũ: Mỗi hệ thống gồm n số ngun khơng âm (có

thế có một số số) thỏa mãn các điều kiện:

+ Tổng các số của hệ thống đều bằng bậc của đa thức, tức là

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Bước 3: Dùng phương trình hệ số bất định tính các giá trị

m

i.

Ví dụ 1: Biểu diễn đa thức đối xứng sau qua đa thức đối xứng cơ bản.

f x x x  m  m . Lập bảng:

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA VÀNH ĐA THỨC 2.1. Tính chia hết.

Giả sử A là một trường và đa thức bất khả quy g x( )A x[ ] có nghiệm

 . Đa thức f x( )A x[ ] chia hết cho g x( ) khi và chỉ khi f( ) 0  .

Chứng minh. Giả sử đa thức f x( )A x[ ]. Theo Định lý 1, có duy nhất hai đa thức q x( ), r x( ) sao cho f x( )q x g x( ) ( )r x( ) với deg ( ) deg ( )r x  g x hoặc

a) 2x1; b) x1; c) x.

Bài giải:

a) Ta có

121 2()

x  x

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

. Do đó f x( ) chia hết cho

trong [ ]x . b) Ta có x1

( 1) ( 1 1) n ( 1) n 2( 1) 1 0

f        

Do đó f x( ) chia hết cho x1. c) Ta có x

(0) (0 1) n (0) n 2(0) 1 0

Suy ra f x( ) chia hết cho x.

Bài tập 2: Chứng minh rằng đa thức f x( )x3mx3 1n x3p2 chia hết cho đa thức g x( )x2 x 1; m n p, ,  .

Vậy  cũng là nghiệm của f x( ). Do đó f x g x( ) ( ) .

2.2. Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản, từ đó giải các bài tốn liên quan.

Mọi đa thức đối xứng có thể biểu diễn qua đa thức đối xứng cơ bản và sự biểu diễn này là duy nhất.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

+ Đối với đa thức hai ẩn việc biểu diễn tương đương đơn giản, chẳng hạn như:

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

   

  

    

 

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

2.3. Ứng dụng của đa thức đối xứng vào giải các bài toán sơ cấp. 2.3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử

Đơi khi với những đa thức đối xứng ta gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử. Việc phân tích một đa thức thành nhân tử giúp ích rất nhiều cho chúng ta trong quá trình giải phương trình hay hệ phương trình. Dưới đây là một vài bài tập về việc phân tích một đa thức đối xứng thành nhân tử dựa vào những đa thức cơ bản.

Bài tập 1: Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử:

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Bài tập 3: Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử:

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Nhân tử thứ nhất có nghiệm phức ta để nguyên. Nhân tử thứ hai phân tích thành

3x 10xy3y  (x 3 )(3yx y) Vậy ta có:

... ( 1)

x y z

   

    

   

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

f x x x x x x x x x x x x x x x của vành [ , , ]x x x1 2 3 theo công thức đối xứng cơ bản. Từ đó tìm nghiệm thực hoặc phức của hệ phương trình:

1 21 32 3( , , ) 0

f x x x

x xx xx x

   

  

028 0 (!)

 

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Bài tập 3: Biểu thị f x y( , )[ , ]x y theo các đa thức đối xứng cơ bản:

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

1 1

cosx sinx      

38

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

a). Tính 333

A X X X X  X X X X  X X X X  b). Lập phương trình có 3 nghiệm là

x ;

2 31 31 221



</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Theo định lý Vietè ta lập được phương trình:



</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

Vậy để tìm x, y ta có hai hệ phương trình

x yxy

 

x yxy

  

Giải hệ này ta tìm được các nghiệm đã cho là:

11



33

 44

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

(a b  a c  b c)  3(a b c  a b c a b c ).

Hay (a b  a c  b c)2  3a b c a(  b  c) .

2.3.4. Giải các bài tốn về phương trình bậc hai

Dùng các đa thức đối xứng ta có thể giải được nhiều bài tốn trong đó

cần tính những biểu thức chứa các nghiệm của một phương trình bậc hai. Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x26x10 0 . Hãy lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm là bình phương các nghiệm của phương trình đã cho.

Bài giải:

Gọi các nghiệm của phương trình đã cho là x1 và x2, các nghiệm của phương trình phải tìm là y1 và y2 và các hệ số của nó là p và q. Theo công thức Vietè ta có:

1 x1 x26

    và 2x x1 210 và y1y2 p; y y1 2q

Theo giả thiết ta có y1x12, y2x22. Vì vậy

p (y1y2) (x12x22)

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

 (12 )2 16 qy y1 2x x12 2222100

Như vậy phương trình bậc hai phải tìm là: y216y100 0

Bài tập 2: Lập phương trình bậc hai z2pz q 0 mà các nghiệm là

 px16x262(x22x12)

(166 14 29 12 22223) 2(1222)

166.1 ( 3) 9.1 ( 3)4   2  2 2( 3)   2(1)2 2( 3)140 qx x16 622(x18x82) 4 x x12 22

(262[188 16 220 14 22) 16 16 23224]+422

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

( 3)2[18.1 ( 3) 20.1 ( 3)(6.1 ( 3)( 3) ] 4( 3)833      . Vậy phương trình phải tìm là:

z  z .

2.3.5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng

Bài tập 1: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

x y   xy Bài giải:

13

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

Biệt thức của phương trình này là:

x yxy

 

x yxy

  

Bài tập 2: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

 . ( Vì 122

4  )

Vậy ta có các hệ

0 

 , 120

1 

 , 1

 

 , 12

44 



Hệ thức ba khơng thích hợp vì x và y phải là nguyên. Vậy còn lại các hệ,

x yxy

  

x yxy

  

x yxy

  

x yxy

  

</div>Trang 41<div class="page_container" data-page="41">

Từ đó suy ra lời giải

 , 22

 , 33

 , 44

 , 55

 , 66



C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong khóa luận này, tơi đã trình bày được những vấn đề cơ bản, làm rõ các mệnh đề trong vành đa thức một ẩn, nhiều ẩn, đa thức đối xứng, biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản, ứng dụng, giải các bài tập liên quan.

Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót nhất định, tơi rất mong nhận được sự góp ý của các q thầy cơ giáo và các bạn để khóa luận này hoàn thiện hơn.

</div>Trang 42<div class="page_container" data-page="42">

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bùi Huy Hiền, Đại số đại cương, NXB ĐHSP 2006.

[2] Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học ( Tập II ), NXB Giáo dục 1987.

[3] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục 2003.

[4] Nguyễn Tiến Quang, Đại số đại cương, NXB ĐHSP 2006.

[5] Một số trang WEB và tạp chí tốn.

</div>Trang 43<div class="page_container" data-page="43">

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU ... 1

1. Lý do chọn đề tài ... 1

2. Mục tiêu của đề tài ... 1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1

3.1. Đối tượng ... 1

3.2. Phạm vi nghiên cứu ... 1

4. Phương pháp nghiên cứu ... 2

6. Cấu trúc của đề tài ... 2

1.3.2. Phương pháp biểu diễn. ... 18

Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA VÀNH ĐA THỨC ... 22

2.1. Tính chia hết. ... 22

</div>Trang 44<div class="page_container" data-page="44">

2.2. Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản, từ đó giải

các bài tốn liên quan. ... 23

2.3. Ứng dụng của đa thức đối xứng vào giải các bài toán sơ cấp. ... 26

2.3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử ... 26

2.3.2. Giải hệ phương trình đối xứng: ... 28

2.3.3. Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức ... 34

2.3.4. Giải các bài tốn về phương trình bậc hai ... 35

2.3.5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng ... 37

C. KẾT LUẬN ... 39

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 40

</div>

VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG

<b>SILINGKA SAIYAMA</b>

<b>VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG</b>

<b>KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>





( ,0,...)<i>a</i> <i>a A</i>

( , ,..., ,0,...) P<i>a a</i>

<i>a</i>



<i>f x</i>( )

deg ( )<i>f x</i><i>m</i>

<i>f x</i>( )<i>m</i>

<i>a</i>

<i>f x</i>( )

<i>g x</i>( )

deg ( ) deg ( )<i>f x</i><i>g x</i>

<i>f x</i>( )<i>g x</i>( ) 0

deg( ( )<i>f x</i><i>g x</i>( ))<i>max</i>(deg ( ),deg ( ))<i>f xg x</i>

deg ( ) deg ( )<i>f x</i><i>g x</i>

<i>f x</i>( )<i>g x</i>( ) 0

deg( ( )<i>f x</i><i>g x</i>( ))<i>max</i>(deg ( ),deg ( ))<i>f xg x</i>

deg( ( )<i>f x</i><i>g x</i>( )) <i>n max</i>(deg ( ),deg ( ))<i>f xg x</i>

<i>m n</i>

deg( ( )<i>f x</i><i>g x</i>( )) <i>n max</i>(deg ( ),deg ( ))<i>f xg x</i>

deg( ( )<i>f x</i><i>g x</i>( ))<i>max</i>(deg ( ),deg ( ))<i>f xg x</i>

deg( ( ). ( ))<i>f x g x</i>  <i>m n</i>deg ( ) deg ( )<i>f x</i><i>g x</i>

deg( ( ). ( )) deg ( ) deg ( )<i>f x g x</i><i>f x</i><i>g x</i>

deg( ( ). ( ))<i>f x g x</i>  <i>m n</i>deg ( ) deg ( )<i>f x</i><i>g x</i>

<i>f x</i>( )

<i>g x</i>( )

<i>A x</i>[ ]

<i>f x g x</i>( ). ( ) 0

deg( ( ). ( )) deg ( ) deg ( )<i>f x g x</i><i>f x</i><i>g x</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a b</i>

0

<i>f x g x</i>( ). ( ) 0

deg( ( ). ( ))<i>f x g x</i>  <i>m n</i>deg ( ) deg ( )<i>f x</i><i>g x</i>

<i>A x</i>[ ]

[ ]<i>x</i>

<i>f x</i>( ) 5<i>x</i>

4<i>x</i>

2<i>x</i>1

<i>g x</i>( ) 2<i>x</i>

4<i>x</i>

 <i>x</i>3

deg( ( )<i>f x</i><i>g x</i>( )) 4

deg( ( ). ( )) 7<i>f x g x</i>

<i>f x</i>( )

<i>g x</i>( )

<i>A x</i>[ ]

<i>q x r x</i>( ), ( )

<i>r x</i>( )

<i>q x</i>( )

<i>r x</i>( ) 0

( )( ). ( )( )

<i>f x</i><i>q x g x</i><i>r x</i>

<i>q x</i>( ) :

<i>r x</i>( ) :

<i>m n</i>

<i>q x</i>( ) 0

<i>r x</i>( )<i>f x</i>( )

<i>a x a x</i>

  <i>a x a</i>

<i>x c</i>





...

<i>c x xx</i>

<i>f x x x</i>( , , )

<i>x x x</i>

6<i>x x x</i>

2<i>x x x</i>

<i>x x</i>

<i>x x</i>

8<i>x x x</i>

<i>f x x</i>( , ,..., ,..., ,..., )

<i>x</i>