Hệ thống công thức thuyết tương đối rộng

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Ví dụ: 𝑑𝑑𝑠𝑠<small>2</small> = 𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜇𝜇}𝑑𝑑𝑥𝑥^𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥^𝜇𝜇^thìgiống như việc viết 𝑑𝑑𝑠𝑠<small>2</small> =∑ ∑ 𝑔𝑔_𝜇𝜇 _𝜇𝜇 _{𝜇𝜇𝜇𝜇}𝑑𝑑𝑥𝑥^𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥^𝜇𝜇

<b>Thuyết tương đối hẹp: </b>

𝑡𝑡<small>′</small> = 𝛾𝛾 �𝑡𝑡 −^{𝑣𝑣𝑣𝑣}_𝑐𝑐₂�, 𝑥𝑥<small>′</small> = 𝛾𝛾(𝑥𝑥 − 𝑣𝑣𝑡𝑡), 𝑦𝑦<small>′</small> = 𝑦𝑦, 𝑧𝑧<small>′</small> = 𝑧𝑧

𝑡𝑡 = 𝛾𝛾 �𝑡𝑡<small>′</small> +^{𝑣𝑣𝑣𝑣}_𝑐𝑐₂^′�, 𝑥𝑥 = 𝛾𝛾(𝑥𝑥<small>′</small> +𝑣𝑣𝑡𝑡<small>′</small>), 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′, 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧′

Δ𝑙𝑙 = Δ𝐿𝐿/𝛾𝛾, Δ𝑡𝑡 = 𝛾𝛾Δ𝜏𝜏, 𝛾𝛾 = 1/�1 − 𝑣𝑣<small>2</small>/𝑐𝑐<small>2</small>

𝑑𝑑𝑠𝑠<small>2</small> = −𝑐𝑐<small>2</small>𝑑𝑑𝑡𝑡<small>2</small> + 𝑑𝑑𝑥𝑥<small>2</small> + 𝑑𝑑𝑦𝑦<small>2</small>

+ 𝑑𝑑𝑧𝑧<small>2</small>

𝑢𝑢^′ = (𝑢𝑢 − 𝑣𝑣)/(1 − ^{𝑢𝑢𝑣𝑣}_𝑐𝑐₂)

𝑚𝑚(𝑣𝑣) = 𝛾𝛾𝑚𝑚₀, 𝑝𝑝 = 𝛾𝛾𝑚𝑚₀𝑣𝑣, 𝐸𝐸 =𝛾𝛾𝑚𝑚₀𝑐𝑐²

<b>Hiệu ứng Doppler tương đối tính: </b>

(𝛽𝛽 = 𝑣𝑣/𝑐𝑐)

<b>Hiệu ứng dọc: </b>

• Khi nguồn phát chuyển động tới quan sát viên: 𝑓𝑓^′ = 𝑓𝑓�^1+𝛽𝛽_1−𝛽𝛽

• Khi nguồn phát chuyển động khỏi quan sát viên: 𝑓𝑓^′ = 𝑓𝑓�^1−𝛽𝛽_1+𝛽𝛽

<b>Hiệu ứng ngang: </b>

𝑓𝑓^′ = _{1 − 𝛽𝛽 cos 𝜃𝜃}^{𝑓𝑓�1 − 𝛽𝛽}²

<b>Vectơ-4: </b>

𝑥𝑥^𝜇𝜇 = (𝑐𝑐𝑡𝑡, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧), 𝑑𝑑𝑥𝑥^𝜇𝜇 =(𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡, 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝑑𝑑𝑧𝑧)

𝜕𝜕_𝜇𝜇 = �_{𝜕𝜕𝜕𝜕}^𝜕𝜕 ¹_𝑐𝑐,_{𝜕𝜕𝑣𝑣}^𝜕𝜕 ,_{𝜕𝜕𝜕𝜕}^𝜕𝜕 ,_{𝜕𝜕𝜕𝜕}^𝜕𝜕�, 𝑢𝑢^𝜇𝜇 =

<small>𝑑𝑑𝑑𝑑</small> = (𝛾𝛾𝑐𝑐, 𝛾𝛾𝑢𝑢_𝑣𝑣, 𝛾𝛾𝑢𝑢_𝜕𝜕, 𝛾𝛾𝑢𝑢_𝜕𝜕) 𝑝𝑝^𝜇𝜇 = 𝑚𝑚₀𝑢𝑢^𝜇𝜇 = �^𝐸𝐸_𝑐𝑐 , 𝑝𝑝_𝑣𝑣, 𝑝𝑝_𝜕𝜕, 𝑝𝑝_𝜕𝜕�

<b>Tenxơ năng lượng-động lượng: </b>

𝑇𝑇^{𝜇𝜇𝜇𝜇} = ^{𝑑𝑑𝑝𝑝}_{𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕}^𝜇𝜇^{𝑑𝑑𝑣𝑣}^𝜈𝜈, 𝑇𝑇<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small> = 𝑇𝑇^{𝜇𝜇𝜇𝜇}

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<small>2 </small>𝑇𝑇⁰⁰ = mật độ năng lượng, 𝑇𝑇^0𝑖𝑖 =𝑇𝑇<small>𝑖𝑖0</small> = dòng năng lượng theo hướng 𝑖𝑖

𝑇𝑇<small>𝑖𝑖𝑖𝑖</small> = 𝑇𝑇<small>𝑖𝑖𝑖𝑖</small> = dòng động lượng-𝑖𝑖 theo hướng 𝑗𝑗

<b>Tenxơ năng lượng-động lượng đối với chất lưu hoàn hảo: </b>

𝐵𝐵_𝜇𝜇<small>𝜆𝜆</small> = 𝜂𝜂<small>𝜆𝜆𝜇𝜇</small>𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}, 𝐵𝐵_𝜇𝜇<small>𝜆𝜆</small> = 𝜂𝜂<small>𝜆𝜆𝜇𝜇</small>𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}, 𝐵𝐵<small>𝜅𝜅𝜆𝜆</small> = 𝜂𝜂<small>𝜅𝜅𝜇𝜇</small>𝜂𝜂<small>𝜆𝜆𝜇𝜇</small>𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}

𝐴𝐴_𝜇𝜇𝐴𝐴<small>𝜇𝜇</small> và 𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}𝐵𝐵<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small> là bất biến

<b>Biến đổi Lorentz (𝑳𝑳) và biến đổi Lorentz ngược (𝑳𝑳�) giữa các HQC quán tính trong TTĐH: </b>

𝐴𝐴^′𝜇𝜇 = 𝐿𝐿^𝜇𝜇_𝜇𝜇𝐴𝐴^𝜇𝜇, 𝐴𝐴_𝜇𝜇<small>′</small> = 𝐿𝐿_𝜇𝜇^𝜇𝜇𝐴𝐴_𝜇𝜇𝐴𝐴^𝜇𝜇 = 𝐿𝐿�^𝜇𝜇_𝜇𝜇𝐴𝐴^′𝜇𝜇, 𝐴𝐴_𝜇𝜇 = 𝐿𝐿�^𝜇𝜇_𝜇𝜇 𝐴𝐴^′_𝜇𝜇𝐵𝐵^{′𝜇𝜇𝜇𝜇} = 𝐿𝐿^𝜇𝜇_𝜅𝜅𝐿𝐿^𝜇𝜇_𝜆𝜆𝐵𝐵^{𝜅𝜅𝜆𝜆}, 𝐵𝐵<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small> =𝐿𝐿�^𝜇𝜇_𝜅𝜅𝐿𝐿�^𝜇𝜇_𝜆𝜆𝐵𝐵^{′𝜅𝜅𝜆𝜆}

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>3 </small>𝐹𝐹<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small> = 𝜕𝜕<small>𝜇𝜇</small>𝐴𝐴<small>𝜇𝜇</small> − 𝜕𝜕<small>𝜇𝜇</small>𝐴𝐴<small>𝜇𝜇</small>

0 𝐸𝐸_𝑣𝑣/𝑐𝑐 𝐸𝐸_𝜕𝜕/𝑐𝑐 𝐸𝐸_𝜕𝜕/𝑐𝑐−𝐸𝐸_𝑣𝑣/𝑐𝑐 0 𝐵𝐵_𝜕𝜕 −𝐵𝐵_𝜕𝜕−𝐸𝐸_𝜕𝜕/𝑐𝑐 −𝐵𝐵_𝜕𝜕 0 𝐵𝐵_𝑣𝑣−𝐸𝐸_𝜕𝜕/𝑐𝑐 𝐵𝐵_𝜕𝜕 −𝐵𝐵_𝑣𝑣 0 ⎠

⎟⎞

<b>Đồng hồ đứng yên trong trọng trường: </b>

<b>Phép toán trên chỉ số trong TTĐR: </b>

𝐴𝐴_𝜇𝜇 = 𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜇𝜇}𝐴𝐴<small>𝜇𝜇</small>, 𝐴𝐴<small>𝜇𝜇</small> = 𝑔𝑔<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small>𝐴𝐴_𝜇𝜇𝑔𝑔<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small> là nghịch đảo của 𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜇𝜇}

𝐵𝐵_𝜆𝜆^𝜇𝜇 = 𝑔𝑔_{𝜆𝜆𝜇𝜇}𝐵𝐵<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small>, 𝐵𝐵_𝜆𝜆^𝜇𝜇 = 𝑔𝑔_{𝜆𝜆𝜇𝜇}𝐵𝐵<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small>, 𝐵𝐵_{𝜅𝜅𝜆𝜆} = 𝑔𝑔_{𝜅𝜅𝜇𝜇}𝑔𝑔_{𝜆𝜆𝜇𝜇}𝐵𝐵<small>𝜇𝜇𝜇𝜇</small>

𝐵𝐵_𝜇𝜇<small>𝜆𝜆</small> = 𝑔𝑔<small>𝜆𝜆𝜇𝜇</small>𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}, 𝐵𝐵_𝜇𝜇<small>𝜆𝜆</small> = 𝑔𝑔<small>𝜆𝜆𝜇𝜇</small>𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}, 𝐵𝐵^{𝜅𝜅𝜆𝜆} = 𝑔𝑔^{𝜅𝜅𝜇𝜇}𝑔𝑔^{𝜆𝜆𝜇𝜇}𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}

𝐴𝐴_𝜇𝜇𝐴𝐴^𝜇𝜇 và 𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}𝐵𝐵^{𝜇𝜇𝜇𝜇} là bất biến

<b>Các phép biến đổi tọa độ trong TTĐR: </b>

𝐴𝐴<small>′𝜇𝜇</small> = ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}_{𝜕𝜕𝑣𝑣}^′𝜇𝜇_𝜈𝜈 𝐴𝐴<small>𝜇𝜇</small>, 𝐴𝐴_𝜇𝜇<small>′</small> = _{𝜕𝜕𝑣𝑣}^{𝜕𝜕𝑣𝑣}_′𝜇𝜇^𝜈𝜈 𝐴𝐴_𝜇𝜇𝐴𝐴<small>𝜇𝜇</small> = _{𝜕𝜕𝑣𝑣}^{𝜕𝜕𝑣𝑣}_′𝜈𝜈^𝜇𝜇 𝐴𝐴<small>′𝜇𝜇</small>, 𝐴𝐴_𝜇𝜇 = ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}_{𝜕𝜕𝑣𝑣}^′𝜈𝜈_𝜇𝜇 𝐴𝐴<small>′</small>_𝜇𝜇

𝐵𝐵<small>′𝜇𝜇𝜇𝜇</small> = ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}_{𝜕𝜕𝑣𝑣}^′𝜇𝜇_𝜅𝜅 ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}_{𝜕𝜕𝑣𝑣}^′𝜈𝜈_𝜆𝜆 𝐵𝐵<small>𝜅𝜅𝜆𝜆</small>, 𝐵𝐵_{𝜇𝜇𝜇𝜇}<small>′</small> =

<b>Các phương trình trắc địa: </b>

𝑑𝑑𝑠𝑠<small>2</small> + Γ_{𝜅𝜅𝜆𝜆}^𝜇𝜇 ^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑠𝑠}^𝜅𝜅 ^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑠𝑠}^𝜆𝜆 = 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<small>4 </small>𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜇𝜇} ^𝑑𝑑_{𝑑𝑑𝑠𝑠}²^𝑥𝑥₂^𝜇𝜇 + �𝜕𝜕_𝜆𝜆𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜅𝜅}

−¹₂𝜕𝜕_𝜇𝜇𝑔𝑔_{𝜅𝜅𝜆𝜆}�^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑠𝑠}^𝜅𝜅 ^{𝑑𝑑𝑥𝑥}_{𝑑𝑑𝑠𝑠}^𝜆𝜆= 0

Đối với tia sáng: 𝑑𝑑𝑠𝑠 = 0 => dùng tham số aphin

<b>Ký hiệu Christoffel: </b>

Γ_{𝜅𝜅𝜆𝜆}^𝜇𝜇 = ¹₂𝑔𝑔^{𝜇𝜇𝜇𝜇}(𝜕𝜕_𝜆𝜆𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜅𝜅} + 𝜕𝜕_𝜅𝜅𝑔𝑔_{𝜆𝜆𝜇𝜇}− 𝜕𝜕_𝜇𝜇𝑔𝑔_{𝜅𝜅𝜆𝜆})

<b>Metric trên mặt cầu: </b>

𝑑𝑑𝑠𝑠<small>2</small> = 𝑅𝑅<small>2</small>𝑑𝑑𝜃𝜃<small>2</small> + (𝑅𝑅 sin 𝜃𝜃)<small>2</small>𝑑𝑑𝜙𝜙<small>2</small>

<b>Metric Schwarzschild: </b>

<small>𝑑𝑑𝑠𝑠2= − �1 −</small>^𝑅𝑅_{𝑑𝑑 � 𝑐𝑐}^𝑠𝑠 <small>2𝑑𝑑𝑡𝑡2+</small> ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}²<small>1 − 𝑅𝑅</small>_𝑑𝑑^𝑠𝑠<small>+ 𝑑𝑑2[𝑑𝑑𝜃𝜃2</small>

𝑑𝑑𝜏𝜏 ^{= �𝐾𝐾}² ^{− 𝐴𝐴}𝐴𝐴 = 1 − ^𝑅𝑅_𝑑𝑑^𝑠𝑠

<b>Phương trình quỹ đạo tổng quát (Schwarzschild): </b>

<small>+ (sin 𝜃𝜃)2𝑑𝑑𝜙𝜙2)� </small>

<b>Tenxơ Riemann: </b>

𝑑𝑑𝐴𝐴^𝜅𝜅 = 𝑅𝑅_{𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇}^𝜅𝜅 𝐴𝐴^𝜆𝜆𝑑𝑑𝑥𝑥^𝜇𝜇𝑑𝑑𝑥𝑥^𝜇𝜇𝑅𝑅_{𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇}^𝜅𝜅 = 𝜕𝜕_𝜇𝜇Γ_{𝜆𝜆𝜇𝜇}^𝜅𝜅 − 𝜕𝜕_𝜇𝜇Γ_{𝜆𝜆𝜇𝜇}^𝜅𝜅 + Γ_{𝜇𝜇𝜇𝜇}<small>𝜅𝜅</small> Γ_{𝜆𝜆𝜇𝜇}^𝜇𝜇

− Γ_{𝜇𝜇𝜇𝜇}^𝜅𝜅 Γ_{𝜆𝜆𝜇𝜇}^𝜇𝜇𝑅𝑅_{𝜇𝜇𝜇𝜇𝜅𝜅𝜆𝜆} = 𝑅𝑅_{𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇}𝑅𝑅_{𝜆𝜆𝜅𝜅𝜇𝜇𝜇𝜇} = −𝑅𝑅_{𝜅𝜅𝜆𝜆𝜇𝜇𝜇𝜇}

<b>Tenxơ Ricci: </b>

𝑅𝑅_{𝜇𝜇𝜇𝜇} = 𝑅𝑅_{𝜇𝜇𝜆𝜆𝜇𝜇}^𝜆𝜆

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<small>5 </small>𝑅𝑅_{𝜇𝜇𝜇𝜇} = 𝜕𝜕_𝜆𝜆Γ_{𝜇𝜇𝜇𝜇}<small>𝜆𝜆</small> − 𝜕𝜕_𝜇𝜇Γ_{𝜇𝜇𝜆𝜆}^𝜆𝜆 + Γ_{𝜅𝜅𝜆𝜆}^𝜅𝜅 Γ_{𝜇𝜇𝜇𝜇}<small>𝜆𝜆</small>

− Γ_{𝜇𝜇𝜆𝜆}^𝜅𝜅 Γ_{𝜇𝜇𝜅𝜅}<small>𝜆𝜆</small>

𝑅𝑅_{𝜇𝜇𝜇𝜇} = 0 trong chân khơng

<b>Vơ hướng Ricci: </b>

<b>Bán kính các chân trời của hố đen Reissner-Nordström: </b>

𝑑𝑑_± = ^{𝐺𝐺𝐺𝐺}

𝑐𝑐<small>2</small> ± ��^{𝐺𝐺𝐺𝐺}

𝑐𝑐<small>2</small> �² − �^{𝐺𝐺𝑑𝑑}𝑐𝑐<small>2</small> �²Điều kiện tồn tại: 𝐺𝐺<small>2</small> ≥ 𝑑𝑑²

<b>Không-thời gian phản de Sitter (AdS) và de Sitter (dS): </b>

<small>𝑑𝑑𝑠𝑠2= − �1 +</small>^𝑑𝑑_𝐿𝐿₂²<small>� 𝑑𝑑𝑡𝑡2+</small> ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}²<small>1 + 𝑑𝑑</small>_𝐿𝐿₂²<small>+ 𝑑𝑑2𝑑𝑑Ω2 (𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴) 𝑑𝑑𝑠𝑠2= − �1 −</small>^𝑑𝑑_𝐿𝐿₂²<small>� 𝑑𝑑𝑡𝑡2+</small> ^{𝑑𝑑𝑑𝑑}²

<small>1 − 𝑑𝑑</small>_𝐿𝐿₂²<small>+ 𝑑𝑑2𝑑𝑑Ω2 (𝑑𝑑𝐴𝐴) </small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<small>+ �𝑑𝑑2+ 𝑎𝑎2</small>

<small>+</small>^{2𝐺𝐺𝑎𝑎}²^{𝑑𝑑 sin}_Σ ²^𝜃𝜃<small>� sin2𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙2</small>

Với Σ = 𝑑𝑑<small>2</small> + 𝑎𝑎<small>2</small>cos<small>2</small>𝜃𝜃, Δ =𝑑𝑑<small>2</small> − 2𝐺𝐺𝑑𝑑 + 𝑎𝑎<small>2</small> và 𝑎𝑎 = _{𝑀𝑀𝑐𝑐}^𝐽𝐽

<b>Bán kính chân trời ngoài và trong: </b>

𝑑𝑑₊ = 𝐺𝐺 + √𝐺𝐺<small>2</small> − 𝑎𝑎<small>2</small> (chân trời ngoài – chân trời sự kiện)

𝑑𝑑₋ = 𝐺𝐺 − √𝐺𝐺<small>2</small> − 𝑎𝑎<small>2</small> (chân trời trong – chân trời Cauchy)

Điều kiện tồn tại các chân trời: PT 𝑑𝑑<small>2</small> − 2𝐺𝐺𝑑𝑑 + 𝑎𝑎<small>2</small> = 0 có nghiệm hay 𝐺𝐺<small>2</small> ≥ 𝑎𝑎<small>2</small>

<b>Tốc độ góc của chân trời sự kiện hố đen Kerr: </b>

• Phương trình động học bán kính và góc:

<small>�</small>^{𝑑𝑑𝑑𝑑}_{𝑑𝑑𝜏𝜏�}² <small>=</small>_𝜌𝜌¹₄<small>[(𝐸𝐸(𝑑𝑑2+ 𝑎𝑎2)− 𝑎𝑎𝐿𝐿)2− Δ(𝑑𝑑2</small>

<small>+ (𝐿𝐿 − 𝑎𝑎𝐸𝐸)2</small>

<small>+ 𝑑𝑑)] �</small>^{𝑑𝑑𝜃𝜃}_{𝑑𝑑𝜏𝜏�}

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<small>7 </small>• Quỹ đạo cùng hướng:

<small>𝑑𝑑</small>_{𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼} <small>= 𝐺𝐺�3 + 𝑍𝑍</small>₂<small>−</small>

<small>�(3 − 𝑍𝑍</small>₁<small>)(3 + 𝑍𝑍</small>₁<small>+ 2𝑍𝑍</small>₂<small>)�</small>• Quỹ đạo ngược hướng:

<small>��1 +</small>

Δ𝜙𝜙 = ^{4𝐺𝐺𝐺𝐺}_𝑐𝑐₂_𝑏𝑏

<b>Hằng số vũ trụ học 𝚲𝚲: </b>

𝐺𝐺_{𝜇𝜇𝜇𝜇} + Λ𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜇𝜇} = ^{8𝜋𝜋𝐺𝐺}_𝑐𝑐₄ 𝑇𝑇_{𝜇𝜇𝜇𝜇}

<b>Hệ số tỷ lệ và quan hệ dịch chuyển đỏ: </b>

1 + 𝑧𝑧 = ^{𝑎𝑎(𝑡𝑡}_{𝑎𝑎(𝑡𝑡)}⁰⁾

<b>Hệ phương trình Einstein tuyến tính hóa: </b>

□ ℎ�_{𝜇𝜇𝜇𝜇} = −^{16𝜋𝜋𝐺𝐺}𝑐𝑐<small>4</small> 𝑇𝑇_{𝜇𝜇𝜇𝜇}Trong đó ℎ�_{𝜇𝜇𝜇𝜇} = ℎ_{𝜇𝜇𝜇𝜇} −¹₂𝜂𝜂_{𝜇𝜇𝜇𝜇}ℎ.

• Định luật I: 𝑑𝑑𝐺𝐺 =

<small>8𝜋𝜋𝐺𝐺</small>𝑑𝑑𝐴𝐴 + Ω_𝐻𝐻𝑑𝑑𝐽𝐽 + Φ_𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<small>8 </small>• Định luật II: 𝛿𝛿𝐴𝐴 ≥ 0

• Định luật III: 𝜅𝜅 → 0 khi 𝑇𝑇 → 0

• Định luật 0: 𝜅𝜅 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡 trên chân trời sự kiện

<b>Hình thức luận ADM: </b>

• Phép phân tích metric ADM: 𝑑𝑑𝑠𝑠<small>2</small> = −𝑁𝑁<small>2</small>𝑑𝑑𝑡𝑡<small>2</small> +ℎ_{𝑖𝑖𝑖𝑖}(𝑑𝑑𝑥𝑥<small>𝑖𝑖</small> + 𝑁𝑁<small>𝑖𝑖</small>𝑑𝑑𝑡𝑡)(𝑑𝑑𝑥𝑥<small>𝑖𝑖</small> +𝑁𝑁^𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡)

• Hamiltonian ADM: 𝐻𝐻 =∫ 𝑑𝑑<small>3</small>𝑥𝑥(𝑁𝑁ℋ + 𝑁𝑁<small>𝑖𝑖</small>ℋ_𝑖𝑖) trong đó ℋ và ℋ_𝑖𝑖 lần lượt là ràng buộc Hamiltonian và động lượng.

<b>Biến đổi bảo giác: </b>

𝑔𝑔�_{𝜇𝜇𝜇𝜇} = Ω²𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜇𝜇}

<b>Khái niệm giản đồ Penrose: </b>

Còn gọi là giản đồ Carter hay giản đồ bảo giác (conformal diagram), là một phương pháp minh họa trực quan

Penrose-cấu trúc nhân quả của không-thời gian

Trên giản đồ Penrose: mỗi điểm biểu diễn một quỹ tích dạng cầu gồm các hướng trong KTG Giản đồ gồm: trục thời gian, khơng gian, nón ánh sáng, điểm kì dị, chân trời sự kiện, vơ cùng

<b>Khoảng cách đồng chuyển động và khoảng cách riêng: </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<small>9 𝑑𝑑𝑠𝑠2</small>

<small>+ 𝑑𝑑2(𝑑𝑑𝜃𝜃2+ sin2𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜙𝜙2) </small>Trong đó Φ(𝑑𝑑) là hàm dịch

chuyển đỏ, 𝑏𝑏(𝑑𝑑) là hàm hình học của miệng hố sâu

<b>Điều kiện của 𝒃𝒃(𝒓𝒓) để hố sâu Morris-Thorne có thể đi qua: </b>

• 𝑏𝑏(𝑑𝑑₀) = 𝑑𝑑₀, với 𝑑𝑑₀ là bán kính miệng hố sâu

• 𝑏𝑏<small>′</small>(𝑑𝑑) < ^{𝑏𝑏(𝑟𝑟)}_𝑟𝑟 ∀𝑑𝑑 > 𝑑𝑑₀• ^{𝑏𝑏(𝑟𝑟)−𝑏𝑏}^′^{(𝑟𝑟)𝑟𝑟}

<small>2𝑏𝑏(𝑟𝑟)2</small> > 0∀𝑑𝑑 > 𝑑𝑑₀ hay 𝑏𝑏<small>′</small>(𝑑𝑑₀) < 1

• ^{𝑏𝑏(𝑟𝑟)}

<small>𝑟𝑟</small> → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞

• Lực ảnh hưởng lên người hoặc vật đi qua hố sâu phải ở mức hợp lý. Vì vậy

�^𝑏𝑏^′_𝑟𝑟^(𝑟𝑟)₂ � < một ngưỡng nào đó

<b>Điều kiện của 𝚽𝚽(𝒓𝒓) để hố sâu Morris-Thorne có thể đi qua: </b>

• Φ(𝑑𝑑) hữu hạn với mọi 𝑑𝑑 • Φ(𝑑𝑑) → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞ • Lực ảnh hưởng lên người

hoặc vật đi qua hố sâu phải ở mức hợp lý. Vì vậy

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<small>10 </small>𝐴𝐴 = _{16𝜋𝜋𝐺𝐺}¹ ∫ 𝑑𝑑<small>4</small>𝑥𝑥�−𝑔𝑔(𝑅𝑅 − 2Λ)

+ 𝐴𝐴_𝑚𝑚

𝛿𝛿𝐴𝐴 = 0 => 𝐺𝐺_{𝜇𝜇𝜇𝜇} + Λ𝑔𝑔_{𝜇𝜇𝜇𝜇}= ^{8𝜋𝜋𝐺𝐺}_𝑐𝑐₄ 𝑇𝑇_{𝜇𝜇𝜇𝜇}

<b>Metric Alcubierre: </b>

𝑑𝑑𝑠𝑠² = −𝑐𝑐²𝑑𝑑𝑡𝑡²+ [𝑑𝑑𝑥𝑥

− 𝑣𝑣_𝑠𝑠(𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑑𝑑_𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑡𝑡]<small>2</small>

+ 𝑑𝑑𝑦𝑦² + 𝑑𝑑𝑧𝑧²Điều kiện của 𝑓𝑓(𝑑𝑑_𝑠𝑠):

• 𝑓𝑓(𝑑𝑑_𝑠𝑠) → 0 khi 𝑑𝑑 → ∞ • 𝑓𝑓(𝑑𝑑_𝑠𝑠) ≈ 1 với 𝑑𝑑_𝑠𝑠 trong một

vùng nhỏ xung quanh vật thể được đẩy đi (bên trong phần bong bóng warp, khơng-thời gian là phẳng) • 𝑓𝑓(𝑑𝑑_𝑠𝑠) biến thiên mượt giữa

bên trong và bên ngoài. Hàm 𝑓𝑓(𝑑𝑑_𝑠𝑠) thường dùng: 𝑓𝑓(𝑑𝑑_𝑠𝑠)

= ^{tanh�𝜎𝜎(𝑑𝑑}^𝑠𝑠 ^{+ 𝑅𝑅)� − tanh�𝜎𝜎(𝑑𝑑}^𝑠𝑠 ^{− 𝑅𝑅)�}2tanh (𝜎𝜎𝑅𝑅)

<b>Hình thức luận tham số hóa hậu Newton (Parameterized Post-Newtonian – PPN </b>

<b>formalism): </b>

Tenxơ metric trong HTL PPN: <small>𝑔𝑔</small>₀₀ <small>= −1 + 2𝑈𝑈 − 2𝛽𝛽𝑈𝑈2+ 2𝜉𝜉Φ</small>_𝑊𝑊<small>+(2𝛾𝛾 + 2 + 𝛼𝛼</small>₃<small>+ ζ</small>₁<small>− 2𝜉𝜉)Φ</small>₁<small>+ (3𝛾𝛾 +1 + 𝜁𝜁</small>₂<small>+ 𝜉𝜉)Φ</small>₂<small>+ (𝜁𝜁</small>₃<small>− 2𝜉𝜉)Φ</small>₃<small>+(𝜁𝜁</small>₄<small>− 2𝜉𝜉)Φ</small>₄<small>− (𝛼𝛼</small>₁<small>− 𝛼𝛼</small>₂<small>+ 𝛼𝛼</small>₃<small>)𝐴𝐴 −𝛼𝛼</small>₂<small>ℬ, </small>

<small>𝑔𝑔</small>_0𝑖𝑖 <small>= −</small>¹₂<small>(4𝛾𝛾 + 3 + 𝛼𝛼</small>₁<small>− 𝛼𝛼</small>₂<small>+ 𝜁𝜁</small>₁<small>−2𝜉𝜉)𝑑𝑑</small>_𝑖𝑖 <small>−</small>¹₂<small>(1 + 𝛼𝛼</small>₂ <small>− 𝜁𝜁</small>₁ <small>+ 2𝜉𝜉)𝑊𝑊</small>_𝑖𝑖<small>, 𝑔𝑔</small>_{𝑖𝑖𝑖𝑖} <small>= (1 + 2𝛾𝛾𝑈𝑈)𝛿𝛿</small>_{𝑖𝑖𝑖𝑖}

Trong đó các thế

𝑈𝑈, Φ_{1,2,3,4,𝑊𝑊}, 𝐴𝐴, ℬ, 𝑑𝑑_𝑖𝑖, 𝑊𝑊_𝑖𝑖^đượcđịnh nghĩa như sau:

• 𝑈𝑈 = ∫ ^𝜈𝜈_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}^′^𝑑𝑑³^𝑣𝑣_′_|^′• Φ₁ _{= ∫}^𝜈𝜈^′_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}^𝑣𝑣^′2^𝑑𝑑_′³_|^𝑣𝑣^′• Φ₂ _{= ∫}^𝜈𝜈^′_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}^𝑈𝑈^′^𝑑𝑑³_′_|^𝑣𝑣^′• Φ₃ _{= ∫}^𝜈𝜈^′_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}^Π^′^𝑑𝑑³_′_|^𝑣𝑣^′• Φ₄ _{= ∫}^𝑝𝑝_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}^′^𝑑𝑑³^𝑣𝑣_′_|^′

• Φ_𝑊𝑊 _{= ∫}^𝜈𝜈^′^�𝒗𝒗_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}^′^.𝒙𝒙^′^�_′²_|₃^𝑑𝑑³^𝑣𝑣^′• 𝐴𝐴 = ∫^𝜈𝜈^′^(𝒗𝒗_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}^′^{.𝒙𝒙′)𝑑𝑑}<small>′|3</small>³^𝑣𝑣^′

• ℬ = ∫^𝜈𝜈^′^𝒗𝒗^′^{.(𝒙𝒙−𝒙𝒙′)𝑑𝑑}_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}<small>′|3</small> ³^𝑣𝑣^′

• 𝑑𝑑_𝑖𝑖 _{= ∫}^𝜈𝜈^′^𝑣𝑣<small>𝑖𝑖</small>^′<small>𝑑𝑑</small>³<small>𝑣𝑣</small>^′<small>|𝒙𝒙−𝒙𝒙</small>^′<small>|</small>

• 𝑊𝑊_𝑖𝑖 =

∫^𝜈𝜈^′^�𝒗𝒗^′^{.�𝒙𝒙−𝒙𝒙}_{|𝒙𝒙−𝒙𝒙}^′^{���𝑣𝑣}_′_|₃^𝑖𝑖^−𝑣𝑣^𝑖𝑖^′^�𝑑𝑑³^𝑣𝑣^′

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<small>11 </small>

<b>Giản đồ Penrose của không-thời gian Minkowski: </b>

<b>Giản đồ Penrose của không-thời gian Schwarzschild: </b>

</div>