MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN EUCLID VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (516.74 KB, 41 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA:TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 20170

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA:TỐN

------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Tên đề tài: MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHƠNG GIAN EUCLID VÀ ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI

TỐN HÌNH HỌC PHẲNG

Sinh viên thực hiện

Thongsavath SILADUANGCHAI MSSV: 2113010143

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN

KHĨA 2016 – 2017 Cán bộ hướng dẫn

ThS. LÊ THI TUYẾT LÊ MSCB: ….

Quảng Nam, tháng 5 năm 2017

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

1.3. Vị trí tương đối của các phẳng trong ... 11

CHƯƠNG II: MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHƠNG GIAN EUCLID ... 14

2.1. Xây dựng mơ hình xạ ảnh của khơng gian affine ... 14

2.1.1. Xây dựng mơ hình ... 14

2.1.2. Mục tiêu affine trong mơ hình ... 14

2.1.3. Các phẳng trong mơ hình ... 15

2.1.4. Thể hiện sự song song của các phẳng trong mơ hình ... 15

2.1.5. Ý nghĩa affine của tỉ số kép và ý nghĩa xạ ảnh của tỉ số đơn ... 17

2.1.6. Áp dụng ... 18

2.2. Xây dựng mơ hình xạ ảnh của khơng gian Euclid ... 20

2.3. Cái tuyệt đối của không gian Euclid ... 21

2.4. 2.4. Một số khái niệm cơ bản của hình học Euclid thể hiện trên mơ hình ... 21

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2.4.1. Sự vng góc của hai đường thẳng ... 21

2.4.2. Siêu cầu ... 22

2.4.3. Phép đồng dạng ... 23

2.5. Các mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng Euclid ... 24

2.6. Ứng dụng giải bài toán trong hình học phẳng ... 27

C. KẾT LUẬN ... 35

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 36

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

A. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành toán tại các trường đại học sư phạm trong cả nước. Mục đích của mơn này là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan hình học. Đồng thời hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải các bài tốn ở trường trung học phổ thơng.

Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải các bài tốn hình học affine và hình học Euclid là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho các sinh viên khi học mơn hình học xạ ảnh.

Nhằm tìm hiểu rõ hơn về hình học xạ ảnh đồng thời ứng dụng nó vào việc giải các bài tốn hình học affine và hình học Euclid, em đã chọn đề tài nghiên

cứu khoa học là: “Mơ hình xạ ảnh của không gian Euclid và ứng dụng giải các bài tốn hình học phẳng”

2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu chính của đề tài là tóm tắt lý thuyết và bài tập vận dụng liên quan đến mơ hình xạ ảnh của khơng gian Euclid và ứng dụng giải các bài tốn hình học phẳng.

3. Đối tượng nghiên cứu

Trong đề tài này em tìm hiểu xung quanh các vấn đề về Mơ hình xạ ảnh của khơng gian Euclid và ứng dụng giải các bài tốn hình học phẳng.

4. Mức độ và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu tổng quan về mơ hình xạ ảnh của không gian Euclid và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tìm hiểu cách xây dụng mơ hình xạ ảnh của khơng gian Euclid và ứng dụng giải các bài tốn hình học phẳng

 Tìm hiểu về một số khái niệm cơ bản hình học Euclid thể hiện trên mơ hình.

 Tìm hiểu mơ hình xạ ảnh của mặt phẳng affin và mặt phẳng Euclid.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

 Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến mơ hình xạ ảnh của khơng gian Euclid và ứng dụng giải các bài tốn hình học phẳng để rút ra phương pháp giải bài tập liên quan.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Do đó 0 – phẳng còn gọi là điểm, 1 – phẳng còn gọi là đường thẳng, ( n – 1 ) – phẳng còn gọi là siêu phẳng.

Giả sử X’ = π[ P(V )] là m – phẳng. Khi đó ta có song ánh π′ : P (V ) → X’ cảm sinh bởi song ánh π tức là π = π/ P(V )

Như vậy (X’,π’,V ) cũng là một không gian xạ ảnh m chiều và được kí hiệu là P . Ta có P = (X’,π’,V ).

1.1.2. Các mơ hình của khơng gian xạ ảnh a. Mơ hình vectơ

Ta lấy X là chính tập hợp P(V ) và song ánh π là phép đồng nhất

π : P(V ) → P(V )

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Điểm của không gian xạ ảnh [P(V ),π,V ] = X là các không gian vectơ một chiều V . Tập hợp các không gian con một chiều thuộc một không gian con m +1 chiều nào đó là một m – phẳng của không gian xạ ảnh này.

b. Mơ hình số học.

Ta xét một bộ số thực gồm n +1 số (x ,x , … . . , x ) trong đó có ít nhất là một số khác 0. Hai bộ số thực (x ,x , … . . , x ) và (y ,y , … . . , y ) như vậy sẽ

gọi là tương đương khi và chỉ khi có một số thực λ 0 sao cho x = λy với i = 1,2,….,n+1. Tập hợp các bộ số thực nói trên sẽ được phân thành các lớp

tương đương. Ta gọi K là tập hợp tất cả các lớp tương đương đó. Bây giờ gọi V là một khơng gian vectơ nào đó và trên đó đã có một cơ sở được chọn. Ta hãy xét song ánh π như sau

π ∶ P V → K

Giả sử V là một không gian con một chiều của V . Ta chọn trên V một vectơ x 0 và gọi (x ,x , … . . , x ) là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở đã chọn. Qua song ánh π, mỗi không gian con V ta đặt tương ứng với một lớp tương đương các bộ số thực mà phần tử đại diện là (x ,x , … . . , x ). Như vậy K, π, V là một mô hình của khơng gian xạ ảnh n chiều và được gọi là mơ hình số học của Pn.

c. Mơ hình bó.

Trong khơng gian affine A xây dựng trên không gian vectơ V ta lấy một điểm O tùy ý. Gọi X là tập hợp tất cả các đường thẳng của A cùng đi qua điểm O. Và một tập hợp X như vậy được gọi là bó đường thẳng tâm O. Nếu V là không gian một chiều thuộc V thì ta có π V là đường thẳng đi qua O có phương V . Ta có song ánh π : P V

 

n 1  X

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Do đó X, π, V là một mơ hình của khơng gian xạ ảnh n chiều. Mỗi đường thẳng của bó biểu thị một “điểm xạ ảnh”. Hai đường thẳng phân biệt của bó tạo nên một mặt phẳng affine đi qua O biểu thị cho một “đường thẳng xạ ảnh”. Thông qua mô hình này ta nhận thấy rằng tập hợp “các điểm xạ ảnh” cùng thuộc một “đường thẳng xạ ảnh” là một tập hợp các “điểm” khép kín nghĩa là nếu có một điểm C chuyển động theo chiều từ A đến B của đường thẳng AB thì sau khi vượt qua điểm B, điểm đó vẫn đi theo hướng cũ và sẽ trở về A. Như vậy đường thẳng xạ ảnh không giống với đường thẳng affine và đường thẳng Euclid vì nó là một đường khép kín. Trong mơ hình này muốn biểu thị một “mặt phẳng xạ ảnh” (là 2 – phẳng) ta cần lấy ba đường thẳng của bó tâm O mà không cùng nằm trong một mặt phẳng affine. Giả sử A, B, C là “ba điểm xạ ảnh” không thẳng hàng mà trên mơ hình được biểu thị bằng ba đường thẳng affine cùng đi qua O và không cùng thuộc một mặt phẳng affine. Khi đó trên “mặt phẳng xạ ảnh ABC” ta có các “đường thẳng xạ ảnh AB, BC, CA” từ tính chất khép kín của “các đường thẳng AB, BC, CA” ta tưởng tượng và hình dung ra tính chất khép kín của “mặt phẳng xạ ảnh ABC” một cách thích hợp.

d. Mơ hình affine sau khi bổ sung các phần tử vô tận.

Gọi A là một không gian affine n + 1 chiều liên kết với không gian vectơ V và A là một siêu phẳng của A có phương là khơng gian vectơ con V ⊂ V .

Ta hãy xét tập hợp A A ∪ Pvà xây dựng song ánh π: P V → A như sau.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Lấy một điểm cố định O của A không nằm trên A . Giả sử V là không gian con một chiều của V .

 Nếu V V thì trên A có một điểm M duy nhất sao cho OM ∈ V trong trường hợp này ta đặt π V M.

 Nếu V ⊂ V thì đặt π V M . Có thể hiểu rằng điểm π V là điểm gặp nhau của những đường thẳng song song với nhau trong A có cùng phương V và ta thường gọi đó là điểm vô tận của các đường thẳng song song đó.

Ta dễ dàng chứng minh được π là một song ánh vì mỗi đường thẳng của bó tâm O trong khơng gian Affine A có tương ứng 1 – 1 với một điểm của A . Như vậy ta có một khơng gian xạ ảnh n chiều (A , π, V và gọi đó là mơ hình affine có bổ sung thêm các phần tử vơ tận.

Trên mơ hình này, mỗi điểm xạ ảnh là một điểm thông thường của không gian affine A hoặc một không gian con một chiều của V ( là phương của ảnh A ); mỗi m – phẳng của không gian xạ ảnh sẽ là:

 Hoặc là tập hợp A ∪ P V trong đó A là một m – phẳng affin cịn V là phương của nó và P V là tập hợp các V ⊂ V .

 Hoặc là tập hợp P V trong đó V ⊂ V . Ta có thể xem P V

là giao của hai (m+1) – phẳng affine song song với nhau hoặc gọi đó là m – phẳng vô tận (m – phẳng chứa tồn điểm vơ tận)

Trên mơ hình này nếu a và b là hai đường thẳng song song với nhau có cùng phương V thì a ∪ π V và b ∪ π V là hai đường thẳng của không gian xạ ảnh A , chúng có chung nhau một điểm π V . Bởi vậy điểm π V

được gọi là điểm vô tận. Tập hợp các điểm vô tận này của A nằm trên (n – 1) – phẳng được gọi là siêu phẳng vơ tận. Ta có thể xem siêu phẳng này

chứa toàn bộ các điểm vô tận của A . Như thế là khơng gian xạ ảnh của A có được bằng cách lấy không gian affine An và bổ sung thêm các điểm vô tận của tất cả các đường thẳng thuộc An.

Chú ý:Ttrên mỗi đường thẳng của An ta chỉ được phép bổ sung thêm một điểm vô tận mà thôi. Trong không gian xạ ảnh các điểm affine thơng thường và các điểm vơ tận đều có vai trị bình đẳng vì chúng đều là các điểm xạ ảnh như

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

nhau. Vì vậy khi sử dụng mơ hình này để minh họa các khái niệm tính chất trong khơng gian xạ ảnh chúng ta cần phải hiểu rõ bản chất của các điểm vô tận đó để khỏi nhầm lẫn. Cần lưu ý rằng điểm vô tận là một khái niệm khơng có trong khơng gian affine và cũng không được nêu tên trong không gian xạ ảnh.

1.2. Tọa độ xạ ảnh và mục tiêu xạ ảnh 1.2.1. Vectơ đại diện cho một điểm

Gọi Pn là không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ V qua song ánh. Trong V mỗi vectơ a 0 sẽ sinh ra một không gian con một chiều và qua song ánh π không gian này sẽ ứng với một điểm A duy nhất của Pn. Ta nói rằng vectơ a đại diện cho điểm A. Ta suy ra hai vectơ a và b cùng đại diện cho một điểm A khi và chỉ khi a kb với k là một số thực khác 0. Như vậy a, b là hai vectơ cộng tuyến của Vn+1 sẽ cùng đại diện cho một điểm của Pn.

1.2.2. Hệ điểm độc lập

Ta gọi một hệ gồm r điểm M1, M2,…, Mr của Pn là độc lập nếu trong không gian vectơ Vn+1 liên kết với Pn ta có r vectơ đại diện cho r điểm ấy độc lập tuyến tính. Ta nhận thấy rằng nếu có r điểm độc lập thì bất cứ hệ r vectơ n đại diện cho chúng cũng độc lập tuyến tính và do đó r điểm M1, M2,…, Mr xác định một (r – 1) – phẳng xạ ảnh. Như vậy muốn xác định một m – phẳng xạ ảnh ta phải biết m+1 điểm độc lập thuộc phẳng đó. Trong Pn muốn có r điểm độc lập thì r < n + 1 và do đó mọi hệ điểm nhiều hơn n + 1 điểm đều không độc lập.

1.2.3. Tọa độ xạ ảnh của một điểm.

Cho không gian xạ ảnh Pn liênkết với không gian vectơ Vn+1 . Ta chọn trong Vn+1 một cơ sở ε = { e ,e ,……,e }. Gọi X là một điểm tùy ý của Pn và trong Vn+1 ta có X là vectơ đại diện cho điểm X. Nếu (x , x , … , x ) là tọa độ của vectơ X đối với ε trong Vn+1 thì ta cũng gọi đó là tọa độ xạ ảnh của điểm X của Pn ứng với ε trong Vn+1. Khi đó ta kí hiệu:

X = ( x ,x ,…..,x ) hoặc X( x ,x ,…..,x )

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Do cách xây dựng như trên tọa độ xạ ảnh của các điểm thuộc Pn có các tính chất sau đây:

a) Nếu ( x ,x ,…..,x ) là tọa độ xạ ảnh của một điểm thì các x khơng đồng thời bằng 0 vì vectơ đại diện cho một điểm phải ln ln là vectơ khác vectơ 0.

b) Một bộ số có thứ tự gồm n +1 số ( x ,x ,…..,x ) trong đó ít nhất có một số khác 0 xác định một điểm X duy nhất của Pn. Điểm X này nhận bộ số

thực đó làm tọa độ xạ ảnh ứng với cơ sở đã cho.

c) Nếu ( x ,x ,…..,x ) là tọa độ xạ ảnh của một điểm X thì mọi bộ số có dạng (kx ,kx ,…..,kx ) với k 0 đều là tọa độ của điểm X đó.

Chú ý: Các tính chất trên đây là các tính chất đặc biệt của tọa độ xạ ảnh

của một điểm. Thí dụ:

Trong P bộ số (0,0,0) không phải là tọa độ của bất cứ điểm xạ ảnh nào nhưng trong A hoặc trong E bộ số đó là tọa độ của điểm gốc mục tiêu tọa độ.

Trong P hai bộ số (1,0,-2) và (-1,0,2) là tọa độ của cùng một điểm xạ ảnh còn trong A hoặc trong E hai bộ số đó là tọa độ của hai điểm hoàn toàn khác nhau.

A =(1,0,0,….,0,0),A =(0,1,0..,0,0),…A =(0,0,0,…..,1,0); A =(0,0,0,……,0,1) Gọi E là điểm có vectơ đại diện là vectơ e, trong đó e =e +e +….+e Như vậy. Điểm E có tọa độ xạ ảnh là E = (1,1,…..,1)

Định nghĩa:

Một tập hợp gồm n+1 điểm được xây dựng như trên {A ,A ,….,A ;E} là một mục tiêu xạ ảnh của không gian xạ ảnh n chiều P ứng với cơ sở ϵ trong

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

V . Ta kí hiệu mục tiêu xạ ảnh đó là {A ;E} với i=1,2,….,n+1. Các điểm A là

các đỉnh của mục tiêu và điểm E là điểm đơn vị.

Nếu một điểm thuộc P có tọa độ (x ,x ,….,x ) đối với cơ sở ϵ, và mục tiêu xạ ảnh {A ;E} được xây dựng cũng ứng với cơ sở ϵ đó thì ta nói rằng (x ,x ,….,x ) là tọa độ xạ ảnh của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh {A ;E} với i=1,2,….,n+1.

Chú ý: Trong n + 2 điểm {A ,A ,….,A ;E} của một mục tiêu xạ ảnh trong P bất cứ n+1 điểm nào cùng độc lập.

1.2.5. Mối liên hệ giữ mục tiêu xạ ảnh của và cơ sở tương ứng thuộc trong

Định lý: Gọi P là không gian xạ ảnh liên kết với không gian V , khi đó

a) Trong V các cơ sở vị tự với nhau xác định một và chỉ một mục tiêu xạ ảnh tương ứng trong P .

b) Trong P với mục tiêu xạ ảnh {A ;E}, i=1,2,….,n+1 cho trước , (hoặc n+2 điểm A ,A ,….,A , E sao cho bất kì n+1 điểm nào trong chúng đều độc lập) ta có thể tìm được trong V một lớp duy nhất các cơ sở vị tự với nhau nhận {A ;E} làm mục tiêu xạ ảnh tương ứng.

Chứng minh.

a) Ta biết rằng trong V với một cơ sở ε {e ,e ,….,e } cho trước ta hoàn toàn xác định được một mục tiêu xạ ảnh {A ;E} tương ứng của P . Bây giờ nếu ta chọn một cơ sở khác là ε ={ke ,ke ,….,ke } trong V với số thực k 0 thì mục tiêu xạ ảnh tương đương với ε hoàn toàn trùng với mục tiêu xạ ảnh ứng với cơ sở ε cho trước. khi thay đổi và luôn luôn khác 0 ta sẽ được một tập hợp các cơ sở vị tự với ε. Tất nhiên với hai cơ sở ε và ε khơng vị tự với nhau thì chúng sẽ ứng với hai mục tiêu xạ ảnh khác nhau của P .

b) Bây giờ ta giả sử trong P ta có một mục tiêu xạ ảnh {A ;E}, i=1,2,….,n+1

Trong V ta có các vectơ e đại diện cho các điểm A với i=1,2,….,n+1 và vectơ e đại diên cho điểm E. Vì n+1 điểm A ,A ,….,A độc

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

lập nên ta có n+1 vectơ e ,e ,…..,e độc lập tuyến tính và do đó chúng tạo thành một cơ sở của V . Vì vectơ e ∈ V nên vectơ đó được biểu thị tuyến tính qua cơ sở {e } nói trên nghĩa là e= t e e +…..+t e

Vì điểm E và n điểm A nào đó là một hệ gồm n+1 điểm độc lập, nên vectơ e cùng với n vectơe tương đương là một hệ n+1 vectơ độc lập tuyến tính. Từ đó ta suy ra t 0 với mọi i vì nếu t =0 thì vectơ e được biểu thị thuyến tính qua n vectơ còn lại nghĩa là vectơ e và n vectơe cịn lại đó khơng độc lập tuyến tính, điều này trái với giả thiết nêu ở phần kết luận trên đây.

Vì t 0 với mọi i nên ta đặt: e =t e với i =1,2,…,n+1 Và ta có

Vì e ,e ,…..,e là các vectơ lần lượt đại diện cho các điểm A với i=1,2,…,n+1 nên vectơ a =k e ,k 0 cũng là các vectơ đại diện cho các điểm A với i=1,2,…,n+1. Mặt khác vectơ e=e +e +…..+e là vectơ đại diện cho điểm E nên vectơ a=ke với k 0 cũng là vectơ đại diện cho điểm E.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

1.3. Vị trí tương đối của các phẳng trong

Bài tốn về xét vị trí tương đối của các m – phẳng trong không gian xạ ảnh đơn giản hơn các bài tốn đó khi xét trong không gian affine hoặc không gian Euclid.

Trong không gian xạ ảnh, muốn xét vị trí tương đối của các phẳng ta chỉ cần xét sự cắt nhau hoặc chéo nhau của các phẳng đó mà thơi.

a) Sự cắt nhau và chéo nhau của các phẳng xạ ảnh

 Hai cái phẳng xạ ảnh của P được gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung nghĩa là chúng có giao khác rỗng. Ta dễ dàng suy ra rằng giao của hai các phẳng là một cái phẳng có số chiều lớn nhất thuộc các phẳng cho trước.

 Hai cái phẳng xạ ảnh của P được gọi là chéo nhau nếu chúng không điểm chung.

b) Công thức số chiều của tổng và giao các phẳng xạ ảnh

Ta gọi tổng của hai cái phẳng là giao của tất cả cái phẳng chứa đồng thời cả hai phẳng đó. Ta suy ra tổng của hai cái phẳng là cái phẳng có số chiều bé nhất chứa các phẳng cho trước. Chú ý rằng khái niệm tổng của hai cái phẳng khác với khái niệm tổng hiểu theo nghĩa tập hợp. Thí dụ cho hai đường thẳng xạ ảnh phân biệt cắt nhau thì tổng của chúng là mặt phẳng chứa hai đường thẳng ấy. Nếu hai đường thẳng xạ ảnh chéo nhau ( tức là không cắt nhau) thì tổng của hai cái phẳng đó là khơng gian xạ ảnh P chứa hai đường thẳng ấy.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Để xét vị trí tương dối của hai cái phẳng xạ ảnh ta cần đưa vào các không gian vectơ con liên kết với hai phẳng đó và ta có các cơng thức về số chiều của tổng và giao của các phẳng như sau:

 Nếu hai cái phẳng xạ ảnh P và Q cắt nhau ta có dim (P + Q) = dim P + dim Q – dim (P∩Q)  Nếu hai cái phẳng ảnh P và Q chéo nhau ta có:

dim (P + Q) = dim P + dim Q + 1

Chú ý: từ định nghĩa về tổng và giao của hai cái phẳng xạ ảnh bằng phương pháp quy nạp ta suy ra được định nghĩa của tổng và giao một số hữu hạn các phẳng trong P .

Hệ quả: Ta có thể xem phương trình của một m - phẳng trong Pn có dạng:

n 1ijjj 1

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Đó là giao của n – m siêu phẳng độc lập. Từ đó ta suy ra giao của n siêu phẳng độc lập là một điểm. Do đó áp dụng vào mặt phẳng xạ ảnh P2 ta thấy rằng hai đường thẳng phân biệt luôn luôn cắt nhau.

a x



; i1,2,...,n m

Hệ phương trình tìm giao của chúng là một hệ gồm có n – m + 1 phương trình và có hạng bằng n – m + 1. Thật vậy nếu hệ đó có hạng bằng n – m thì các điểm của Pm đều thuộc Pn-1 là điều trái với giả thiết.

Vì hệ phương trình trên có hạng bằng n – m + 1 nên nó xác định một ( m – 1) – phẳng (vì n – (n – m +1 ) = m – 1).

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

CHƯƠNG II: MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHƠNG GIAN EUCLID 2.1. Xây dựng mơ hình xạ ảnh của khơng gian affine

2.1.1. Xây dựng mơ hình

Ta biết cách xây dựng mô hình affine của khơng gian xạ ảnh. Lấy một không gian affine An , rồi bổ sung thêm các phần tử của tập hợp [A ] để được tập hợp P A ∪ A ] và xây dựng P thành không gian xạ ảnh.

Bây giờ ta mô tả quá trình ngược lại: Bỏ bớt đi từ khơng gian xạ ảnh P một tập hợp nào đó và xây dựng phần cịn lại thành một khơng gian affine. Bằng cách đó ta được một mơ hình xạ ảnh của không gian affine.

Giả sử Pn là K – không gian xạ ảnh liên kết với K – không gian vector Vn+1. Gọi W là một siêu phẳng nào đó của Pn. Đặt An = Pn\W. Ta xây dựng Anthành không gian affine bằng cách sau đây:

Đưa vào Pn một mục tiêu xạ ảnh {Si; E} với các đỉnh S1, S2,…, Sn nằm trên W. Khi đó, siêu phẳng W sẽ có phương trình x0 = 0.

Nếu điểm X  An thì X có tọa độ (x0: x1: x2: …: xn) trong đó x0  0 (vì X

khơng thuộc W). Bởi vậy, nếu ta đặt



, với i = 1,2,…,n thì ta được một bộ thứ tự gồm n số (X , X , … , X , với X ∈ K. được gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X và viết X = (X , X , … , X . Rõ ràng có một song ánh từ tập A tới tập K bằng cách cho mỗi điểm tương ứng với tọa độ khơng thuần nhất của nó.

Nếu có hai điểm của An là X = (X , X , … , X và Y = (Y , Y , … , Y thì ta kí hiệu XY là vectơ Y X , Y X , … , Y X của Kn (xem Kn là không gian vectơ trên trường K). Bằng cách đó ta có ánh xạ φ: A A → K , thỏa mãn các tiên đề của khơng gian affine và do đó An trở thành không gian affine n chiều liên kết với không gian vectơ K .

2.1.2. Mục tiêu affine trong mơ hình

Vẫn xét mục tiêu xạ ảnh {Si; E} trong Pn như trên. Gọi Ei là giao điểm của đường thẳng So, Si và siêu phẳng đi qua E và qua mọi đỉnh của mục tiêu trừ đỉnh

So và Si. Thì dễ thấy tọa độ không thuần nhất của các điểm đó là: E1 = (1, 0, 0,…, 0), E2 = (0, 1, 0,…, 0), ……, En = (0, 0, 0,…, 1)

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Ngoài ra, hiển nhiên S0 = (0, 0, 0, …, 0). Bởi vậy, nếu ta đặt

S E 

0 i

e

i,

thì ta được mục tiêu affine S , e , e , … , e , viết tắt là

(S , )

0

e

i

, và gọi là mục tiêu affine sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh (S , E).

Nếu điểm X có tọa độ khơng thuần nhất X = (X1, X2, …, Xn) thì

Bây giờ, nếu đặt U = U\W thì mỗi điểm X ∈ U có tọa độ

X = (x : x : … : x thoả mãn hệ n – m phương trình trên, đồng thời x 0, Từ đó, suy ra toạ độ affine (X : X : … : X của X thoả mãn hệ phương trình.

ijji0j 0

  

Trong đó, ma trận các hệ số có hạng bằng n – m. Điều đó chứng tỏ rằng U = U \ W là một m – phẳng affine của không gian affine A .

2.1.4. Thể hiện sự song song của các phẳng trong mơ hình

Cho r – phẳng xạ ảnh U và s – phẳng xạ ảnh V trong không gian xạ ảnh P . Không nằm trên siêu phẳng W, với r s. Ta biết rằng khi đó U ∩ W, V ∩ W là các phẳng xạ ảnh có số chiều lần lượt r – 1 và s – 1.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Ta chứng minh rằng: Nếu U ∩ W ⊂ V ∩ W thì r – phẳng affine U = U \ W song song với s – phẳng affine V = V \ W.

Thật vậy, giả sử r – phẳng U có phương trình

nij jj 0

Vì U khơng nằm trên W nên ma trận (u , i 1,2, . . . , n r; j = 1,2,…, n có hạng bằng n – r

Tương tự , nếu s – phẳng V có phương trình

nijjj 0

Trong đó ma trận (v , i 1,2, . . . , n s; j = 1,2,…, n có hạng bằng n – s. Phương trình của r – phẳng affine U = U \ W đối với mục tiêu affine sinh bởi mục tiêu xạ ảnh là

ij ii0j 0

</div>